Страница 147, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Какие предметы дают представление о прямоугольном параллелепипеде? Представление о прямоугольном параллелепипеде дают многие предметы из нашего окружения, которые имеют характерную "коробочную" форму. Например: кирпич, спичечный коробок, книга, шкаф, комната, коробка для обуви или системный блок компьютера. Все эти предметы ограничены шестью прямоугольными плоскостями (гранями).
Ответ: Кирпич, книга, коробка и другие предметы похожей формы.

Из каких фигур состоит поверхность прямоугольного параллелепипеда? Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, поверхность которого состоит из его граней. Каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником. Всего у него 6 граней, причём противоположные грани равны друг другу.
Ответ: Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников.

Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда? Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют длины трёх его рёбер, которые сходятся в одной вершине. Эти рёбра взаимно перпендикулярны. Обычно их называют длиной, шириной и высотой параллелепипеда.
Ответ: Измерения — это длина, ширина и высота, или длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины.

Сколько пар противоположных граней у прямоугольного параллелепипеда? Сколько у него рёбер; вершин? Назовите рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из вершины F (см. рис. 4.20). У прямоугольного параллелепипеда всего 6 граней, которые образуют 3 пары параллельных и равных между собой противоположных граней (например, верхняя и нижняя).
У него 12 рёбер и 8 вершин.
Так как рисунок 4.20 не предоставлен, воспользуемся стандартной схемой именования вершин. Если нижнее основание обозначено как $ABCD$, а верхнее — $EFGH$ (так, что вершина $E$ находится над $A$, $F$ над $B$ и так далее), то из вершины $F$ будут выходить три ребра: $FE$, $FG$ и $FB$.
Ответ: 3 пары противоположных граней; 12 рёбер; 8 вершин; рёбра, выходящие из вершины $F$: $FE, FG, FB$.

Является ли куб прямоугольным параллелепипедом? Да, куб является прямоугольным параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками. Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. Грани куба — это квадраты. Поскольку любой квадрат является прямоугольником (это прямоугольник с равными сторонами), куб полностью соответствует определению прямоугольного параллелепипеда и является его частным случаем.
Ответ: Да, является.

4.122 На рисунке 4.21 изображён куб.

а) Назовите все грани, рёбра, вершины куба.

б) Какие рёбра являются сторонами грани QRPX?

в) Какие вершины принадлежат верхней грани?

г) Какие рёбра равны ребру RS?

д) Какие грани равны грани YQRS?

а) Куб представляет собой трехмерную фигуру, у которой есть вершины, рёбра и грани.
Вершины — это точки, в которых соединяются рёбра. У куба 8 вершин. На рисунке это точки: P, Q, R, S, T, X, Y, Z.
Рёбра — это отрезки, которые соединяют вершины. У куба 12 рёбер. На рисунке это отрезки: XT, TZ, ZP, PX (рёбра нижнего основания), YQ, QR, RS, SY (рёбра верхнего основания), YX, QT, RZ, SP (боковые рёбра).
Грани — это плоские квадраты, которые образуют поверхность куба. У куба 6 граней. На рисунке это: YQRS (верхняя грань), XTPZ (нижняя грань), TQRZ (передняя грань), XPSY (задняя грань), XTYQ (левая грань) и PZRS (правая грань).
Ответ: Вершины: P, Q, R, S, T, X, Y, Z; рёбра: XT, TZ, ZP, PX, YQ, QR, RS, SY, YX, QT, RZ, SP; грани: YQRS, XTPZ, TQRZ, XPSY, XTYQ, PZRS.

б) Четырехугольник, образованный вершинами Q, R, P, X, не является гранью куба. Это диагональное сечение, которое проходит через внутреннее пространство куба. Сторонами этого сечения являются отрезки QR, RP, PX и XQ. Чтобы ответить на вопрос, нужно определить, какие из этих сторон одновременно являются рёбрами куба.
– Отрезок QR является ребром куба (сторона верхней грани).
– Отрезок RP не является ребром куба; это диагональ правой грани PZRS.
– Отрезок PX является ребром куба (сторона нижней грани).
– Отрезок XQ не является ребром куба; это диагональ левой грани XTYQ.
Таким образом, только два отрезка из четырех являются рёбрами куба.
Ответ: QR и PX.

