Страница 132, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Объясните, что означает каждая буква в формуле пути.

Формула пути — это математическое выражение, которое связывает между собой расстояние, скорость и время движения. Классическая формула пути выглядит так:

$$ s = v \cdot t $$

В этой формуле каждая буква имеет своё значение:

• $s$ (от латинского spatium) — это расстояние, то есть длина пути, пройденного объектом. Расстояние измеряется в единицах длины, например, в метрах (м), километрах (км).
• $v$ (от латинского velocitas) — это скорость, то есть величина, показывающая, какое расстояние объект проходит за единицу времени. Скорость измеряется, например, в метрах в секунду (м/с) или километрах в час (км/ч).
• $t$ (от латинского tempus) — это время, в течение которого двигался объект. Время измеряется в секундах (с), минутах (мин), часах (ч).

Таким образом, формула означает, что расстояние равно произведению скорости на время движения. Зная любые две из этих величин, можно найти третью. Например, чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость ($t = s / v$), а чтобы найти скорость — расстояние разделить на время ($v = s / t$).

Ответ: В формуле пути $s = v \cdot t$ буква $s$ обозначает пройденный путь (расстояние), $v$ — скорость движения, а $t$ — время движения.

Что записывают с помощью формул? Приведите примеры.

С помощью формул записывают правила, по которым можно вычислить одну величину, зная другие, связанные с ней величины. Формула — это краткая и универсальная запись зависимости между величинами с помощью букв, чисел и математических знаков. Они широко применяются в математике, физике, химии, экономике и других науках.

Примеры формул:

1. Формула периметра прямоугольника. Она позволяет найти сумму длин всех сторон прямоугольника.

   $$ P = 2 \cdot (a + b) $$

   Здесь $P$ — периметр, а $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

2. Формула площади квадрата. Она показывает, как вычислить площадь квадрата по длине его стороны.

   $$ S = a^2 $$

   Здесь $S$ — площадь, а $a$ — длина стороны квадрата.

3. Формула стоимости товара. Используется в торговле для расчета общей стоимости покупки.

   $$ C = p \cdot n $$

   Здесь $C$ — общая стоимость, $p$ — цена за одну единицу товара, а $n$ — количество единиц товара.

Ответ: С помощью формул записывают зависимости между различными величинами. Примеры: формула периметра прямоугольника $P = 2 \cdot (a + b)$, формула площади квадрата $S = a^2$, формула стоимости товара $C = p \cdot n$.

6.280 Вычислите:

а) (9 - 7,94) • 2,5 - 1,55;

б) 0,18 • (5,65 + 6,3) - 1,051;

в) 87,45 - 7,45 • (5,4 + 2,6);

г) 17,9 + 22,1 • (2,375 + 7,625);

д) 20,5 • 6,4 + 36 • 1,8;

е) 2,7 • 9,6 - 10,8 • 2,4.

а) Решим выражение $(9 - 7,94) \cdot 2,5 - 1,55$ по действиям:

1) Сначала выполним вычитание в скобках: $9 - 7,94 = 1,06$.

2) Затем выполним умножение: $1,06 \cdot 2,5 = 2,65$.

3) В конце выполним вычитание: $2,65 - 1,55 = 1,1$.

Ответ: $1,1$.

б) Решим выражение $0,18 \cdot (5,65 + 6,3) - 1,051$ по действиям:

1) Сначала выполним сложение в скобках: $5,65 + 6,3 = 11,95$.

2) Затем выполним умножение: $0,18 \cdot 11,95 = 2,151$.

3) В конце выполним вычитание: $2,151 - 1,051 = 1,1$.

Ответ: $1,1$.

в) Решим выражение $87,45 - 7,45 \cdot (5,4 + 2,6)$ по действиям:

1) Сначала выполним сложение в скобках: $5,4 + 2,6 = 8$.

2) Затем выполним умножение: $7,45 \cdot 8 = 59,6$.

