Страница 127, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.398 Число m является делителем числа c. Является ли частное от деления c на m делителем числа c?

m - делитель с; m : c = a, где a - частное от деления с на m: c : a = m.

Значит, а - делитель числа с.

Ответ: является.

Да, частное от деления $c$ на $m$ всегда является делителем числа $c$. Давайте докажем это утверждение.

По условию, число $m$ является делителем числа $c$. По определению делителя, это означает, что $c$ делится на $m$ без остатка. Иными словами, существует такое целое число $k$, что выполняется равенство:

$c = m \cdot k$

В этом выражении $k$ и есть частное от деления $c$ на $m$. То есть, $k = \frac{c}{m}$.

Теперь необходимо проверить, является ли это частное, то есть число $k$, делителем числа $c$. Для этого нужно убедиться, что число $c$ делится на $k$ без остатка.

Возьмем наше исходное равенство $c = m \cdot k$ и разделим обе его части на $k$ (мы можем это сделать, если $c \neq 0$, что также означает $k \neq 0$):

$\frac{c}{k} = \frac{m \cdot k}{k}$

$\frac{c}{k} = m$

Поскольку $m$ — это целое число (согласно условию), то и результат деления $c$ на $k$ является целым числом. Это доказывает, что $k$ является делителем $c$.

Пример:
Пусть $c = 12$ и $m = 3$.
Число $3$ является делителем числа $12$.
Частное от деления $c$ на $m$ равно $12 \div 3 = 4$.
Проверяем, является ли частное (число $4$) делителем числа $c$ (число $12$). $12 \div 4 = 3$. Результат — целое число, значит, $4$ является делителем $12$.

Ответ: Да, является.

3.399 Найдите корень уравнения:

а) (154 - t) + 39 = 125;

б) 36 • (t - 87) = 252.

a)
$(154 - t) + 39 = 125$
$154 - t = 125 - 39$

$154 - t = 86$
$t = 154 - 86$

$t = 68$
Ответ: $68$.

б)
$36 · (t - 87) = 252$
$t - 87 = 252 : 36$

$t - 87 = 7$
$t = 7 + 87$
$t = 94$
Ответ: $94$.

а) $(154 - t) + 39 = 125$

В данном уравнении выражение в скобках $(154 - t)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

$154 - t = 125 - 39$

$154 - t = 86$

Теперь переменная $t$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$t = 154 - 86$

$t = 68$

Ответ: 68

б) $36 \cdot (t - 87) = 252$

В данном уравнении выражение в скобках $(t - 87)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, необходимо произведение разделить на известный множитель.

$t - 87 = 252 : 36$

$t - 87 = 7$

Теперь переменная $t$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$t = 7 + 87$

$t = 94$

Ответ: 94

3.400 Если к числу a прибавить 75, то полученное число разделится без остатка на 7. Чему равен остаток от деления числа a на 7?

$(a + 75) : 7$ без остатка

Используем признак делимости суммы: если каждое слагаемое делится на 7, то и сумма делится на 7.

$(a + 77 - 2) : 7$

$(a - 2 + 77) : 7$

а - 2 делится на 7 без остатка

при

а = 9, $(9 - 2) : 7 = 1$
а = 16, $(16 - 2) : 7 = 2$
а = 23, $(23 - 2) : 7 = 3$
а = 30, $(30 - 2) : 7 = 4$ и т.д.

Числа 9; 16; 23; 30 и т.д. при делении на 7 имеют остаток 2.

Значит, остаток от деления числа $a$ на 7 равен 2.

Ответ: 2.

По условию задачи, число $a + 75$ делится на 7 без остатка. Это означает, что остаток от деления $a + 75$ на 7 равен 0. Используя язык сравнений по модулю, это можно записать так:

$a + 75 \equiv 0 \pmod{7}$

Нам необходимо найти остаток от деления числа $a$ на 7. Обозначим этот искомый остаток буквой $r$. Тогда $a \equiv r \pmod{7}$, где $r$ — целое число от 0 до 6.

Для решения задачи сначала найдем остаток от деления числа 75 на 7:

$75 \div 7 = 10$ с остатком $5$, так как $75 = 7 \cdot 10 + 5$.

Следовательно, $75 \equiv 5 \pmod{7}$.

Теперь мы можем заменить число 75 на его остаток в исходном сравнении:

$a + 5 \equiv 0 \pmod{7}$

Чтобы выразить $a$, вычтем 5 из обеих частей этого сравнения:

$a \equiv -5 \pmod{7}$

Остаток от деления должен быть неотрицательным числом. Чтобы найти стандартное значение остатка, мы можем прибавить к отрицательному числу (-5) модуль (7) до тех пор, пока не получим число в диапазоне от 0 до 6.

$a \equiv -5 + 7 \pmod{7}$

$a \equiv 2 \pmod{7}$

Таким образом, остаток от деления числа $a$ на 7 равен 2.

Ответ: 2

3.401 Фермеру надо засеять пять полей рожью.

а) Сколькими способами можно установить для них очерёдность?

б) Сколькими способами можно установить очерёдность, если первым засеять третье поле, а вторым - четвёртое?

а) Первый фермер может засеять любое поле из пяти и выбрать его он может пятью способами. Вторым - любое поле из четырех оставшихся. Выбрать его он может четырьмя способами. Третьим - любое поле из трех оставшихся. Выбирает его тремя способами. Четвертым - любое поле из двух оставшихся. Выбирает его двумя способами. Пятым - последнее оставшееся поле. Значит, фермер может установить очередность $5 · 4 ·3 · 2 · 1 = 120$ способами.

Ответ: 120 способами.

б) Если первым засеять третье поле, вторым - четвёртое, то третьим можно засеять любое из трёх оставшихся полей и выбрать его можно тремя способами. Четвертым можно засеять любое поле из двух оставшихся и выбрать его можно двумя способами. Пятым засевают последнее оставшееся поле. В таком случае, очередность засевания полей можно выбрать$1 · 1 · 3 · 2 · 1 = 6$ способами.

Ответ: 6 способами.

а)

Для того чтобы определить, сколькими способами можно установить очерёдность посева пяти полей, необходимо найти число всех возможных перестановок этих полей. Число перестановок из $n$ различных элементов вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал).

В данном случае у нас 5 полей, то есть $n=5$. Рассчитаем количество способов:

$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Таким образом, существует 120 различных способов установить очерёдность посева.

Ответ: 120.

б)

По условию, очерёдность для первых двух этапов посева строго определена:

1. Первым засеивается третье поле.

2. Вторым засеивается четвёртое поле.

Поскольку первые две позиции в очерёдности зафиксированы, нам остаётся определить порядок посева для оставшихся трёх полей (первого, второго и пятого) на оставшихся трёх местах (третьем, четвёртом и пятом).

Количество способов расставить 3 поля по 3 местам равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Следовательно, при заданных условиях существует 6 способов установить очерёдность.

Ответ: 6.

3.402 Решите задачу двумя способами (с помощью уравнения и без составления уравнения):

1) В бочке было несколько литров воды. После проливного дождя объём воды в бочке увеличился в 9 раз, а после того, как 72 л воды использовали на полив огурцов в теплице, в бочке осталось 54 л воды. Сколько литров воды было в бочке первоначально?

2) Для строительства спортивной площадки первый самосвал привёз несколько центнеров песка, второй - ещё 42 ц, а после разгрузки третьего самосвала масса песка увеличилась в 4 раза. Сколько центнеров песка привёз первый самосвал, если три самосвала вместе привезли 268 ц?

а) Пусть x л воды было в бочке первоначально.

Было – x л
Увеличилось – в 9 раз
Использовали – 72 л
Осталось – 54 л

$9x - 72 = 54$
$9x = 54 + 72$

$9x = 126$
$x = 126 : 9$

$x = 14$

II способ:
1) $72 + 54 = 126 \left(\mathrm{л}\right)$ – было в бочке до полива огурцов.
2) $126 : 9 = 14 \left(\mathrm{л}\right)$ – было в бочке до проливного дождя.

Ответ: 14 л.

б) Пусть x ц песка привёз первый самосвал.

$(x + 42) · 4 = 268$
$x + 42 = 268 : 4$

$x + 42 = 67$
$x = 67 - 42$
$x = 25$

II способ
1) $268 : 4 = 67 \left(\mathrm{ц}\right)$ песка привезли два самосвала.
2) $67 - 42 = 25 \left(\mathrm{ц}\right)$

Ответ: 25 ц.

1)

Решение с помощью уравнения:
Пусть $x$ литров — первоначальное количество воды в бочке. После проливного дождя объём воды увеличился в 9 раз, то есть в бочке стало $9x$ литров. После того как 72 литра использовали на полив, в бочке осталось $9x - 72$ литра. По условию задачи, это количество равно 54 литрам. Составим и решим уравнение:
$9x - 72 = 54$
$9x = 54 + 72$
$9x = 126$
$x = 126 : 9$
$x = 14$
Таким образом, первоначально в бочке было 14 литров воды.

