Страница 139, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.61 Какое число получится, если:

а) наибольшее трёхзначное число умножить на 1000;

б) число, записанное двойкой с шестью последующими нулями, разделить на 1000?

а) Наибольшее трёхзначное число — это число, состоящее из трёх девяток, то есть 999. Чтобы умножить натуральное число на 1000, достаточно приписать к этому числу справа три нуля.
Выполним действие:
$999 \times 1000 = 999000$.
Таким образом, если наибольшее трёхзначное число умножить на 1000, получится 999 000 (девятьсот девяносто девять тысяч).
Ответ: 999 000.

б) Число, записанное двойкой с шестью последующими нулями, — это 2 000 000 (два миллиона). Чтобы разделить круглое число на 1000, достаточно отбросить (убрать) у него справа три нуля.
Выполним действие:
$2 000 000 \div 1000 = 2000$.
Таким образом, если число 2 000 000 разделить на 1000, получится 2000 (две тысячи).
Ответ: 2000.

4.62 Для некоторых троек чисел a, b, c выполняется равенство a² + b² = c², например 3² + 4² = 5². (Проверьте!) Обладают ли таким свойством тройки чисел:

а) 6, 8, 10;

б) 12, 13, 15? Найдите ещё одну такую тройку.

В задаче требуется проверить, выполняется ли для указанных троек чисел равенство $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — два меньших числа, а $c$ — наибольшее. Сначала проверим равенство для тройки из примера: 3, 4, 5.
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$5^2 = 25$
Равенство $25 = 25$ выполняется, значит, тройка (3, 4, 5) обладает данным свойством.

а) Проверим тройку чисел 6, 8, 10. Наибольшее число 10, значит, $c=10$. Проверяем равенство $6^2 + 8^2 = 10^2$.
Вычисляем левую часть: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
Вычисляем правую часть: $10^2 = 100$.
Поскольку $100 = 100$, равенство выполняется. Следовательно, тройка чисел 6, 8, 10 обладает указанным свойством.
Ответ: да, обладает.

б) Проверим тройку чисел 12, 13, 15. Наибольшее число 15, значит, $c=15$. Проверяем равенство $12^2 + 13^2 = 15^2$.
Вычисляем левую часть: $12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313$.
Вычисляем правую часть: $15^2 = 225$.
Поскольку $313 \neq 225$, равенство не выполняется. Следовательно, тройка чисел 12, 13, 15 не обладает указанным свойством.
Ответ: нет, не обладает.

Найдем еще одну тройку чисел, для которой выполняется данное свойство. Такие тройки называют пифагоровыми. Примером такой тройки является (5, 12, 13).
Проверим ее: $5^2 + 12^2 = 13^2$.
$25 + 144 = 169$.
$169 = 169$.
Равенство выполняется.
Ответ: например, тройка чисел 5, 12, 13.

4.63 За 1 ч в цистерну поступает n л воды, а d л воды поступит за t ч. Составьте формулу, выражающую d через t и n.

По условию задачи, за 1 час в цистерну поступает $n$ литров воды. Это является скоростью наполнения цистерны, которая равна $n$ литров в час.

Чтобы найти общее количество воды $d$ (в литрах), поступившее в цистерну за время $t$ (в часах), необходимо скорость наполнения умножить на время.

Таким образом, мы можем составить формулу, связывающую эти три величины:
$d = n \cdot t$

Ответ: $d = nt$

4.64 Цена 1 кг товара равна a, стоимость x кг этого товара равна c. Напишите формулу, выражающую x через c и a.

Стоимость товара ($c$) вычисляется как произведение цены за единицу товара ($a$) на количество этого товара ($x$). Это можно выразить основной формулой:

$c = a \cdot x$

Чтобы найти формулу, выражающую количество товара $x$ через общую стоимость $c$ и цену за килограмм $a$, необходимо преобразовать исходное уравнение. Для этого разделим обе части уравнения на $a$ (при условии, что цена $a$ не равна нулю).

$\frac{c}{a} = \frac{a \cdot x}{a}$

После сокращения $a$ в правой части уравнения, мы получаем искомую формулу:

$x = \frac{c}{a}$

Эта формула показывает, что для нахождения количества купленного товара нужно общую стоимость разделить на цену за один килограмм.