3) В конце выполним вычитание: $87,45 - 59,6 = 27,85$.

Ответ: $27,85$.

г) Решим выражение $17,9 + 22,1 \cdot (2,375 + 7,625)$ по действиям:

1) Сначала выполним сложение в скобках: $2,375 + 7,625 = 10$.

2) Затем выполним умножение: $22,1 \cdot 10 = 221$.

3) В конце выполним сложение: $17,9 + 221 = 238,9$.

Ответ: $238,9$.

д) Решим выражение $20,5 \cdot 6,4 + 36 \cdot 1,8$ по действиям. Согласно порядку операций, сначала выполняются умножения, затем сложение.

1) Первое умножение: $20,5 \cdot 6,4 = 131,2$.

2) Второе умножение: $36 \cdot 1,8 = 64,8$.

3) Сложение результатов: $131,2 + 64,8 = 196$.

Ответ: $196$.

е) Решим выражение $2,7 \cdot 9,6 - 10,8 \cdot 2,4$ по действиям. Согласно порядку операций, сначала выполняются умножения, затем вычитание.

1) Первое умножение: $2,7 \cdot 9,6 = 25,92$.

2) Второе умножение: $10,8 \cdot 2,4 = 25,92$.

3) Вычитание результатов: $25,92 - 25,92 = 0$.

Ответ: $0$.

6.281 Комнату длиной 5,6 м, шириной 3,2 м и высотой 2,85 м, имеющую окно и дверь общей площадью 5,28 м², требуется оклеить обоями. Какое наименьшее количество рулонов обоев необходимо купить, если длина рулона 10 м, а ширина 1 м?

 · 2,85 5,6 ----- 1710 + 1425 ----- 15,960 = 15,96

 · 15,96 2 ----- 31,92

 · 2,85 3,2 ----- 570 + 855 ----- 9,120 = 9,12

 · 9,12 2 ----- 18,24

 ① 31,92 + 18,24 ----- 50,16

 50,16 - 5,28 ----- 44,88

Для того чтобы определить наименьшее количество рулонов обоев, необходимо выполнить следующие вычисления:

1. Найдем общую площадь стен комнаты.

Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Площадь ее стен (боковая поверхность) равна произведению периметра основания на высоту. Сначала вычислим периметр комнаты с длиной $a = 5,6$ м и шириной $b = 3,2$ м.

Периметр $P$ вычисляется по формуле:

$P = 2 \cdot (a + b)$

$P = 2 \cdot (5,6 + 3,2) = 2 \cdot 8,8 = 17,6$ м.

Теперь, зная высоту комнаты $h = 2,85$ м, найдем общую площадь стен:

$S_{стен} = P \cdot h = 17,6 \text{ м} \cdot 2,85 \text{ м} = 50,16 \text{ м}^2$.

2. Найдем площадь поверхности, которую необходимо оклеить.

Из общей площади стен нужно вычесть площадь окна и двери, которую не требуется оклеивать. По условию, эта площадь составляет $5,28$ м?.

$S_{оклейки} = S_{стен} - S_{окон\_и\_дверей}$

$S_{оклейки} = 50,16 \text{ м}^2 - 5,28 \text{ м}^2 = 44,88 \text{ м}^2$.

3. Найдем площадь одного рулона обоев.

Длина рулона равна $10$ м, а ширина – $1$ м. Площадь одного рулона составляет:

$S_{рулона} = 10 \text{ м} \cdot 1 \text{ м} = 10 \text{ м}^2$.

4. Рассчитаем необходимое количество рулонов.

Чтобы найти наименьшее количество рулонов, разделим площадь, которую нужно оклеить, на площадь одного рулона:

Количество рулонов = $\frac{S_{оклейки}}{S_{рулона}} = \frac{44,88 \text{ м}^2}{10 \text{ м}^2} = 4,488$.

Поскольку обои продаются только целыми рулонами, полученное число необходимо округлить в большую сторону до ближайшего целого значения.

