Страница 116, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.318 Вычислите.

a)
$$\begin{gathered} 90 - 16 = 90 - (10 + 6) = \\ = (90 - 10) - 6 = 80 - 6 = 74 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 74 : 2 = (60 + 14) : 2 = \\ = 60 : 2 + 14 : 2 = \\ = 30 + 7 = 37 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 37 + 23 = (30 + 7) + (20 + 3) = \\ = (30 + 20) + (7 + 3) = \\ = 50 + 10 = 60 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 60 : 5 = (50 + 10) : 5 = \\ = 50 : 5 + 10 : 5 = \\ = 10 + 2 = 12 \end{gathered}$$

б)
$50 + 19 = 69$

$69 : 3 = 23$

$23 + 47 = 70$

$$\begin{gathered} 70 : 5 = (50 + 20) : 5 = \\ = 50 : 5 + + 20 : 5 = \\ = 10 + 4 = 14 \end{gathered}$$

в)
$42 + 26 = 68$

$68 : 2 = 34$

$$\begin{gathered} 34 - 16 = 34 - (10 + 6) = \\ = (34 - 10) - 6 = \\ = 24 - 6 = 18 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 18 · 3 = (10 + 8) · 3 = \\ = 10 · 3 + 8 · 3 = \\ = 30 + 24 = 54 \end{gathered}$$

г)
$$\begin{gathered} 60 - 22 = (60 - 20) + 2 = \\ = (60 - 20) - 2 = 40 - 2 = 38 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 38 : 2 = (30 + 8) : 2 = \\ = 30 : 2 + 8 : 2 = \\ = 15 + 4 = 19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 19 + 46 = (10 + 9) + (40 + 6) = \\ = (10 + 40) + (9 + 6) = \\ = 50 + 15 = 65 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 65 : 5 = (50 + 15) : 5 = \\ = 50 : 5 + 15 : 5 = \\ = 10 + 3 = 13 \end{gathered}$$

д)
$$\begin{gathered} 70 - 19 = 70 - (10 + 9) = \\ = (70 - 10) - 9 = \\ = 60 - 9 = 51 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 51 : 3 = (30 + 21) : 3 = \\ = 30 : 3 + 21 : 3 = \\ = 10 + 7 = 17 \end{gathered}$$

$17 + 13 = 30$

$30 · 5 = 150$

а) Для решения этого примера необходимо последовательно выполнить указанные арифметические действия:
1) Первое действие — вычитание: $90 - 16 = 74$.
2) Второе действие — деление: $74 : 2 = 37$.
3) Третье действие — сложение: $37 + 23 = 60$.
4) Четвертое действие — деление: $60 : 5 = 12$.
Ответ: 12

б) Выполним вычисления по порядку:
1) Сначала выполним сложение: $50 + 19 = 69$.
2) Затем разделим результат: $69 : 3 = 23$.
3) Далее прибавим число: $23 + 47 = 70$.
4) И в конце разделим полученную сумму: $70 : 5 = 14$.
Ответ: 14

в) Решим пример по шагам, следуя указанному порядку:
1) Выполняем сложение: $42 + 26 = 68$.
2) Делим результат на 2: $68 : 2 = 34$.
3) Вычитаем 16: $34 - 16 = 18$.
4) Умножаем на 3 (знак `·` обозначает умножение): $18 \cdot 3 = 54$.
Ответ: 54

г) Произведем вычисления в заданной последовательности:
1) Начнем с вычитания: $60 - 22 = 38$.
2) Полученную разность разделим: $38 : 2 = 19$.
3) К результату прибавим 46: $19 + 46 = 65$.
4) Итоговую сумму разделим на 5: $65 : 5 = 13$.
Ответ: 13

д) Вычислим значение, выполняя действия по порядку:
1) Первое действие — вычитание: $70 - 19 = 51$.
2) Второе действие — деление: $51 : 3 = 17$.
3) Третье действие — сложение: $17 + 13 = 30$.
4) Четвертое действие — умножение: $30 \cdot 5 = 150$.
Ответ: 150

3.319 Подберите корни уравнения:

а) t • t = 36;

б) m • m = 64;

в) a • a = 1;

г) c • c • c = 0.

a)
$t · t = 36$
$6 · 6 = 36$
$t = 6$
Ответ: 6.

б)
$m · m = 64$
$8 · 8 = 64$
$m = 8$
Ответ: 8.

в)
$a · a = 1$
$1 · 1 = 1$
$a = 1$
Ответ: 1.

г)
$c · c · c = 0$
$0 · 0 · 0 = 0$
$c = 0$
Ответ: 0.