Решение без составления уравнения (по действиям):
Чтобы найти первоначальное количество воды, выполним действия в обратном порядке.
1) Найдём, сколько воды было в бочке до того, как из неё взяли 72 л на полив. Для этого к оставшимся 54 л прибавим использованные 72 л:
$54 + 72 = 126$ (л)
2) Полученные 126 л — это количество воды после того, как её первоначальный объём увеличился в 9 раз. Чтобы найти первоначальный объём, разделим 126 л на 9:
$126 : 9 = 14$ (л)
Таким образом, первоначально в бочке было 14 литров воды.

Ответ: 14 литров.

2)

Решение с помощью уравнения:
Пусть $x$ центнеров — масса песка, которую привёз первый самосвал. Второй самосвал привёз 42 ц, значит, вместе они привезли $(x + 42)$ ц песка. После разгрузки третьего самосвала общая масса песка стала в 4 раза больше, чем привезли первые два самосвала, то есть стала равна $4 \cdot (x + 42)$ ц. По условию, общая масса песка, привезённая тремя самосвалами, равна 268 ц. Составим и решим уравнение:
$4 \cdot (x + 42) = 268$
$x + 42 = 268 : 4$
$x + 42 = 67$
$x = 67 - 42$
$x = 25$
Следовательно, первый самосвал привёз 25 центнеров песка.

Решение без составления уравнения (по действиям):
Чтобы найти, сколько песка привёз первый самосвал, выполним действия в обратном порядке.
1) Известно, что общая масса песка (268 ц) в 4 раза больше массы, привезённой первыми двумя самосвалами. Найдём, сколько песка привезли первые два самосвала вместе:
$268 : 4 = 67$ (ц)
2) Эта масса (67 ц) состоит из песка, привезённого первым самосвалом, и песка от второго самосвала (42 ц). Чтобы найти, сколько привёз первый самосвал, вычтем из их общей массы массу второго:
$67 - 42 = 25$ (ц)
Следовательно, первый самосвал привёз 25 центнеров песка.

Ответ: 25 центнеров.

3.403 Вычислите.

a)
$$\begin{gathered} 340 + 7 + 60 = \\ = 340 + 60 + 7 = \\ = 400 + 7 = 407 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 19 + 102 + 18 = \\ = 19 + 102 + 18 = \\ = 19 + 120 = 139 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 201 + 13 + 9 = \\ = 201 + 9 + 13 = \\ = 210 + 13 = 223 \end{gathered}$$

б)
$$\begin{gathered} 70 - 15 = 70 - 10 + 5 = \\ = 70 - 10 - 5 = \\ = 60 - 5 = 55 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 36 - 27 = 36 - 20 + 7 = \\ = 36 - 20 - 7 = \\ = 16 - 7 = 9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 105 - 8 = 105 - 5 + 3 = \\ = 105 - 5 - 3 = \\ = 100 - 3 = 97 \end{gathered}$$

в)
$$\begin{gathered} 13 · 5 = 10 + 3 · 5 = \\ = 10 · 5 + 3 · 5 = \\ = 50 + 15 = 65 \end{gathered}$$

$4 · 50 = 200;$

$29 · 10 = 290$

г)
$500 : 100 = 5$

$240 : 30 = 8$

$800 : 40 = 20$

а)

Для вычисления суммы $340 + 7 + 60$ воспользуемся переместительным свойством сложения, чтобы сгруппировать слагаемые для удобства:
$340 + 7 + 60 = (340 + 60) + 7 = 400 + 7 = 407$.
Ответ: 407

Для вычисления суммы $19 + 102 + 18$ сгруппируем слагаемые, которые легко складываются:
$19 + 102 + 18 = (102 + 18) + 19 = 120 + 19 = 139$.
Ответ: 139

Для вычисления суммы $201 + 13 + 9$ сгруппируем последние два слагаемых:
$201 + 13 + 9 = 201 + (13 + 9) = 201 + 22 = 223$.
Ответ: 223

б)

Вычислим разность $70 - 15$ поэтапно, вычитая сначала десятки, а потом единицы:
$70 - 10 = 60$, затем $60 - 5 = 55$.
$70 - 15 = 55$.
Ответ: 55

Вычислим разность $36 - 27$:
$36 - 20 = 16$, затем $16 - 7 = 9$.
$36 - 27 = 9$.
Ответ: 9

Вычислим разность $105 - 8$. Удобно сначала вычесть 5, чтобы получить круглое число, а затем вычесть оставшуюся часть:
$105 - 8 = 105 - 5 - 3 = 100 - 3 = 97$.
Ответ: 97

в)

Для вычисления произведения $13 \cdot 5$ представим $13$ как сумму $(10 + 3)$ и используем распределительное свойство умножения:
$13 \cdot 5 = (10 + 3) \cdot 5 = 10 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 50 + 15 = 65$.
Ответ: 65

Вычислим произведение $4 \cdot 50$:
$4 \cdot 50 = 4 \cdot 5 \cdot 10 = 20 \cdot 10 = 200$.
Ответ: 200

При умножении числа на $10$ достаточно приписать к нему один ноль в конце:
$29 \cdot 10 = 290$.
Ответ: 290

г)

При делении числа, оканчивающегося на нули, на $100$, можно убрать два нуля в конце:
$500 : 100 = 5$.
Ответ: 5

Для вычисления частного $800 : 40$ можно убрать по одному нулю у делимого и делителя (то есть разделить оба числа на 10):
$800 : 40 = 80 : 4 = 20$.
Ответ: 20

Аналогично, для вычисления частного $240 : 30$ уберем по одному нулю:
$240 : 30 = 24 : 3 = 8$.
Ответ: 8

3.404 Является ли чётным числом:

а) квадрат нечётного числа;

б) куб нечётного числа;

в) куб чётного числа?

a) квадрат нечётного числа не является чётным числом $3^2 = 3 · 3 = 9$ – нечётное;

б) куб нечётного числа не является чётным числом $3^3 = 3 · 3 · 3 = 27$ – нечётное;

в) куб чётного числа является чётным числом $4^3 = 4 · 4 · 4 = 16 · 4 = 64$ – чётное.

Ответ: a) нет; б) нет; в) да.

а) квадрат нечётного числа

Чтобы определить, является ли квадрат нечётного числа чётным, воспользуемся общим видом нечётного числа. Любое нечётное число $n$ можно представить формулой $n = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число.

Возведём это выражение в квадрат, чтобы найти квадрат нечётного числа: $n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot (2k) \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$.

Преобразуем полученное выражение, вынеся общий множитель 2 за скобки у первых двух слагаемых: $4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$.

Обозначим выражение в скобках как $m = 2k^2 + 2k$. Поскольку $k$ — целое число, $m$ также будет целым числом. Тогда квадрат нечётного числа можно представить в виде $2m + 1$.

Выражение вида $2m + 1$ по определению является нечётным числом. Следовательно, квадрат нечётного числа всегда является нечётным числом.

Ответ: Нет, квадрат нечётного числа является нечётным числом.

б) куб нечётного числа

Аналогично предыдущему пункту, представим нечётное число в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число.

Найдём куб этого числа. Куб нечётного числа — это произведение трёх нечётных чисел: $(2k+1) \cdot (2k+1) \cdot (2k+1)$. Произведение нечётных чисел всегда даёт нечётное число. Следовательно, куб нечётного числа также будет нечётным.

Докажем это алгебраически. Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$: $n^3 = (2k + 1)^3 = (2k)^3 + 3 \cdot (2k)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2k) \cdot 1^2 + 1^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки у первых трёх слагаемых: $8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1$.

Обозначим выражение в скобках как $p = 4k^3 + 6k^2 + 3k$. Поскольку $k$ — целое число, $p$ также является целым числом. Выражение для куба нечётного числа можно записать как $2p + 1$.

Это формула нечётного числа. Значит, куб нечётного числа всегда нечётен.

Ответ: Нет, куб нечётного числа является нечётным числом.

в) куб чётного числа?

Любое чётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — любое целое число.

Возведём это выражение в куб: $n^3 = (2k)^3 = 2^3 \cdot k^3 = 8k^3$.

Чтобы проверить, является ли результат чётным, посмотрим, делится ли он на 2. Число $8k^3$ можно представить в виде $2 \cdot (4k^3)$. Поскольку в произведении есть множитель 2, то всё число $8k^3$ делится на 2 нацело.

Обозначим выражение в скобках как $q = 4k^3$. Так как $k$ — целое число, то и $q$ будет целым. Тогда куб чётного числа можно записать как $2q$.

Выражение вида $2q$ по определению является чётным числом. Следовательно, куб любого чётного числа всегда является чётным числом.

Ответ: Да, куб чётного числа является чётным числом.

3.405 Ширина прямоугольника 60 см. Верно ли, что значение площади (в квадратных сантиметрах):

а) кратно 2;

б) кратно 5;

в) кратно 6;

г) кратно 9;

д) кратно 12?

Пусть a см - длина прямоугольника, тогда 60a кв. см – площадь прямоугольника.

