Страница 121, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.358 Чему равен остаток r от деления:

а) 345 на 10;

б) 4967 на 2;

в) 4734 на 5;

г) 4856 на 5;

д) 1000 на 3;

е) 10 000 на 9?

a)
$345 : 10 = 34 (\mathrm{ост}. 5)$
$r = 5$

б)
$4967 : 2 = 2483 (\mathrm{ост}. 1)$

$r = 1$

в)
$4734 : 5 = 946 (\mathrm{ост}. 4)$

$r = 4$

г)
$4856 : 5 = 971 (\mathrm{ост}. 1)$

$r = 1$

д)
$1000 : 3 = 333 (\mathrm{ост}. 1)$

$r = 1$

e)
$10000 : 9 = 1111 (\mathrm{ост}. 1)$

$r = 1$

а) Для нахождения остатка от деления числа на 10, достаточно посмотреть на последнюю цифру этого числа. В числе 345 последняя цифра - 5. Таким образом, число 345 можно представить в виде $345 = 34 \times 10 + 5$. Остаток от деления $r$ равен 5.
Ответ: $r=5$.

б) Остаток от деления числа на 2 зависит от того, является ли число четным или нечетным. Четные числа делятся на 2 без остатка (остаток 0), а нечетные дают в остатке 1. Четность числа определяется его последней цифрой. В числе 4967 последняя цифра - 7, что является нечетным числом. Следовательно, остаток от деления 4967 на 2 равен 1. Это можно записать как $4967 = 2 \times 2483 + 1$.
Ответ: $r=1$.

в) Остаток от деления числа на 5 определяется его последней цифрой. Нужно найти остаток от деления последней цифры на 5. Последняя цифра числа 4734 - это 4. Так как $4 < 5$, остаток от деления 4 на 5 равен 4. Значит, и остаток от деления 4734 на 5 равен 4. Запишем: $4734 = 4730 + 4 = 5 \times 946 + 4$.
Ответ: $r=4$.

г) Аналогично предыдущему пункту, находим остаток от деления на 5, посмотрев на последнюю цифру. В числе 4856 последняя цифра - 6. Найдем остаток от деления 6 на 5: $6 = 1 \times 5 + 1$. Остаток равен 1. Следовательно, остаток от деления 4856 на 5 также равен 1. Запишем: $4856 = 4855 + 1 = 5 \times 971 + 1$.
Ответ: $r=1$.

д) Чтобы найти остаток от деления числа на 3, можно воспользоваться признаком делимости на 3. Остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3. Сумма цифр числа 1000 равна $1 + 0 + 0 + 0 = 1$. Остаток от деления 1 на 3 равен 1. Таким образом, остаток от деления 1000 на 3 равен 1. Проверка: $1000 = 333 \times 3 + 1$.
Ответ: $r=1$.

е) Для нахождения остатка от деления на 9 используется признак, аналогичный признаку делимости на 3. Остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9. Сумма цифр числа 10 000 равна $1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1$. Остаток от деления 1 на 9 равен 1. Значит, остаток от деления 10 000 на 9 также равен 1. Проверка: $10000 = 1111 \times 9 + 1$.
Ответ: $r=1$.

3.359 Разбираемся в решении. Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов. Какое количество различных государственных флагов могло бы состоять из двух вертикальных полос одинакового размера и разного цвета — зелёного, красного и синего?

Решение. Пусть левая полоса флага (см. схему) - зелёная (З). Тогда правая полоса может быть красной (К) или синей (С). Получили две комбинации - два варианта флага.

Если левая полоса флага красная, то правая может быть зелёной или синей. Получили ещё два варианта флага.

Пусть, наконец, левая полоса синяя, тогда правая может быть зелёной или красной. Это ещё два варианта флага.

Всего получили 3 • 2 = 6 комбинаций - шесть вариантов флага (см. схему).

ЗК; ЗС; КЗ; КС; СЗ; СК.

$3 · 2= 6$

Ответ: 6 вариантов флага.

Решение:

Задача состоит в том, чтобы найти количество различных флагов, которые можно составить из двух вертикальных полос разного цвета. Нам даны три цвета на выбор: зелёный, красный и синий.

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторным правилом умножения. Флаг состоит из двух полос: левой и правой. Рассмотрим выбор цвета для каждой полосы последовательно.