а) В уравнении $t \cdot t = 36$ требуется найти число t, которое при умножении на само себя дает 36. Данное уравнение можно представить в виде $t^2 = 36$. Нам нужно найти квадратный корень из 36. Методом подбора определяем, что $6 \cdot 6 = 36$. Также необходимо помнить, что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому $(-6) \cdot (-6) = 36$. Таким образом, у данного уравнения есть два корня.
Ответ: 6 и -6.

б) В уравнении $m \cdot m = 64$ или $m^2 = 64$ мы ищем число m, квадрат которого равен 64. Из таблицы умножения мы знаем, что $8 \cdot 8 = 64$. Аналогично предыдущему пункту, $(-8) \cdot (-8) = 64$. Следовательно, у этого уравнения также два корня.
Ответ: 8 и -8.

в) В уравнении $a \cdot a \cdot a = 1$ или $a^3 = 1$ нужно найти число a, которое в третьей степени (в кубе) равно 1. Легко можно подобрать, что таким числом является 1, так как $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. В отличие от уравнений с четной степенью, для нечетных степеней отрицательное число в основании даст отрицательный результат: $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$. Поэтому -1 не является корнем. В области действительных чисел есть только один корень.
Ответ: 1.

г) В уравнении $c \cdot c \cdot c = 0$ или $c^3 = 0$ ищется число c, куб которого равен 0. Произведение нескольких множителей равно нулю только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как в данном уравнении все три множителя одинаковы и равны c, то для выполнения равенства необходимо, чтобы само число c было равно нулю. Проверка: $0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0.

3.320 Установите, какие цифры закрашены в примере

Для того чтобы восстановить закрашенные цифры в примере, решим его поразрядно, двигаясь справа налево от разряда единиц к старшим разрядам.

Представим пример в виде, где закрашенные ячейки заменены буквами A, B, C и D:

 6A74+ B8CD------- 12763

Разряд единиц

В крайнем правом столбце мы складываем 4 и D, и результат должен оканчиваться на 3. Единственная цифра D, для которой это возможно, — та, что в сумме с 4 даёт 13.

$4 + D = 13$

Отсюда находим D:

$D = 13 - 4 = 9$

Итак, последняя цифра второго слагаемого — это 9. В разряд десятков переносится 1.

Разряд десятков

Теперь рассмотрим второй столбец справа. С учётом переноса из предыдущего разряда, сумма должна оканчиваться на 6. Так как $1 + 7 + C$ должно быть больше 8, то сумма равна 16.

$1 + 7 + C = 16$

$8 + C = 16$

Находим C:

$C = 16 - 8 = 8$

Цифра в разряде десятков второго слагаемого — это 8. В разряд сотен переносится 1.

Разряд сотен

В третьем столбце, с учётом переноса, сумма $1 + A + 8$ должна оканчиваться на 7. Так как $1+8=9$, то сумма очевидно равна 17.

$1 + A + 8 = 17$

$9 + A = 17$

Находим А:

$A = 17 - 9 = 8$

Цифра в разряде сотен первого слагаемого — это 8. В разряд тысяч снова переносится 1.

Разряд тысяч

В последнем, левом столбце, сумма с учётом переноса должна быть равна 12 (это оставшаяся часть итогового числа).

$1 + 6 + B = 12$

$7 + B = 12$

Находим B:

$B = 12 - 7 = 5$

Первая цифра второго слагаемого — это 5.

Мы нашли все закрашенные цифры. Теперь восстановим исходный пример:

 6874+ 5889------- 12763

Проверка сложением подтверждает, что все цифры найдены верно.

Ответ: В первом слагаемом закрашена цифра 8, во втором — 5, 8 и 9. Полный пример: $6874 + 5889 = 12763$.

3.321 Назовите порядок действий в выражении:

а) 120 + 41 - 30;

б) 80 - 75 : 15;

в) 90 - 35 + 16;

г) 30 • 17 + 20.

Есть ли другой порядок действий, приводящий к тому же результату?

а) $120 \stackrel{1}{+} 41 \stackrel{2}{-} 30$

1) $120 + 41$ - сложение
2) Вычитание

Другой порядок действий:
$120 \stackrel{2}{+} 41 \stackrel{1}{-} 30$

1) $41 - 30$ - вычитание
2) Сложение

б) $80 \stackrel{2}{-} 75 \stackrel{1}{:} 15$

1) $75 : 15$ - деление
2) Вычитание

Другого порядка действий, приводящего к тому же результату, нет.