а) По свойству делимости произведения 60 кратно 2. Значит, 60a кратно 2;

б) По свойству делимости произведения 60 кратно 5. Значит, 60a кратно 5;

в) По свойству делимости произведения 60 кратно 6. Значит, 60a кратно 6;

г) Площадь прямоугольника будет кратна 9 только тогда, если длина a будет кратна 9;

д) По свойству делимости произведения 60 кратно 12. Значит, 60a кратно 12.

Ответ: а) верно; б) верно; в) верно; г) зависит от длины прямоугольника; д) верно.

Пусть ширина прямоугольника равна $b$, а длина — $a$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

По условию задачи, ширина $b = 60$ см. Следовательно, площадь равна $S = a \cdot 60$ см?.

Чтобы ответить на вопросы, мы должны определить, будет ли значение площади $S$ всегда кратно указанным числам, независимо от длины $a$. В задачах на делимость обычно предполагается, что все измерения являются целыми числами. Будем считать, что длина $a$ — это целое число сантиметров.

Свойство делимости произведения гласит: если один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число. Мы будем проверять, делится ли число 60 на 2, 5, 6, 9 и 12.

а) кратно 2

Проверим, всегда ли площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 2. Число 60 является чётным, оно делится на 2 без остатка ($60 = 2 \cdot 30$). Поскольку один из множителей (60) делится на 2, то и всё произведение $S = a \cdot 60$ будет делиться на 2 при любом целом значении длины $a$. Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

б) кратно 5

Проверим, всегда ли площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 5. Число 60 оканчивается на 0, поэтому оно делится на 5 без остатка ($60 = 5 \cdot 12$). Так как один из множителей (60) делится на 5, то и произведение $S = a \cdot 60$ будет делиться на 5 при любом целом значении $a$. Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

в) кратно 6

Проверим, всегда ли площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 6. Число 60 делится на 6 без остатка ($60 = 6 \cdot 10$). Поскольку множитель 60 делится на 6, то и произведение $S = a \cdot 60$ будет делиться на 6 при любом целом значении $a$. Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

г) кратно 9

Проверим, всегда ли площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 9. Чтобы число было кратно 9, сумма его цифр должна быть кратна 9. Сумма цифр числа 60 равна $6+0=6$, что не делится на 9. Следовательно, 60 не кратно 9. Площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 9 только в том случае, если второй множитель (длина $a$) "добавит" недостающий множитель 3. То есть, если $a$ будет кратно 3. Однако длина $a$ может быть любым целым числом. Например, если взять длину $a = 1$ см, то площадь будет равна $S = 1 \cdot 60 = 60$ см?. Число 60 не кратно 9. Поскольку существует хотя бы один случай, когда площадь не кратна 9, утверждение не является верным для любого прямоугольника с шириной 60 см.

Ответ: Нет, неверно.

д) кратно 12

Проверим, всегда ли площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 12. Число 60 делится на 12 без остатка ($60 = 12 \cdot 5$). Поскольку один из множителей (60) делится на 12, то и произведение $S = a \cdot 60$ будет делиться на 12 при любом целом значении $a$. Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

3.406 Всегда ли верно:

а) если каждое слагаемое кратно числу n, то и сумма кратна числу n;

б) если уменьшаемое и вычитаемое не кратны числу n, то разность кратна числу n?

a) По свойству делимости суммы каждое слагаемое кратно n, то и сумма кратна n.

Ответ: верно всегда.

б) Если уменьшаемое и вычитаемое не кратны числу n, то разность кратна числу n.

Это утверждение верно не всегда.

Например, числа 9 и 3 не кратны 2, а их разность $9 - 3 = 6$ кратна 2.

Это утверждение верно.

Числа 22 и 14 не кратны 3 и разность $22 - 14 = 8$ так же не кратна 3.

Значит, данное утверждение неверно.

Ответ: верно не всегда.

а) Да, это утверждение всегда верно. Давайте докажем это с помощью свойств делимости.

Если число $a$ кратно числу $n$, то его можно представить в виде $a = k \cdot n$, где $k$ — некоторое целое число.

Пусть у нас есть сумма нескольких слагаемых, например, $a_1, a_2, \dots, a_m$. По условию, каждое из этих слагаемых кратно числу $n$. Это значит, что:

$a_1 = k_1 \cdot n$

$a_2 = k_2 \cdot n$

...

$a_m = k_m \cdot n$

где $k_1, k_2, \dots, k_m$ — целые числа.

Найдем их сумму $S$:

$S = a_1 + a_2 + \dots + a_m = (k_1 \cdot n) + (k_2 \cdot n) + \dots + (k_m \cdot n)$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки, используя распределительный закон:

$S = n \cdot (k_1 + k_2 + \dots + k_m)$

Сумма целых чисел $(k_1 + k_2 + \dots + k_m)$ также является целым числом. Обозначим эту сумму как $K$.

Тогда $S = n \cdot K$.

Это выражение по определению означает, что сумма $S$ кратна числу $n$. Утверждение доказано.

Например, для $n=7$, слагаемые 14 и 21 кратны 7. Их сумма $14 + 21 = 35$ также кратна 7 ($35 = 5 \cdot 7$).

Ответ: да, верно.

б) Нет, это утверждение не всегда верно. Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно найти хотя бы один пример, где оно не выполняется (такой пример называется контрпримером).

Условие: уменьшаемое $a$ и вычитаемое $b$ не кратны числу $n$.

Предполагаемое заключение: разность $(a-b)$ кратна числу $n$.

Рассмотрим контрпример.

Пусть $n = 5$.

В качестве уменьшаемого возьмем $a = 12$. Число 12 не кратно 5 (при делении на 5 дает остаток 2).

В качестве вычитаемого возьмем $b = 8$. Число 8 не кратно 5 (при делении на 5 дает остаток 3).

Оба числа, 12 и 8, удовлетворяют условию — они не кратны 5.

Найдем их разность:

$a - b = 12 - 8 = 4$

Полученная разность, равная 4, не кратна числу 5. Следовательно, заключение не выполнилось.

Поскольку мы нашли случай, когда условие истинно, а заключение ложно, мы можем утверждать, что исходное утверждение не всегда верно.

Заметим, что это утверждение будет верным только в том случае, если уменьшаемое и вычитаемое при делении на число $n$ дают одинаковые остатки. Например, если $n=5$, $a=12$ (остаток 2) и $b=7$ (остаток 2), то их разность $12 - 7 = 5$ кратна 5. Но поскольку это выполняется не для всех случаев, общее утверждение неверно.

Ответ: нет, не всегда верно.

3.407 Как быстро узнать, делится ли на 2:

а) 73 483 + 45 231. Эта сумма делится на 2, так как цифры в разряде единиц в сумме дают чётное число, т.е. $3 + 1 = 4,$ 4 делится на 2.

Сумма 44 334 + 81 625 не делится на 2, так как сумма цифр, стоящих в разряде единиц равна 9 $(4 + 5 = 9),$ 9 на 2 не делится.

Сумма 73 244 + 73 696 делится на 2, так как каждое слагаемое этой суммы делится на 2.

б) Разность 73 449 – 61 114 не делится на 2, так как разность цифр, стоящих в разряде единиц не делится на 2 $(9 - 4 = 5).$

Разность 264 121 – 111 245 делится на 2, так как оканчивается чётной цифрой 6 $(11 - 5 = 6).$

Разность 48 573 – 12 563 делится на 2, так как оканчивается цифрой 0 $(3 - 3 = 0).$

Чтобы быстро определить, делится ли результат на 2, не нужно выполнять полное вычисление. Достаточно проанализировать четность чисел (то есть их делимость на 2), которая определяется их последней цифрой.

Правила четности:
— Число является четным (делится на 2), если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8.
— Число является нечетным (не делится на 2), если его последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9.

Свойства четности при сложении и вычитании:
— Сумма или разность двух чисел одинаковой четности всегда дает четное число: $Четное \pm Четное = Четное$, $Нечетное \pm Нечетное = Четное$.
— Сумма или разность двух чисел разной четности всегда дает нечетное число: $Четное \pm Нечетное = Нечетное$.
Результат делится на 2, только если он является четным числом.

а) сумма

Для суммы $73 483 + 45 231$:
Число 73 483 — нечетное (оканчивается на 3).
Число 45 231 — нечетное (оканчивается на 1).
Сумма двух нечетных чисел ($Нечетное + Нечетное$) является четным числом. Следовательно, результат делится на 2.
Ответ: делится.

Для суммы $44 334 + 81 625$:
Число 44 334 — четное (оканчивается на 4).
Число 81 625 — нечетное (оканчивается на 5).
Сумма четного и нечетного чисел ($Четное + Нечетное$) является нечетным числом. Следовательно, результат не делится на 2.
Ответ: не делится.

Для суммы $73 244 + 73 696$:
Число 73 244 — четное (оканчивается на 4).
Число 73 696 — четное (оканчивается на 6).
Сумма двух четных чисел ($Четное + Четное$) является четным числом. Следовательно, результат делится на 2.
Ответ: делится.