1. Выбор цвета для левой полосы.
На позицию левой полосы мы можем выбрать любой из трёх доступных цветов (зелёный, красный или синий). Таким образом, у нас есть 3 варианта выбора.

2. Выбор цвета для правой полосы.
Согласно условию, цвета полос на флаге должны быть разными. Это означает, что цвет правой полосы не может совпадать с цветом, который мы уже выбрали для левой. Поскольку один цвет уже использован, для правой полосы остаётся $3 - 1 = 2$ возможных варианта.

Чтобы найти общее количество различных флагов, необходимо перемножить количество вариантов для каждой полосы: $N = (\text{количество вариантов для левой полосы}) \times (\text{количество вариантов для правой полосы})$ $N = 3 \times 2 = 6$

Этот тип комбинаций, где важен порядок элементов и они не повторяются, называется размещением без повторений. Количество размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашей задаче общее количество цветов $n=3$, а количество полос на флаге $k=2$. Подставим эти значения в формулу: $A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6$

Можно также перечислить все возможные комбинации, чтобы наглядно увидеть результат (обозначим цвета: З - зелёный, К - красный, С - синий):

• Левая полоса зелёная: Зелёный-Красный (ЗК), Зелёный-Синий (ЗС). (2 варианта)
• Левая полоса красная: Красный-Зелёный (КЗ), Красный-Синий (КС). (2 варианта)
• Левая полоса синяя: Синий-Зелёный (СЗ), Синий-Красный (СК). (2 варианта)

Сложив все варианты, получаем $2 + 2 + 2 = 6$ различных флагов.

Ответ: 6

3.360 Сколько можно составить флагов из трёх горизонтальных полос одинакового размера и различных цветов - зелёного, белого, красного и синего? Есть ли среди этих флагов Государственный флаг Российской Федерации?

$4 · 3 · 2 = 24$ (фл.) можно составить из трёх горизонтальных полос одинакового размера и различных цветов – зелёного, белого, красного и синего.

Сколько можно составить флагов из трёх горизонтальных полос одинакового размера и различных цветов — зелёного, белого, красного и синего?

Данная задача относится к области комбинаторики, а именно к размещениям без повторений, так как порядок цветов в флаге важен, и цвета не могут повторяться.

У нас есть 4 различных цвета для 3 полос флага. Рассчитаем количество возможных комбинаций для каждой полосы:

Для верхней полосы мы можем выбрать любой из 4 доступных цветов. После того как цвет для верхней полосы выбран, для средней полосы остаётся 3 неиспользованных цвета. Соответственно, для нижней полосы остаётся 2 доступных цвета.

Общее количество уникальных флагов равно произведению числа вариантов для каждой полосы:

$4 \times 3 \times 2 = 24$

Формально это можно вычислить с помощью формулы для числа размещений из n элементов по k:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

где $n=4$ (общее количество цветов) и $k=3$ (количество полос на флаге).

$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 24$

Ответ: Можно составить 24 флага.

Есть ли среди этих флагов Государственный флаг Российской Федерации?

Государственный флаг Российской Федерации представляет собой прямоугольное полотнище из трёх равновеликих горизонтальных полос: верхней — белого, средней — синего и нижней — красного цвета.

В условии задачи даны следующие цвета: зелёный, белый, красный и синий. Цвета, необходимые для флага РФ (белый, синий, красный), присутствуют в этом наборе. Условия задачи (три горизонтальные полосы, различные цвета) также выполняются для флага РФ.

Таким образом, одна из 24 возможных комбинаций полностью соответствует флагу Российской Федерации.

Ответ: Да, среди этих флагов есть Государственный флаг Российской Федерации.

3.361 Используя равенство a = bq + r, заполните пустые клетки таблицы.

$a = bq + r$

$$\begin{gathered} a = 17 · 9 + 5 = \\ = (10 + 7) · 9 + 5 = \\ = 10 · 9 + 7 · 9 + 5 = \\ = 90 + 63 + 5 = 158 \end{gathered}$$

$458 = 27b + 2$

$27b = 458 - 2$

$27b = 456$

$b = 456 : 27$

$\mathrm{b} = 16 (\mathrm{ост}.24)$

(опечатка)

Первый столбец

В этом столбце даны значения $b = 17$, $q = 9$ и $r = 5$. Необходимо найти значение $a$. Используем заданное равенство $a = bq + r$. Подставляем известные значения в формулу: $a = 17 \cdot 9 + 5$ Сначала выполняем умножение: $17 \cdot 9 = 153$ Затем выполняем сложение: $a = 153 + 5 = 158$ Таким образом, пропущенное значение в первом столбце равно 158.

