Страница 141, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1 Сторона каждой клетки на рисунке 4.11 равна 1см. Найдите площадь каждой фигуры и заполните таблицу.

Для нахождения площади фигур на клетчатой бумаге, будем считать, что площадь одной клетки равна $1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$. Площадь фигур, состоящих из целых клеток, равна количеству этих клеток. Для фигур с треугольными частями будем использовать формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота.

Фигура 1

Фигура 1 является прямоугольником, который состоит из 3 полных клеток. Его стороны равны 3 см и 1 см.
Площадь можно рассчитать по формуле $S = a \cdot b$:
$S_1 = 3 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 3 \text{ см}^2$.
Ответ: 3 см?.

Фигура 2

Фигура 2 является прямоугольником, состоящим из 3 полных клеток. Его стороны равны 3 см и 1 см.
$S_2 = 3 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 3 \text{ см}^2$.
Ответ: 3 см?.

Фигура 3

Фигура 3 является прямоугольником, состоящим из 2 полных клеток. Его стороны равны 2 см и 1 см.
$S_3 = 2 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 2 \text{ см}^2$.
Ответ: 2 см?.

Фигура 4

Фигура 4 является квадратом со стороной 2 см. Она состоит из 4 полных клеток.
$S_4 = 2 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$.
Ответ: 4 см?.

Фигура 5

Фигура 5 состоит из квадрата $2 \times 2$ в основании и треугольника наверху.Площадь квадрата: $S_{\text{квадрата}} = 2 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$.Треугольник имеет основание 2 см и высоту 1 см. Его площадь: $S_{\text{треуг.}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$.Общая площадь: $S_5 = 4 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$.
Ответ: 5 см?.

Фигура 6

Фигура 6 (ракета) состоит из центрального прямоугольника, верхнего треугольника и двух боковых треугольников-стабилизаторов.Площадь прямоугольника ($2 \times 3$): $S_{\text{прямоуг.}} = 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.Площадь верхнего треугольника (основание 2 см, высота 2 см): $S_{\text{верх}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 2 \text{ см}^2$.Каждый боковой стабилизатор — это прямоугольный треугольник с катетами 1 см и 1 см. Площадь одного: $S_{\text{стабил.}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 0.5 \text{ см}^2$. Общая площадь двух стабилизаторов: $2 \cdot 0.5 \text{ см}^2 = 1 \text{ см}^2$.Общая площадь фигуры: $S_6 = 6 \text{ см}^2 + 2 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 = 9 \text{ см}^2$.
Ответ: 9 см?.

Фигура 7

Фигура 7 состоит из 5 полных клеток. Ее площадь можно найти простым подсчетом клеток.
$S_7 = 5 \cdot 1 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$.
Ответ: 5 см?.

Фигура 8

Фигуру 8 можно разбить на центральный прямоугольник размером $2 \times 1$ и три треугольника.Площадь прямоугольника: $S_{\text{прямоуг.}} = 2 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 2 \text{ см}^2$.Площадь верхнего треугольника (основание 2 см, высота 1 см): $S_{\text{верх}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$.По бокам от основания прямоугольника расположены два одинаковых прямоугольных треугольника с катетами 1 см. Площадь каждого: $\frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 0.5 \text{ см}^2$. Их общая площадь: $2 \cdot 0.5 \text{ см}^2 = 1 \text{ см}^2$.Общая площадь фигуры: $S_8 = 2 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 = 4 \text{ см}^2$.
Ответ: 4 см?.

Фигура 9

Фигура 9 является прямоугольником, состоящим из 5 полных клеток. Его стороны равны 5 см и 1 см.
$S_9 = 5 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 5 \text{ см}^2$.
Ответ: 5 см?.

Фигура 10

Фигура 10 состоит из 5 полных клеток. Ее площадь можно найти простым подсчетом клеток.
$S_{10} = 5 \cdot 1 \text{ см}^2 = 5 \text{ см}^2$.
Ответ: 5 см?.

Заполненная таблица:

2 Запишите номера равновеликих фигур.

1, 3 и 8; 2, 5 и 10; 6, 7 и 9 - равновеликие фигуры

Равновеликие фигуры — это фигуры, имеющие одинаковую площадь. Чтобы найти номера равновеликих фигур, необходимо вычислить площадь каждой из них и сравнить полученные значения.

Поскольку в задании не предоставлены сами фигуры, для демонстрации метода решения воспользуемся гипотетическим примером. Допустим, нам даны следующие четыре фигуры, изображенные на клетчатой бумаге (где площадь одной клетки условно равна 1 квадратной единице).

1. Прямоугольник со сторонами 2 и 6 единиц.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его сторон.
Для данной фигуры: $S_1 = 2 \cdot 6 = 12$ квадратных единиц.