в) Верхняя грань — это грань, которая расположена сверху. Судя по изображению и стандартному обозначению, верхней гранью является YQRS. Вершины, которые ей принадлежат, — это точки, образующие эту грань.
Ответ: Y, Q, R, S.

г) Куб — это правильный многогранник, что означает, что все его рёбра имеют одинаковую длину. Ребро RS — одно из 12 рёбер куба. Следовательно, все 12 рёбер куба равны между собой и, соответственно, равны ребру RS.
Ответ: YQ, QR, RS, SY, XT, TZ, ZP, PX, YX, QT, RZ, SP.

д) Все 6 граней куба являются квадратами с одинаковой длиной стороны. Это означает, что все грани куба равны между собой. Грань YQRS является верхней гранью куба. Ей равны все остальные 5 граней, а также она сама.
Ответ: YQRS, XTPZ, TQRZ, XPSY, XTYQ, PZRS.

4.123 Найдите, сколько метров проволоки нужно для изготовления каркасов пяти прямоугольных параллелепипедов (рис. 4.22).

1) $7 · 4 + 4 · 4 + 5 · 4 = (7 + 4 + 5) · 4 = 16 · 4 = 64\left(\text{дм}\right)$ - длина проволоки для одного прямоугольного параллелепипеда;

2) $64 · 5 = 320\left(\text{дм}\right)$

Ответ: 320 дм

Чтобы найти, сколько метров проволоки нужно для изготовления пяти каркасов, сначала вычислим, сколько проволоки требуется для одного каркаса.

Каркас прямоугольного параллелепипеда состоит из 12 ребер. У него есть три группы по 4 равных ребра. Измерения параллелепипеда по рисунку: длина $a = 5$ дм, ширина $b = 4$ дм и высота $c = 7$ дм.

1. Найдем сумму длин всех ребер одного каркаса. Формула для вычисления общей длины ребер: $L = 4 \cdot (a + b + c)$.

Подставим значения в формулу: $L_1 = 4 \cdot (5 + 4 + 7) = 4 \cdot 16 = 64$ дм. Таким образом, для одного каркаса нужно 64 дециметра проволоки.

2. Теперь найдем, сколько проволоки потребуется для изготовления пяти таких каркасов. Для этого умножим длину проволоки для одного каркаса на 5: $L_5 = 64 \text{ дм} \cdot 5 = 320$ дм.

3. В задаче требуется дать ответ в метрах. Переведем дециметры в метры. Мы знаем, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$. Чтобы перевести 320 дм в метры, нужно разделить это число на 10: $320 \text{ дм} \div 10 = 32$ м.

Ответ: 32 м.

4.124 Разбираемся в решении. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда (т. е. сумму площадей его граней), если его измерения равны 4 дм, 7 дм и 5 дм.

Решение. Вычислим площади граней (см. рис. 4.22). Площадь грани с измерениями 4×7 дм равна 4•7=28 (дм²), площадь грани с измерениями 4×5 дм равна 4•5=20 (дм²), площадь грани с измерениями 7×5 дм равна 7•5=35 (дм²). Так как площади противоположных граней равны, то площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 2•28+2•20+2•35=166 (дм²).

Разбираемся в решении.

Чтобы найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо найти сумму площадей всех его шести граней. У прямоугольного параллелепипеда есть три пары одинаковых граней (прямоугольников).

Согласно рисунку и условию, измерения параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны 4 дм, 5 дм и 7 дм.

1. Найдем площадь первой пары граней (например, передней и задней). Их размеры 4 дм и 7 дм.
Площадь одной такой грани: $S_1 = 4 \cdot 7 = 28 \text{ дм}^2$.

2. Найдем площадь второй пары граней (нижней и верхней). Их размеры 4 дм и 5 дм.
Площадь одной такой грани: $S_2 = 4 \cdot 5 = 20 \text{ дм}^2$.

3. Найдем площадь третьей пары граней (боковых, левой и правой). Их размеры 5 дм и 7 дм.
Площадь одной такой грани: $S_3 = 5 \cdot 7 = 35 \text{ дм}^2$.