б) разность

Для разности $73 449 - 61 114$:
Число 73 449 — нечетное (оканчивается на 9).
Число 61 114 — четное (оканчивается на 4).
Разность нечетного и четного чисел ($Нечетное - Четное$) является нечетным числом. Следовательно, результат не делится на 2.
Ответ: не делится.

Для разности $264 121 - 111 245$:
Число 264 121 — нечетное (оканчивается на 1).
Число 111 245 — нечетное (оканчивается на 5).
Разность двух нечетных чисел ($Нечетное - Нечетное$) является четным числом. Следовательно, результат делится на 2.
Ответ: делится.

Для разности $48 573 - 12 563$:
Число 48 573 — нечетное (оканчивается на 3).
Число 12 563 — нечетное (оканчивается на 3).
Разность двух нечетных чисел ($Нечетное - Нечетное$) является четным числом. Следовательно, результат делится на 2.
Ответ: делится.

3.408 Любое ли число, делящееся на 2, делится и на 4?

Не любое число, делящееся на 2, делится на 4. Например, 22 делится на 2, но не делится на 4.

Ответ: нет.

Данное утверждение является ложным. Чтобы доказать, что некое утверждение, начинающееся со слов «любое» или «каждое», неверно, достаточно найти хотя бы один пример, который ему противоречит. Такой пример называется контрпримером.

Рассмотрим числа, которые делятся на 2. Это все четные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12 и так далее. Теперь проверим, делятся ли все они на 4.

• Число 4 делится на 2 ($4 \div 2 = 2$) и делится на 4 ($4 \div 4 = 1$).
• Число 8 делится на 2 ($8 \div 2 = 4$) и делится на 4 ($8 \div 4 = 2$).

Однако, если мы возьмем число 6:

• Число 6 делится на 2 без остатка: $6 \div 2 = 3$.
• Число 6 не делится на 4 без остатка: $6 \div 4 = 1$ (остаток 2).

Другими контрпримерами являются числа 2, 10, 14, 18 и так далее. Например, число 10 делится на 2 ($10 \div 2 = 5$), но не делится на 4 ($10 \div 4 = 2$ (остаток 2)).

Таким образом, существование хотя бы одного числа (например, 6), которое делится на 2, но не делится на 4, доказывает, что исходное утверждение неверно. Верно обратное утверждение: любое число, которое делится на 4, обязательно делится и на 2, так как $4 = 2 \times 2$.

Ответ: нет, не любое.

3.409 а) Всегда ли запись числа, делящегося на 5, оканчивается цифрой 5?

б) Может ли число, не делящееся на 5, оканчиваться цифрой 0?

а) Запись числа, делящегося на 5, может оканчиваться и цифрой 0.

Ответ: не всегда.

б) Число, не делящееся на 5, не может оканчиваться цифрой 0.

Число, оканчивающееся на 0 и 5, всегда делятся на 5.

Ответ: не может.

а) Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся признаком делимости на 5. Натуральное число делится на 5 без остатка в том и только в том случае, если его последняя цифра — это 0 или 5.
Вопрос заключается в том, всегда ли число, кратное 5, оканчивается именно на цифру 5. Это не так. Существуют числа, которые делятся на 5, но оканчиваются на 0. Например, число 10. Оно делится на 5, так как $10 \div 5 = 2$, но его последняя цифра — 0. Другие примеры: 20, 50, 100.
Следовательно, утверждение, что запись числа, делящегося на 5, всегда оканчивается цифрой 5, является ложным.
Ответ: нет, не всегда.

б) Этот вопрос также связан с признаком делимости на 5. Как мы установили, число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
Вопрос: может ли число, которое не делится на 5, оканчиваться на 0?
Если число оканчивается на 0, то согласно признаку делимости, оно обязательно делится на 5. Любое целое число, оканчивающееся на 0, можно представить в виде $N = 10k$, где $k$ — некоторое целое число. Поскольку $10 = 2 \times 5$, то $N = (2 \times 5) \times k = 5 \times (2k)$. Это означает, что любое число, оканчивающееся на 0, всегда делится на 5.
Таким образом, число, не делящееся на 5, не может оканчиваться на 0.
Ответ: нет, не может.

3.410 Какой цифрой оканчивается запись числа, делящегося на 5, если оно:

а) чётное;

б) нечётное?

a) Чётное число, делящееся на 5, оканчивается цифрой 0.

б) Нечётное число, делящееся на 5, оканчивается цифрой 5.

Для решения этой задачи используется признак делимости на 5. Натуральное число делится на 5 без остатка в том и только в том случае, если его запись оканчивается цифрой 0 или 5.

а) чётное

По условию, число делится на 5, значит, его последняя цифра может быть либо 0, либо 5.

Также по условию, это число является чётным. Признак чётности числа — его последняя цифра должна быть чётной. Множество чётных цифр: $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, нужно найти общую цифру для двух признаков. Сравним возможные последние цифры:

• Признак делимости на 5: последняя цифра из множества $\{0, 5\}$.
• Признак чётности: последняя цифра из множества $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

Единственная цифра, которая присутствует в обоих множествах, — это 0. Математически это можно записать как пересечение множеств: $\{0, 5\} \cap \{0, 2, 4, 6, 8\} = \{0\}$.

Следовательно, если число делится на 5 и является чётным, оно оканчивается на 0.

Ответ: 0.

б) нечётное

По условию, число делится на 5, значит, его последняя цифра может быть либо 0, либо 5.

Также по условию, это число является нечётным. Признак нечётности числа — его последняя цифра должна быть нечётной. Множество нечётных цифр: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, нужно найти общую цифру для двух признаков. Сравним возможные последние цифры:

• Признак делимости на 5: последняя цифра из множества $\{0, 5\}$.
• Признак нечётности: последняя цифра из множества $\{1, 3, 5, 7, 9\}$.

Единственная цифра, которая присутствует в обоих множествах, — это 5. Математически это можно записать как пересечение множеств: $\{0, 5\} \cap \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{5\}$.

Следовательно, если число делится на 5 и является нечётным, оно оканчивается на 5.

Ответ: 5.

3.411 Можно ли записать вместо знака * цифру, чтобы полученное число делилось на 5:

а) 279*;

б) 55*5;

в) 6*13?

а) 2790 или 2795

Ответ: можно, 0 или 5.

б) Так как число 55*5 оканчивается на цифру 5, то оно делится на 5, не зависимо от того, какую цифру записать в разряде десятков.

Ответ: можно, любую цифру.

в) Так как число 6*13 оканчивается цифрой 3, то оно не делится на 5, не зависимо от того, какую цифру записать в разряде сотен

Ответ: нет.

Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5. Проанализируем каждый случай, используя это правило.

а) В числе 279* звёздочка * заменяет последнюю цифру. Чтобы число делилось на 5, на месте * должна стоять цифра 0 или 5. Таким образом, мы можем получить числа 2790 и 2795. Оба этих числа делятся на 5: $2790 : 5 = 558$ и $2795 : 5 = 559$.
Ответ: да, можно. Вместо знака * можно записать цифры 0 или 5.

б) В числе 55*5 последняя цифра равна 5. Это означает, что число уже удовлетворяет признаку делимости на 5. Звёздочка * находится в разряде десятков и не влияет на последнюю цифру. Поэтому вместо * можно поставить любую цифру от 0 до 9, и число всё равно будет делиться на 5. Например, если * = 3, то $5535 : 5 = 1107$.
Ответ: да, можно. Вместо знака * можно записать любую цифру от 0 до 9.

в) В числе 6*13 последняя цифра равна 3. Поскольку последняя цифра не 0 и не 5, это число не делится на 5. Положение звёздочки * в разряде сотен не позволяет изменить последнюю цифру. Следовательно, невозможно подобрать такую цифру, чтобы число делилось на 5.
Ответ: нет, нельзя.

3.412 Сколько трёхзначных чисел можно составить из различных чётных цифр, не используя 0?

Чётные цифры: 2; 4; 6; 8.

Первую цифру в разряд сотен можно выбрать четырьмя способами. Вторую цифру в разряд десятков можно выбрать тремя оставшимися способами. Третью цифру в разряд единиц можно выбрать двумя оставшимися способами. Значит, из чётных цифр, не считая нуля, можно составить $4 · 3 · 2 = 24$ трёхзначных числа.

Ответ: 24 трёхзначных числа.

Для решения этой задачи необходимо определить, из какого набора цифр можно составлять числа, а затем посчитать количество возможных комбинаций, учитывая, что все цифры в числе должны быть разными.

Сначала определим множество доступных цифр. Согласно условию, мы должны использовать чётные цифры, но не использовать цифру 0. Множество всех чётных цифр — это {0, 2, 4, 6, 8}. Исключив 0, мы получаем следующий набор для составления чисел: {2, 4, 6, 8}. Таким образом, в нашем распоряжении 4 различные цифры.

Нам нужно составить трёхзначные числа. Это значит, что каждое число состоит из трёх позиций: сотен, десятков и единиц. Так как все цифры в числе должны быть различными, мы будем выбирать их без повторений.

Применим комбинаторное правило умножения для подсчёта вариантов:

На первую позицию (разряд сотен) можно поставить любую из 4-х доступных цифр. Следовательно, у нас есть 4 способа выбора.