2. Квадрат со стороной 3 единицы.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны.
Для данной фигуры: $S_2 = 3^2 = 9$ квадратных единиц.

3. Прямоугольный треугольник с катетами 4 и 6 единиц.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$.
Для данной фигуры: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = \frac{24}{2} = 12$ квадратных единиц.

4. Фигура, составленная из 12 целых клеток.

Площадь такой фигуры можно найти прямым подсчетом количества единичных клеток, из которых она состоит.
Для данной фигуры: $S_4 = 12$ квадратных единиц.

Теперь сравним вычисленные площади всех фигур:

$S_1 = 12$ кв. ед.

$S_2 = 9$ кв. ед.

$S_3 = 12$ кв. ед.

$S_4 = 12$ кв. ед.

Мы видим, что площади фигур 1, 3 и 4 равны между собой. Следовательно, эти фигуры являются равновеликими.

Ответ: 1, 3, 4.

6.359 Выполните деление:

a) $19,44 : 7,2 = 194,4 : 72 = 2,7\begin{array}{llll}-& 194,4& \text{│}& 72\\ & 144& \text{│}& 2,7\\ & \text{─────}& \text{│}& \text{───}\\ & 504& & \\ -& 504& & \\ & \text{───}& & \\ & 0& & \end{array}$

б) $1,972 : 5,8 = 19,72 : 58 = 0,34\begin{array}{llll}-& 19,72& \text{│}& 58\\ & 0& \text{│}& 0,34\\ & \text{─}& \text{│}& \text{────}\\ & 197& & \\ -& 174& & \\ & \text{───}& & \\ & 232& & \\ -& 232& & \\ & \text{───}& & \\ & 0& & \end{array}$

в) $41,666 : 8,3 = 416,66 : 83 = 5,02\begin{array}{llll}-& 416,66& \text{│}& 83\\ & 415& \text{│}& 5,02\\ & \text{─────}& \text{│}& \text{────}\\ & 16& & \\ & 0& & \\ & \text{─}& & \\ & 166& & \\ -& 166& & \\ & \text{───}& & \\ & 0& & \end{array}$

г) $1,8315 : 4,5 = 18,315 : 45 = 0,407\begin{array}{llll}-& 18,315& \text{│}& 45\\ & 0& \text{│}& 0,407\\ & \text{─}& \text{│}& \text{─────}\\ & 183& & \\ -& 180& & \\ & \text{───}& & \\ & 31& & \\ & 0& & \\ & \text{─}& & \\ & 315& & \\ -& 315& & \\ & \text{───}& & \\ & 0& & \end{array}$

д) $213,9 : 9,3 = 2139 : 93 = 23\begin{array}{llll}-& 2139& \text{│}& 93\\ & 186& \text{│}& 23\\ & \text{────}& \text{│}& \text{───}\\ & 279& & \\ -& 279& & \\ & \text{───}& & \\ & 0& & \end{array}$

е) $0,0825 : 0,33 = 8,25 : 33 = 0,25\begin{array}{llll}-& 8,25& \text{│}& 33\\ & 0& \text{│}& 0,25\\ & \text{─}& \text{│}& \text{────}\\ & 82& & \\ -& 66& & \\ & \text{──}& & \\ & 165& & \\ -& 165& & \\ & \text{───}& & \\ & 0& & \end{array}$

ж) $0,03472 : 0,028 = 34,72 : 28 = 1,24\begin{array}{llll}-& 34,72& \text{│}& 28\\ & 28& \text{│}& 1,24\\ & \text{────}& \text{│}& \text{────}\\ & 67& & \\ -& 56& & \\ & \text{──}& & \\ & 112& & \\ -& 112& & \\ & \text{───}& & \\ & 0& & \end{array}$

з) $15,39 : 4,05 = 1539 : 405 = 3,8\begin{array}{llll}-& 1539,0& \text{│}& 405\\ & 1215& \text{│}& 3,8\\ & \text{──────}& \text{│}& \text{───}\\ & 3240& & \\ -& 3240& & \\ & \text{────}& & \\ & 0& & \end{array}$

и) $86,496 : 21,2 = 864,96 : 212 = 4,08\begin{array}{llll}-& 864,96& \text{│}& 212\\ & 848& \text{│}& 4,08\\ & \text{──────}& \text{│}& \text{─────}\\ & 169& & \\ & 0& & \\ & \text{─}& & \\ & 1696& & \\ -& 1696& & \\ & \text{────}& & \\ & 0& & \end{array}$

а) Чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно перенести запятую в делителе и делимом на столько знаков вправо, чтобы делитель стал целым числом.
В примере $19,44 : 7,2$ перенесем запятую на один знак вправо. Получим $194,4 : 72$.
Выполним деление столбиком:
$194,4 \div 72 = 2,7$.
$194$ делим на $72$, получаем $2$. $72 \cdot 2 = 144$. Остаток $194 - 144 = 50$.
Сносим $4$ после запятой, в частном тоже ставим запятую. Делим $504$ на $72$, получаем $7$. $72 \cdot 7 = 504$. Остаток $0$.
Ответ: 2,7

б) В примере $1,972 : 5,8$ перенесем запятую на один знак вправо. Получим $19,72 : 58$.
Выполним деление:
$19,72 \div 58 = 0,34$.
$19$ меньше $58$, поэтому в частном пишем $0$ и ставим запятую.
Делим $197$ на $58$, получаем $3$. $58 \cdot 3 = 174$. Остаток $197 - 174 = 23$.
Сносим $2$. Делим $232$ на $58$, получаем $4$. $58 \cdot 4 = 232$. Остаток $0$.
Ответ: 0,34

в) В примере $41,666 : 8,3$ перенесем запятую на один знак вправо. Получим $416,66 : 83$.
Выполним деление:
$416,66 \div 83 = 5,02$.
Делим $416$ на $83$, получаем $5$. $83 \cdot 5 = 415$. Остаток $416 - 415 = 1$.
Ставим в частном запятую. Сносим $6$. $16$ меньше $83$, поэтому в частном пишем $0$.
Сносим следующую $6$. Делим $166$ на $83$, получаем $2$. $83 \cdot 2 = 166$. Остаток $0$.
Ответ: 5,02

г) В примере $1,8315 : 4,5$ перенесем запятую на один знак вправо. Получим $18,315 : 45$.
Выполним деление:
$18,315 \div 45 = 0,407$.
$18$ меньше $45$, поэтому в частном пишем $0$ и ставим запятую.
Делим $183$ на $45$, получаем $4$. $45 \cdot 4 = 180$. Остаток $183 - 180 = 3$.
Сносим $1$. $31$ меньше $45$, поэтому в частном пишем $0$.
Сносим $5$. Делим $315$ на $45$, получаем $7$. $45 \cdot 7 = 315$. Остаток $0$.
Ответ: 0,407

д) В примере $213,9 : 9,3$ перенесем запятую на один знак вправо. Получим $2139 : 93$.
Выполним деление:
$2139 \div 93 = 23$.
Делим $213$ на $93$, получаем $2$. $93 \cdot 2 = 186$. Остаток $213 - 186 = 27$.
Сносим $9$. Делим $279$ на $93$, получаем $3$. $93 \cdot 3 = 279$. Остаток $0$.
Ответ: 23

е) В примере $0,0825 : 0,33$ перенесем запятую на два знака вправо. Получим $8,25 : 33$.
Выполним деление:
$8,25 \div 33 = 0,25$.
$8$ меньше $33$, поэтому в частном пишем $0$ и ставим запятую.
Делим $82$ на $33$, получаем $2$. $33 \cdot 2 = 66$. Остаток $82 - 66 = 16$.
Сносим $5$. Делим $165$ на $33$, получаем $5$. $33 \cdot 5 = 165$. Остаток $0$.
Ответ: 0,25

ж) В примере $0,03472 : 0,028$ перенесем запятую на три знака вправо. Получим $34,72 : 28$.
Выполним деление:
$34,72 \div 28 = 1,24$.
Делим $34$ на $28$, получаем $1$. $28 \cdot 1 = 28$. Остаток $34 - 28 = 6$.
Ставим в частном запятую. Сносим $7$. Делим $67$ на $28$, получаем $2$. $28 \cdot 2 = 56$. Остаток $67 - 56 = 11$.
Сносим $2$. Делим $112$ на $28$, получаем $4$. $28 \cdot 4 = 112$. Остаток $0$.
Ответ: 1,24

з) В примере $15,39 : 4,05$ перенесем запятую на два знака вправо. Получим $1539 : 405$.
Выполним деление:
$1539 \div 405 = 3,8$.
Делим $1539$ на $405$, получаем $3$. $405 \cdot 3 = 1215$. Остаток $1539 - 1215 = 324$.
Ставим в частном запятую и дописываем к остатку $0$. Делим $3240$ на $405$, получаем $8$. $405 \cdot 8 = 3240$. Остаток $0$.
Ответ: 3,8

и) В примере $86,496 : 21,2$ перенесем запятую на один знак вправо. Получим $864,96 : 212$.
Выполним деление:
$864,96 \div 212 = 4,08$.
Делим $864$ на $212$, получаем $4$. $212 \cdot 4 = 848$. Остаток $864 - 848 = 16$.
Ставим в частном запятую. Сносим $9$. $169$ меньше $212$, поэтому в частном пишем $0$.
Сносим $6$. Делим $1696$ на $212$, получаем $8$. $212 \cdot 8 = 1696$. Остаток $0$.
Ответ: 4,08

6.360 Путь от дома до школы равен 3,3 км. С какой скоростью должна ехать Марина на самокате, чтобы доехать до школы за 15 мин? Ответ дайте в километрах в час.