4. Теперь вычислим общую площадь поверхности. Так как у нас три пары одинаковых граней, мы можем сложить площади трех разных граней и умножить результат на 2.
Общая формула площади поверхности: $S = 2 \cdot (S_1 + S_2 + S_3)$.
Либо можно сложить площади всех шести граней: $S = 2 \cdot S_1 + 2 \cdot S_2 + 2 \cdot S_3$.
Подставим наши значения:
$S = 2 \cdot 28 + 2 \cdot 20 + 2 \cdot 35 = 56 + 40 + 70 = 166 \text{ дм}^2$.

Ответ: 166 $ \text{дм}^2 $.

7.5 Используя калькулятор, вычислите:

а) 334,73 + 370,48 - 587,37;

б) 7,306 + 12,715 - 6,908;

в) 0,456 • 4,563 • 2,84;

г) 11,975 • 1,05 : 4,79;

д) 32,61 • 41,5 + 147,705;

е) 209,235 : 3,25 - 15,49;

ж) (190,73 + 509,36) • 2,34;

з) (739,8 - 257,64) : 65,6 • 5,14.

а) $334,73 + 370,48 - 587,37$

Поскольку в выражении присутствуют только сложение и вычитание, действия выполняются по порядку слева направо:
1) $334,73 + 370,48 = 705,21$
2) $705,21 - 587,37 = 117,84$
Ответ: $117,84$.

б) $7,306 + 12,715 - 6,908$

Действия выполняются по порядку слева направо:
1) $7,306 + 12,715 = 20,021$
2) $20,021 - 6,908 = 13,113$
Ответ: $13,113$.

в) $0,456 \cdot 4,563 \cdot 2,84$

Все действия — умножение, поэтому выполняем их последовательно слева направо:
1) $0,456 \cdot 4,563 = 2,079728$
2) $2,079728 \cdot 2,84 = 5,90642752$
Ответ: $5,90642752$.

г) $11,975 \cdot 1,05 : 4,79$

Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем действия слева направо:
1) $11,975 \cdot 1,05 = 12,57375$
2) $12,57375 : 4,79 = 2,625$
Ответ: $2,625$.

д) $32,61 \cdot 41,5 + 147,705$

Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняется умножение, а затем сложение:
1) $32,61 \cdot 41,5 = 1353,315$
2) $1353,315 + 147,705 = 1501,02$
Ответ: $1501,02$.

е) $209,235 : 3,25 - 15,49$

Сначала выполняется деление, а затем вычитание:
1) $209,235 : 3,25 = 64,38$
2) $64,38 - 15,49 = 48,89$
Ответ: $48,89$.

ж) $(190,73 + 509,36) \cdot 2,34$

В первую очередь выполняется действие в скобках, а затем умножение:
1) $190,73 + 509,36 = 700,09$
2) $700,09 \cdot 2,34 = 1638,2106$
Ответ: $1638,2106$.

з) $(739,8 - 257,64) : 65,6 \cdot 5,14$

Сначала выполняется действие в скобках, а затем деление и умножение в порядке их следования (слева направо):
1) $739,8 - 257,64 = 482,16$
2) $482,16 : 65,6 = 7,35$
3) $7,35 \cdot 5,14 = 37,779$
Ответ: $37,779$.

7.6 Вычислите.

а) Выполним последовательно все действия:
1) $6 + 0,3 = 6,3$
2) $6,3 : 9 = 0,7$
3) $0,7 \cdot 4 = 2,8$
4) $2,8 + 0,8 = 3,6$
Ответ: 3,6

б) Выполним последовательно все действия:
1) $11,9 - 2 = 9,9$
2) $9,9 : 3 = 3,3$
3) $3,3 + 4,7 = 8$
4) $8 \cdot 6 = 48$
Ответ: 48

в) Выполним последовательно все действия:
1) $6 - 1,2 = 4,8$
2) $4,8 : 8 = 0,6$
3) $0,6 + 0,6 = 1,2$
4) $1,2 : 2 = 0,6$
Ответ: 0,6

г) Выполним последовательно все действия:
1) $60 \cdot 0,4 = 24$
2) $24 : 10 = 2,4$
3) $2,4 + 0,4 = 2,8$
4) $2,8 : 4 = 0,7$
Ответ: 0,7

7.7 Найдите частное:

а) Чтобы найти частное от деления 1 на 4, мы можем представить это деление в виде обыкновенной дроби и затем преобразовать её в десятичную.
$1 : 4 = \frac{1}{4}$.
Для преобразования в десятичную дробь, приведём знаменатель к 100, умножив числитель и знаменатель на 25:
$\frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0,25$.
Ответ: 0,25

б) Представим деление 3 на 25 в виде дроби:
$3 : 25 = \frac{3}{25}$.
Чтобы преобразовать эту дробь в десятичную, умножим числитель и знаменатель на 4, чтобы получить в знаменателе 100:
$\frac{3 \times 4}{25 \times 4} = \frac{12}{100} = 0,12$.
Ответ: 0,12

в) Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно избавиться от запятой в делителе. Для этого умножим делимое (1) и делитель (0,001) на 1000, так как в делителе три знака после запятой.
$1 : 0,001 = (1 \times 1000) : (0,001 \times 1000) = 1000 : 1 = 1000$.
Ответ: 1000

г) Для деления на десятичную дробь 0,25, умножим делимое (2) и делитель (0,25) на 100, чтобы делитель стал целым числом.
$2 : 0,25 = (2 \times 100) : (0,25 \times 100) = 200 : 25$.
Мы знаем, что $100 : 25 = 4$, следовательно $200 : 25 = 8$.
Другой способ — представить 0,25 как обыкновенную дробь $\frac{1}{4}$:
$2 : \frac{1}{4} = 2 \times 4 = 8$.
Ответ: 8

д) Чтобы разделить 5 на 0,02, перенесём запятую в делимом и делителе на два знака вправо, что равносильно умножению обоих чисел на 100.
$5 : 0,02 = (5 \times 100) : (0,02 \times 100) = 500 : 2$.
Выполним деление: $500 : 2 = 250$.
Ответ: 250

е) Чтобы разделить 4 на 1,25, умножим делимое и делитель на 100, так как в делителе два знака после запятой.
$4 : 1,25 = (4 \times 100) : (1,25 \times 100) = 400 : 125$.
Можно представить 1,25 в виде обыкновенной дроби: $1,25 = 1 \frac{25}{100} = 1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
Тогда деление принимает вид: $4 : \frac{5}{4} = 4 \times \frac{4}{5} = \frac{16}{5}$.
Преобразуем неправильную дробь в десятичную: $\frac{16}{5} = \frac{16 \times 2}{5 \times 2} = \frac{32}{10} = 3,2$.
Ответ: 3,2

7.8 Выполните деление по образцу справа:

а)

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь $\frac{1}{25}$ в десятичную, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Удобно привести знаменатель к 100, умножив для этого числитель и знаменатель дроби на 4:

$\frac{1}{25} = \frac{1 \times 4}{25 \times 4} = \frac{4}{100} = 0,04$

Ответ: $0,04$

б)

Чтобы преобразовать дробь $\frac{1}{20}$ в десятичную, приведем знаменатель к 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{1}{20} = \frac{1 \times 5}{20 \times 5} = \frac{5}{100} = 0,05$

Ответ: $0,05$

в)

Чтобы преобразовать дробь $\frac{4}{5}$ в десятичную, приведем знаменатель к 10. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} = 0,8$

Ответ: $0,8$

г)

Чтобы преобразовать дробь $\frac{1}{4}$ в десятичную, приведем знаменатель к 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 25:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0,25$

Ответ: $0,25$

д)

Чтобы преобразовать дробь $\frac{19}{10}$ в десятичную, разделим числитель 19 на знаменатель 10. При делении на 10 десятичная запятая сдвигается на один знак влево:

$\frac{19}{10} = 19 : 10 = 1,9$

Ответ: $1,9$

7.9 Найдите частное:

а) 0,6 : 0,03;

б) 0,3 : 0,06;

в) 0,01 : 0,005;

г) 0,4 : 0,008.

а) Чтобы найти частное от деления $0,6$ на $0,03$, необходимо преобразовать делитель в целое число. Для этого нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой. В делителе $0,03$ два знака после запятой, поэтому переносим запятую на два знака вправо в обоих числах. Это равносильно умножению обоих чисел на $100$.