Ответ: $a=158$

Второй столбец

Здесь нам известны $a = 458$, $q = 27$ и $r = 2$. Нам нужно найти $b$. Снова используем равенство $a = bq + r$. Подставляем известные значения: $458 = b \cdot 27 + 2$ Чтобы найти $b$, преобразуем уравнение. Сначала вычтем $r$ из $a$: $b \cdot 27 = 458 - 2$ $27b = 456$ Теперь разделим обе части на $q$, чтобы выразить $b$: $b = \frac{456}{27}$ Дробь можно сократить, так как и числитель (сумма цифр $4+5+6=15$), и знаменатель (сумма цифр $2+7=9$) делятся на 3: $456 \div 3 = 152$ $27 \div 3 = 9$ В результате получаем: $b = \frac{152}{9}$ Эту несократимую дробь можно также представить в виде смешанного числа: $16\frac{8}{9}$.

Ответ: $b=\frac{152}{9}$

Третий столбец

В последнем столбце даны $a = 258$ и $b = 16$. Нужно найти $q$ и $r$. Равенство $a = bq + r$ в данном случае описывает деление с остатком числа $a$ (делимое) на число $b$ (делитель). Здесь $q$ — это неполное частное, а $r$ — остаток, причём для остатка должно выполняться условие $0 \le r < b$. Выполним деление $258$ на $16$ с остатком: $258 \div 16$ Делим 25 на 16, получаем 1 и остаток 9. Сносим 8, получаем 98. Делим 98 на 16, получаем 6 и остаток $98 - 16 \cdot 6 = 98 - 96 = 2$. Таким образом, неполное частное $q = 16$, а остаток $r = 2$. Выполним проверку: $16 \cdot 16 + 2 = 256 + 2 = 258$. Значение $a$ совпадает. Условие для остатка также выполняется: $0 \le 2 < 16$.

Ответ: $q=16, r=2$

3.362 1) Белгородская область славится своими фруктовыми садами. В одном из хозяйств фруктовые сады занимают площадь 36 га, в другом - в 2 раза больше, чем в первом, а в третьем - на 5 га меньше, чем во втором. Какую площадь занимают фруктовые сады в трёх хозяйствах?

2) Клюква - очень полезная ягода, богатая витамином С. В сентябре начинается её заготовка. Одно экохозяйство заготовило 26 т клюквы, другое - в 2 раза меньше, чем первое, а третье - на 8 т больше, чем второе. Сколько тонн клюквы заготовили три экохозяйства вместе?

1) $36 · 2 = 72 \text{га}$ - площадь во II хоз-ве

2) $72-5 = 67 \text{га}$ - площадь в III хоз-ве

3) $$\begin{gathered} 36 + 72 + 67 = \\ = 108 + 67 = 175 \mathrm{га} \end{gathered}$$

Ответ: 175 га.

1) $26 : 2 = 13 \text{т}$ - II хозяйство

2) $13 + 8 = 21 \text{т}$ - III хозяйство

3) $$\begin{gathered} 26 + 13 + 21 = \\ = 39 + 21 = 60 \mathrm{т} \end{gathered}$$

Ответ: 60 т.

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку:

1. Найдем площадь, которую занимают фруктовые сады во втором хозяйстве. По условию, она в 2 раза больше, чем в первом:

$36 \text{ га} \times 2 = 72 \text{ га}$

2. Теперь найдем площадь садов в третьем хозяйстве. Она на 5 га меньше, чем во втором:

$72 \text{ га} - 5 \text{ га} = 67 \text{ га}$

3. Сложим площади садов во всех трех хозяйствах, чтобы найти общую площадь:

$36 \text{ га} + 72 \text{ га} + 67 \text{ га} = 175 \text{ га}$

Ответ: 175 га.

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку:

1. Узнаем, сколько тонн клюквы заготовило второе экохозяйство. По условию, оно заготовило в 2 раза меньше, чем первое:

$26 \text{ т} \div 2 = 13 \text{ т}$

2. Теперь узнаем, сколько тонн клюквы заготовило третье экохозяйство. Оно заготовило на 8 т больше, чем второе:

$13 \text{ т} + 8 \text{ т} = 21 \text{ т}$

3. Посчитаем, сколько всего тонн клюквы заготовили три экохозяйства вместе, сложив их урожай:

$26 \text{ т} + 13 \text{ т} + 21 \text{ т} = 60 \text{ т}$

Ответ: 60 т.

