Страница 129, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.426 Найдите остаток от деления:

а) 17 на 5;

б) 50 на 16;

в) 155 на 9;

г) 541 на 11.

а) $17 : 5 = 3$ (ост. 2)

Ответ: 2.

б) $50 : 16 = 3$ (ост. 2)

Ответ: 2.

в) $155 : 9 = 17$ (ост. 2)

Ответ: 2.

г) $541 : 11 = 49$ (ост. 2)

Ответ: 2.

а) Чтобы найти остаток от деления 17 на 5, нужно найти наибольшее число до 17, которое делится на 5 без остатка. Это число 15, так как $15 = 5 \times 3$. Разница между 17 и 15 и будет остатком. $17 - 15 = 2$. Таким образом, 17 можно представить в виде $17 = 5 \times 3 + 2$. Неполное частное равно 3, а остаток равен 2.
Ответ: 2

б) Для нахождения остатка от деления 50 на 16, найдем самое большое число, меньшее или равное 50, которое является кратным 16. Перебираем кратные 16: $16 \times 1 = 16$, $16 \times 2 = 32$, $16 \times 3 = 48$, $16 \times 4 = 64$. Наибольшее кратное, не превышающее 50, это 48. Вычитаем это число из 50, чтобы найти остаток: $50 - 48 = 2$. Таким образом, $50 = 16 \times 3 + 2$. Неполное частное равно 3, остаток 2.
Ответ: 2

в) Чтобы найти остаток от деления 155 на 9, выполним деление с остатком. Подберем такое целое число $q$ (неполное частное), чтобы произведение $9 \times q$ было максимально близко к 155, но не превышало его. Мы знаем, что $9 \times 17 = 153$. Это ближайшее к 155 кратное девяти. Теперь находим остаток: $155 - 153 = 2$. Следовательно, $155 = 9 \times 17 + 2$. Остаток равен 2. Также можно воспользоваться признаком делимости на 9: остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9. Сумма цифр числа 155 равна $1+5+5=11$. При делении 11 на 9 получаем $11 = 9 \times 1 + 2$. Остаток также равен 2.
Ответ: 2

г) Чтобы найти остаток от деления 541 на 11, выполним деление с остатком. Подберем неполное частное. Попробуем частное 49. $11 \times 49 = 11 \times (50-1) = 550 - 11 = 539$. Это наибольшее кратное 11, не превосходящее 541. Остаток равен разности: $541 - 539 = 2$. Таким образом, $541 = 11 \times 49 + 2$. Остаток равен 2. Также можно использовать признак делимости на 11: остаток от деления числа на 11 равен остатку от деления на 11 знакопеременной суммы его цифр. Для числа 541 знакопеременная сумма цифр равна $1 - 4 + 5 = 2$. Так как 2 меньше 11, это и есть остаток.
Ответ: 2

3.427 Выполните деление с остатком:

а) 76 на 11;

б) 79 на 19;

в) 1185 на 237;

г) 234 на 13.

а) $76 : 11 = 6$ (ост. 10)

б) $79 : 19 = 4$ (ост. 3)

в) $1185 : 237 = 5$ ( ост. 5)

г) $234 : 13 = 18$ (ост. 0)

а) Чтобы выполнить деление 76 на 11 с остатком, найдем наибольшее целое число (неполное частное), при умножении которого на 11, результат будет максимально близок к 76, но не превышать его.
Подбираем неполное частное:
$11 \cdot 6 = 66$
$11 \cdot 7 = 77$
Так как $66 \le 76$, а $77 > 76$, то неполное частное равно 6.
Теперь найдем остаток. Для этого из делимого (76) вычтем произведение делителя (11) на неполное частное (6):
$r = 76 - 11 \cdot 6 = 76 - 66 = 10$.
Остаток $r=10$ должен быть меньше делителя ($10 < 11$), что является верным.
Таким образом, $76 = 6 \cdot 11 + 10$.
Ответ: неполное частное 6, остаток 10.

б) Выполним деление 79 на 19 с остатком.
Найдем неполное частное, подбирая множитель для 19:
$19 \cdot 4 = 76$
$19 \cdot 5 = 95$
Так как $76 \le 79$, а $95 > 79$, неполное частное равно 4.
Найдем остаток:
$r = 79 - 19 \cdot 4 = 79 - 76 = 3$.
Остаток $r=3$ меньше делителя ($3 < 19$), что является верным.
Таким образом, $79 = 4 \cdot 19 + 3$.
Ответ: неполное частное 4, остаток 3.