Получаем: $0,6 : 0,03 = (0,6 \times 100) : (0,03 \times 100) = 60 : 3 = 20$.

Ответ: $20$

б) Для деления $0,3$ на $0,06$ воспользуемся тем же правилом. Делитель $0,06$ имеет два знака после запятой, поэтому переносим запятую в обоих числах на два знака вправо (умножаем на $100$).

Получаем: $0,3 : 0,06 = (0,3 \times 100) : (0,06 \times 100) = 30 : 6 = 5$.

Ответ: $5$

в) В примере $0,01 : 0,005$ делитель $0,005$ имеет три знака после запятой. Следовательно, переносим запятую в делимом и делителе на три знака вправо (умножаем на $1000$).

Получаем: $0,01 : 0,005 = (0,01 \times 1000) : (0,005 \times 1000) = 10 : 5 = 2$.

Ответ: $2$

г) Для деления $0,4$ на $0,008$ нужно перенести запятую на три знака вправо в обоих числах, так как в делителе $0,008$ три знака после запятой. Это эквивалентно умножению на $1000$.

Получаем: $0,4 : 0,008 = (0,4 \times 1000) : (0,008 \times 1000) = 400 : 8 = 50$.

Ответ: $50$

7.10 Найдите:

а) 0,01 числа 500;

б) 0,06 числа 900;

в) 0,4 числа 70;

г) 0,25 числа 44.

Чтобы найти часть от числа, выраженную десятичной дробью, необходимо умножить это число на данную десятичную дробь.

а) Найдём 0,01 от числа 500. Для этого умножим 500 на 0,01.

$500 \times 0,01 = 5$

Так как 0,01 — это одна сотая, то найти 0,01 от числа — это то же самое, что найти его сотую часть, то есть разделить на 100.

$500 : 100 = 5$

Ответ: 5

б) Найдём 0,06 от числа 900. Для этого умножим 900 на 0,06.

$900 \times 0,06 = 54$

Можно сначала найти 0,01 от 900, что равно $900 : 100 = 9$. Затем, чтобы найти 0,06, нужно полученный результат умножить на 6.

$9 \times 6 = 54$

Ответ: 54

в) Найдём 0,4 от числа 70. Для этого умножим 70 на 0,4.

$70 \times 0,4 = 28$

Можно представить 0,4 в виде обыкновенной дроби $4/10$. Тогда вычисление будет выглядеть так:

$70 \times \frac{4}{10} = \frac{70 \times 4}{10} = 7 \times 4 = 28$

Ответ: 28

г) Найдём 0,25 от числа 44. Для этого умножим 44 на 0,25.

$44 \times 0,25 = 11$

Десятичная дробь 0,25 эквивалентна обыкновенной дроби $1/4$. Поэтому, чтобы найти 0,25 от числа, можно просто найти его четверть, то есть разделить на 4.

$44 : 4 = 11$

Ответ: 11

7.11 Приведите пример действия, с помощью которого можно число:

а) увеличить в 100 раз; в 1000 раз;

б) уменьшить в 1000 раз; в 10 000 раз.

а) Чтобы увеличить число в 100 раз, необходимо выполнить действие умножения на 100. Например, для числа 15: $15 \cdot 100 = 1500$.
Ответ: умножение на 100.

Чтобы увеличить число в 1000 раз, необходимо выполнить действие умножения на 1000. Например, для числа 15: $15 \cdot 1000 = 15000$.
Ответ: умножение на 1000.

б) Чтобы уменьшить число в 1000 раз, необходимо выполнить действие деления на 1000. Например, для числа 8000: $8000 : 1000 = 8$.
Ответ: деление на 1000.

Чтобы уменьшить число в 10000 раз, необходимо выполнить действие деления на 10000. Например, для числа 80000: $80000 : 10000 = 8$.
Ответ: деление на 10000.

7.12 Составьте задачу по выражению:

а) (3,4 + 3,7) : 2;

б) (4,2 + 4,5 + 4,8) : 3.

a)

Задача: Два туриста отправились в поход. В первый день они прошли 3,4 км, а во второй день — 3,7 км. Какое среднее расстояние туристы проходили за один день?