Ответ: $x = \frac{c}{a}$

6.342 Выполните умножение:

а) Чтобы умножить две десятичные дроби, нужно сначала перемножить их как целые числа, не обращая внимания на запятые. Затем в полученном произведении нужно отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Умножаем $1$ на $1$, получаем $1$.

В первом множителе ($0,1$) одна цифра после запятой. Во втором множителе ($0,1$) тоже одна цифра после запятой. Всего $1 + 1 = 2$ цифры после запятой.

Отделяем в произведении ($1$) две цифры справа, добавив нули: $0,01$.

$0,1 \cdot 0,1 = 0,01$.

Ответ: $0,01$.

б) Умножаем $1,5$ на $1,6$.

Перемножаем числа без учета запятой: $15 \cdot 16 = 240$.

В первом множителе ($1,5$) одна цифра после запятой, во втором ($1,6$) тоже одна. Всего $1 + 1 = 2$ цифры.

Отделяем в числе $240$ две цифры справа: $2,40$ или $2,4$.

$1,5 \cdot 1,6 = 2,4$.

Ответ: $2,4$.

в) Умножаем $0,4$ на $0,7$.

Перемножаем числа без учета запятой: $4 \cdot 7 = 28$.

В каждом множителе по одной цифре после запятой. Всего $1 + 1 = 2$ цифры.

Отделяем в числе $28$ две цифры справа: $0,28$.

$0,4 \cdot 0,7 = 0,28$.

Ответ: $0,28$.

г) Умножаем $0,6$ на $0,6$.

Перемножаем числа без учета запятой: $6 \cdot 6 = 36$.

В каждом множителе по одной цифре после запятой. Всего $1 + 1 = 2$ цифры.

Отделяем в числе $36$ две цифры справа: $0,36$.

$0,6 \cdot 0,6 = 0,36$.

Ответ: $0,36$.

д) Умножаем $0,09$ на $0,7$.

Перемножаем числа без учета запятой: $9 \cdot 7 = 63$.

В первом множителе ($0,09$) две цифры после запятой, во втором ($0,7$) одна. Всего $2 + 1 = 3$ цифры.

Отделяем в числе $63$ три цифры справа, добавив ноль: $0,063$.

$0,09 \cdot 0,7 = 0,063$.

Ответ: $0,063$.

е) Умножаем $0,01$ на $100$.

При умножении десятичной дроби на $10$, $100$, $1000$ и т.д., нужно перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей в множителе.

В числе $100$ два нуля, значит, переносим запятую в $0,01$ на два знака вправо. Получаем $1$.

$0,01 \cdot 100 = 1$.

Ответ: $1$.

ж) Умножаем $0,8$ на $0,0001$.

Перемножаем числа без учета запятой: $8 \cdot 1 = 8$.

В первом множителе ($0,8$) одна цифра после запятой, во втором ($0,0001$) четыре цифры. Всего $1 + 4 = 5$ цифр.

Отделяем в числе $8$ пять цифр справа, добавив нули: $0,00008$.

$0,8 \cdot 0,0001 = 0,00008$.

Ответ: $0,00008$.

з) Умножаем $100$ на $0,03$.

Переносим запятую в $0,03$ на два знака вправо, так как в $100$ два нуля. Получаем $3$.

$100 \cdot 0,03 = 3$.

Ответ: $3$.

и) Умножаем $0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2$.

Сначала умножим первые два множителя: $0,2 \cdot 0,2$.

$2 \cdot 2 = 4$. Суммарное количество знаков после запятой $1+1=2$. Получаем $0,04$.

Теперь результат умножим на третий множитель: $0,04 \cdot 0,2$.

$4 \cdot 2 = 8$. Суммарное количество знаков после запятой $2+1=3$. Получаем $0,008$.

$0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$.

Ответ: $0,008$.

6.343 Чему равно:

а) 0,3 числа 30;

б) 0,5 числа 22;

в) 0,1 числа 7,2;

г) 1,5 числа 30;

д) 0,43 числа 100;

е) 0,01 числа 1000?

а) Чтобы найти 0,3 от числа 30, нужно умножить число 30 на десятичную дробь 0,3. Выполним вычисление: $30 \times 0,3 = 9$. Ответ: 9.

б) Чтобы найти 0,5 от числа 22, нужно умножить число 22 на десятичную дробь 0,5. Это эквивалентно нахождению половины числа. Выполним вычисление: $22 \times 0,5 = 11$. Ответ: 11.