6.193 Развивай мышление. Установите закономерность и найдите пропущенное число.

а) Чтобы найти пропущенное число, необходимо установить закономерность между числами в таблице. В данном случае закономерность заключается в том, что сумма чисел в верхнем ряду равна сумме чисел в нижнем ряду.
Сначала вычислим сумму чисел в верхнем ряду:
$4,8 + 6,1 + 3 = 13,9$
Следовательно, сумма чисел в нижнем ряду также должна быть равна 13,9. Обозначим пропущенное число за $x$ и составим уравнение:
$3,7 + x + 5,6 = 13,9$
Теперь решим это уравнение. Сначала сложим известные числа в левой части:
$9,3 + x = 13,9$
Чтобы найти $x$, вычтем 9,3 из 13,9:
$x = 13,9 - 9,3$
$x = 4,6$
Таким образом, пропущенное число равно 4,6.
Ответ: 4,6.

б) Применим ту же закономерность, что и в предыдущем пункте: сумма чисел в верхнем ряду равна сумме чисел в нижнем ряду.
Найдем сумму чисел в верхнем ряду:
$0,6 + 2,6 + 3,2 = 6,4$
Сумма чисел в нижнем ряду должна быть такой же. Составим уравнение, где $x$ — пропущенное число:
$2,7 + x + 3,2 = 6,4$
Решим уравнение. Сложим известные числа:
$5,9 + x = 6,4$
Найдем $x$:
$x = 6,4 - 5,9$
$x = 0,5$
Пропущенное число равно 0,5.
Ответ: 0,5.

6.194 Найдите корень уравнения:

а) x + 5,7 = 5,67 + 1,43;

б) 5,2 + v = 40,7 - 9,8;

в) z - 8,4 = 4,5 + 4,8;

г) 20 - n + 6,8 = 20,6.

а) $x + 5,7 = 5,67 + 1,43$

Сначала упростим правую часть уравнения, выполнив сложение:

$5,67 + 1,43 = 7,1$

Получим уравнение:

$x + 5,7 = 7,1$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x = 7,1 - 5,7$

$x = 1,4$

Ответ: $1,4$

б) $5,2 + v = 40,7 - 9,8$

Сначала упростим правую часть уравнения, выполнив вычитание:

$40,7 - 9,8 = 30,9$

Получим уравнение:

$5,2 + v = 30,9$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $v$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$v = 30,9 - 5,2$

$v = 25,7$

Ответ: $25,7$

в) $z - 8,4 = 4,5 + 4,8$

Сначала упростим правую часть уравнения, выполнив сложение:

$4,5 + 4,8 = 9,3$

Получим уравнение:

$z - 8,4 = 9,3$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $z$, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$z = 9,3 + 8,4$

$z = 17,7$

Ответ: $17,7$

г) $20 - n + 6,8 = 20,6$

Сначала упростим левую часть уравнения, сгруппировав числовые члены:

$(20 + 6,8) - n = 20,6$

$26,8 - n = 20,6$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое $n$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$n = 26,8 - 20,6$

$n = 6,2$

Ответ: $6,2$

6.195 1) Высота рябины в 3 раза меньше высоты кедра. Кедр на 30м выше рябины. Найдите высоту деревьев.

2) Дельфин за один час проплывает в 2 раза большее расстояние, чем акула. Акула за час проплывает на 25км меньше дельфина. Какое расстояние проплывает за час дельфин, а какое — акула?

1)

Обозначим высоту рябины за $x$ метров. По условию, высота рябины в 3 раза меньше высоты кедра, следовательно, высота кедра в 3 раза больше высоты рябины и равна $3x$ метров.

Также известно, что кедр на 30 м выше рябины. Это значит, что разница между высотой кедра и высотой рябины составляет 30 м. Составим и решим уравнение:
$3x - x = 30$
$2x = 30$
$x = \frac{30}{2}$
$x = 15$

Итак, высота рябины равна 15 метрам.
Теперь найдем высоту кедра:
$3 \times 15 = 45$ метров.

Проверка: $45 - 15 = 30$ м, что соответствует условию задачи.