в) $90 \stackrel{1}{-} 35 \stackrel{2}{+} 16$

1) $90 - 35$ - вычитание
2) Сложение

Другой порядок действий:
$90 \stackrel{1}{+} 16 \stackrel{2}{-} 35$

1) $90 + 16$ - сложение
2) Вычитание

г) $30 \stackrel{1}{\cdot } 17 \stackrel{2}{+} 20$

1) $30 - 17$ - умножение
2) Сложение

Другого порядка действий, приводящего к тому же результату, нет.

В математике принят следующий порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

1. Сначала выполняются действия второй ступени — умножение и деление — в том порядке, в котором они записаны (слева направо).
2. Затем выполняются действия первой ступени — сложение и вычитание — также в порядке их записи (слева направо).

а) В выражении $120 + 41 - 30$ присутствуют только действия первой ступени (сложение и вычитание). Поэтому они выполняются по порядку слева направо.

1. Первое действие: сложение $120 + 41 = 161$.

2. Второе действие: вычитание $161 - 30 = 131$.

Существует и другой порядок действий, который приведет к тому же результату. Поскольку вычитание числа $c$ — это то же самое, что и прибавление числа $-c$, мы можем рассматривать выражение как сумму трех чисел: $120 + 41 + (-30)$. Благодаря переместительному свойству сложения, мы можем менять слагаемые местами. Например, можно сначала из 120 вычесть 30, а затем прибавить 41.

1. $120 - 30 = 90$.

2. $90 + 41 = 131$.

Результат совпадает.

Ответ: Стандартный порядок: 1. Сложение ($120+41$), 2. Вычитание. Да, есть другой порядок действий, например, сначала выполнить вычитание ($120-30$), а затем сложение.

б) В выражении $80 - 75 : 15$ есть действия разных ступеней: деление (вторая ступень) и вычитание (первая ступень). Согласно правилам, сначала выполняется деление.

1. Первое действие: деление $75 : 15 = 5$.

2. Второе действие: вычитание $80 - 5 = 75$.

В данном случае порядок действий строго определен. Если сначала выполнить вычитание ($80 - 75 = 5$), а затем деление ($5 : 15$), получится неверный результат. Поэтому другого порядка действий, приводящего к правильному ответу, нет.

Ответ: Порядок действий: 1. Деление ($75:15$), 2. Вычитание. Другого порядка действий, приводящего к тому же результату, нет.

в) В выражении $90 - 35 + 16$ присутствуют только действия первой ступени. Они выполняются слева направо.

1. Первое действие: вычитание $90 - 35 = 55$.

2. Второе действие: сложение $55 + 16 = 71$.

Как и в примере а), здесь можно изменить порядок действий. Используя переместительное свойство сложения ($a - b + c = a + c - b$), можно сначала сложить 90 и 16, а потом вычесть 35.

1. $90 + 16 = 106$.

2. $106 - 35 = 71$.

Результат тот же. Важно понимать, что мы переставляем числа вместе с их знаками, а не просто выполняем сложение $35+16$ первым действием.

Ответ: Стандартный порядок: 1. Вычитание ($90-35$), 2. Сложение. Да, есть другой порядок действий, например, сначала выполнить сложение ($90+16$), а затем вычитание.

г) В выражении $30 \cdot 17 + 20$ есть умножение (вторая ступень) и сложение (первая ступень). Сначала выполняется действие второй ступени.

1. Первое действие: умножение $30 \cdot 17 = 510$.

2. Второе действие: сложение $510 + 20 = 530$.

Порядок действий здесь, как и в примере б), строго определен правилами. Изменение порядка (сначала сложение $17+20$, а затем умножение) приведет к неверному результату. Следовательно, альтернативного порядка действий не существует.

Ответ: Порядок действий: 1. Умножение ($30 \cdot 17$), 2. Сложение. Другого порядка действий, приводящего к тому же результату, нет.

3.322 Составьте выражение по следующему алгоритму:

1. Разделить 29 784 на 219.

2. Разделить 125 на 25.

3. Сложить результаты команд 1 и 2.

Чему равно значение получившегося выражения?

$29784 \stackrel{1}{:} 219 \stackrel{3}{+} 125 \stackrel{2}{:} 25 = 141$

1)
2)	3)

Чтобы составить выражение по заданному алгоритму, нужно перевести словесное описание команд в математическую запись.

• Команда 1 "Разделить 29 784 на 219" записывается как частное $29784 : 219$.
• Команда 2 "Разделить 125 на 25" записывается как частное $125 : 25$.
• Команда 3 "Сложить результаты команд 1 и 2" означает, что необходимо найти сумму результатов первых двух действий.