в) Чтобы найти 0,1 от числа 7,2, нужно умножить число 7,2 на десятичную дробь 0,1. Умножение на 0,1 сдвигает десятичную запятую на один знак влево. Выполним вычисление: $7,2 \times 0,1 = 0,72$. Ответ: 0,72.

г) Чтобы найти 1,5 от числа 30, нужно умножить число 30 на десятичную дробь 1,5. Выполним вычисление: $30 \times 1,5 = 45$. Ответ: 45.

д) Чтобы найти 0,43 от числа 100, нужно умножить число 100 на десятичную дробь 0,43. Умножение на 100 сдвигает десятичную запятую на два знака вправо. Выполним вычисление: $100 \times 0,43 = 43$. Ответ: 43.

е) Чтобы найти 0,01 от числа 1000, нужно умножить число 1000 на десятичную дробь 0,01. Умножение на 0,01 эквивалентно делению на 100. Выполним вычисление: $1000 \times 0,01 = 10$. Ответ: 10.

6.344 Найдите значение выражения 4391,95n при n = 10; 0,1; 0,01; 100; 0,001; 1000; 0,00001.

$\mathrm{4391,95}n$

при n = 10; $\mathrm{4391,95}·10 = \mathrm{43919,5}$

при n = 0,1; $\mathrm{4391,95}·\mathrm{0,1} = \mathrm{439,195}$

при n = 0,01; $\mathrm{4391,95}·\mathrm{0,01} = \mathrm{43,9195}$

при n = 100; $\mathrm{4391,95}·100 = 439195$

при n = 0,001; $\mathrm{4391,95}·\mathrm{0,001} = \mathrm{4,39195}$

при n = 1000; $\mathrm{4391,95}·1000 = \mathrm{4391,950}·1000 = 4391950$

при n = 0,00001; $\mathrm{4391,95}·\mathrm{0,00001} = \mathrm{004391,95}\times \mathrm{0,00001} = \mathrm{0,0439195}$

При n = 10

Чтобы найти значение выражения, подставим $n = 10$. При умножении десятичной дроби на 10, запятая переносится на один знак вправо.

$4391,95 \cdot 10 = 43919,5$

Ответ: 43919,5

При n = 0,1

Подставляем в выражение $n = 0,1$. При умножении десятичной дроби на 0,1, запятая переносится на один знак влево.

$4391,95 \cdot 0,1 = 439,195$

Ответ: 439,195

При n = 0,01

Подставляем $n = 0,01$. При умножении на 0,01 запятая переносится на два знака влево.

$4391,95 \cdot 0,01 = 43,9195$

Ответ: 43,9195

При n = 100

Подставляем $n = 100$. При умножении на 100 запятая переносится на два знака вправо.

$4391,95 \cdot 100 = 439195$

Ответ: 439195

При n = 0,001

Подставляем $n = 0,001$. При умножении на 0,001 запятая переносится на три знака влево.

$4391,95 \cdot 0,001 = 4,39195$

Ответ: 4,39195

При n = 1000

Подставляем $n = 1000$. При умножении на 1000 запятая переносится на три знака вправо.

$4391,95 \cdot 1000 = 4391950$

Ответ: 4391950

При n = 0,00001

Подставляем $n = 0,00001$. При умножении на 0,00001 запятая переносится на пять знаков влево.

$4391,95 \cdot 0,00001 = 0,0439195$

Ответ: 0,0439195

6.345 Подумайте, какие из чисел могут быть точными, какие — приближёнными:

а) в самолёте 114 пассажиров;

б) длина Волги 3500 км;

в) у куба 8 вершин;

г) в доме 9 этажей;

д) население России 150 млн человек;

е) площадь острова Сахалин 76,4 тыс. км²;

ж) в бутылке 1 л молока;

з) в электронной библиотеке 30 000 книг;

и) одна пядь равна 4 вершкам, а вершок равен 4,45 см.

Для решения этой задачи необходимо различать точные и приближённые числа.
Точные числа получаются в результате счёта дискретных объектов (например, людей, книг, этажей) или являются результатом математических определений (например, количество вершин у геометрической фигуры).
Приближённые числа получаются в результате измерений (длины, площади, объёма, веса), округлений или оценок величин, которые постоянно меняются (например, население).

а) Количество пассажиров в самолёте определяется путём точного подсчёта людей. Это целое число, которое не может быть дробным или неточным.
Ответ: Точное число.