$\mathrm{3,3} : 15 = \mathrm{3,30} : 15 = \mathrm{0,22}(\mathrm{км}/\mathrm{мин})$ - скорость Маши

- 3,30 | 15 0 | 0,22- 33 30 --- 30- 30 --- 0

$1ч = 60\mathrm{мин}$; $1\mathrm{мин} = \frac{1}{60}ч$

$\mathrm{0,22}\mathrm{км}/\mathrm{мин} = \mathrm{0,22}\mathrm{км} : \frac{1}{60}ч = \mathrm{0,22} \cdot 60 = \mathrm{13,2}(\mathrm{км}/ч)$

 0,22× 60----- 13,20 = 13,2

Ответ: 13,2 км/ч

Для решения данной задачи необходимо найти скорость движения. Скорость ($v$) вычисляется по формуле: $v = S / t$, где $S$ — это пройденное расстояние, а $t$ — время, затраченное на этот путь.

В условии задачи даны следующие значения:
Расстояние от дома до школы: $S = 3,3$ км.
Время в пути: $t = 15$ мин.

Требуется найти скорость в километрах в час (км/ч). Для этого необходимо, чтобы единицы измерения расстояния и времени соответствовали требуемым единицам скорости. Расстояние уже дано в километрах, а время нужно перевести из минут в часы.

В одном часе 60 минут. Чтобы перевести 15 минут в часы, нужно разделить 15 на 60:
$t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0,25 \text{ ч}$.

Теперь, когда все величины приведены к нужным единицам, можно рассчитать скорость, подставив значения в формулу:
$v = \frac{S}{t} = \frac{3,3 \text{ км}}{0,25 \text{ ч}}$.

Для удобства вычисления можно представить десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби $1/4$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$v = \frac{3,3}{1/4} = 3,3 \times 4$.
$3,3 \times 4 = 13,2$.
Таким образом, скорость, с которой должна ехать Марина, составляет 13,2 км/ч.

Ответ: 13,2 км/ч.

6.361 Площадь участка, занятого под огород, равна 4,81 сотки. Найдите общую площадь огорода и сада, если площадь сада в 1,3 раза больше площади огорода.

Огород - 4,81 сотки

Сад - в 1,3 р. больше

Всего: ?

1) $4,81 · 1,3 = 6,253\text{(сотки)}$ - сад

$\begin{array}{r}\text{× 4,81}\\ \text{1,3}\\ \text{+ 1443}\\ \text{481}\\ \text{6,253}\end{array}$

2) $4,81 + 6,253 = 11,063\text{(сотки)}$

$\begin{array}{r}\text{+ 6,255}\\ \text{4,810}\\ \text{11,063}\end{array}$

Ответ: 11,063 сотки

Для решения данной задачи необходимо выполнить два основных действия: сначала найти площадь сада, а затем сложить ее с площадью огорода, чтобы получить общую площадь.

1. Находим площадь сада

Из условия известно, что площадь участка, занятого под огород, равна $4,81$ сотки. Площадь сада в $1,3$ раза больше площади огорода. Чтобы вычислить площадь сада, необходимо площадь огорода умножить на $1,3$.

Площадь сада = $4,81 \times 1,3 = 6,253$ сотки.

2. Находим общую площадь огорода и сада

Общая площадь представляет собой сумму площадей огорода и сада. Теперь, зная площади обоих участков, мы можем их сложить.

Общая площадь = Площадь огорода + Площадь сада

$4,81 + 6,253 = 11,063$ сотки.

Таким образом, общая площадь, занимаемая огородом и садом, составляет $11,063$ сотки.

Ответ: 11,063 сотки.

6.362 Практическая работа

Задание: посчитайте расходы на кипячение воды в чайнике средней мощности 2000 Вт за месяц, если на 10 кипячений воды тратится приблизительно 1,334 кВт∙ч электроэнергии.

Порядок работы:

1) Найдите расход электроэнергии на одно кипячение.

2) Умножьте результат шага 1 на стоимость 1 кВт∙ч (спросите у родителей), получите стоимость электроэнергии на одно кипячение.

3) Умножьте результат шага 2 на количество кипячений в день, получите стоимость расхода электроэнергии в день.

4) Умножьте результат шага 3 на 30 дней, получите примерную стоимость расхода электроэнергии в месяц.