Следовательно, потребуется 5 рулонов.

Ответ: 5 рулонов.

6.282 Ширина комнаты больше её высоты в 1,25 раза и меньше длины в 1,25 раза. Найдите объём комнаты, если её высота равна 2,8 м.

1. Нахождение ширины комнаты
По условию задачи, высота комнаты составляет $h = 2,8$ м. Ширина комнаты $w$ больше ее высоты в 1,25 раза. Чтобы найти ширину, необходимо умножить высоту на 1,25:
$w = h \cdot 1,25 = 2,8 \cdot 1,25 = 3,5$ м.

2. Нахождение длины комнаты
В условии также сказано, что ширина комнаты $w$ меньше ее длины $l$ в 1,25 раза. Это означает, что длина, наоборот, больше ширины в 1,25 раза. Чтобы найти длину, необходимо умножить найденную ширину на 1,25:
$l = w \cdot 1,25 = 3,5 \cdot 1,25 = 4,375$ м.

3. Нахождение объёма комнаты
Объём комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется по формуле произведения её длины, ширины и высоты: $V = l \cdot w \cdot h$.
Подставим известные значения в формулу:
$V = 4,375 \text{ м} \cdot 3,5 \text{ м} \cdot 2,8 \text{ м} = 42,875 \text{ м}^3$.
Ответ: 42,875 м?.

6.283 Скорость движения Луны вокруг Земли 1,023 км/с, а скорость движения Земли вокруг Солнца на 28,777 км/с больше. Какой путь пройдёт каждое космическое тело за: а) 4 с; б) 6,5 с; в) 14,6 с; г) 1 мин?

Для решения задачи сначала определим скорость движения Земли вокруг Солнца. В условии сказано, что она на 28,777 км/с больше скорости движения Луны.

Скорость движения Луны вокруг Земли: $v_{Луны} = 1,023$ км/c.

Скорость движения Земли вокруг Солнца: $v_{Земли} = v_{Луны} + 28,777 \text{ км/с} = 1,023 \text{ км/с} + 28,777 \text{ км/с} = 29,8$ км/с.

Теперь мы можем найти путь ($S$), который пройдет каждое космическое тело за указанное время ($t$), используя формулу $S = v \cdot t$.

а) За время $t = 4$ с:

Путь, пройденный Луной: $S_{Луны} = 1,023 \text{ км/с} \cdot 4 \text{ с} = 4,092$ км.

Путь, пройденный Землей: $S_{Земли} = 29,8 \text{ км/с} \cdot 4 \text{ с} = 119,2$ км.

Ответ: за 4 секунды Луна пройдет 4,092 км, а Земля — 119,2 км.

б) За время $t = 6,5$ с:

Путь, пройденный Луной: $S_{Луны} = 1,023 \text{ км/с} \cdot 6,5 \text{ с} = 6,6495$ км.

Путь, пройденный Землей: $S_{Земли} = 29,8 \text{ км/с} \cdot 6,5 \text{ с} = 193,7$ км.

Ответ: за 6,5 секунд Луна пройдет 6,6495 км, а Земля — 193,7 км.

в) За время $t = 14,6$ с:

Путь, пройденный Луной: $S_{Луны} = 1,023 \text{ км/с} \cdot 14,6 \text{ с} = 14,9358$ км.

Путь, пройденный Землей: $S_{Земли} = 29,8 \text{ км/с} \cdot 14,6 \text{ с} = 435,08$ км.

Ответ: за 14,6 секунд Луна пройдет 14,9358 км, а Земля — 435,08 км.

г) За время $t = 1$ мин:

Сначала необходимо перевести время из минут в секунды: $1 \text{ мин} = 60$ с.

Путь, пройденный Луной: $S_{Луны} = 1,023 \text{ км/с} \cdot 60 \text{ с} = 61,38$ км.