в) Выполним деление 1185 на 237 с остатком.
Попробуем найти частное путем подбора. Оценим, во сколько раз 1185 больше 237. Так как $200 \cdot 5 = 1000$ и $200 \cdot 6 = 1200$, то частное, скорее всего, равно 5.
Проверим умножением:
$237 \cdot 5 = 1185$.
Так как произведение в точности равно делимому, деление происходит без остатка.
Частное равно 5, а остаток равен 0.
Таким образом, $1185 = 5 \cdot 237 + 0$.
Ответ: частное 5, остаток 0.

г) Выполним деление 234 на 13 с остатком.
Для этого можно использовать деление столбиком.
1. Делим 23 на 13. Берем по 1. $1 \cdot 13 = 13$. Остаток $23 - 13 = 10$.
2. Сносим следующую цифру 4, получаем число 104.
3. Делим 104 на 13. Подберем множитель: $13 \cdot 8 = 104$.
В результате деления столбиком получаем, что частное равно 18.
Так как $18 \cdot 13 = 234$, деление происходит без остатка.
Частное равно 18, а остаток равен 0.
Таким образом, $234 = 18 \cdot 13 + 0$.
Ответ: частное 18, остаток 0.

3.428 Найдите значение выражения 62t + 38t - 67 при t = 67; t = 670; t = 6700.

$$\begin{gathered} 62t + 38t - 67 = \\ = (62 + 38)t - 67 = \\ = 100t - 67 \end{gathered}$$

при t = 67;

$$\begin{gathered} 100 · 67 - 67 = \\ = 6700 - 67 = 6633; \end{gathered}$$

при t = 670

$$\begin{gathered} 100 · 670 - 67 = \\ = 67000 - 67 = 66933 \end{gathered}$$

при t = 6700

$$\begin{gathered} 100 · 6700 - 67 = \\ = 670000 - 67 = 669933 \end{gathered}$$

Для нахождения значения выражения $62t + 38t - 67$ при различных значениях переменной $t$ сначала рекомендуется упростить само выражение. Это позволит сделать вычисления более быстрыми и простыми.

Упростим выражение, сложив подобные слагаемые (члены с переменной $t$):

$62t + 38t - 67 = (62 + 38)t - 67 = 100t - 67$

Теперь будем подставлять заданные значения $t$ в упрощенное выражение $100t - 67$.

при t = 67

Подставим $t = 67$ в выражение $100t - 67$:

$100 \cdot 67 - 67 = 6700 - 67 = 6633$

Ответ: 6633

при t = 670

Подставим $t = 670$ в выражение $100t - 67$:

$100 \cdot 670 - 67 = 67000 - 67 = 66933$

Ответ: 66933

при t = 6700

Подставим $t = 6700$ в выражение $100t - 67$:

$100 \cdot 6700 - 67 = 670000 - 67 = 669933$

Ответ: 669933

3.429 Найдите корень уравнения:

а) x + 8x + 11 = 146;

б) 35x + 22x = 456;

в) 32y - 27y = 60;

г) 37z - z = 540.

a)
$x + 8x + 11 = 146$
$(1 + 8)x = 146 - 11$

$9x = 135$
$x = 135 : 9$

$x = 15$ 
Ответ: 15.

б) 
$35x + 22x = 456$ 
$(35 + 22)x = 456$
$57x = 456$
$x = 456 : 57$

$x = 8$
Ответ: 8.

в) 
$32y - 27y = 60$ 
$(32 - 27)y = 60$ 
$5y = 60$ 
$y = 60 : 5$

$y = 12$ 
Ответ: 12.

г) 
$37z - z = 540$ 
$(37 - 1)z = 540$ 
$36z = 540$ 
$z = 540 : 36$

$z = 15$
Ответ: 15.

а) $x + 8x + 11 = 146$

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Подобными слагаемыми являются $x$ и $8x$.

$x + 8x = (1+8)x = 9x$

Теперь уравнение принимает вид:

$9x + 11 = 146$

Чтобы изолировать слагаемое с переменной $x$, перенесем число 11 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный.

$9x = 146 - 11$

$9x = 135$

Теперь, чтобы найти корень уравнения, разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на 9.

$x = 135 : 9$

$x = 15$

Ответ: $15$

б) $35x + 22x = 456$

Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения.

$(35 + 22)x = 456$

$57x = 456$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 57.

$x = 456 : 57$

$x = 8$

Ответ: $8$

в) $32y - 27y = 60$

Выполним вычитание подобных слагаемых в левой части уравнения.

$(32 - 27)y = 60$

$5y = 60$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 5.

$y = 60 : 5$

$y = 12$

Ответ: $12$

г) $37z - z = 540$

Упростим левую часть уравнения, помня, что $z$ — это то же самое, что и $1z$.

$(37 - 1)z = 540$

$36z = 540$

Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на 36.