1) $1,334 : 10 = 0,1334 : 10 = 0,1334\text{(кВт.ч)}$

Тратится на одно кипячение

2) $0,1334·4,125 = 0,550275\text{(р.)}$

$\begin{array}{r}0,1334\\ \underset{¯}{\times 4,125}\\ 6670\\ 2668\phantom{0}\\ 1334\phantom{00}\\ \underset{¯}{5336\phantom{000}}& 0,5502750 = 0,550275\end{array}$

стоимость одного кипячения

3) $0,550275·4 = 2,2011\text{(р.)}$

$\begin{array}{r}0,550275\\ \underset{¯}{\times 4}\\ 2,201100 = 2,2011\end{array}$

стоимость расхода электр. в день

4) $2,2011·30 = 66,033\text{(р.)}$

$\begin{array}{r}2,2011\\ \underset{¯}{\times 30}\\ 66,0330 = 66,033\end{array}$

примерная стоимость в месяц

Ответ: $\approx 66$ рублей.

Для выполнения расчетов необходимо сделать два допущения, так как эти данные в условии отсутствуют и должны быть определены самостоятельно:
1. Стоимость 1 кВт·ч электроэнергии. Возьмем для примера средний тариф, равный 5,50 рублей за 1 кВт·ч. (Вам следует уточнить актуальный тариф у родителей).
2. Количество кипячений в день. Предположим, что в среднем чайник кипятят 4 раза в день. (Это значение может отличаться для вашей семьи).

1) Найдите расход электроэнергии на одно кипячение.

Известно, что на 10 кипячений тратится 1,334 кВт·ч электроэнергии. Чтобы найти расход на одно кипячение, нужно общий расход энергии разделить на количество кипячений.
$W_{1} = \frac{1,334 \text{ кВт·ч}}{10} = 0,1334 \text{ кВт·ч}$
Ответ: Расход электроэнергии на одно кипячение составляет 0,1334 кВт·ч.

2) Умножьте результат шага 1 на стоимость 1 кВт·ч (спросите у родителей), получите стоимость электроэнергии на одно кипячение.

Используя принятый нами тариф 5,50 руб. за 1 кВт·ч, рассчитаем стоимость одного кипячения. Для этого умножим расход энергии на него на стоимость 1 кВт·ч.
$Стоимость_{1} = 0,1334 \text{ кВт·ч} \times 5,50 \frac{\text{руб}}{\text{кВт·ч}} = 0,7337 \text{ руб.}$
Таким образом, одно кипячение чайника обходится примерно в 73 копейки.
Ответ: При тарифе 5,50 руб/кВт·ч стоимость одного кипячения составляет 0,7337 руб.

3) Умножьте результат шага 2 на количество кипячений в день, получите стоимость расхода электроэнергии в день.

Исходя из нашего предположения, что чайник кипятят 4 раза в день, найдем суточные расходы. Для этого умножим стоимость одного кипячения на их количество за день.
$Стоимость_{день} = 0,7337 \frac{\text{руб.}}{\text{кипячение}} \times 4 \text{ кипячений} = 2,9348 \text{ руб.}$
Ответ: При 4 кипячениях в день стоимость расхода электроэнергии составит 2,9348 руб.

4) Умножьте результат шага 3 на 30 дней, получите примерную стоимость расхода электроэнергии в месяц.

Для расчета примерной стоимости за месяц (считаем, что в месяце 30 дней), умножим дневную стоимость на количество дней.
$Стоимость_{месяц} = 2,9348 \frac{\text{руб.}}{\text{день}} \times 30 \text{ дней} = 88,044 \text{ руб.}$
Округляя до копеек, получаем, что при заданных условиях месячные расходы на кипячение воды в чайнике составят 88 рублей 04 копейки. Стоит отметить, что указанная в задании мощность чайника (2000 Вт) не потребовалась для расчетов, так как расход энергии был дан напрямую.
Ответ: Примерная стоимость расхода электроэнергии в месяц составляет 88,04 руб.

6.363 Деревянная доска массой 5,25 кг имеет объём 10,5 дм³. Другая доска из этой же древесины имеет объём 6,14 дм³. Чему равна масса второй доски?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием плотности. Плотность вещества $\rho$ — это отношение массы тела $m$ к его объему $V$. Так как обе доски сделаны из одной и той же древесины, их плотности равны.

Обозначим массу и объем первой доски как $m_1$ и $V_1$, а второй — как $m_2$ и $V_2$.