Путь, пройденный Землей: $S_{Земли} = 29,8 \text{ км/с} \cdot 60 \text{ с} = 1788$ км.

Ответ: за 1 минуту Луна пройдет 61,38 км, а Земля — 1788 км.

6.284 Урожайность одного яблоневого сада составляет 35,6 т яблок с 1 га, а другого — 34,4 т. Сколько всего яблок собрали, если площадь одного яблоневого сада 106,5 га, а другого — на 16 га меньше?

1) $\mathrm{106,5} - 16 = \mathrm{90,5}\text{(га)}$ - площадь другого яблоневого сада

2) $\mathrm{35,6} · \mathrm{106,5} = \mathrm{3791,4}\text{(т)}$ - яблок собрали с I сада

 x 35,6 106,5 ------- 1780 2136 356 ------- 3791,40 = 3791,4

3) $\mathrm{34,4} · \mathrm{90,5} = \mathrm{3113,2}\text{(т)}$ - яблок собрали со II сада

 x 34,4 90,5 ------- 1720 3096 ------- 3113,20 = 3113,2

4) $\mathrm{3791,4} + \mathrm{3113,2} = \mathrm{6904,6}\text{(т)}$

 + 3791,4 3113,2 ------- 6904,6

Ответ: 6904,6 т.

1. Найдём площадь второго яблоневого сада.

По условию, площадь первого сада составляет 106,5 га, а площадь второго сада на 16 га меньше. Чтобы найти площадь второго сада, нужно из площади первого вычесть 16 га:

$106,5 - 16 = 90,5$ (га)

2. Найдём, сколько яблок собрали с первого сада.

Урожайность первого сада составляет 35,6 т с 1 га. Чтобы рассчитать общий урожай с этого сада, умножим его урожайность на его площадь:

$35,6 \times 106,5 = 3791,4$ (т)

3. Найдём, сколько яблок собрали со второго сада.

Урожайность второго сада — 34,4 т с 1 га, а его площадь, как мы выяснили, равна 90,5 га. Рассчитаем общий урожай со второго сада, умножив его урожайность на площадь:

$34,4 \times 90,5 = 3113,2$ (т)

4. Найдём, сколько всего яблок собрали с двух садов.

Для этого необходимо сложить массу яблок, собранных с первого и второго садов:

$3791,4 + 3113,2 = 6904,6$ (т)

Ответ: всего собрали 6904,6 т яблок.

6.285 Из двух населённых пунктов одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста, скорости которых равны 12,8 км/ч и 14,4 км/ч. Они встретились через 1,8 ч. Чему равно расстояние между населёнными пунктами?

12,8 км/ч

14,4 км/ч

$t = 1,82$

?

1) $12,8 + 14,4 = 27,2\text{(км/ч)}$ - скорость сближения

$\begin{array}{c}\hfill \stackrel{\text{①}}{12},8\\ \hfill + 14,4\\ \hfill 27,2\end{array}$

2) $27,2 · 1,8 = 48,96\text{(км)}$

$\begin{array}{cc}& \hfill 27,2\\ \times & \hfill 1,8\\ \hfill 2176\\ + & \hfill 272\\ \hfill 48,96\end{array}$

Ответ: 48,96 км

Для решения этой задачи необходимо найти общее расстояние, которое проехали два велосипедиста до своей встречи. Это расстояние равно искомому расстоянию между населёнными пунктами.

Поскольку велосипедисты движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Эта суммарная скорость называется скоростью сближения.

Пусть скорость первого велосипедиста $v_1 = 12,8$ км/ч, а скорость второго $v_2 = 14,4$ км/ч.

Найдем скорость сближения $v_{сбл}$:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 12,8 + 14,4 = 27,2$ км/ч.

Это значит, что за каждый час расстояние между велосипедистами уменьшается на 27,2 км.