$z = 540 : 36$

$z = 15$

Ответ: $15$

3.430 Выполните действия:

44 + (10 302 : (32 + 19) - 36 • 5) : (29 • 3 - 76).

$44 \stackrel{8}{+} (10302 \stackrel{2}{:} (32 \stackrel{1}{+} 19) \stackrel{4}{-} 36 \stackrel{3}{·} 5) \stackrel{7}{:} (29 \stackrel{5}{·} 3 \stackrel{6}{-} 76) = 46$

1)	2)
3)	4)
5)	6)

7) 22 : 11 = 2
8) 44 + 2 = 46

Для решения данного выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь — сложение и вычитание. Вычисления производятся слева направо для операций с одинаковым приоритетом.

Исходное выражение: $44 + (10 302 : (32 + 19) - 36 \cdot 5) : (29 \cdot 3 - 76)$.

1. Выполним действия в самых внутренних скобках:

$32 + 19 = 51$

$29 \cdot 3 - 76 = 87 - 76 = 11$

2. После выполнения первых действий выражение примет вид:

$44 + (10 302 : 51 - 36 \cdot 5) : 11$

3. Теперь выполним действия в оставшихся скобках. Сначала деление и умножение:

$10 302 : 51 = 202$

$36 \cdot 5 = 180$

4. Затем выполним вычитание в тех же скобках:

$202 - 180 = 22$

5. Теперь выражение выглядит так:

$44 + 22 : 11$

6. Выполним деление, так как оно имеет приоритет перед сложением:

$22 : 11 = 2$

7. Последним действием выполним сложение:

$44 + 2 = 46$

Ответ: 46

1 Выберите из чисел 2, 5, 6, 10, 18, 180, 291, 2323, 3450, 15 555, 20 605, 33 333, 333 333 числа, которые:

а) делятся на 2;

б) делятся на 10;

в) не делятся на 2;

г) делятся на 5, но не делятся на 10;

д) кратны 9;

е) делятся на 3, но не делятся на 9;

ж) делятся на 2 и на 3.

a) 2; 6; 10; 18; 180; 3450;

б) 10; 180; 3450;

в) 5; 291; 2323; 15555; 20605; 33333; 333333;

г) 5; 15555; 20605;

д) 18; 180; 333333;

е) 6 ; 291; 6450; 15555; 33333;

ж) 6; 18; 180; 6450.

Для решения задачи проанализируем данный набор чисел: 2, 5, 6, 10, 18, 180, 291, 2323, 3450, 15 555, 20 605, 33 333, 333 333, используя признаки делимости.

а) делятся на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8). Такие числа называются четными. В данном наборе выберем числа, оканчивающиеся на 2, 6, 0, 8.

Подходящие числа: 2, 6, 10, 18, 180, 3450.

Ответ: 2, 6, 10, 18, 180, 3450.

б) делятся на 10

Число делится на 10, если его последняя цифра 0.

Выберем из списка числа, оканчивающиеся на 0: 10, 180, 3450.

Ответ: 10, 180, 3450.

в) не делятся на 2

Число не делится на 2, если его последняя цифра нечетная (1, 3, 5, 7, 9). Такие числа называются нечетными.

Выберем из списка нечетные числа: 5, 291, 2323, 15 555, 20 605, 33 333, 333 333.

Ответ: 5, 291, 2323, 15 555, 20 605, 33 333, 333 333.

г) делятся на 5, но не делятся на 10

Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Число не делится на 10, если его последняя цифра не 0. Следовательно, искомые числа должны оканчиваться на 5.

Выберем из списка числа, оканчивающиеся на 5: 5, 15 555, 20 605.

Ответ: 5, 15 555, 20 605.

д) кратны 9

Число кратно 9 (то есть делится на 9), если сумма его цифр делится на 9. Проверим числа: для числа 18 сумма цифр $1 + 8 = 9$, что делится на 9; для числа 180 сумма цифр $1 + 8 + 0 = 9$, что делится на 9; для числа 333 333 сумма цифр $3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18$, что делится на 9, так как $18 : 9 = 2$. Суммы цифр остальных чисел из списка на 9 не делятся.

Ответ: 18, 180, 333 333.

е) делятся на 3, но не делятся на 9

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Чтобы число не делилось на 9, сумма его цифр не должна делиться на 9. Проверим подходящие числа: 6 (сумма 6, делится на 3, но не на 9); 291 (сумма $2 + 9 + 1 = 12$, делится на 3, но не на 9); 3450 (сумма $3 + 4 + 5 + 0 = 12$, делится на 3, но не на 9); 15 555 (сумма $1 + 5 + 5 + 5 + 5 = 21$, делится на 3, но не на 9); 33 333 (сумма $3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15$, делится на 3, но не на 9). Числа 18, 180, 333 333 не подходят, так как сумма их цифр делится на 9.