После выбора первой цифры, для второй позиции (разряд десятков) остаётся 3 доступные цифры, так как одна уже использована. Следовательно, у нас есть 3 способа выбора.

Для третьей позиции (разряд единиц) остаётся 2 неиспользованные цифры. Следовательно, у нас есть 2 способа выбора.

Чтобы найти общее количество возможных трёхзначных чисел, необходимо перемножить количество способов для каждой позиции:
$4 \times 3 \times 2 = 24$

Этот же результат можно получить, используя формулу для нахождения числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$, которая имеет вид: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашей задаче общее количество элементов $n=4$ (цифры 2, 4, 6, 8), а выбираем мы по $k=3$ элемента (поскольку число трёхзначное):
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, существует 24 способа составить трёхзначное число из различных чётных цифр, не используя 0.

Ответ: 24

3.413 Верно ли, что чётным числом является:

а) сумма двух чётных чисел;

б) разность двух нечётных чисел;

в) произведение двух чётных чисел;

г) произведение двух нечётных чисел?

а) Верно, $6 + 8 = 14$

б) Верно, $11 - 7 = 4$

в) Верно, $8 · 4 = 32$

г) Неверно, $3 · 7 = 21$

а) сумма двух чётных чисел;

Да, это утверждение верно. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число. Возьмём два произвольных чётных числа, $a$ и $b$. Их можно записать как $a = 2k_1$ и $b = 2k_2$, где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа. Их сумма будет равна: $a + b = 2k_1 + 2k_2 = 2(k_1 + k_2)$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их сумма $(k_1 + k_2)$ также является целым числом. Обозначим $k_3 = k_1 + k_2$. Тогда сумма $a+b$ равна $2k_3$, что по определению является чётным числом. Например, $4 + 8 = 12$.

Ответ: да, верно.

б) разность двух нечётных чисел;

Да, это утверждение верно. Нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Любое нечётное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — целое число. Возьмём два произвольных нечётных числа, $a$ и $b$. Их можно записать как $a = 2k_1 + 1$ и $b = 2k_2 + 1$, где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа. Их разность будет равна: $a - b = (2k_1 + 1) - (2k_2 + 1) = 2k_1 + 1 - 2k_2 - 1 = 2k_1 - 2k_2 = 2(k_1 - k_2)$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их разность $(k_1 - k_2)$ также является целым числом. Обозначим $k_3 = k_1 - k_2$. Тогда разность $a-b$ равна $2k_3$, что по определению является чётным числом. Например, $9 - 3 = 6$.

Ответ: да, верно.

в) произведение двух чётных чисел;

Да, это утверждение верно. Возьмём два произвольных чётных числа, $a$ и $b$. Их можно записать как $a = 2k_1$ и $b = 2k_2$, где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа. Их произведение будет равно: $a \cdot b = (2k_1) \cdot (2k_2) = 4k_1k_2 = 2(2k_1k_2)$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, выражение $(2k_1k_2)$ также является целым числом. Обозначим $k_3 = 2k_1k_2$. Тогда произведение $a \cdot b$ равно $2k_3$, что по определению является чётным числом. Например, $2 \cdot 6 = 12$.

Ответ: да, верно.

г) произведение двух нечётных чисел?

Нет, это утверждение неверно. Возьмём два произвольных нечётных числа, $a$ и $b$. Их можно записать как $a = 2k_1 + 1$ и $b = 2k_2 + 1$, где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа. Их произведение будет равно: $a \cdot b = (2k_1 + 1)(2k_2 + 1) = 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1$. Вынесем 2 за скобки у первых трёх слагаемых: $a \cdot b = 2(2k_1k_2 + k_1 + k_2) + 1$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, выражение в скобках $(2k_1k_2 + k_1 + k_2)$ также является целым числом. Обозначим $k_3 = 2k_1k_2 + k_1 + k_2$. Тогда произведение $a \cdot b$ равно $2k_3 + 1$, что по определению является нечётным числом, а не чётным. Например, $3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: нет, неверно.

6.239 Округлите число 73628,2731 до:

а) целых;

б) десятых;

в) сотых;

г) десятков;

д) тысячных.

а) целых;

Чтобы округлить число 73628,2731 до целых, нужно посмотреть на цифру в разряде десятых (первая цифра после запятой). Это цифра 2.
Согласно правилу округления, если эта цифра меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то целая часть не меняется, а дробная часть отбрасывается.
Так как $2 < 5$, то целую часть оставляем без изменений.
$73628,2731 \approx 73628$
Ответ: 73628.

б) десятых;

Чтобы округлить число 73628,2731 до десятых, нужно посмотреть на цифру в разряде сотых (вторая цифра после запятой). Это цифра 7.
Согласно правилу округления, если эта цифра 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9), то цифру в разряде десятых нужно увеличить на 1, а все последующие цифры в дробной части отбросить.
Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде десятых (2) увеличиваем на 1: $2+1=3$.
$73628,2731 \approx 73628,3$
Ответ: 73628,3.

в) сотых;

Чтобы округлить число 73628,2731 до сотых, нужно посмотреть на цифру в разряде тысячных (третья цифра после запятой). Это цифра 3.
Так как $3 < 5$, то цифру в разряде сотых (7) оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.
$73628,2731 \approx 73628,27$
Ответ: 73628,27.

г) десятков;

Чтобы округлить число 73628,2731 до десятков, нужно посмотреть на цифру в разряде единиц. Это цифра 8.
Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде десятков (2) увеличиваем на 1 ($2+1=3$), цифру в разряде единиц заменяем на 0, а дробную часть отбрасываем.
$73628,2731 \approx 73630$
Ответ: 73630.

д) тысячных.

Чтобы округлить число 73628,2731 до тысячных, нужно посмотреть на цифру в разряде десятитысячных (четвертая цифра после запятой). Это цифра 1.
Так как $1 < 5$, то цифру в разряде тысячных (3) оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.
$73628,2731 \approx 73628,273$
Ответ: 73628,273.

6.240 Вычислите:

a) $4\frac{1}{13} + 4\frac{5}{13}$

Чтобы сложить смешанные числа с одинаковыми знаменателями, нужно отдельно сложить их целые части и отдельно — дробные.

Складываем целые части: $4 + 4 = 8$.

Складываем дробные части: $\frac{1}{13} + \frac{5}{13} = \frac{1+5}{13} = \frac{6}{13}$.

Объединяем результат: $8 + \frac{6}{13} = 8\frac{6}{13}$.

Ответ: $8\frac{6}{13}$.

б) $7\frac{3}{5} - 2\frac{2}{5}$

Чтобы вычесть смешанные числа с одинаковыми знаменателями, нужно отдельно вычесть их целые части и отдельно — дробные части. Убедимся, что дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{5}$) больше дробной части вычитаемого ($\frac{2}{5}$). Это условие выполняется.

Вычитаем целые части: $7 - 2 = 5$.

Вычитаем дробные части: $\frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3-2}{5} = \frac{1}{5}$.

Объединяем результат: $5 + \frac{1}{5} = 5\frac{1}{5}$.

Ответ: $5\frac{1}{5}$.

в) $9\frac{7}{8} - \frac{5}{32}$

Для вычитания дробей с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 32 — это 32.

Приведем дробную часть первого числа к знаменателю 32: $\frac{7}{8} = \frac{7 \times 4}{8 \times 4} = \frac{28}{32}$.

Теперь исходное выражение выглядит так: $9\frac{28}{32} - \frac{5}{32}$.

Целая часть остается без изменений, так как у вычитаемого она равна нулю. Вычитаем дробные части: $\frac{28}{32} - \frac{5}{32} = \frac{28-5}{32} = \frac{23}{32}$.

Собираем результат: $9\frac{23}{32}$.

Ответ: $9\frac{23}{32}$.

г) $\frac{6}{12} + 8\frac{1}{18}$

Сначала упростим дробь $\frac{6}{12}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6: $\frac{6}{12} = \frac{6:6}{12:6} = \frac{1}{2}$.

Теперь задача выглядит так: $\frac{1}{2} + 8\frac{1}{18}$.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 18 — это 18.

Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 18: $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 9}{2 \times 9} = \frac{9}{18}$.

Теперь сложим дроби: $\frac{9}{18} + 8\frac{1}{18}$.

Целая часть равна 8. Складываем дробные части: $\frac{9}{18} + \frac{1}{18} = \frac{9+1}{18} = \frac{10}{18}$.

Полученную дробь $\frac{10}{18}$ можно сократить на 2: $\frac{10:2}{18:2} = \frac{5}{9}$.

Собираем результат: $8\frac{5}{9}$.

Ответ: $8\frac{5}{9}$.

6.241 Сравните выражения:

а) Сравним выражения $\frac{3}{17} + \frac{6}{17}$ и $\frac{2}{17} + \frac{8}{17}$.

Сначала вычислим значение первого выражения. Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем сложить их числители:

$\frac{3}{17} + \frac{6}{17} = \frac{3+6}{17} = \frac{9}{17}$.