Дано:

• $m_1 = 5,25 \text{ кг}$
• $V_1 = 10,5 \text{ дм}^3$
• $V_2 = 6,14 \text{ дм}^3$

Сначала найдем плотность древесины, используя данные для первой доски по формуле $\rho = \frac{m}{V}$:

$\rho = \frac{m_1}{V_1} = \frac{5,25 \text{ кг}}{10,5 \text{ дм}^3} = 0,5 \text{ кг/дм}^3$

Теперь, зная плотность древесины и объем второй доски, можем найти ее массу $m_2$ по формуле $m = \rho \cdot V$:

$m_2 = \rho \cdot V_2 = 0,5 \text{ кг/дм}^3 \cdot 6,14 \text{ дм}^3 = 3,07 \text{ кг}$

Эту задачу также можно решить, составив пропорцию, так как отношение массы к объему для обеих досок одинаково:

$\frac{m_1}{V_1} = \frac{m_2}{V_2}$

Отсюда выражаем искомую массу $m_2$:

$m_2 = \frac{m_1 \cdot V_2}{V_1} = \frac{5,25 \text{ кг} \cdot 6,14 \text{ дм}^3}{10,5 \text{ дм}^3} = 3,07 \text{ кг}$

Ответ: 3,07 кг.

6.364 Из бассейна вода откачивается двумя трубами. Первая труба пропускает 4,2 м³/ч, а вторая — на 0,6 м³/ч меньше. Через 2,8 ч первую трубу закрыли, а вторая продолжала работать, пока из бассейна не ушла вся вода. Сколько часов работала вторая труба, если в бассейне было 34,8 м³ воды?

1. Найдем производительность (скорость откачки) второй трубы.
По условию, производительность первой трубы равна $4{,}2 \text{ м}^3/\text{ч}$. Производительность второй трубы на $0{,}6 \text{ м}^3/\text{ч}$ меньше, чем у первой.
$4{,}2 - 0{,}6 = 3{,}6 \text{ м}^3/\text{ч}$.

2. Найдем общую производительность двух труб при совместной работе.
Когда обе трубы откачивают воду одновременно, их производительности складываются:
$4{,}2 + 3{,}6 = 7{,}8 \text{ м}^3/\text{ч}$.

3. Вычислим объем воды, откачанный за 2,8 часа совместной работы.
Обе трубы работали вместе $2{,}8$ часа. За это время они откачали:
$7{,}8 \text{ м}^3/\text{ч} \times 2{,}8 \text{ ч} = 21{,}84 \text{ м}^3$.

4. Определим, какой объем воды остался в бассейне.
Изначально в бассейне было $34{,}8 \text{ м}^3$ воды. После того как $21{,}84 \text{ м}^3$ откачали, в нем осталось:
$34{,}8 - 21{,}84 = 12{,}96 \text{ м}^3$.

5. Найдем, сколько времени вторая труба работала одна.
Оставшийся объем воды ($12{,}96 \text{ м}^3$) откачивала только вторая труба со своей производительностью $3{,}6 \text{ м}^3/\text{ч}$. Время, которое ей для этого потребовалось:
$\frac{12{,}96}{3{,}6} = 3{,}6 \text{ часа}$.

6. Найдем общее время работы второй трубы.
Вторая труба работала сначала вместе с первой ($2{,}8$ часа), а затем в одиночку ($3{,}6$ часа). Общее время ее работы равно сумме этих периодов:
$2{,}8 + 3{,}6 = 6{,}4 \text{ часа}$.

Ответ: 6,4 часа.

6.365 Найдите корень уравнения:

а) 2,442 : (6,8 - x) = 8,14;

б) 3,6 • (1,3 + y) = 7,56;

в) 0,3n + 1,6n - 0,31 = 0,45;

г) 8,3m - 4m - 1,8m + 4,25 = 8.

 244,2 | 814- 0 | -------- | 0,3 2442- 2442------ 0

 75,6 | 36- 72 | -------- | 2,1 36- 36------ 0

 2,1- 1,3----- 0,8

 7,6 | 19- 0 | ------- | 0,4 76- 76---- 0

 4,3- 1,8----- 2,5

 8,00- 4,25------ 3,75

 37,5 | 25- 25 | -------- | 1,5 125- 125------ 0

а) $2,442 : (6,8 - x) = 8,14$

В данном уравнении неизвестное $x$ является частью делителя. Чтобы найти делитель $(6,8 - x)$, необходимо разделить делимое $2,442$ на частное $8,14$.

$6,8 - x = 2,442 : 8,14$

$6,8 - x = 0,3$

Теперь мы имеем простое уравнение, где $x$ — вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого $6,8$ вычесть разность $0,3$.

$x = 6,8 - 0,3$

$x = 6,5$

Ответ: $6,5$

б) $3,6 \cdot (1,3 + y) = 7,56$

В этом уравнении неизвестное $y$ является частью одного из множителей. Чтобы найти этот множитель $(1,3 + y)$, нужно разделить произведение $7,56$ на известный множитель $3,6$.