Ответ: 6, 291, 3450, 15 555, 33 333.

ж) делятся на 2 и на 3

Чтобы число делилось одновременно на 2 и на 3, оно должно быть четным (делиться на 2) и сумма его цифр должна делиться на 3. Это равносильно признаку делимости на 6. Выберем все четные числа из списка (из пункта а): 2, 6, 10, 18, 180, 3450. Теперь проверим их на делимость на 3. Число 6 (сумма цифр 6) делится на 3. Число 18 (сумма цифр 9) делится на 3. Число 180 (сумма цифр 9) делится на 3. Число 3450 (сумма цифр 12) делится на 3. Числа 2 (сумма 2) и 10 (сумма 1) не делятся на 3.

Ответ: 6, 18, 180, 3450.

2 Можно ли найти число, которое делится на 10, но не делится на 2?

Такого числа найти нельзя, так как, если оно делится на 10, то оно оканчивается цифрой 0. А все числа, которые оканчиваются цифрой 0 – чётные и, значит, делятся на 2.

Ответ: нет.

Для ответа на этот вопрос давайте проанализируем свойства делимости чисел.

Если число делится на 10, это означает, что оно является произведением некоторого целого числа $k$ и числа 10. Такое число $N$ можно записать в виде формулы:

$N = 10 \cdot k$

Число 10, в свою очередь, можно представить как произведение двух простых множителей: $2$ и $5$.

$10 = 2 \cdot 5$

Теперь подставим это разложение в нашу первую формулу:

$N = (2 \cdot 5) \cdot k = 2 \cdot (5 \cdot k)$

Из полученного выражения видно, что любое число $N$, которое делится на 10, можно представить как произведение числа 2 и некоторого другого целого числа ($5 \cdot k$).

По определению, если число можно представить в виде произведения двойки и другого целого числа, то оно делится на 2.

Таким образом, любое число, которое делится на 10, обязательно делится и на 2, поскольку 2 является делителем числа 10. Следовательно, найти число, которое делится на 10, но при этом не делится на 2, невозможно.

Ответ: Нет, такое число найти нельзя.

3 На столе лежат рисунки, которых больше 60, но меньше 80. Эти рисунки можно сложить в папки по 6 либо по 8 рисунков. Сколько рисунков на столе?

Если рисунки можно сложить в папки по 6 либо по 8, значит их количество кратно 6 и 8 одновременно. Рисунков на столе больше 60, но меньше 80.

Кратно 6: 66; 72; 78.

Кратно 8: 64; 72.

72 – общее кратное.

Ответ: 72 рисунка.

Пусть $N$ — это искомое количество рисунков на столе.

Согласно условию задачи, количество рисунков больше 60, но меньше 80. Математически это можно записать в виде двойного неравенства: $60 < N < 80$.

Также в условии сказано, что все рисунки можно разложить в папки по 6 штук и по 8 штук. Это означает, что общее количество рисунков $N$ должно делиться на 6 и на 8 без остатка. Иными словами, $N$ должно быть общим кратным для чисел 6 и 8.

Чтобы найти такое число, сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 6 и 8.Для этого разложим числа на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Наименьшее общее кратное находится как произведение всех простых множителей, взятых в их наивысшей степени из разложений:
$НОК(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Все общие кратные чисел 6 и 8 будут кратны их НОК, то есть 24. Теперь нам нужно найти такое кратное числа 24, которое удовлетворяет неравенству $60 < N < 80$.Перечислим кратные числа 24:
$24 \cdot 1 = 24$ (не подходит, так как $24 < 60$)
$24 \cdot 2 = 48$ (не подходит, так как $48 < 60$)
$24 \cdot 3 = 72$ (подходит, так как $60 < 72 < 80$)
$24 \cdot 4 = 96$ (не подходит, так как $96 > 80$)

Единственное число, которое удовлетворяет всем условиям задачи, — это 72.
Проверим:
$72 \div 6 = 12$ (делится без остатка).
$72 \div 8 = 9$ (делится без остатка).

Ответ: 72 рисунка.

4 Вычислите:

$$\begin{gathered} (26 \cdot 652-16 \cdot 652) : 5 + 504 · 4 : 9 = \\ = 652 \cdot (26 - 16) : 5 + 504 · 4 : 9 = \\ = 652 \cdot 10 : 5 + 504 \cdot 4 : 9 = \\ = 6520 \stackrel{1}{:} 5 \stackrel{3}{+} 504 \stackrel{2}{\cdot } 4 \stackrel{4}{:} 9 = 1528 \end{gathered}$$

1)	2)
3)	4)

Для вычисления значения выражения $(26 \cdot 652 - 16 \cdot 652) : 5 + 504 \cdot 4 : 9$ необходимо соблюдать порядок арифметических действий: сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).