Теперь вычислим значение второго выражения. Здесь знаменатели также одинаковы:

$\frac{2}{17} + \frac{8}{17} = \frac{2+8}{17} = \frac{10}{17}$.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{9}{17}$ и $\frac{10}{17}$.

При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями большей является та дробь, у которой числитель больше. Так как $9 < 10$, то $\frac{9}{17} < \frac{10}{17}$.

Следовательно, $\frac{3}{17} + \frac{6}{17} < \frac{2}{17} + \frac{8}{17}$.

Ответ: $\frac{3}{17} + \frac{6}{17} < \frac{2}{17} + \frac{8}{17}$.

б) Сравним выражения $\frac{7}{19} \uparrow \frac{3}{19}$ и $\frac{9}{16} \uparrow \frac{5}{16}$.

Символ $\uparrow$ не является стандартным математическим знаком. В контексте подобных задач он, скорее всего, обозначает вычитание. Выполним сравнение, исходя из этого предположения.

Вычислим значение первого выражения:

$\frac{7}{19} - \frac{3}{19} = \frac{7-3}{19} = \frac{4}{19}$.

Вычислим значение второго выражения:

$\frac{9}{16} - \frac{5}{16} = \frac{9-5}{16} = \frac{4}{16}$.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{4}{19}$ и $\frac{4}{16}$.

При сравнении дробей с одинаковыми числителями ($4=4$), большей является та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $19 > 16$, то $\frac{4}{19} < \frac{4}{16}$.

Следовательно, $\frac{7}{19} \uparrow \frac{3}{19} < \frac{9}{16} \uparrow \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{7}{19} \uparrow \frac{3}{19} < \frac{9}{16} \uparrow \frac{5}{16}$.

в) Сравним выражения $\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14}$ и $\frac{3}{8} : \frac{9}{16}$.

Вычислим значение первого выражения. Для этого перемножим дроби, предварительно выполнив сокращение:

$\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14} = \frac{7 \cdot 5}{10 \cdot 14} = \frac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 7)} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

Вычислим значение второго выражения. Деление на дробь (обозначено знаком ":") заменяется умножением на обратную дробь:

$\frac{3}{8} : \frac{9}{16} = \frac{3}{8} \cdot \frac{16}{9} = \frac{3 \cdot 16}{8 \cdot 9} = \frac{3 \cdot (2 \cdot 8)}{8 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{2}{3}$.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{1}{4}$ и $\frac{2}{3}$.

Приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 4 и 3 является 12.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$.

Так как $3 < 8$, то $\frac{3}{12} < \frac{8}{12}$.

Следовательно, $\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14} < \frac{3}{8} : \frac{9}{16}$.

Ответ: $\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14} < \frac{3}{8} : \frac{9}{16}$.

6.242 При измерении роста Даши, Лены, Оли и Светы получили следующие данные: 145,5 см; 160,3 см; 148,9 см; 155,4 см. Найдите рост каждой девочки, если Даша выше Светы, но ниже Лены, а Оля ниже Светы.

$\text{Даша}>\text{Света}$

$\text{Даша}<\text{Лена}$

$\text{Оля}<\text{Света}$

$\text{Оля}<\text{Света}<\text{Даша}<\text{Лена}$

$\mathrm{145,5}\text{ см}<\mathrm{148,9}\text{ см}<\mathrm{155,4}\text{ см}<\mathrm{160,3}\text{ см}$

$\text{Оля} = \mathrm{145,5}\text{ см}$

$\text{Света} = \mathrm{148,9}\text{ см}$

$\text{Даша} = \mathrm{155,4}\text{ см}$

$\text{Лена} = \mathrm{160,3}\text{ см}$

Для того чтобы определить рост каждой девочки, сначала проанализируем условия, данные в задаче, и составим на их основе логическую цепочку соотношений роста.

Условия задачи можно представить в виде следующих неравенств:
1. Даша выше Светы: $Рост_{Даши} > Рост_{Светы}$
2. Даша ниже Лены: $Рост_{Даши} < Рост_{Лены}$
3. Оля ниже Светы: $Рост_{Оли} < Рост_{Светы}$

Теперь объединим все эти неравенства в одно общее. Из условий (1) и (3) следует, что Оля ниже Светы, а Света ниже Даши ($Рост_{Оли} < Рост_{Светы} < Рост_{Даши}$). Условие (2) говорит нам, что Лена выше Даши. Таким образом, мы можем выстроить всех девочек по росту от самой низкой к самой высокой:
$Рост_{Оли} < Рост_{Светы} < Рост_{Даши} < Рост_{Лены}$

Далее расположим предложенные числовые значения роста в порядке возрастания:
145,5 см; 148,9 см; 155,4 см; 160,3 см.

Теперь сопоставим полученный порядок имен с упорядоченным списком значений роста:
- Рост Оли (самой низкой) составляет 145,5 см.
- Рост Светы (второй по росту) составляет 148,9 см.
- Рост Даши (третьей по росту) составляет 155,4 см.
- Рост Лены (самой высокой) составляет 160,3 см.

Ответ: рост Оли — 145,5 см, рост Светы — 148,9 см, рост Даши — 155,4 см, рост Лены — 160,3 см.

6.243 Упростите выражение и найдите его значение:

а) 47,8 - 13,43 - m при m = 2,75;

б) 28,6 + k + 4,6 при k = 3,6.

a) $47.8 - 13.43 - m = 34.37 - m$

- 47,80

13,43

-----

34,37

при $m = 2.75$; $34.37 - 2.75 =$

- 34,37

2,75

----

31,62

= $31.62$

б) $28.6 + k + 4.6 = (28.6 + 4.6) + k = 33.2 + k$

① ①

+ 28,6

4,6

----

33,2

при $k = 3.6$; $33.2 + 3.6 = 36.8$

а) Сначала упростим выражение, выполнив вычитание чисел: $47,8 - 13,43 - m = (47,8 - 13,43) - m = 34,37 - m$.
Теперь подставим данное значение $m = 2,75$ в упрощенное выражение и найдем его значение:$34,37 - 2,75 = 31,62$.
Ответ: $31,62$

б) Сначала упростим выражение, сгруппировав и сложив числа: $28,6 + k + 4,6 = (28,6 + 4,6) + k = 33,2 + k$.
Теперь подставим данное значение $k = 3,6$ в упрощенное выражение и найдем его значение:$33,2 + 3,6 = 36,8$.
Ответ: $36,8$

6.244 Решите уравнение:

а) 27,2 - (y - 2,8) = 22,4;

б) 46,48 - (5,6 + z) = 36,48.

a) $27.2-(y-2.8) = 22.4$

$y-2.8 = 27.2-22.4$

$y-2.8 = 4.8$

$y = 4.8 + 2.8$

$y = 7.6$

Ответ: 7,6

$\begin{array}{cc}-\hfill & \hfill 27.2\\ \hfill & \hfill 22.4\\ \hfill & \text{———}\\ \hfill & \hfill 4.8\end{array}$

$\begin{array}{cc} + \hfill & \hfill 4.8\\ \hfill & \hfill 2.8\\ \hfill & \text{———}\\ \hfill & \hfill 7.6\end{array}$

б) $46.48-(5.6 + z) = 36.48$

$5.6 + z = 46.48-36.48$

$5.6 + z = 10$

$z = 10-5.6$

$z = 4.4$

Ответ: 4,4

$\begin{array}{cc}-\hfill & \hfill 10.0\\ \hfill & \hfill 5.6\\ \hfill & \text{———}\\ \hfill & \hfill 4.4\end{array}$

а) $27,2 - (y - 2,8) = 22,4$

В этом уравнении выражение в скобках $(y - 2,8)$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$y - 2,8 = 27,2 - 22,4$

Выполним вычитание в правой части уравнения:

$y - 2,8 = 4,8$

Теперь $y$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$y = 4,8 + 2,8$

$y = 7,6$

Проверка:

$27,2 - (7,6 - 2,8) = 22,4$

$27,2 - 4,8 = 22,4$

$22,4 = 22,4$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $y = 7,6$.

б) $46,48 - (5,6 + z) = 36,48$

В данном уравнении выражение в скобках $(5,6 + z)$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$5,6 + z = 46,48 - 36,48$

Выполним вычитание в правой части уравнения:

$5,6 + z = 10$

Теперь $z$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$z = 10 - 5,6$

$z = 4,4$

Проверка:

$46,48 - (5,6 + 4,4) = 36,48$

$46,48 - 10 = 36,48$

$36,48 = 36,48$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $z = 4,4$.

6.245 Выполните действия:

1) (2060 - 104 040 : 2312) ? 68 + 7378

Для решения данного примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются операции в скобках (деление, затем вычитание), после этого — умножение и, наконец, сложение.

1. Выполним деление в скобках:
$104040 : 2312 = 45$

2. Выполним вычитание в скобках, используя результат первого действия:
$2060 - 45 = 2015$

3. Теперь умножим результат, полученный в скобках, на 68:
$2015 ? 68 = 137020$

4. К полученному результату прибавим 7378:
$137020 + 7378 = 144398$

Таким образом, итоговое значение выражения равно 144398.