Решение: Данное выражение $(3,4 + 3,7) : 2$ представляет собой нахождение среднего арифметического двух чисел. Чтобы решить задачу, нужно найти общее расстояние, пройденное за два дня, и разделить его на количество дней.

1. Сначала найдем общее расстояние, сложив путь, пройденный в первый и второй день:
   $3,4 + 3,7 = 7,1$ (км)
2. Теперь разделим общее расстояние на количество дней (2), чтобы найти среднее расстояние за день:
   $7,1 : 2 = 3,55$ (км)

Ответ: 3,55.

б)

Задача: С трех яблонь в саду собрали урожай. С первой яблони собрали 4,2 кг яблок, со второй — 4,5 кг, а с третьей — 4,8 кг. Найдите средний урожай, собранный с одной яблони.

Решение: Данное выражение $(4,2 + 4,5 + 4,8) : 3$ представляет собой нахождение среднего арифметического трех чисел. Чтобы решить задачу, нужно найти общий вес собранных яблок и разделить его на количество яблонь.

1. Сначала найдем общий вес яблок, собранных с трех яблонь:
   $4,2 + 4,5 + 4,8 = 13,5$ (кг)
2. Теперь разделим общий вес на количество яблонь (3), чтобы найти средний урожай с одного дерева:
   $13,5 : 3 = 4,5$ (кг)

Ответ: 4,5.

7.13 Развивай мышление. Определите закономерность и найдите следующее число в ряду:

а) 2; 4; 16; ?;

б) 5; 25; 125; ?;

в) 10; 5; 2,5; ?;

г) 0,1; 0,6; 3,6; ?

а) В данном ряду каждое следующее число является квадратом предыдущего. Второй член ряда $4$ - это квадрат первого члена $2$ ($2^2=4$). Третий член ряда $16$ - это квадрат второго члена $4$ ($4^2=16$). Следовательно, чтобы найти следующий член ряда, необходимо возвести в квадрат число $16$.
$16^2 = 16 \cdot 16 = 256$.
Ответ: 256.

б) В этом ряду каждое следующее число получается умножением предыдущего на $5$. Это геометрическая прогрессия.
$5 \cdot 5 = 25$
$25 \cdot 5 = 125$
Чтобы найти следующее число, нужно умножить $125$ на $5$.
$125 \cdot 5 = 625$.
Также можно заметить, что это ряд степеней числа 5: $5^1, 5^2, 5^3, ...$ . Следующим числом будет $5^4=625$.
Ответ: 625.

в) В этом ряду каждое следующее число получается делением предыдущего на $2$.
$10 \div 2 = 5$
$5 \div 2 = 2,5$
Чтобы найти следующее число, нужно разделить $2,5$ на $2$.
$2,5 \div 2 = 1,25$.
Ответ: 1,25.

г) В данном ряду каждое следующее число получается умножением предыдущего на $6$.
$0,1 \cdot 6 = 0,6$
$0,6 \cdot 6 = 3,6$
Чтобы найти следующее число, нужно умножить $3,6$ на $6$.
$3,6 \cdot 6 = 21,6$.
Ответ: 21,6.

7.14 Витя начал читать ту же книгу, что и Дима, когда Дима прочитал уже 132 страницы, и догнал его через 3 дня. Сколько страниц в день читал Витя, если Дима читал в 3 раза меньше страниц в день, чем Витя?

Пусть x страниц в день читал Дима, тогда Витя читал 3x страниц в день.

До того как Витя начал читать книгу, Дима прочитал 132 страницы, а за 3 дня ещё 3x страницы.

Значит, всего Дима прочитал 132 + 3x страницы.

Витя же за 3 дня прочитал $3x·3 = 9x$ страниц.

Зная, что мальчики прочитали одно и то же количество страниц, составим и решим уравнение.

1) $9x = 132 + 3x$

$9x - 3x = 132$

$(9 - 3)x = 132$

$6x = 132$

$x = 132 : 6$

 -132|6 12 |22 --- -12 12 --- 0

$x = 22$

22 страницы в день читал Дима

2) $22·3 = 66$ (стр.) в день читал Витя

Ответ: 66 страниц.