1) Выполним действие в скобках.

В выражении $(26 \cdot 652 - 16 \cdot 652)$ можно вынести общий множитель $652$ за скобки, чтобы упростить вычисления:

$(26 - 16) \cdot 652 = 10 \cdot 652 = 6520$

2) Выполним деление.

После вычисления выражения в скобках пример принимает вид: $6520 : 5 + 504 \cdot 4 : 9$. Первым по порядку идет деление:

$6520 : 5 = 1304$

3) Выполним умножение.

Теперь выражение выглядит так: $1304 + 504 \cdot 4 : 9$. Следующим действием является умножение:

$504 \cdot 4 = 2016$

4) Выполним второе деление.

Выражение принимает вид: $1304 + 2016 : 9$. Выполняем деление:

$2016 : 9 = 224$

5) Выполним сложение.

Это последнее действие в примере:

$1304 + 224 = 1528$

Ответ: $1528$

1 Можно ли 234 человека рассадить в 5 автобусов поровну?

$234 : 5 = 46$ (ост. 4)

Ответ: нет.

Чтобы определить, можно ли рассадить 234 человека в 5 автобусов поровну, необходимо проверить, делится ли общее количество человек на количество автобусов без остатка. Если в результате деления мы получим целое число, то рассадка поровну возможна.

Для этого воспользуемся признаком делимости на 5: число делится на 5 без остатка в том и только в том случае, если его последняя цифра — это 0 или 5.

Рассмотрим число 234. Его последняя цифра — 4. Поскольку эта цифра отличается и от 0, и от 5, можно сделать вывод, что число 234 не делится на 5 нацело.

Чтобы убедиться в этом, выполним деление:

$234 \div 5 = 46.8$

Результат деления не является целым числом. Если выполнить деление с остатком, получим:

$234 = 5 \times 46 + 4$

Это означает, что если в каждый из 5 автобусов посадить по 46 человек, то 4 человека останутся без места. Чтобы разместить всех, в четыре автобуса придется посадить по 47 человек, а в один — 46. Такое распределение не будет равномерным.

Ответ: нет, 234 человека нельзя рассадить в 5 автобусов поровну.

2 Запишите все делители числа 60.

Делители числа 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.

Чтобы найти все делители числа 60, нужно найти все целые числа, на которые 60 делится без остатка. Для этого будем последовательно проверять числа, начиная с 1, и находить парные им делители.

1. $60 \div 1 = 60$. Делители: 1 и 60.
2. $60 \div 2 = 30$. Делители: 2 и 30.
3. $60 \div 3 = 20$. Делители: 3 и 20.
4. $60 \div 4 = 15$. Делители: 4 и 15.
5. $60 \div 5 = 12$. Делители: 5 и 12.
6. $60 \div 6 = 10$. Делители: 6 и 10.

Продолжая проверку, мы увидим, что следующие числа (7, 8, 9) не являются делителями 60. Следующий по порядку делитель — это 10, который уже был найден в паре с 6. Это значит, что мы нашли все возможные делители.

Теперь выпишем все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

3 Известно, что двузначное число делится на 9 и состоит из одинаковых цифр. Выпишите все такие числа.

Ответ: 99.

Пусть искомое двузначное число состоит из двух одинаковых цифр. Обозначим эту цифру как $a$. Тогда это число можно записать в виде $10a + a$. Поскольку число является двузначным, цифра $a$ не может быть равной нулю, следовательно, $a$ может принимать значения от 1 до 9: $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

В задаче указано, что число делится на 9. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр нашего числа равна $a + a = 2a$.

Следовательно, нам необходимо найти такое значение $a$, при котором произведение $2a$ будет кратно 9. Проверим все возможные значения $a$ от 1 до 9:
Если $a=1$, то $2a = 2$, не делится на 9.
Если $a=2$, то $2a = 4$, не делится на 9.
Если $a=3$, то $2a = 6$, не делится на 9.
Если $a=4$, то $2a = 8$, не делится на 9.
Если $a=5$, то $2a = 10$, не делится на 9.
Если $a=6$, то $2a = 12$, не делится на 9.
Если $a=7$, то $2a = 14$, не делится на 9.
Если $a=8$, то $2a = 16$, не делится на 9.
Если $a=9$, то $2a = 18$. Число 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$).

Единственное значение, удовлетворяющее условию, — это $a=9$. Значит, искомое число, состоящее из двух одинаковых цифр, равно 99. Проверим:
1. 99 — двузначное число.
2. 99 состоит из одинаковых цифр.
3. 99 делится на 9 ($99 = 9 \times 11$).
Все условия выполнены.

Ответ: 99.