Ответ: 144398.

2) (39 311 + 209 ? 83) : 426 - 127

Решим пример по действиям. Сначала выполняются операции в скобках (умножение, затем сложение), после этого — деление и в конце — вычитание.

1. Выполним умножение в скобках:
$209 ? 83 = 17347$

2. Выполним сложение в скобках, используя результат первого действия:
$39311 + 17347 = 56658$

3. Разделим результат, полученный в скобках, на 426:
$56658 : 426 = 133$

4. Из полученного результата вычтем 127:
$133 - 127 = 6$

Таким образом, итоговое значение выражения равно 6.

Ответ: 6.

6.246 Найдите частное:

а) Чтобы найти частное от деления десятичной дроби на натуральное число, нужно выполнить деление, не обращая внимания на запятую, и поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.
Делим 47 на 5. Ближайшее меньшее число, делящееся на 5, это 45. $45 : 5 = 9$. Пишем 9 в целую часть частного. Находим остаток: $47 - 45 = 2$.
Целая часть закончилась, ставим в частном запятую. Сносим следующую цифру 5. Получаем 25.
Делим 25 на 5. $25 : 5 = 5$. Пишем 5 после запятой в частном.
В результате получаем: $47,5 : 5 = 9,5$.
Ответ: 9,5

б) Выполним деление $2,25$ на $9$.
Целая часть делимого, 2, меньше делителя 9, поэтому в целой части частного будет 0. Ставим запятую.
Теперь делим 22 на 9. Ближайшее меньшее число, делящееся на 9, это 18. $18 : 9 = 2$. Пишем 2 в частном. Остаток: $22 - 18 = 4$.
Сносим следующую цифру 5. Получаем 45.
Делим 45 на 9. $45 : 9 = 5$. Пишем 5 в частном.
В результате получаем: $2,25 : 9 = 0,25$.
Ответ: 0,25

в) Выполним деление $0,54$ на $6$.
Целая часть делимого, 0, меньше делителя 6, поэтому в целой части частного будет 0. Ставим запятую.
Берем следующую цифру 5. 5 меньше 6, поэтому в частном после запятой пишем 0.
Теперь берем число 54. Делим 54 на 6. $54 : 6 = 9$. Пишем 9 в частном.
В результате получаем: $0,54 : 6 = 0,09$.
Ответ: 0,09

г) Выполним деление $9,9$ на $18$.
Целая часть делимого, 9, меньше делителя 18, поэтому в целой части частного будет 0. Ставим запятую.
Теперь делим 99 на 18. $18 \times 5 = 90$. Пишем 5 в частном. Остаток: $99 - 90 = 9$.
К остатку приписываем 0, получаем 90.
Делим 90 на 18. $90 : 18 = 5$. Пишем 5 в частном.
В результате получаем: $9,9 : 18 = 0,55$.
Ответ: 0,55

д) Выполним деление $0,9$ на $25$.
Целая часть делимого, 0, меньше делителя 25, поэтому в целой части частного будет 0. Ставим запятую.
Следующая цифра 9. 9 меньше 25, поэтому после запятой в частном пишем 0.
К 9 приписываем 0, получаем 90. Делим 90 на 25. $25 \times 3 = 75$. Пишем 3 в частном. Остаток: $90 - 75 = 15$.
К остатку 15 приписываем 0, получаем 150. Делим 150 на 25. $150 : 25 = 6$. Пишем 6 в частном.
В результате получаем: $0,9 : 25 = 0,036$.
Ответ: 0,036

е) Выполним деление $5,4$ на $216$.
Целая часть делимого, 5, меньше делителя 216, поэтому в целой части частного будет 0. Ставим запятую.
Берем число 54. 54 меньше 216, поэтому после запятой в частном пишем 0.
К 54 приписываем 0, получаем 540. Делим 540 на 216. $216 \times 2 = 432$. Пишем 2 в частном. Остаток: $540 - 432 = 108$.
К остатку 108 приписываем 0, получаем 1080. Делим 1080 на 216. $216 \times 5 = 1080$. Пишем 5 в частном.
В результате получаем: $5,4 : 216 = 0,025$.
Ответ: 0,025

ж) Выполним деление $528,2$ на $139$.
Делим целую часть 528 на 139. $139 \times 3 = 417$. Пишем 3 в целую часть частного. Остаток: $528 - 417 = 111$.
Целая часть закончилась, ставим в частном запятую. Сносим следующую цифру 2. Получаем 1112.
Делим 1112 на 139. $139 \times 8 = 1112$. Пишем 8 в частном.
В результате получаем: $528,2 : 139 = 3,8$.
Ответ: 3,8

з) Выполним деление $40,005$ на $127$.
Целая часть делимого, 40, меньше делителя 127, поэтому в целой части частного будет 0. Ставим запятую.
Берем 400. Делим 400 на 127. $127 \times 3 = 381$. Пишем 3 в частном. Остаток: $400 - 381 = 19$.
Сносим следующую цифру 0. Получаем 190. Делим 190 на 127. $127 \times 1 = 127$. Пишем 1 в частном. Остаток: $190 - 127 = 63$.
Сносим следующую цифру 5. Получаем 635. Делим 635 на 127. $127 \times 5 = 635$. Пишем 5 в частном.
В результате получаем: $40,005 : 127 = 0,315$.
Ответ: 0,315

6.247 Выполните деление:

а) 8,304 : 10;

б) 27,602 : 1000;

в) 0,0731 : 100;

г) 0,35 : 10 000.

а) Чтобы разделить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую в этой дроби на один знак влево, так как в делителе (10) один ноль.
В числе 8,304 переносим запятую на один знак влево, получая 0,8304.
$8,304 : 10 = 0,8304$
Ответ: 0,8304

б) Чтобы разделить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую на три знака влево, так как в делителе (1000) три нуля.
В числе 27,602 переносим запятую на три знака влево. Так как в целой части (27) всего две цифры, нам нужно добавить один ноль слева:
$27,602 \rightarrow 2,7602 \rightarrow 0,27602 \rightarrow 0,027602$
$27,602 : 1000 = 0,027602$
Ответ: 0,027602

в) При делении на 100 запятая переносится на два знака влево, так как в делителе (100) два нуля.
В числе 0,0731 переносим запятую на два знака влево. Для этого необходимо дописать два нуля слева от имеющихся цифр после запятой:
$0,0731 \rightarrow 0,00731 \rightarrow 0,000731$
$0,0731 : 100 = 0,000731$
Ответ: 0,000731

г) При делении на 10 000 запятая переносится на четыре знака влево, так как в делителе (10 000) четыре нуля.
В числе 0,35 переносим запятую на четыре знака влево. Так как слева от запятой недостаточно цифр, мы добавляем нули для выполнения переноса:
$0,35 \rightarrow 0,035 \rightarrow 0,0035 \rightarrow 0,00035 \rightarrow 0,000035$
$0,35 : 10000 = 0,000035$
Ответ: 0,000035

6.248 Катер, двигаясь по течению реки, за 4 ч прошёл 139,2 км. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 2,4 км/ч.

1) 139,2 : 4 = 34,8 (км/ч) – скорость по течению

2) 34,8 - 2,4 = 32,4 (км/ч) – собственная скорость катера

Ответ: 32,4 км/ч

Для решения задачи введём следующие обозначения:

• $v_{соб}$ – собственная скорость катера, км/ч.
• $v_{теч}$ – скорость течения реки, по условию $v_{теч} = 2,4$ км/ч.
• $v_{по\;теч}$ – скорость катера по течению, км/ч.
• $S$ – расстояние, пройденное катером, по условию $S = 139,2$ км.
• $t$ – время, за которое катер прошёл расстояние $S$, по условию $t = 4$ ч.

1. Сначала определим скорость катера по течению реки. Скорость равна отношению расстояния ко времени:

$v_{по\;теч} = \frac{S}{t}$

Подставим числовые значения:

$v_{по\;теч} = \frac{139,2}{4} = 34,8$ км/ч.

2. Скорость катера при движении по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки:

$v_{по\;теч} = v_{соб} + v_{теч}$

3. Из этой формулы мы можем выразить и найти собственную скорость катера:

$v_{соб} = v_{по\;теч} - v_{теч}$

Подставим известные значения скоростей:

$v_{соб} = 34,8 - 2,4 = 32,4$ км/ч.

Таким образом, собственная скорость катера составляет 32,4 км/ч.

Ответ: 32,4 км/ч.

6.249 На шахте за первые сутки выработали 1,8 тыс. т угля, а за вторые — 58 от выработки в первые сутки. Сколько тысяч тонн угля выработали на шахте за двое суток?

Для того чтобы решить задачу, необходимо выполнить два действия. Сначала найти количество угля, выработанное за вторые сутки, а затем сложить его с количеством, выработанным за первые сутки.