Ответ: высота рябины — 15 м, высота кедра — 45 м.

2)

Пусть расстояние, которое проплывает акула за один час, равно $s$ км. Из условия следует, что дельфин за то же время проплывает в 2 раза большее расстояние, то есть $2s$ км.

Также в условии сказано, что акула за час проплывает на 25 км меньше дельфина. Значит, разница в расстоянии, которое они проплывают, равна 25 км. Составим и решим уравнение:
$2s - s = 25$
$s = 25$

Таким образом, расстояние, которое проплывает акула за час, составляет 25 км.
Теперь найдем расстояние, которое проплывает дельфин:
$2 \times 25 = 50$ км.

Проверка: $50 - 25 = 25$ км, что соответствует условию задачи.

Ответ: дельфин за час проплывает 50 км, а акула — 25 км.

6.196 Два велосипедиста выехали из одного пункта одновременно в одном направлении. Скорость одного из них равна 27 км/ч, что на х км/ч больше скорости другого. Какое расстояние будет между велосипедистами через 3 ч?

а) Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при х = 13; 17; 22.

б) Есть ли в задаче лишнее условие?

I - 27 км/ч, на х км/ч больше

II - ?

Так как скорость одного велосипедиста на х км/ч больше второго велосипедиста и равна 27 км/ч, то скорость второго велосипедиста будет на х км/ч меньше скорости первого велосипедиста и равна (27-х) км/ч.

а) $27 - (27 - x) = 27 - 27 + x = x\text{ (км/ч)}$ - скорость удаления велосипедистов

$\left(3x\right)\text{ км}$ - расстояние между велосипедистами через 3 ч.

при х = 13; $3·13 = 39\text{ (км)}$

при х = 17; $3·17 = 51\text{ (км)}$

при х = 22; $3·22 = 66\text{ (км)}$

б) Так как скорость одного велосипедиста на х км/ч больше скорости другого велосипедиста, то первый велосипедист удаляется от второго на х км каждый час. Значит, $x\text{ км/ч}$ - скорость удаления велосипедистов. Лишнее условие - 27 км/ч скорость первого велосипедиста.

а) Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при x = 13; 17; 22.

Пусть $v_1$ – скорость первого велосипедиста, а $v_2$ – скорость второго велосипедиста. По условию, велосипедисты движутся в одном направлении. Расстояние между ними будет увеличиваться со скоростью, равной разности их скоростей. Эта величина называется скоростью удаления ($v_{уд}$).

$v_{уд} = v_1 - v_2$

В условии сказано, что скорость одного из них на $x$ км/ч больше скорости другого. Это и есть разность их скоростей, то есть скорость удаления.

$v_{уд} = x$ км/ч.

Чтобы найти расстояние ($S$), которое будет между велосипедистами через время $t$, нужно скорость удаления умножить на время:

$S = v_{уд} \times t$

Поскольку время $t = 3$ ч, выражение для решения задачи будет:

$S = x \times 3 = 3x$

Теперь найдем значение этого выражения для заданных значений $x$:

• При $x = 13$:
  $S = 3 \times 13 = 39$ (км)
• При $x = 17$:
  $S = 3 \times 17 = 51$ (км)
• При $x = 22$:
  $S = 3 \times 22 = 66$ (км)

Ответ: выражение для решения задачи: $3x$. Значения выражения: при $x = 13$ расстояние равно 39 км; при $x = 17$ расстояние равно 51 км; при $x = 22$ расстояние равно 66 км.

б) Есть ли в задаче лишнее условие?

Да, в задаче есть лишнее условие. Для нахождения расстояния между велосипедистами через 3 часа нам необходимо было знать только разницу их скоростей ($x$ км/ч) и время в пути (3 ч). Информация о том, что скорость одного из велосипедистов равна 27 км/ч, является избыточной, так как она не используется в расчетах для нахождения расстояния между ними.

Ответ: да, лишнее условие – "Скорость одного из них равна 27 км/ч".

6.197 Решите уравнение:

1) 4,4 + х - 1,4 = 9,76;

2) 10,3 - у - 2,7 = 6,48.