Теперь, зная скорость сближения и время до встречи $t = 1,8$ ч, мы можем найти первоначальное расстояние между ними $S$ по формуле $S = v \cdot t$:

$S = v_{сбл} \cdot t = 27,2 \cdot 1,8 = 48,96$ км.

Ответ: 48,96 км.

6.286 Вычислите:

а) 0,1²; 0,1³; 0,3²; 0,3³; 0,5³; 0,5²;

б) 0,4² + 0,6²; 0,8² + 0,2²; 3,1² - 3,61; 1,8³ + 3,168.

Для вычисления $0,1^2$, умножаем $0,1$ на себя: $0,1 \cdot 0,1 = 0,01$.
Ответ: $0,01$.

Для вычисления $0,1^3$, умножаем $0,1$ на себя три раза: $0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,01 \cdot 0,1 = 0,001$.
Ответ: $0,001$.

Для вычисления $0,3^2$, умножаем $0,3$ на себя: $0,3 \cdot 0,3 = 0,09$.
Ответ: $0,09$.

Для вычисления $0,3^3$, умножаем $0,3$ на себя три раза: $0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,3 = 0,027$.
Ответ: $0,027$.

Для вычисления $0,5^3$, умножаем $0,5$ на себя три раза: $0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$.
Ответ: $0,125$.

Для вычисления $0,5^2$, умножаем $0,5$ на себя: $0,5 \cdot 0,5 = 0,25$.
Ответ: $0,25$.

Сначала возводим числа в степень, а затем складываем результаты: $0,4^2 + 0,6^2 = 0,16 + 0,36 = 0,52$.
Ответ: $0,52$.

Сначала возводим числа в степень, а затем складываем результаты: $0,8^2 + 0,2^2 = 0,64 + 0,04 = 0,68$.
Ответ: $0,68$.

Сначала возводим $3,1$ в квадрат, а затем выполняем вычитание: $3,1^2 - 3,61 = 9,61 - 3,61 = 6$.
Ответ: $6$.

Сначала возводим $1,8$ в куб, а затем выполняем сложение: $1,8^3 + 3,168 = 5,832 + 3,168 = 9$.
Ответ: $9$.

6.287 Вычислите.

a) $\mathrm{0,2} · 2 = \mathrm{0,4}$

б) $\mathrm{0,125} · 4 = \mathrm{0,5}$

$\mathrm{0,9} · 5 = \mathrm{4,5}$

$\mathrm{0,06} · 5 = \mathrm{0,3}$

$\mathrm{0,07} · 8 = \mathrm{0,056}$

$\mathrm{0,25} · 2 = \mathrm{0,5}$

$7 · \mathrm{0,05} = \mathrm{0,35}$

$\mathrm{1,5} · 8 = 12$

$\mathrm{0,99} · 0 = 0$

$\mathrm{0,24} · 5 = \mathrm{1,2}$

в) $\mathrm{0,37} - \mathrm{0,03} = \mathrm{0,34}$

2) $\mathrm{3,9} · 10 = 39$

$\mathrm{0,48} + \mathrm{0,2} = \mathrm{0,68}$

$\mathrm{0,01} · 7 = \mathrm{0,07}$

$1 - \mathrm{0,2} = \mathrm{0,98}$

$\mathrm{0,343} · 100 = \mathrm{34,3}$

$\mathrm{0,36} + \mathrm{0,64} = 1$

$27 · \mathrm{0,01} = \mathrm{0,27}$

$10 - \mathrm{0,33} = \mathrm{9,67}$

$\mathrm{5,9} · 1000 = 5900$

а)
$0,2 \cdot 2 = 0,4$
$0,9 \cdot 5 = 4,5$
$0,07 \cdot 8 = 0,56$
$7 \cdot 0,05 = 0,35$
$0,99 \cdot 0 = 0$
Ответ: 0,4; 4,5; 0,56; 0,35; 0.