б) Длина такой большой реки, как Волга, является результатом сложных измерений. Она может меняться со временем из-за изменения русла, и её точное значение до сантиметра определить практически невозможно. Число 3500 км является округлённым значением.
Ответ: Приближённое число.

в) Куб — это геометрическое тело, имеющее строгое математическое определение. По определению у куба ровно 8 вершин. Это точный математический факт, а не результат измерения.
Ответ: Точное число.

г) Количество этажей в доме можно точно сосчитать. Это дискретная, целочисленная величина.
Ответ: Точное число.

д) Население страны — это величина, которая постоянно изменяется (люди рождаются, умирают, переезжают). Поэтому любое указанное число является оценкой или результатом переписи на определённый момент времени и по своей сути является приближённым.
Ответ: Приближённое число.

е) Площадь географического объекта, такого как остров, определяется путём измерений и вычислений, которые всегда имеют некоторую погрешность. Береговая линия имеет сложную форму, что также вносит неточность в измерения. Значение 76,4 $тыс. км^2$ является результатом измерения и округления.
Ответ: Приближённое число.

ж) Объём, указанный на упаковке (1 л), является номинальным значением. Фактический объём молока в бутылке может незначительно отличаться от 1 литра из-за погрешностей при розливе на заводе. Следовательно, это приближённое значение.
Ответ: Приближённое число.

з) Количество книг в библиотеке, даже если оно велико, можно определить путём точного подсчёта. В любой конкретный момент времени это точное целое число.
Ответ: Точное число.

и) В этом утверждении два числа.
1. «одна пядь равна 4 вершкам» — это определение соотношения между двумя старинными единицами измерения. В рамках этой системы мер число 4 является точным.
2. «а вершок равен 4,45 см» — это перевод старинной единицы измерения, которая не имела строгого эталона, в современную метрическую систему. Это значение является узаконенным, но по своей природе приближённым, так как оно стандартизирует исторически неточную меру.
Ответ: Число 4 — точное, число 4,45 — приближённое.

6.346 Найдите четыре значения n, при которых неравенство будет верным:

а) 4,3 < n < 4,7;

б) 5,5 < n < 5,7;

в) 0,003 < n < 0,004;

г) 0,07 < n < 0,071.

а) $4,3<n<4,7$

$4,30<n<4,70$

$n = 4,4; 4,5; 4,6; 4,65$

б) $5,5<n<5,7$

$5,50<n<5,70$

$n = 5,55; 5,6; 5,63; 5,69$

в) $0,003<n<0,004$

$0,0030<n<0,0040$

$n = 0,0032; 0,0035; 0,0037;$

$0,0039$

г) $0,07<n<0,071$

$0,0700<n<0,0710$

$n = 0,0701; 0,0703; 0,0705;$

$0,0708$

а) Для того чтобы найти четыре значения n, удовлетворяющих неравенству $4,3 < n < 4,7$, нужно выбрать числа, которые больше 4,3 и меньше 4,7. Мы можем выбрать числа, добавив к 4,3 сотые или тысячные доли, так чтобы результат оставался меньше 4,7. Например, подойдут следующие четыре числа: 4,31, 4,4, 4,5 и 4,6. Проверим их:
$4,3 < 4,31 < 4,7$
$4,3 < 4,4 < 4,7$
$4,3 < 4,5 < 4,7$
$4,3 < 4,6 < 4,7$
Все неравенства верны.
Ответ: 4,31; 4,4; 4,5; 4,6.

б) В неравенстве $5,5 < n < 5,7$ искомые значения n должны находиться между 5,5 и 5,7. Мы можем выбрать числа, которые больше 5,5, но меньше 5,7, например, добавив сотые доли к 5,5. Возьмем следующие четыре значения: 5,51, 5,55, 5,6, 5,65.
$5,5 < 5,51 < 5,7$
$5,5 < 5,55 < 5,7$
$5,5 < 5,6 < 5,7$
$5,5 < 5,65 < 5,7$
Все неравенства верны.
Ответ: 5,51; 5,55; 5,6; 5,65.