4 Известно, что нечётное трёхзначное число делится на 5 и состоит из цифр 0, 5, 7. Что это за число?

Ответ: 705.

Для решения задачи необходимо последовательно проанализировать все условия, которым должно удовлетворять искомое число.

1. Условие, что число делится на 5, означает, что его последняя цифра — это $0$ или $5$.

2. Условие, что число нечётное, означает, что его последняя цифра должна быть нечётной (то есть $1$, $3$, $5$, $7$ или $9$).

Сопоставляя эти два условия, можно сделать вывод, что последняя цифра искомого числа может быть только $5$, так как это единственная цифра, которая является нечётной и на которую может заканчиваться число, делящееся на $5$.

3. Условие, что число трёхзначное и состоит из цифр 0, 5, 7, говорит о том, что каждая из этих цифр используется в записи числа ровно один раз. Мы уже определили, что последняя цифра — это $5$. Следовательно, для первых двух разрядов (сотен и десятков) остаются цифры $0$ и $7$.

Так как число трёхзначное, оно не может начинаться с нуля. Поэтому на первом месте (в разряде сотен) должна стоять цифра $7$.

На втором месте (в разряде десятков) остаётся последняя неиспользованная цифра — $0$.

Таким образом, собрав число из найденных цифр, получаем: первая цифра — $7$, вторая — $0$, третья — $5$.

Искомое число — $705$.

Проверка: Число $705$ является трёхзначным, оно нечётное (так как оканчивается на $5$), оно делится на $5$ ($705 \div 5 = 141$), и оно состоит из цифр $0$, $5$, $7$. Все условия выполнены.

Ответ: 705

5 Катя купила 9 тетрадей и потратила на покупку 357 р. Могло ли такое быть, если цена тетради выражается натуральным числом рублей?

357 не делится на 9 без остатка по признаку делимости на 9 $(3 + 5 + 7 = 15)$.

Так как цена тетради выражается натуральным числом, то такого не может быть.

Ответ: не могло.

Для того чтобы такая ситуация была возможной, общая стоимость покупки (357 рублей) должна делиться на количество купленных тетрадей (9 штук) без остатка. В этом случае цена одной тетради будет выражаться натуральным числом (целым положительным числом).

Чтобы проверить, делится ли число 357 на 9, можно воспользоваться признаком делимости на 9. Согласно этому признаку, число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Найдем сумму цифр числа 357:

$3 + 5 + 7 = 15$

Полученная сумма, 15, не делится на 9 нацело ($15 \div 9 = 1$ с остатком 6). Это означает, что и само число 357 не делится на 9 без остатка.

Если мы выполним деление, то цена одной тетради составит:

$357 \div 9 = 39,666...$

Это число не является натуральным, что противоречит условию задачи.

Ответ: нет, такое быть не могло.

6 Не вычисляя суммы, установите, делится ли на 3 каждое из слагаемых и будет ли делиться нацело на 3 их сумма:

а) 321 + 459;

б) 323 + 4571.

По свойству делимости суммы, если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма делится на 3.

а) 321 + 459

321: $3 + 2 + 1 = 6$

Сумма цифр числа 321 делится на 3, значит, и число 321 делится на 3.

459: $4 + 5 + 9 = 18$

Сумма цифр числа 459 делится на 3, значит, и число 459 делится на 3.

Следовательно, сумма 321 + 459 делится нацело на 3.

б) 323 + 4571

323: $3 + 2 + 3 = 8$

Сумма цифр числа 323 не делится нацело на 3, значит, и число 323 не делится на 3.

4571: $4 + 5 + 7 + 1 = 17$

Сумма цифр числа 4571 не делится нацело на 3, значит, и число 4571 не делится на 3.

Следовательно, сумма 323 + 4571 не делится нацело на 3.

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Также будем использовать свойство делимости суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.

а) 321 + 459;

1. Проверим делимость первого слагаемого, числа 321, на 3. Для этого найдем сумму его цифр: $3 + 2 + 1 = 6$. Поскольку 6 делится на 3 ($6 \div 3 = 2$), то и число 321 делится на 3.

2. Проверим делимость второго слагаемого, числа 459, на 3. Найдем сумму его цифр: $4 + 5 + 9 = 18$. Поскольку 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$), то и число 459 делится на 3.

3. Так как оба слагаемых, 321 и 459, делятся на 3, то по свойству делимости суммы их сумма также будет делиться на 3.

Ответ: каждое из слагаемых делится на 3, и их сумма также делится на 3.

б) 323 + 4571.

1. Проверим делимость первого слагаемого, числа 323, на 3. Найдем сумму его цифр: $3 + 2 + 3 = 8$. Поскольку 8 не делится нацело на 3, то и число 323 не делится на 3.