$1,3 + y = 7,56 : 3,6$

$1,3 + y = 2,1$

Теперь, чтобы найти неизвестное слагаемое $y$, нужно из суммы $2,1$ вычесть известное слагаемое $1,3$.

$y = 2,1 - 1,3$

$y = 0,8$

Ответ: $0,8$

в) $0,3n + 1,6n - 0,31 = 0,45$

Сначала упростим уравнение, приведя подобные слагаемые с переменной $n$ в левой части.

$(0,3 + 1,6)n - 0,31 = 0,45$

$1,9n - 0,31 = 0,45$

Далее, перенесем свободный член $-0,31$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный.

$1,9n = 0,45 + 0,31$

$1,9n = 0,76$

Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $n$, то есть на $1,9$.

$n = 0,76 : 1,9$

$n = 0,4$

Ответ: $0,4$

г) $8,3m - 4m - 1,8m + 4,25 = 8$

Сначала упростим уравнение, приведя подобные слагаемые с переменной $m$ в левой части.

$(8,3 - 4 - 1,8)m + 4,25 = 8$

$(4,3 - 1,8)m + 4,25 = 8$

$2,5m + 4,25 = 8$

Далее, перенесем свободный член $4,25$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный.

$2,5m = 8 - 4,25$

$2,5m = 3,75$

Чтобы найти $m$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $m$, то есть на $2,5$.

$m = 3,75 : 2,5$

$m = 1,5$

Ответ: $1,5$

6.366 Из одного посёлка в противоположных направлениях отправились велосипедист и пешеход. Скорость пешехода в 3,5 раза меньше скорости велосипедиста. Найдите их скорости, если за 0,6 ч они удалились друг от друга на 11,61 км.

x км/ч

3,5x км/ч

П

В

за t=0,6ч 11,61 км

1) 11,61 : 0,6 = 116,1 : 6 = 19,35 (км/ч) - скорость удаления

- 116,10 | 6
6 | 19,35
---
56
- 54
---
21
- 18
---
30
- 30
---
0

2) Пусть x км/ч - скорость пешехода,
тогда (3,5x) км/ч - скорость велосипедиста.
Зная, что их общая скорость удаления
равна 19,35 км/ч, составим и решим
уравнение:

$x + \mathrm{3,5}x = \mathrm{19,35}$

$(1 + \mathrm{3,5})x = \mathrm{19,35}$

$\mathrm{4,5}x = \mathrm{19,35}$

$x = \mathrm{19,35} : \mathrm{4,5}$

$x = \mathrm{193,5} : 45$

- 193,5 | 45
180 | 4,3
----
13 5
- 13 5
----
0

$x = \mathrm{4,3}$

4,3 км/ч - скорость пешехода

3) $\mathrm{4,3} · \mathrm{3,5} = \mathrm{15,05}$ (км/ч) - скорость велосипедиста

x 4,3
3,5
-----
215
+ 129
-----
15,05

Ответ: 4,3 км/ч и 15,05 км/ч

Для решения задачи составим уравнение. Пусть скорость пешехода будет $x$ км/ч.

По условию, скорость пешехода в 3,5 раза меньше скорости велосипедиста. Это означает, что скорость велосипедиста в 3,5 раза больше скорости пешехода. Следовательно, скорость велосипедиста равна $3,5x$ км/ч.

Поскольку пешеход и велосипедист движутся в противоположных направлениях, их общая скорость удаления друг от друга равна сумме их скоростей: $v_{общая} = v_{пешехода} + v_{велосипедиста} = x + 3,5x = 4,5x$ км/ч.

Расстояние ($S$) вычисляется как произведение скорости ($v$) на время ($t$): $S = v \cdot t$.

Известно, что за время $t = 0,6$ ч они удалились друг от друга на расстояние $S = 11,61$ км. Подставим известные значения в формулу: $11,61 = (4,5x) \cdot 0,6$

Теперь решим это уравнение: $11,61 = 2,7x$ $x = \frac{11,61}{2,7}$ $x = 4,3$

Итак, мы нашли скорость пешехода: $x = 4,3$ км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста, умножив скорость пешехода на 3,5: $v_{велосипедиста} = 3,5 \cdot 4,3 = 15,05$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода составляет 4,3 км/ч, а скорость велосипедиста – 15,05 км/ч.

6.367 В карьере работали три самосвала: МАЗ, КамАЗ и БелАЗ. На МАЗ можно погрузить в 2,1 раза больше руды, чем на КамАЗ, а на КамАЗ — в 20,5 раза меньше, чем на БелАЗ. Чему равна грузоподъёмность каждого автомобиля, если за один раз они вместе вывозят 236т руды?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ тонн — грузоподъёмность КамАЗа, так как грузоподъёмности других самосвалов сравниваются с ней.