б)
$0,125 \cdot 4 = 0,5$
$0,06 \cdot 5 = 0,3$
$0,25 \cdot 2 = 0,5$
$1,5 \cdot 8 = 12$
$0,24 \cdot 5 = 1,2$
Ответ: 0,5; 0,3; 0,5; 12; 1,2.

в)
$0,37 - 0,03 = 0,34$
$0,48 + 0,2 = 0,68$
$1 - 0,2 = 0,8$
$0,36 + 0,64 = 1$
$10 - 0,33 = 9,67$
Ответ: 0,34; 0,68; 0,8; 1; 9,67.

г)
$3,9 \cdot 10 = 39$
$0,01 \cdot 7 = 0,07$
$0,343 \cdot 100 = 34,3$
$27 \cdot 0,01 = 0,27$
$5,9 \cdot 1000 = 5900$
Ответ: 39; 0,07; 34,3; 0,27; 5900.

6.288 Вычислите:

а) 0,6 числа 60;

б) 0,4 числа 20;

в) 0,5 числа 240;

г) 2,4 числа 30;

д) 4,5 числа 8;

е) 1,01 числа 1000.

а) Чтобы найти 0,6 от числа 60, необходимо умножить число 60 на десятичную дробь 0,6.
$60 \times 0,6 = 36$
Ответ: 36

б) Чтобы найти 0,4 от числа 20, необходимо умножить число 20 на десятичную дробь 0,4.
$20 \times 0,4 = 8$
Ответ: 8

в) Чтобы найти 0,5 от числа 240, необходимо умножить число 240 на десятичную дробь 0,5. Это действие эквивалентно нахождению половины числа.
$240 \times 0,5 = 120$
Ответ: 120

г) Чтобы найти 2,4 от числа 30, необходимо умножить число 30 на десятичную дробь 2,4.
$30 \times 2,4 = 72$
Ответ: 72

д) Чтобы найти 4,5 от числа 8, необходимо умножить число 8 на десятичную дробь 4,5.
$8 \times 4,5 = 36$
Ответ: 36

е) Чтобы найти 1,01 от числа 1000, необходимо умножить число 1000 на десятичную дробь 1,01.
$1000 \times 1,01 = 1010$
Ответ: 1010

6.289 Найдите частное:

а) Чтобы найти частное от деления $66,6$ на $6$, можно разделить сначала целую часть, а затем дробную. Делим $66$ на $6$, получаем $11$. Делим $0,6$ на $6$, получаем $0,1$. Складываем результаты: $11 + 0,1 = 11,1$. Таким образом, $66,6 : 6 = 11,1$. Ответ: $11,1$

б) Аналогично предыдущему примеру, делим $6,66$ на $6$. Целая часть $6$ делится на $6$, получаем $1$. Дробная часть $66$ сотых ($0,66$) делится на $6$, получаем $11$ сотых ($0,11$). Складываем результаты: $1 + 0,11 = 1,11$. Таким образом, $6,66 : 6 = 1,11$. Ответ: $1,11$

в) Чтобы разделить $3$ на $5$, можно представить деление в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{5}$ и привести ее к знаменателю $10$, домножив числитель и знаменатель на $2$: $\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6$. Таким образом, $3 : 5 = 0,6$. Ответ: $0,6$

г) Черта дроби означает операцию деления. Чтобы найти значение дроби $\frac{4}{5}$, нужно разделить числитель $4$ на знаменатель $5$. Для удобства приведем дробь к знаменателю $10$, умножив числитель и знаменатель на $2$: $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10} = 0,8$. Ответ: $0,8$

д) Выражение $\frac{1,8}{3}$ означает деление $1,8$ на $3$. Можно временно отбросить запятую и разделить $18$ на $3$, что равно $6$. Поскольку в исходном числе $1,8$ один знак после запятой, в ответе также должен быть один знак после запятой. Таким образом, $\frac{1,8}{3} = 1,8 : 3 = 0,6$. Ответ: $0,6$