1) $4,4 + x - 1,4 = 9,76$

$(4,4 - 1,4) + x = 9,76$

$3 + x = 9,76$

$x = 9,76 - 3$

$x = 6,76$

Ответ: 6,76

2) $10,3 - y - 2,7 = 6,48$

$10,3 - y = 6,48 + 2,7$

$10,3 - y = 9,18$

$y = 10,3 - 9,18$

$y = 1,12$

Ответ: 1,12

①$\begin{array}{cc}& 6,48\\ + & 2,70\\ & 9,18\end{array}$

$\begin{array}{cc}& 10,30\\ - & 9,18\\ & 1,12\end{array}$

1) $4,4 + x - 1,4 = 9,76$

Для решения уравнения сначала упростим его левую часть. Мы можем поменять местами слагаемые и вычесть $1,4$ из $4,4$.

$(4,4 - 1,4) + x = 9,76$

Выполняем вычитание в скобках:

$3 + x = 9,76$

В получившемся уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($9,76$) вычесть известное слагаемое ($3$).

$x = 9,76 - 3$

$x = 6,76$

Ответ: $6,76$.

2) $10,3 - y - 2,7 = 6,48$

Сначала упростим левую часть уравнения, сгруппировав числа:

$(10,3 - 2,7) - y = 6,48$

Выполняем вычитание в скобках:

$7,6 - y = 6,48$

В этом уравнении $y$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($7,6$) вычесть разность ($6,48$).

$y = 7,6 - 6,48$

$y = 1,12$

Ответ: $1,12$.

6.198 Выполните действия:

а) 35,15 • 5;

б) 0,245 • 32;

в) 0,225 • 116;

г) 7,08 • 125;

д) (3,6 + 4,7) • 25;

е) (18,7 - 9,2) • 16.

а) $\begin{array}{cc}\times & \hfill \text{35,15}\\ & \hfill \text{5}\\ & \hfill \text{175,75}\end{array}$

б) $\begin{array}{cc}\times & \hfill \text{0,245}\\ & \hfill \text{32}\\ & \hfill \text{490}\\ + & \hfill \text{735}\\ & \hfill \text{7,840}\end{array}\text{= 7,84}$

в) $\begin{array}{cc}\times & \hfill \text{0,225}\\ & \hfill \text{116}\\ & \hfill \text{1350}\\ & \hfill \text{225}\\ + & \hfill \text{225}\\ & \hfill \text{26,100}\end{array}\text{= 26,1}$

г) $\begin{array}{cc}\times & \hfill \text{7,08}\\ & \hfill \text{125}\\ & \hfill \text{3540}\\ + & \hfill \text{1416}\\ & \hfill \text{708}\\ & \hfill \text{885,00}\end{array}\text{= 885}$

д) $(3,6 + 4,7) · 25 = 207,5$

$\text{1)}\begin{array}{cc}& \hfill \text{3,6}\\ + & \hfill \text{4,7}\\ & \hfill \text{8,3}\end{array}\text{2)}\begin{array}{cc}\times & \hfill \text{8,3}\\ & \hfill \text{25}\\ & \hfill \text{415}\\ + & \hfill \text{166}\\ & \hfill \text{207,5}\end{array}$

е) $(18,7-9,2) · 16 = 152$

$\text{1)}\begin{array}{cc}& \hfill \text{18,7}\\ - & \hfill \text{9,2}\\ & \hfill \text{9,5}\end{array}\text{2)}\begin{array}{cc}\times & \hfill \text{9,5}\\ & \hfill \text{16}\\ & \hfill \text{570}\\ + & \hfill \text{95}\\ & \hfill \text{152,0}\end{array}\text{= 152}$

а) Чтобы умножить десятичную дробь $35,15$ на натуральное число $5$, мы умножаем числа, не обращая внимания на запятую, а затем в полученном произведении отделяем запятой столько цифр справа, сколько их было в десятичной дроби.

Выполним умножение чисел $3515$ и $5$:

$3515 \cdot 5 = 17575$

В дроби $35,15$ два знака после запятой. Поэтому в результате $17575$ нужно отделить два знака справа.

$35,15 \cdot 5 = 175,75$

Ответ: $175,75$.

б) Умножим $0,245$ на $32$. Сначала перемножим числа $245$ и $32$, не обращая внимания на запятую.

Выполним умножение в столбик:

$ \begin{array}{r} \times \\ \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 245 \\ 32 \\ \hline 490 \\ 735\phantom{0} \\ \hline 7840 \end{array} $

В десятичной дроби $0,245$ три цифры после запятой. Отделим в произведении $7840$ три цифры справа.

$0,245 \cdot 32 = 7,840 = 7,84$.