2. Проверим делимость второго слагаемого, числа 4571, на 3. Найдем сумму его цифр: $4 + 5 + 7 + 1 = 17$. Поскольку 17 не делится нацело на 3, то и число 4571 не делится на 3.

3. Чтобы определить, делится ли сумма на 3, рассмотрим остатки от деления каждого слагаемого на 3. Остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3.
Для числа 323: сумма цифр 8, остаток от деления $8 \div 3$ равен 2.
Для числа 4571: сумма цифр 17, остаток от деления $17 \div 3$ равен 2.
Сумма будет делиться на 3, если сумма остатков делится на 3. Сложим остатки: $2 + 2 = 4$. Число 4 не делится на 3. Следовательно, и сумма $323 + 4571$ не делится на 3.

Ответ: ни одно из слагаемых не делится на 3, и их сумма также не делится на 3.

7 В числе 345* вместо звёздочки поставьте цифру так, чтобы полученное число:

а) делилось на 5;

б) делилось на 3 и на 9;

в) делилось на 2, на 3, на 5 и на 10.

a) Число делится на 5, если оно оканчивается цифрой 0 или 5.

3450 или 3455

б) Число делится на 3 и на 9, если сумма его цифр делится на 9

3456

3 + 4 + 5 + 6 = 18 делится на 9

Если вместо звездочки поставить цифры 0, 3 или 9, то полученные числа будут делиться только на 3

3450 (сумма цифр $3 + 4 + 5 + 0 = 12$)

3453 (сумма цифр $3 + 4 + 5 + 3 = 15$)

3459 (сумма цифр $3 + 4 + 5 + 9 = 21$)

в) Число делится на 2, на 3, на 5 и на 10, если оно оканчивается цифрой 0 и сумма его цифр делится на 3

3450

Ответ: a) 0 или 5; б) 6; в) 0.

а) делилось на 5;

Согласно признаку делимости на 5, число должно оканчиваться на цифру 0 или 5. В нашем случае число 345* оканчивается на цифру, заменяющую звёздочку.

Таким образом, чтобы число 345* делилось на 5, вместо звёздочки можно подставить 0 или 5.

Получатся числа 3450 и 3455.

Ответ: 0 или 5.

б) делилось на 3 и на 9;

Воспользуемся признаками делимости на 3 и на 9. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Если число делится на 9, то оно автоматически делится и на 3, так как 9 является кратным 3. Поэтому нам достаточно найти такую цифру, чтобы полученное число делилось на 9.

Найдём сумму известных цифр числа 345*: $3 + 4 + 5 = 12$.

Пусть неизвестная цифра (звёздочка) равна $x$. Тогда сумма всех цифр числа равна $12 + x$. Эта сумма должна делиться на 9. Учитывая, что $x$ – это цифра от 0 до 9, найдём подходящее значение.

Ближайшее к 12 число, которое делится на 9, – это 18. Составим уравнение:

$12 + x = 18$

$x = 18 - 12$

$x = 6$

Цифра 6 подходит. Следующее кратное 9 число – 27, но для него $x$ будет равен 15, что не является цифрой.

Значит, единственная возможная цифра – это 6. Получаем число 3456. Сумма его цифр $3+4+5+6=18$, 18 делится и на 3, и на 9.

Ответ: 6.

в) делилось на 2, на 3, на 5 и на 10.

Число должно удовлетворять сразу нескольким признакам делимости. Рассмотрим их по порядку.

Признак делимости на 10: число должно оканчиваться на 0. Если это условие выполнено, то число автоматически будет делиться и на 2 (так как оно чётное), и на 5. Таким образом, чтобы число 345* делилось на 2, 5 и 10, вместо звёздочки обязательно должна стоять цифра 0.

Получаем число 3450.

Теперь необходимо проверить, выполняется ли последнее условие – делимость на 3. Для этого найдём сумму цифр числа 3450:

$3 + 4 + 5 + 0 = 12$

Сумма цифр равна 12. Так как 12 делится на 3 ($12 : 3 = 4$), то и число 3450 делится на 3. Следовательно, цифра 0 удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 0.

1 Найдите:

а) частное, если делимое равно 5,02, а делитель равен 2;

б) произведение 3,4 и 30;

в) неизвестный множитель, если произведение равно 14, а известный множитель равен 3,5;

г) неизвестный делитель, если делимое равно 37,8, а частное равно 9.