е) Выражение $\frac{3,6}{4}$ означает деление $3,6$ на $4$. Делим $36$ на $4$, получаем $9$. В исходном числе $3,6$ один знак после запятой, поэтому в частном отделяем один знак запятой: $0,9$. Итак, $\frac{3,6}{4} = 3,6 : 4 = 0,9$. Ответ: $0,9$

ж) При делении $0,56$ на $9$ в столбик мы видим, что целая часть равна $0$. Делим $56$ на $9$, получаем $6$ и $2$ в остатке. Сносим $0$, делим $20$ на $9$, получаем $2$ и $2$ в остатке. Остаток $2$ будет повторяться, значит, в частном будет бесконечно повторяться цифра $2$. В результате получаем бесконечную периодическую десятичную дробь. $0,56 : 9 = 0,06222... = 0,06(2)$. Ответ: $0,06(2)$

з) Для нахождения частного $0,42 : 6$, делим $42$ на $6$, что равно $7$. В делимом $0,42$ два знака после запятой, значит, и в частном должно быть два знака после запятой. Для этого добавляем ноль перед семеркой: $0,07$. Итак, $0,42 : 6 = 0,07$. Ответ: $0,07$

и) При делении десятичной дроби на $10$ запятая переносится влево на один знак. В числе $37,8$ переносим запятую на один знак влево и получаем $3,78$. Итак, $37,8 : 10 = 3,78$. Ответ: $3,78$

к) Выражение $\frac{5,1}{10}$ означает деление $5,1$ на $10$. При делении на $10$ запятая переносится влево на один знак. Переносим запятую в числе $5,1$ на один знак влево и получаем $0,51$. Итак, $\frac{5,1}{10} = 5,1 : 10 = 0,51$. Ответ: $0,51$

л) При делении натурального числа на $100$ запятая, которая подразумевается в конце числа ($47 = 47,0$), переносится влево на два знака (по количеству нулей в делителе). Переносим запятую в числе $47,0$ на два знака влево и получаем $0,47$. Итак, $47 : 100 = 0,47$. Ответ: $0,47$

м) При делении на $10 000$ необходимо перенести запятую влево на четыре знака (так как в делителе четыре нуля). В числе $27,3$ для этого потребуется дописать нули слева: $27,3 \to 2,73 \to 0,273 \to 0,0273 \to 0,00273$. Итак, $27,3 : 10 000 = 0,00273$. Ответ: $0,00273$

6.290 Найдите площадь прямоугольника со сторонами:

а) 5,4 см и 5 см;

б) 2,5 дм и 8 дм;

в) 16 м и 10,25 м.

а) $5,4 · 5 = 27{\text{см}}^2$

$\begin{array}{lr}\times & 5,4\\ & 5\\ \text{———————}\\ 27,0 = 27\end{array}$

б) $2,5 · 8 = 20{\text{дм}}^2$

$\begin{array}{lr}\times & 2,5\\ & 8\\ \text{——————}\\ 20,0 = 20\end{array}$

в) $16 · 10,25 = 164{\text{м}}^2$

$\begin{array}{lr}\times & 10,25\\ & 16\\ \text{———————}\\ & 6150\\ + & 1025\phantom{0}\\ \text{———————}\\ 164,00 = 164\end{array}$

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо умножить его длину на ширину. Формула для вычисления площади прямоугольника ($S$) выглядит следующим образом: $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — это длины его смежных сторон.

а) Даны стороны прямоугольника: $5,4$ см и $5$ см. Единицы измерения одинаковы, поэтому можем приступать к вычислению.

Подставляем значения в формулу:

$S = 5,4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 27 \text{ см}^2$.

Ответ: $27 \text{ см}^2$.

б) Даны стороны прямоугольника: $2,5$ дм и $8$ дм. Единицы измерения одинаковы.

Подставляем значения в формулу:

$S = 2,5 \text{ дм} \cdot 8 \text{ дм} = 20 \text{ дм}^2$.