Ответ: $7,84$.

в) Умножим $0,225$ на $116$. Сначала перемножим числа $225$ и $116$.

Выполним умножение в столбик:

$ \begin{array}{r} \times \\ \\ + \\ \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 225 \\ 116 \\ \hline 1350 \\ 225\phantom{0} \\ 225\phantom{0}\phantom{0} \\ \hline 26100 \end{array} $

В десятичной дроби $0,225$ три цифры после запятой. Отделим в произведении $26100$ три цифры справа.

$0,225 \cdot 116 = 26,100 = 26,1$.

Ответ: $26,1$.

г) Умножим $7,08$ на $125$. Перемножим числа $708$ и $125$.

Выполним умножение в столбик:

$ \begin{array}{r} \times \\ \\ + \\ \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 708 \\ 125 \\ \hline 3540 \\ 1416\phantom{0} \\ 708\phantom{0}\phantom{0} \\ \hline 88500 \end{array} $

В дроби $7,08$ две цифры после запятой. Отделим в результате $88500$ две цифры справа.

$7,08 \cdot 125 = 885,00 = 885$.

Ответ: $885$.

д) Согласно порядку действий, сначала выполним сложение в скобках.

1) $3,6 + 4,7 = 8,3$

Теперь умножим полученный результат на $25$.

2) $8,3 \cdot 25$

Перемножим $83$ на $25$:

$ \begin{array}{r} \times \\ \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 83 \\ 25 \\ \hline 415 \\ 166\phantom{0} \\ \hline 2075 \end{array} $

В числе $8,3$ одна цифра после запятой, поэтому в результате $2075$ отделим одну цифру справа. Получим $207,5$.

$(3,6 + 4,7) \cdot 25 = 207,5$

Ответ: $207,5$.

е) Сначала выполним вычитание в скобках.

1) $18,7 - 9,2 = 9,5$

Теперь умножим результат на $16$.

2) $9,5 \cdot 16$

Перемножим $95$ на $16$:

$ \begin{array}{r} \times \\ \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 95 \\ 16 \\ \hline 570 \\ 95\phantom{0} \\ \hline 1520 \end{array} $

В числе $9,5$ одна цифра после запятой, поэтому в результате $1520$ отделим одну цифру справа.

$(18,7 - 9,2) \cdot 16 = 9,5 \cdot 16 = 152,0 = 152$

Ответ: $152$.

6.199 Одна сторона одиннадцатиугольника равна 4,5 см. Найдите его периметр, если все стороны одиннадцатиугольника равны.

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, мы имеем дело с одиннадцатиугольником, то есть многоугольником, у которого 11 сторон.

В задаче указано, что все стороны этого одиннадцатиугольника равны. Такие многоугольники называются правильными. Длина одной стороны, обозначим ее как $a$, равна 4,5 см.

Чтобы найти периметр $P$ правильного многоугольника, нужно умножить количество его сторон $n$ на длину одной стороны $a$. Формула для вычисления периметра выглядит следующим образом:
$P = n \cdot a$

Подставим в эту формулу известные нам значения:
Количество сторон $n = 11$.
Длина одной стороны $a = 4,5$ см.

Теперь выполним вычисление:
$P = 11 \cdot 4,5 = 49,5$ см.

Ответ: 49,5 см.

6.200 Масса 1 м² листа металлочерепицы 4,5 кг. Какую массу имеет лист металлочерепицы размером 0,8 × 5 м? Сколько листов металлочерепицы можно перевезти на автомобиле «Газель» грузоподъёмностью 1500 кг?

Какую массу имеет лист металлочерепицы размером 0,8 ? 5 м?

1. Сначала найдем площадь одного листа металлочерепицы, умножив его длину на ширину:
$S = 0,8 \text{ м} \times 5 \text{ м} = 4 \text{ м}^2$
2. Теперь, зная площадь листа и массу одного квадратного метра (4,5 кг), вычислим массу всего листа:
$m_{\text{листа}} = S \times 4,5 \text{ кг/м}^2 = 4 \text{ м}^2 \times 4,5 \text{ кг/м}^2 = 18 \text{ кг}$
Ответ: масса одного листа металлочерепицы составляет 18 кг.

Сколько листов металлочерепицы можно перевезти на автомобиле «Газель» грузоподъёмностью 1500 кг?