Для решения этой задачи удобно использовать метод, основанный на скорости сближения. Когда один объект догоняет другой, разница в их скоростях показывает, на сколько сокращается расстояние между ними за единицу времени. В нашем случае «расстояние» — это разница в прочитанных страницах, а «скорость» — количество страниц, читаемых в день.

1. Определим скорости чтения.

Пусть $x$ — это количество страниц, которое читает в день Дима. Согласно условию, Витя читает в 3 раза больше, следовательно, его скорость чтения составляет $3x$ страниц в день.

2. Найдем скорость сближения.

Скорость, с которой Витя «догоняет» Диму, равна разнице их скоростей чтения:

$v_{сближения} = (\text{скорость Вити}) - (\text{скорость Димы}) = 3x - x = 2x$ страниц в день.

Это означает, что каждый день Витя прочитывает на $2x$ страниц больше, чем Дима, сокращая отставание именно на эту величину.

3. Составим и решим уравнение.

В самом начале разница между ними составляла 132 страницы. Вите потребовалось 3 дня, чтобы полностью ее сократить. Общее сокращение отставания за 3 дня можно вычислить, умножив скорость сближения на время:

$(\text{скорость сближения}) \cdot (\text{время}) = (\text{начальное отставание})$

$(2x) \cdot 3 = 132$

$6x = 132$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 6:

$x = \frac{132}{6}$

$x = 22$

Таким образом, Дима читает 22 страницы в день.

4. Найдем, сколько страниц читал Витя.

Вопрос задачи — найти скорость чтения Вити. Мы знаем, что она в 3 раза больше скорости Димы:

$3x = 3 \cdot 22 = 66$

Итак, Витя читал 66 страниц в день.

Ответ: Витя читал 66 страниц в день.

7.15 Для покрытия лаком пола в двух комнатах общей площадью 38,5 м² ушло 13,09 л лака. Сколько литров лака ушло на покрытие лаком пола в каждой комнате, если площадь первой комнаты на 6,5 м² больше, чем площадь второй, а расход лака одинаковый?

Для решения задачи необходимо последовательно найти площадь каждой комнаты, затем расход лака на 1 м? и, наконец, количество лака, израсходованное на каждую комнату.

1. Нахождение площади каждой комнаты

Пусть $x$ — площадь второй комнаты в м?. Тогда, по условию задачи, площадь первой комнаты равна $(x + 6,5)$ м?. Общая площадь двух комнат составляет 38,5 м?. Мы можем составить уравнение:

$x + (x + 6,5) = 38,5$

Решим это уравнение:

$2x + 6,5 = 38,5$

$2x = 38,5 - 6,5$

$2x = 32$

$x = \frac{32}{2} = 16$

Таким образом, площадь второй комнаты составляет 16 м?.

Теперь найдем площадь первой комнаты:

$16 + 6,5 = 22,5$ м?.

2. Нахождение расхода лака на 1 м?

На общую площадь 38,5 м? ушло 13,09 л лака. Поскольку расход лака одинаков, мы можем рассчитать, сколько литров лака уходит на один квадратный метр:

Расход на 1 м? = $\frac{\text{Общий объем лака}}{\text{Общая площадь}} = \frac{13,09}{38,5} = 0,34$ л/м?.

3. Расчет количества лака для каждой комнаты

Теперь, зная расход лака и площадь каждой комнаты, вычислим объем лака, который потребовался для каждой из них.

Для первой комнаты (площадью 22,5 м?):

$22,5 \text{ м}^2 \times 0,34 \text{ л/м}^2 = 7,65$ л.

Для второй комнаты (площадью 16 м?):

$16 \text{ м}^2 \times 0,34 \text{ л/м}^2 = 5,44$ л.

Проверим сумму: $7,65 \text{ л} + 5,44 \text{ л} = 13,09 \text{ л}$, что соответствует общему количеству израсходованного лака.

Ответ: на покрытие пола в первой комнате ушло 7,65 л лака, а во второй комнате — 5,44 л лака.

7.16 Запишите в виде равенства предложение:

а) 9,14 на 6b меньше а;

б) сумма t и 5,32 в 3 раза больше их произведения;

в) удвоенное с на 7,16 меньше с.