в) Рассмотрим неравенство $0,003 < n < 0,004$. Чтобы легче было найти числа между 0,003 и 0,004, представим их с большим количеством знаков после запятой, добавив нули. Неравенство можно записать как $0,0030 < n < 0,0040$. Теперь очевидно, что между этими числами есть множество других. Выберем четыре из них: 0,0031, 0,0032, 0,0035, 0,0039.
$0,0030 < 0,0031 < 0,0040$
$0,0030 < 0,0032 < 0,0040$
$0,0030 < 0,0035 < 0,0040$
$0,0030 < 0,0039 < 0,0040$
Все неравенства верны.
Ответ: 0,0031; 0,0032; 0,0035; 0,0039.

г) В неравенстве $0,07 < n < 0,071$ поступим аналогично предыдущему пункту. Представим граничные значения с большим количеством десятичных знаков. Запишем 0,07 как 0,0700, а 0,071 как 0,0710. Неравенство примет вид $0,0700 < n < 0,0710$. Из этого интервала можно выбрать, например, следующие четыре числа: 0,0701, 0,0704, 0,0706, 0,0709.
$0,0700 < 0,0701 < 0,0710$
$0,0700 < 0,0704 < 0,0710$
$0,0700 < 0,0706 < 0,0710$
$0,0700 < 0,0709 < 0,0710$
Все неравенства верны.
Ответ: 0,0701; 0,0704; 0,0706; 0,0709.

6.347 Сравните, не вычисляя, значения выражений:

Объясните полученный ответ.

а) Сравним выражения $78 \cdot 0,16$ и $(78 \cdot 16) : 100$.

Чтобы сравнить эти выражения, не выполняя вычислений, преобразуем одно из них. Давайте преобразуем первое выражение $78 \cdot 0,16$.

Представим десятичную дробь $0,16$ в виде обыкновенной дроби. Поскольку после запятой стоят две цифры, знаменатель будет $100$:

$0,16 = \frac{16}{100}$

Теперь заменим десятичную дробь в исходном выражении на полученную обыкновенную:

$78 \cdot 0,16 = 78 \cdot \frac{16}{100}$

По правилу умножения числа на дробь, мы умножаем число на числитель дроби, а знаменатель оставляем прежним:

$78 \cdot \frac{16}{100} = \frac{78 \cdot 16}{100}$

Дробная черта является знаком деления, поэтому полученное выражение можно записать с помощью знака двоеточия:

$\frac{78 \cdot 16}{100} = (78 \cdot 16) : 100$

Таким образом, мы преобразовали первое выражение и получили второе. Это означает, что значения выражений равны.

Ответ: $78 \cdot 0,16 = (78 \cdot 16) : 100$.

б) Сравним выражения $0,037 \cdot 0,3$ и $(37 \cdot 3) : 10 000$.

Преобразуем первое выражение, используя тот же подход, что и в пункте а).

Представим обе десятичные дроби в виде обыкновенных:

$0,037 = \frac{37}{1000}$ (три знака после запятой, поэтому в знаменателе $1000$).

$0,3 = \frac{3}{10}$ (один знак после запятой, поэтому в знаменателе $10$).

Теперь перемножим полученные обыкновенные дроби:

$0,037 \cdot 0,3 = \frac{37}{1000} \cdot \frac{3}{10}$

По правилу умножения дробей, мы перемножаем их числители и знаменатели:

$\frac{37}{1000} \cdot \frac{3}{10} = \frac{37 \cdot 3}{1000 \cdot 10} = \frac{37 \cdot 3}{10000}$

Запишем полученную дробь с помощью знака деления:

$\frac{37 \cdot 3}{10000} = (37 \cdot 3) : 10 000$

Мы видим, что первое выражение равно второму. Это также следует из правила умножения десятичных дробей: чтобы перемножить $0,037$ и $0,3$, нужно перемножить $37$ и $3$, а затем в результате отделить запятой $3+1=4$ знака, что равносильно делению на $10000$.

Ответ: $0,037 \cdot 0,3 = (37 \cdot 3) : 10 000$.

6.348 Округлите числа.

Чтобы округлить число, нужно посмотреть на цифру, следующую за разрядом, до которого мы округляем. Если эта цифра 5 или больше, то цифра в разряде округления увеличивается на 1. Если она меньше 5, то цифра в разряде округления остается без изменений. Все последующие цифры после разряда округления отбрасываются.