Согласно условию, грузоподъёмность МАЗа в 2,1 раза больше, чем у КамАЗа, следовательно, она равна $2,1 \cdot x$ тонн.

Также сказано, что КамАЗ вмещает в 20,5 раза меньше руды, чем БелАЗ. Это означает, что грузоподъёмность БелАЗа в 20,5 раза больше, чем у КамАЗа, и равна $20,5 \cdot x$ тонн.

Вместе три самосвала за один раз вывозят 236 тонн руды. Составим уравнение, сложив грузоподъёмности всех машин:

$x + 2,1x + 20,5x = 236$

Решим это уравнение. Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$:

$(1 + 2,1 + 20,5)x = 236$

$23,6x = 236$

Теперь найдём $x$:

$x = \frac{236}{23,6} = 10$

Таким образом, грузоподъёмность КамАЗа составляет 10 тонн. Теперь, зная $x$, вычислим грузоподъёмность остальных автомобилей.

Грузоподъёмность КамАЗа

Грузоподъёмность равна 10 тонн.

Грузоподъёмность МАЗа

Грузоподъёмность равна $2,1 \cdot 10 = 21$ тонна.

Грузоподъёмность БелАЗа

Грузоподъёмность равна $20,5 \cdot 10 = 205$ тонн.

Ответ: грузоподъёмность КамАЗа — 10 т, МАЗа — 21 т, БелАЗа — 205 т.

6.368 Найдите значение выражения:

а) $4,292 : (9 - 5,3) + 2,6 \cdot (1,89 + 1,51)$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь сложение и вычитание.

1. Выполним вычитание в первых скобках: $9 - 5,3 = 3,7$.

2. Выполним сложение во вторых скобках: $1,89 + 1,51 = 3,4$.

3. Теперь выражение выглядит так: $4,292 : 3,7 + 2,6 \cdot 3,4$.

4. Выполним деление: $4,292 : 3,7 = 1,16$.

5. Выполним умножение: $2,6 \cdot 3,4 = 8,84$.

6. Выполним сложение: $1,16 + 8,84 = 10$.

Ответ: $10$.

б) $(5,4 : 2,7 + 0,96 : 2,4) \cdot 2,4 + 0,046 : 1,15$

Порядок действий: сначала операции в скобках (деление, затем сложение), затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение.

1. Выполним действия в скобках:

- Деление: $5,4 : 2,7 = 2$.

- Деление: $0,96 : 2,4 = 0,4$.

- Сложение: $2 + 0,4 = 2,4$.

2. Теперь выражение выглядит так: $2,4 \cdot 2,4 + 0,046 : 1,15$.

3. Выполним умножение: $2,4 \cdot 2,4 = 5,76$.

4. Выполним деление: $0,046 : 1,15 = 0,04$.

5. Выполним сложение: $5,76 + 0,04 = 5,8$.

Ответ: $5,8$.

в) $(5,04 : 4,2 - 0,78 : 3,9) : 0,125 - 3,6$

Порядок действий: сначала операции в скобках (деление, затем вычитание), затем деление за скобками, и в конце вычитание.

1. Выполним действия в скобках:

- Деление: $5,04 : 4,2 = 1,2$.

- Деление: $0,78 : 3,9 = 0,2$.

- Вычитание: $1,2 - 0,2 = 1$.

2. Теперь выражение выглядит так: $1 : 0,125 - 3,6$.

3. Выполним деление. Заметим, что $0,125 = \frac{1}{8}$. Деление на $0,125$ эквивалентно умножению на $8$: $1 : 0,125 = 1 \cdot 8 = 8$.

4. Выполним вычитание: $8 - 3,6 = 4,4$.

Ответ: $4,4$.

г) $11,96 : 9,2 \cdot 1,8 - 0,42 \cdot 4,2 : 8,4$

В данном выражении нет скобок, поэтому сначала выполняем умножение и деление слева направо, а затем вычитание.

1. Выполним первую цепочку действий (умножение и деление): $11,96 : 9,2 \cdot 1,8$.

- Деление: $11,96 : 9,2 = 1,3$.

- Умножение: $1,3 \cdot 1,8 = 2,34$.

2. Выполним вторую цепочку действий: $0,42 \cdot 4,2 : 8,4$.

- Умножение: $0,42 \cdot 4,2 = 1,764$.

- Деление: $1,764 : 8,4 = 0,21$.

- Альтернативный способ для второй части: Заметим, что $8,4 = 4,2 \cdot 2$. Тогда выражение можно переписать как $0,42 \cdot 4,2 : (4,2 \cdot 2)$. Сократив $4,2$, получим $0,42 : 2 = 0,21$.

3. Теперь выполним вычитание: $2,34 - 0,21 = 2,13$.

Ответ: $2,13$.