Ответ: $20 \text{ дм}^2$.

в) Даны стороны прямоугольника: $16$ м и $10,25$ м. Единицы измерения одинаковы.

Подставляем значения в формулу:

$S = 16 \text{ м} \cdot 10,25 \text{ м} = 164 \text{ м}^2$.

Ответ: $164 \text{ м}^2$.

6.291 Вместо знака вопроса подставьте одну и ту же цифру в равенство или неравенство, чтобы оно было верным:

а) 0,6? = 0,?6;

б) 0,?4 > 0,4?;

в) 3,9?1 < 3,92?.

a) $0,66 = 0,66$

б) $0,54>0,45$

$0,64>0,46$

$0,74>0,47$

$0,84>0,48$

$0,94>0,49$

в) $3,901<3,920$

$3,911<3,921$

$3,921<3,922$

а) В равенстве $0,6? = 0,?6$ нужно заменить знаки вопроса одной и той же цифрой. Обозначим эту цифру через $x$. Равенство примет вид $0,6x = 0,x6$.
Две десятичные дроби равны тогда и только тогда, когда у них равны целые части и все соответствующие цифры после запятой.
Сравниваем разряд десятых: у левого числа это 6, у правого — $x$. Для равенства необходимо, чтобы $x=6$.
Сравниваем разряд сотых: у левого числа это $x$, у правого — 6. Если подставить найденное значение $x=6$, то и в этом разряде цифры будут равны.
Проверяем: при подстановке цифры 6 получаем верное равенство $0,66 = 0,66$.
Ответ: 6.

б) В неравенстве $0,?4 > 0,4?$ нужно заменить знаки вопроса одной и той же цифрой. Обозначим эту цифру через $x$. Неравенство примет вид $0,x4 > 0,4x$.
Для сравнения десятичных дробей сравнивают их поразрядно слева направо, начиная с целой части.
Целые части обоих чисел равны 0.
Сравниваем разряд десятых: у левого числа это $x$, у правого — 4.
Чтобы левое число было больше правого, его цифра в первом отличающемся разряде должна быть больше. Следовательно, должно выполняться условие $x > 4$.
Этому условию удовлетворяют цифры 5, 6, 7, 8, 9. Любая из них сделает неравенство верным.
Например, если подставить 5, получим $0,54 > 0,45$ (верно). Если подставить 9, получим $0,94 > 0,49$ (верно).
Ответ: 5, 6, 7, 8 или 9.

в) В неравенстве $3,9?1 < 3,92?$ нужно заменить знаки вопроса одной и той же цифрой. Обозначим эту цифру через $x$. Неравенство примет вид $3,9x1 < 3,92x$.
Сравниваем числа поразрядно слева направо.
Целые части равны: $3 = 3$.
Цифры в разряде десятых равны: $9 = 9$.
Сравниваем цифры в разряде сотых: у левого числа это $x$, у правого — 2.
Чтобы левое число было меньше правого, возможны два случая:
1. Цифра в разряде сотых у левого числа меньше, чем у правого: $x < 2$. В этом случае неравенство будет верным, так как сравнение на этом разряде уже определяет результат. Этому условию удовлетворяют цифры 0 и 1.
- При $x=0$: $3,901 < 3,920$ (верно).
- При $x=1$: $3,911 < 3,921$ (верно).
2. Цифры в разряде сотых равны: $x = 2$. В этом случае нужно сравнить следующий разряд — тысячные. Неравенство примет вид $3,921 < 3,922$. Цифра в разряде тысячных у левого числа — 1, а у правого — $x=2$. Так как $1 < 2$, то неравенство является верным. Значит, $x=2$ также подходит.
Если же $x > 2$ (например, $x=3$), то левое число станет больше правого ($3,931 > 3,923$), что противоречит знаку неравенства.
Таким образом, подходящими являются цифры 0, 1 и 2.
Ответ: 0, 1 или 2.