До целых

При округлении до целых мы смотрим на цифру в разряде десятых (первая цифра после запятой).
- Для числа 95,359: первая цифра после запятой – 3. Так как $3 < 5$, целую часть оставляем без изменений. $95,359 \approx 95$.
- Для числа 8,735: первая цифра после запятой – 7. Так как $7 \geq 5$, целую часть (8) увеличиваем на 1. $8,735 \approx 9$.
- Для числа 8,0927: первая цифра после запятой – 0. Так как $0 < 5$, целую часть оставляем без изменений. $8,0927 \approx 8$.
- Для числа 24,5682: первая цифра после запятой – 5. Так как $5 \geq 5$, целую часть (24) увеличиваем на 1. $24,5682 \approx 25$.
Ответ: 95; 9; 8; 25.

До десятых

При округлении до десятых мы смотрим на цифру в разряде сотых (вторая цифра после запятой).
- Для числа 95,359: вторая цифра после запятой – 5. Так как $5 \geq 5$, цифру в разряде десятых (3) увеличиваем на 1. $95,359 \approx 95,4$.
- Для числа 8,735: вторая цифра после запятой – 3. Так как $3 < 5$, цифру в разряде десятых (7) оставляем без изменений. $8,735 \approx 8,7$.
- Для числа 8,0927: вторая цифра после запятой – 9. Так как $9 \geq 5$, цифру в разряде десятых (0) увеличиваем на 1. $8,0927 \approx 8,1$.
- Для числа 24,5682: вторая цифра после запятой – 6. Так как $6 \geq 5$, цифру в разряде десятых (5) увеличиваем на 1. $24,5682 \approx 24,6$.
Ответ: 95,4; 8,7; 8,1; 24,6.

До сотых

При округлении до сотых мы смотрим на цифру в разряде тысячных (третья цифра после запятой).
- Для числа 95,359: третья цифра после запятой – 9. Так как $9 \geq 5$, цифру в разряде сотых (5) увеличиваем на 1. $95,359 \approx 95,36$.
- Для числа 8,735: третья цифра после запятой – 5. Так как $5 \geq 5$, цифру в разряде сотых (3) увеличиваем на 1. $8,735 \approx 8,74$.
- Для числа 8,0927: третья цифра после запятой – 2. Так как $2 < 5$, цифру в разряде сотых (9) оставляем без изменений. $8,0927 \approx 8,09$.
- Для числа 24,5682: третья цифра после запятой – 8. Так как $8 \geq 5$, цифру в разряде сотых (6) увеличиваем на 1. $24,5682 \approx 24,57$.
Ответ: 95,36; 8,74; 8,09; 24,57.

6.349 Найдите частное:

а)

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую в этой дроби влево на один знак.

$33,5 : 10 = 3,35$
Ответ: 3,35

$47,8 : 10 = 4,78$
Ответ: 4,78

$5,16 : 10 = 0,516$
Ответ: 0,516

$7,3 : 10 = 0,73$
Ответ: 0,73

б)

Чтобы разделить число на 100, необходимо перенести запятую в этом числе влево на два знака. Если цифр не хватает, слева дописываются нули.

$603 : 100 = 6,03$
Ответ: 6,03

$36,7 : 100 = 0,367$
Ответ: 0,367

$4,7 : 100 = 0,047$
Ответ: 0,047

$0,5 : 100 = 0,005$
Ответ: 0,005

$0,07 : 100 = 0,0007$
Ответ: 0,0007

в)

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется "уголком". Запятую в частном ставят, когда заканчивается деление целой части делимого.

Решение для $167,3 : 14$:
1. Делим целую часть $167$ на $14$. Получаем $11$. Остаток $167 - 14 \cdot 11 = 167 - 154 = 13$.
2. Так как целая часть делимого закончилась, в частном ставим запятую.
3. К остатку $13$ сносим следующую цифру $3$. Делим $133$ на $14$. Получаем $9$. Остаток $133 - 14 \cdot 9 = 133 - 126 = 7$.
4. К остатку $7$ сносим $0$. Делим $70$ на $14$. Получаем $5$. Остаток $0$.
Таким образом, $167,3 : 14 = 11,95$.
Ответ: 11,95

Решение для $1,536 : 128$:
1. Целая часть $1$ меньше делителя $128$, поэтому в частном пишем $0$ и ставим запятую.
2. Берем цифры после запятой. $15$ меньше $128$, пишем в частном $0$.
3. Берем $153$. Делим $153$ на $128$. Получаем $1$. Остаток $153 - 128 \cdot 1 = 25$.
4. К остатку $25$ сносим $6$. Делим $256$ на $128$. Получаем $2$. Остаток $0$.
Таким образом, $1,536 : 128 = 0,012$.
Ответ: 0,012