1. Чтобы определить максимальное количество листов для перевозки, необходимо общую грузоподъёмность автомобиля разделить на массу одного листа, которую мы вычислили ранее (18 кг):
$N = \frac{1500 \text{ кг}}{18 \text{ кг}} \approx 83,33$
2. Так как количество листов должно быть целым числом, а 84-й лист превысит грузоподъемность автомобиля, округляем полученное значение в меньшую сторону до ближайшего целого.
Ответ: на автомобиле можно перевезти 83 листа металлочерепицы.

6.201 Выполните умножение:

а) 7,66 • 10;

б) 24,5 • 10;

в) 0,487 • 10;

г) 9,279 • 100;

д) 4,8 • 100;

е) 0,096 • 100;

ж) 8,7651 • 1000;

з) 0,0425 • 1000.

а) $\mathrm{7,66}·10 = \mathrm{76,6}$

б) $\mathrm{24,5}·10 = 245$

в) $\mathrm{0,487}·10 = \mathrm{4,87}$

г) $\mathrm{9,279}·100 = \mathrm{927,9}$

д) $\mathrm{4,80}·100 = 480$

е) $\mathrm{0,096}·100 = \mathrm{9,6}$

ж) $\mathrm{8,7651}·1000 = \mathrm{8765,1}$

з) $\mathrm{0,0425}·1000 = \mathrm{42,5}$

Для того чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, необходимо в этой дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей содержится в множителе. Если количество цифр после запятой меньше, чем количество нулей в множителе, то в конце числа нужно дописать недостающее количество нулей.

а)При умножении $7,66$ на $10$ необходимо перенести запятую на один знак вправо, так как в числе 10 один ноль.
$7,66 \cdot 10 = 76,6$
Ответ: $76,6$

б)При умножении $24,5$ на $10$ переносим запятую на один знак вправо.
$24,5 \cdot 10 = 245$
Ответ: $245$

в)При умножении $0,487$ на $10$ переносим запятую на один знак вправо.
$0,487 \cdot 10 = 4,87$
Ответ: $4,87$

г)При умножении $9,279$ на $100$ необходимо перенести запятую на два знака вправо, так как в числе 100 два ноля.
$9,279 \cdot 100 = 927,9$
Ответ: $927,9$

д)При умножении $4,8$ на $100$ переносим запятую на два знака вправо. Так как после запятой стоит только одна цифра, необходимо дописать один ноль справа.
$4,8 \cdot 100 = 480$
Ответ: $480$

е)При умножении $0,096$ на $100$ переносим запятую на два знака вправо.
$0,096 \cdot 100 = 9,6$
Ответ: $9,6$

ж)При умножении $8,7651$ на $1000$ необходимо перенести запятую на три знака вправо, так как в числе 1000 три ноля.
$8,7651 \cdot 1000 = 8765,1$
Ответ: $8765,1$

з)При умножении $0,0425$ на $1000$ переносим запятую на три знака вправо.
$0,0425 \cdot 1000 = 42,5$
Ответ: $42,5$

6.202 Вычислите значение выражения:

а) 25,4x + 1,4y при x = 4 и y = 3; x = 10 и y = 100;

б) 14,34a + 13,5b при a = 75 и b = 10.

а) Вычислим значение выражения $25,4x + 1,47y$ для двух пар значений.

1. При $x = 4$ и $y = 3$:

Подставляем значения в выражение: $25,4 \cdot 4 + 1,47 \cdot 3$.

Выполним умножение:

$25,4 \cdot 4 = 101,6$

$1,47 \cdot 3 = 4,41$

Выполним сложение:

$101,6 + 4,41 = 106,01$

2. При $x = 10$ и $y = 100$:

Подставляем значения в выражение: $25,4 \cdot 10 + 1,47 \cdot 100$.

Выполним умножение:

$25,4 \cdot 10 = 254$

$1,47 \cdot 100 = 147$

Выполним сложение:

$254 + 147 = 401$

Ответ: $106,01$; $401$.

б) Вычислим значение выражения $14,34a + 13,5b$ при $a = 75$ и $b = 10$.

Подставляем значения переменных в выражение:

$14,34 \cdot 75 + 13,5 \cdot 10$

Выполним действия по порядку:

1) $14,34 \cdot 75 = 1075,5$

2) $13,5 \cdot 10 = 135$

3) $1075,5 + 135 = 1210,5$

Ответ: $1210,5$.