1. Вычислим, сколько тысяч тонн угля выработали за вторые сутки. Это количество составляет $\frac{5}{8}$ от выработки за первые сутки (1,8 тыс. т). Для нахождения дроби от числа нужно умножить число на эту дробь. Удобнее представить десятичное число 1,8 в виде обыкновенной дроби:

$1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{9}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{9 \cdot 5}{5 \cdot 8} = \frac{9}{8}$ тыс. т.

Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную для дальнейшего сложения:

$\frac{9}{8} = 1,125$ тыс. т.

Таким образом, за вторые сутки выработали 1,125 тыс. тонн угля.

2. Найдем общее количество угля, выработанное за двое суток. Для этого сложим выработку за первый и второй день:

$1,8 + 1,125 = 2,925$ тыс. т.

Ответ: за двое суток на шахте выработали 2,925 тысяч тонн угля.

6.250 Пешеход прошёл 38 расстояния от остановки до дома. Сколько километров ему осталось пройти, если он прошёл 0,24 км?

Для решения этой задачи сначала необходимо найти общую длину пути от остановки до дома. Зная общую длину, мы сможем вычислить, какое расстояние осталось пройти.

1. Найдём общее расстояние от остановки до дома.

Пусть $S$ — это общее расстояние. Из условия известно, что пешеход прошёл $\frac{3}{8}$ этого расстояния, что составляет 0,24 км. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{3}{8} \cdot S = 0,24$

Чтобы найти $S$, нужно известную часть расстояния (0,24 км) разделить на соответствующую ей долю ($\frac{3}{8}$):

$S = 0,24 \div \frac{3}{8} = 0,24 \cdot \frac{8}{3} = \frac{0,24 \cdot 8}{3} = \frac{1,92}{3} = 0,64$ км.

Таким образом, общее расстояние от остановки до дома составляет 0,64 км.

2. Найдём оставшееся расстояние.

Теперь, зная общее расстояние (0,64 км) и то, что пешеход уже прошёл (0,24 км), мы можем найти, сколько ему осталось идти. Для этого вычтем пройденное расстояние из общего:

$0,64 \text{ км} - 0,24 \text{ км} = 0,4$ км.

Ответ: пешеходу осталось пройти 0,4 км.

6.251 Найдите корень уравнения:

а) 21z = 0,21;

б) 2,64 : a = 4;

в) 317,8 : (n - 5) = 14;

г) 38(x + 1,3) = 64,6.

а) $21z = \mathrm{0,21}$

$z = \mathrm{0,21} : 21$

$\begin{array}{rl}\mathrm{0,21}& 21\\ \text{−}\underset{}{0}& \mathrm{0,01}\\ \text{−}2& \\ \underset{}{0}& \\ \text{−}21& \\ \underset{}{21}& \\ 0& \end{array}$

$z = \mathrm{0,01}$

Ответ: $\mathrm{0,01}$

б) $\mathrm{2,64} : a = 4$

$a = \mathrm{2,64} : 4$

$\begin{array}{rl}\mathrm{2,64}& 4\\ \text{−}\underset{}{0}& \mathrm{0,66}\\ \text{−}26& \\ \underset{}{24}& \\ \text{−}24& \\ \underset{}{24}& \\ 0& \end{array}$

$a = \mathrm{0,66}$

Ответ: $\mathrm{0,66}$

в) $\mathrm{317,8} : (n-5) = 14$

$n-5 = \mathrm{317,8} : 14$

$\begin{array}{rl}\mathrm{317,8}& 14\\ \text{−}\underset{}{28}& \mathrm{22,7}\\ \text{−}37& \\ \underset{}{28}& \\ \text{−}98& \\ \underset{}{98}& \\ 0& \end{array}$

$n-5 = \mathrm{22,7}$

$n = \mathrm{22,7} + 5$

$n = \mathrm{27,7}$

Ответ: $\mathrm{27,7}$

2) $38(x + \mathrm{1,3}) = \mathrm{64,6}$

$x + \mathrm{1,3} = \mathrm{64,6} : 38$

$\begin{array}{rl}\mathrm{64,6}& 38\\ \text{−}\underset{}{38}& \mathrm{1,7}\\ \text{−}266& \\ \underset{}{266}& \\ 0& \end{array}$

$x + \mathrm{1,3} = \mathrm{1,7}$

$x = \mathrm{1,7}-\mathrm{1,3}$

$x = \mathrm{0,4}$

Ответ: $\mathrm{0,4}$

а) $21z = 0,21$

Данное уравнение является произведением, где $z$ — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение ($0,21$) разделить на известный множитель ($21$).

$z = 0,21 : 21$

$z = 0,01$

Ответ: $0,01$.

б) $2,64 : a = 4$

В данном уравнении переменная $a$ является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое ($2,64$) разделить на частное ($4$).

$a = 2,64 : 4$

$a = 0,66$

Ответ: $0,66$.

в) $317,8 : (n - 5) = 14$

Сначала найдем значение выражения в скобках $(n - 5)$, которое является неизвестным делителем. Для этого разделим делимое ($317,8$) на частное ($14$).

$n - 5 = 317,8 : 14$

$n - 5 = 22,7$

Теперь у нас получилось простое уравнение, где $n$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, нужно к разности ($22,7$) прибавить вычитаемое ($5$).

$n = 22,7 + 5$

$n = 27,7$

Ответ: $27,7$.

г) $38(x + 1,3) = 64,6$

В этом уравнении выражение в скобках $(x + 1,3)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, разделим произведение ($64,6$) на известный множитель ($38$).

$x + 1,3 = 64,6 : 38$

$x + 1,3 = 1,7$

Теперь у нас получилось простое уравнение, где $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы ($1,7$) вычесть известное слагаемое ($1,3$).

$x = 1,7 - 1,3$

$x = 0,4$

Ответ: $0,4$.

6.252 Решите уравнение:

а) 4x + 7x = 1,98;

б) 9z - 5z = 5,52;

в) 2t + 5t + 3,18 = 25,3;

г) 8p - 2p - 14,21 = 75,19.Z

а) $4x + 7x = 1,98$

Сначала упростим левую часть уравнения, сложив подобные слагаемые (члены с переменной $x$):
$(4 + 7)x = 1,98$
$11x = 1,98$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 11:
$x = 1,98 : 11$
$x = 0,18$

Ответ: $x = 0,18$.

б) $9z - 5z = 5,52$

Упростим левую часть уравнения, выполнив вычитание подобных слагаемых:
$(9 - 5)z = 5,52$
$4z = 5,52$
Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на 4:
$z = 5,52 : 4$
$z = 1,38$

Ответ: $z = 1,38$.

в) $2t + 5t + 3,18 = 25,3$

Сначала сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(2 + 5)t + 3,18 = 25,3$
$7t + 3,18 = 25,3$
Перенесем слагаемое 3,18 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$7t = 25,3 - 3,18$
$7t = 22,12$
Теперь разделим обе части уравнения на 7, чтобы найти $t$:
$t = 22,12 : 7$
$t = 3,16$

Ответ: $t = 3,16$.

г) $8p - 2p - 14,21 = 75,19$

Упростим левую часть уравнения, найдя разность подобных слагаемых:
$(8 - 2)p - 14,21 = 75,19$
$6p - 14,21 = 75,19$
Перенесем слагаемое -14,21 в правую часть уравнения, изменив его знак на "+":
$6p = 75,19 + 14,21$
$6p = 89,4$
Чтобы найти $p$, разделим обе части уравнения на 6:
$p = 89,4 : 6$
$p = 14,9$

Ответ: $p = 14,9$.

6.253 Вычислите:

а) В выражении $0,42 : 7 + 12,32 : 4 + 9,6 : 6 + 0,3 : 60$ согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняются все действия деления, а затем — сложения.
1. Вычислим первое частное: $0,42 : 7 = 0,06$.
2. Вычислим второе частное: $12,32 : 4 = 3,08$.
3. Вычислим третье частное: $9,6 : 6 = 1,6$.
4. Вычислим четвертое частное: $0,3 : 60 = 0,005$.
5. Теперь сложим все полученные результаты: $0,06 + 3,08 + 1,6 + 0,005 = 4,745$.
Ответ: 4,745

б) В выражении $(2,83 + 2,57) : 18$ сначала выполняется действие в скобках, а затем деление.
1. Выполним сложение в скобках: $2,83 + 2,57 = 5,4$.
2. Результат разделим на 18: $5,4 : 18 = 0,3$.
Ответ: 0,3

в) В выражении $5,76 + 4,34 : 14$ сначала выполняется деление, так как оно имеет более высокий приоритет, чем сложение.
1. Выполним деление: $4,34 : 14 = 0,31$.
2. Теперь выполним сложение: $5,76 + 0,31 = 6,07$.
Ответ: 6,07

г) В выражении $3,6 + 3,2 : (22,5 – 14,5)$ порядок действий следующий: сначала вычисления в скобках, затем деление, и в последнюю очередь — сложение.
1. Выполним вычитание в скобках: $22,5 – 14,5 = 8$.
2. Теперь выражение выглядит как $3,6 + 3,2 : 8$. Выполним деление: $3,2 : 8 = 0,4$.
3. Выполним сложение: $3,6 + 0,4 = 4$.
Ответ: 4