Решение для $0,4221 : 42$:
1. Целая часть $0$ меньше делителя $42$, поэтому в частном пишем $0$ и ставим запятую.
2. Берем цифры после запятой. $4$ меньше $42$, пишем в частном $0$.
3. Берем $42$. Делим $42$ на $42$. Получаем $1$. Остаток $0$.
4. Сносим $2$. $2$ меньше $42$, пишем в частном $0$.
5. Сносим $1$. $21$ меньше $42$. Приписываем $0$. Делим $210$ на $42$. Получаем $5$. Остаток $0$.
Таким образом, $0,4221 : 42 = 0,01005$.
Ответ: 0,01005

Решение для $234,6 : 345$:
1. Целая часть $234$ меньше делителя $345$, поэтому в частном пишем $0$ и ставим запятую.
2. Делим $2346$ на $345$. Получаем $6$. Остаток $2346 - 345 \cdot 6 = 2346 - 2070 = 276$.
3. К остатку $276$ приписываем $0$. Делим $2760$ на $345$. Получаем $8$. Остаток $0$.
Таким образом, $234,6 : 345 = 0,68$.
Ответ: 0,68

Решение для $50,14 : 436$:
1. Целая часть $50$ меньше делителя $436$, поэтому в частном пишем $0$ и ставим запятую.
2. Берем цифры после запятой. Делим $501$ на $436$. Получаем $1$. Остаток $501 - 436 \cdot 1 = 65$.
3. К остатку $65$ сносим $4$. Делим $654$ на $436$. Получаем $1$. Остаток $654 - 436 \cdot 1 = 218$.
4. К остатку $218$ приписываем $0$. Делим $2180$ на $436$. Получаем $5$. Остаток $0$.
Таким образом, $50,14 : 436 = 0,115$.
Ответ: 0,115

6.350 От автовокзала в 12 ч 25 мин отошёл автобус, а в 14 ч 40 мин в противоположном направлении отошёл другой автобус. Какое расстояние будет между автобусами через 2,4 ч после выезда второго автобуса, если скорость первого автобуса 72,4 км/ч, а скорость второго — 65,8 км/ч?

← 65,8 км/ч

A

72,4 км/ч →

? через t = 2,4ч

1) $14\text{ч} 40\text{мин} - 12\text{ч} 25\text{мин} = 2\text{ч} 15\text{мин}$

$2\text{ч} 15\text{мин} = 2\text{ч} + 15\text{мин} = 2\text{ч} + \frac{15}{60}\text{ч} = 2\text{ч} + \frac{1}{4}\text{ч} = 2\text{ч} + \frac{25}{100}\text{ч} = 2\text{ч} + 0,25\text{ч} = 2,25\text{ч}$ - шёл первый автобус до выхода второго автобуса

2) $2,25 + 2,4 = 4,65\left(\text{ч}\right)$ - время в пути первого автобуса

3) $72,4·4,65 = 336,66\left(\text{км}\right)$ - прошёл первый автобус

$\begin{array}{rr}& \mathrm{72,4}\\ \times & \mathrm{4,65}\\ \text{—}& \text{——}\\ & 3620\\ & 4344\\ + & 2896\\ \text{—}& \text{———}\\ & \mathrm{336,660}\end{array} = \mathrm{336,66}$

4) $65,8·2,4 = 157,92\left(\text{км}\right)$ - прошёл второй автобус

$\begin{array}{rr}& \mathrm{65,8}\\ \times & \mathrm{2,4}\\ \text{—}& \text{——}\\ & 2632\\ + & 1316\\ \text{—}& \text{———}\\ & \mathrm{157,92}\end{array}$

5) $336,66 + 157,92 = 494,58\left(\text{км}\right)$

$\begin{array}{rr}& \mathrm{336,66}\\ + & \mathrm{157,92}\\ \text{—}& \text{————}\\ & \mathrm{494,58}\end{array}$

Ответ: 494,58 км

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем, сколько времени первый автобус был в пути до выезда второго автобуса.