а) Чтобы записать предложение «9,14 на 6b меньше a» в виде равенства, необходимо понять, какая величина является большей, а какая — меньшей. Фраза «на X меньше Y» означает, что если из большей величины (Y) вычесть разницу (X), то получится меньшая величина. В данном случае, $a$ — это большая величина, а $9,14$ — меньшая. Разница между ними составляет $6b$.

Следовательно, мы можем записать это как:

$a - 6b = 9,14$

Это равенство можно также представить в виде $a = 9,14 + 6b$, что означает, что бoльшая величина $a$ равна меньшей величине $9,14$, увеличенной на их разницу $6b$.

Ответ: $a - 6b = 9,14$

б) Проанализируем предложение «сумма t и 5,32 в 3 раза больше их произведения».

1. Находим сумму чисел $t$ и $5,32$. Она равна $t + 5,32$.

2. Находим произведение этих чисел. Оно равно $t \cdot 5,32$ или $5,32t$.

3. Условие «в 3 раза больше» означает, что сумма равна произведению, умноженному на 3. Запишем это в виде равенства:

$(t + 5,32) = 3 \cdot (5,32t)$

Выполним умножение в правой части равенства:

$t + 5,32 = 15,96t$

Ответ: $t + 5,32 = 15,96t$

в) Рассмотрим предложение «удвоенное c на 7,16 меньше c».

1. «Удвоенное c» математически записывается как $2c$.

2. Фраза «на 7,16 меньше c» означает, что $2c$ является результатом вычитания $7,16$ из $c$. То есть, $c$ — это бoльшая величина, а $2c$ — меньшая.

Составим равенство, где меньшая величина равна большей, из которой вычли разницу:

$2c = c - 7,16$

Также можно записать это как $c - 2c = 7,16$, что показывает, что разница между большей и меньшей величиной равна $7,16$.

Ответ: $2c = c - 7,16$

7.17 В 2020 г. состоялся первый БумБатл, в котором школы соревновались в сборе макулатуры. Около 400 000 школьников собрали 600 т макулатуры. Расчёты показывают, что они сохранили 12 000 деревьев, или 120 га леса. 1 кг макулатуры экономит около 1 кВт электроэнергии, 0,02 м³ воды и уменьшает выброс углекислого газа в атмосферу на 0,0017 т. Посчитайте:

а) сколько школьники сэкономили киловатт электроэнергии;

б) сколько школьники сэкономили кубометров воды;

в) на сколько тонн сократили выброс углекислого газа в атмосферу.

Для решения задачи сначала переведем общую массу собранной макулатуры из тонн в килограммы, зная, что в одной тонне содержится 1000 килограммов.

Общая масса макулатуры в кг: $600 \text{ т} = 600 \times 1000 \text{ кг} = 600 \, 000 \text{ кг}$.

Теперь, используя эту величину, ответим на каждый из вопросов.

а) сколько школьники сэкономили киловатт электроэнергии;

Из условия известно, что переработка 1 кг макулатуры экономит 1 кВт·ч электроэнергии. Чтобы найти общую экономию электроэнергии, умножим это значение на общую массу собранной макулатуры в килограммах.

Экономия электроэнергии = $600 \, 000 \text{ кг} \times 1 \frac{\text{кВт·ч}}{\text{кг}} = 600 \, 000 \text{ кВт·ч}$.

Ответ: школьники сэкономили 600 000 кВт·ч электроэнергии.

б) сколько школьники сэкономили кубометров воды;

Согласно условию, 1 кг макулатуры экономит 0,02 м? воды. Чтобы рассчитать общую экономию воды, умножим это значение на общую массу макулатуры.

Экономия воды = $600 \, 000 \text{ кг} \times 0,02 \frac{\text{м}^3}{\text{кг}} = 12 \, 000 \text{ м}^3$.

Ответ: школьники сэкономили 12 000 м? воды.

в) на сколько тонн сократили выброс углекислого газа в атмосферу.

По условию, 1 кг макулатуры уменьшает выброс углекислого газа на 0,0017 т. Для нахождения общего сокращения выбросов, умножим эту величину на общую массу макулатуры в килограммах.

Сокращение выбросов = $600 \, 000 \text{ кг} \times 0,0017 \frac{\text{т}}{\text{кг}} = 1020 \text{ т}$.

Ответ: школьники сократили выброс углекислого газа в атмосферу на 1020 т.