а) Чтобы найти частное, необходимо разделить делимое на делитель. Делимое равно 5,02, а делитель равен 2. Выполним операцию деления:
$5,02 \div 2 = 2,51$
Ответ: 2,51

б) Чтобы найти произведение, нужно перемножить данные числа. В нашем случае это 3,4 и 30. Выполним операцию умножения:
$3,4 \times 30 = 102$
Ответ: 102

в) Неизвестный множитель можно найти, разделив произведение на известный множитель. Пусть неизвестный множитель это $x$. Тогда у нас есть уравнение: $x \times 3,5 = 14$.
Чтобы найти $x$, разделим 14 на 3,5:
$x = 14 \div 3,5$
Для удобства вычислений можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в делителе:
$x = 140 \div 35 = 4$
Ответ: 4

г) Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное. Пусть неизвестный делитель это $x$. Тогда у нас есть уравнение: $37,8 \div x = 9$.
Чтобы найти $x$, разделим 37,8 на 9:
$x = 37,8 \div 9 = 4,2$
Ответ: 4,2

2 Сумма каких шести одинаковых слагаемых равна 15,6?

Для того чтобы найти искомое слагаемое, обозначим его переменной $x$. По условию задачи, сумма шести таких одинаковых слагаемых равна 15,6. Это можно записать в виде уравнения:
$x + x + x + x + x + x = 15,6$
Сложение шести одинаковых слагаемых эквивалентно умножению этого слагаемого на 6:
$6 \cdot x = 15,6$
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (15,6) разделить на известный множитель (6):
$x = 15,6 : 6$
Выполним деление столбиком или в уме:
$x = 2,6$
Следовательно, искомое слагаемое — это число 2,6.
Проведем проверку, умножив полученное слагаемое на 6:
$2,6 \cdot 6 = 15,6$
Равенство выполняется, значит, решение найдено верно.

Ответ: 2,6.

3 Найдите х, если:

а) 3 • x = 6,3;

б) x • 13 = 97,5;

в) 130,5 : (5x + 1,4) = 45.

а) $3 \cdot x = 6.3$

В данном уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение ($6.3$) разделить на известный множитель (3).

$x = 6.3 : 3$

$x = 2.1$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$3 \cdot 2.1 = 6.3$

$6.3 = 6.3$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: 2.1

б) $x \cdot 13 = 97.5$

В этом уравнении $x$ также является неизвестным множителем. Чтобы его найти, разделим произведение ($97.5$) на известный множитель (13).

$x = 97.5 : 13$

$x = 7.5$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$7.5 \cdot 13 = 97.5$

$97.5 = 97.5$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: 7.5

в) $130.5 : (5x + 1.4) = 45$

В этом уравнении выражение в скобках $(5x + 1.4)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое ($130.5$) разделить на частное (45).

$5x + 1.4 = 130.5 : 45$

$5x + 1.4 = 2.9$

Теперь мы получили более простое линейное уравнение. В нем $5x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы ($2.9$) вычесть известное слагаемое ($1.4$).

$5x = 2.9 - 1.4$

$5x = 1.5$

Теперь находим $x$ как неизвестный множитель: делим произведение ($1.5$) на известный множитель (5).

$x = 1.5 : 5$

$x = 0.3$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$130.5 : (5 \cdot 0.3 + 1.4) = 130.5 : (1.5 + 1.4) = 130.5 : 2.9 = 45$

$45 = 45$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: 0.3

4 Поезд проходит расстояние 230,4 км за 4 ч.

а) Сколько километров он проходит в час?

б) С какой скоростью должен ехать поезд, чтобы преодолеть это же расстояние за 5 ч?

N4

а) $\mathrm{230,4} : 4 = \mathrm{57,6} \left(\text{км/ч}\right)$

б) $\mathrm{230,4} : 5 = \mathrm{46,08} \left(\text{км/ч}\right)$

Ответ: а) $\mathrm{57,6} \text{км/ч}$; б) $\mathrm{46,08} \text{км/ч}$

а) Чтобы найти, сколько километров поезд проходит в час, необходимо рассчитать его скорость. Скорость (v) — это отношение расстояния (S) ко времени (t), за которое это расстояние было пройдено. Формула для расчета скорости:

$v = S / t$

По условию задачи, расстояние $S = 230,4$ км, а время $t = 4$ ч. Подставим эти значения в формулу:

$v = 230,4 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 57,6 \text{ км/ч}$

Это означает, что за один час поезд проходит 57,6 километра.

Ответ: 57,6 км.

б) Теперь нам нужно найти, с какой скоростью должен ехать поезд, чтобы преодолеть то же самое расстояние за другое время. Расстояние остается прежним, $S = 230,4$ км, а новое время $t = 5$ ч.

Снова используем формулу для расчета скорости:

$v = S / t$

Подставляем новые значения:

$v = 230,4 \text{ км} / 5 \text{ ч} = 46,08 \text{ км/ч}$

Таким образом, чтобы проехать то же расстояние за 5 часов, поезду необходимо двигаться со скоростью 46,08 км/ч.

Ответ: 46,08 км/ч.