Время отправления первого автобуса — 12 ч 25 мин.
Время отправления второго автобуса — 14 ч 40 мин.
Найдем разницу во времени:
$14 \text{ ч } 40 \text{ мин} - 12 \text{ ч } 25 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин}$
Переведем 15 минут в часы, зная, что в одном часе 60 минут:
$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = 0,25 \text{ ч}$
Таким образом, первый автобус был в пути $2,25$ часа до выезда второго.

2. Найдем расстояние, которое проехал первый автобус за это время.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время ($S = v \cdot t$).
$S_1 = 72,4 \text{ км/ч} \cdot 2,25 \text{ ч} = 162,9 \text{ км}$
Это расстояние уже было между автобусами, когда второй только начал движение.

3. Найдем скорость удаления автобусов.

Поскольку автобусы движутся в противоположных направлениях, их общая скорость удаления равна сумме их скоростей:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 72,4 \text{ км/ч} + 65,8 \text{ км/ч} = 138,2 \text{ км/ч}$

4. Найдем, на какое расстояние автобусы удалятся друг от друга за 2,4 часа совместного движения.

Умножим скорость удаления на время их совместного движения:
$S_2 = v_{уд} \cdot t = 138,2 \text{ км/ч} \cdot 2,4 \text{ ч} = 331,68 \text{ км}$

5. Найдем общее расстояние между автобусами через 2,4 ч после выезда второго автобуса.

Для этого сложим расстояние, которое первый автобус проехал до выезда второго, и расстояние, на которое они удалились за время совместного движения.
$S_{общ} = S_1 + S_2 = 162,9 \text{ км} + 331,68 \text{ км} = 494,58 \text{ км}$

Ответ: 494,58 км.

6.351 Расстояние между двумя пристанями теплоход прошёл по течению реки за 1,8 ч, а затем вернулся обратно. Сколько времени затратил теплоход на обратный путь, если его собственная скорость равна 24 км/ч, а скорость течения — 2,4 км/ч?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько действий.

1. Вычислим скорость теплохода по течению реки.
Когда теплоход движется по течению, его скорость складывается с скоростью течения. Обозначим собственную скорость теплохода как $v_{соб}$ и скорость течения как $v_{теч}$. Скорость по течению $v_{по\;теч}$ будет равна:
$v_{по\;теч} = v_{соб} + v_{теч} = 24 \text{ км/ч} + 2,4 \text{ км/ч} = 26,4 \text{ км/ч}$.

2. Найдем расстояние между пристанями.
Расстояние $S$ можно найти, умножив скорость на время в пути. Теплоход прошел это расстояние по течению за 1,8 часа.
$S = v_{по\;теч} \cdot t_{по\;теч} = 26,4 \text{ км/ч} \cdot 1,8 \text{ ч} = 47,52 \text{ км}$.

3. Вычислим скорость теплохода против течения реки.
На обратном пути теплоход движется против течения, поэтому его скорость уменьшается на величину скорости течения.
Скорость против течения $v_{против\;теч}$ будет равна:
$v_{против\;теч} = v_{соб} - v_{теч} = 24 \text{ км/ч} - 2,4 \text{ км/ч} = 21,6 \text{ км/ч}$.

4. Найдем время, затраченное на обратный путь.
Чтобы найти время $t_{против\;теч}$, нужно расстояние разделить на скорость против течения.
$t_{против\;теч} = \frac{S}{v_{против\;теч}} = \frac{47,52 \text{ км}}{21,6 \text{ км/ч}} = 2,2 \text{ ч}$.

Ответ: 2,2 часа.

6.352 Расходы фабрики на изготовление одной пары обуви составили 891,5 р. Найдите прибыль, полученную фабрикой от продажи 2,24 тыс. пар обуви по цене 1280 р. за пару.

Для того чтобы найти прибыль, полученную фабрикой, необходимо сначала определить прибыль от продажи одной пары обуви, а затем умножить эту величину на общее количество проданных пар.

1. Найдем прибыль от продажи одной пары обуви. Для этого из цены продажи вычтем расходы на изготовление:

$1280 - 891,5 = 388,5$ р.

Таким образом, прибыль с каждой проданной пары составляет 388,5 рублей.

2. Переведем количество проданных пар из тысяч в штуки:

$2,24 \text{ тыс. пар} = 2,24 \cdot 1000 = 2240 \text{ пар}$

3. Теперь найдем общую прибыль от продажи всей партии обуви, умножив прибыль с одной пары на общее количество проданных пар:

$388,5 \cdot 2240 = 870240$ р.

Ответ: 870240 р.