Таким образом, итоговое выражение, составленное по алгоритму, имеет вид:

$(29784 : 219) + (125 : 25)$

Далее найдем значение этого выражения, выполняя действия по порядку.

1. Разделить 29 784 на 219.

Выполняем первое действие деления:

$29784 : 219 = 136$

2. Разделить 125 на 25.

Выполняем второе действие деления:

$125 : 25 = 5$

3. Сложить результаты команд 1 и 2.

Складываем результаты, полученные в первых двух действиях:

$136 + 5 = 141$

Ответ: выражение: $(29784 : 219) + (125 : 25)$; значение выражения: 141.

3.323 Расставьте порядок выполнения действий: (69 • 31 + 75 • 25) - (192 : 3 - 192 : 12).

$(69 \stackrel{1}{·} 31 \stackrel{3}{+} 75 \stackrel{2}{:} 25) \stackrel{7}{-} (192 \stackrel{4}{:} 3 \stackrel{6}{-} 192 \stackrel{5}{:} 12)$

Для вычисления значения выражения $(69 \cdot 31 + 75 \cdot 25) - (192 : 3 - 192 : 12)$ необходимо сначала определить правильный порядок операций, а затем последовательно их выполнить.

Порядок выполнения действий

Согласно общепринятым правилам, порядок вычислений в математических выражениях следующий:

1. Выполняются действия, заключенные в скобки.
2. Внутри скобок и в остальной части выражения сначала выполняются умножение и деление (в порядке их следования, слева направо).
3. В последнюю очередь выполняются сложение и вычитание (также в порядке их следования, слева направо).

Применим эти правила к данному выражению. Порядок действий будет таким:

1. Первое действие: умножение в первой скобке $69 \cdot 31$.
2. Второе действие: умножение в первой скобке $75 \cdot 25$.
3. Третье действие: сложение результатов первых двух действий для нахождения значения первой скобки.
4. Четвертое действие: деление во второй скобке $192 : 3$.
5. Пятое действие: деление во второй скобке $192 : 12$.
6. Шестое действие: вычитание во второй скобке для нахождения ее значения.
7. Седьмое действие: вычитание результата второй скобки из результата первой.

Решение по действиям

1) $69 \cdot 31 = 2139$

2) $75 \cdot 25 = 1875$

3) $2139 + 1875 = 4014$

4) $192 : 3 = 64$

5) $192 : 12 = 16$

6) $64 - 16 = 48$

7) $4014 - 48 = 3966$

Ответ: 3966.

3.324 Найдите числа, если:

1) их сумма равна 488 и одно меньше другого в 7 раз;

2) их сумма равна 4720 и одно больше другого в 9 раз;

3) их разность равна 315 и одно меньше другого в 8 раз;

4) их разность равна 567 и одно больше другого в 8 раз.

Пусть x - меньшее число, тогда 7x - большее число.
$x + 7x = 488$
$(1 + 7)x = 488$
$8x = 488$
$x = 488 : 8$

$x = 61$
$61 \cdot 7 = 427$

Ответ: 61 и 427.

Пусть x - меньшее число, тогда 9x - большее число.
$x + 9x = 4720$
$(1 + 9)x = 4720$
$10x = 4720$
$x = 4720 : 10$
$x = 472$
$472 \cdot 9 = 4248$

Ответ: 472 и 4248.

Пусть x - меньшее число, тогда 8x - большее число.
$8x - x = 315$
$(8 - 1)x = 315$
$7x = 315$
$x = 315 : 7$

$x = 45$
$45 \cdot 8 = 360$
Ответ: 45 и 360.

Пусть x - меньшее число, тогда 8x - большее число.
$8x - x = 567$
$(8 - 1)x = 567$
$7x = 567$
$x = 567 : 7$

$x = 81$
$81 \cdot 8 = 648$

Ответ: 81 и 648.

1) их сумма равна 488 и одно меньше другого в 7 раз;
Обозначим меньшее число через $x$. Поскольку одно число меньше другого в 7 раз, то большее число будет в 7 раз больше меньшего, то есть $7x$. Их сумма равна 488. Составим и решим уравнение:
$x + 7x = 488$
$8x = 488$
$x = 488 \div 8$
$x = 61$
Итак, меньшее число равно 61. Найдем большее число:
$7 \cdot 61 = 427$
Искомые числа — 61 и 427.
Проверка: $61 + 427 = 488$.
Ответ: 61 и 427.

2) их сумма равна 4720 и одно больше другого в 9 раз;
Обозначим меньшее число через $x$. Тогда большее число будет равно $9x$. Их сумма равна 4720. Составим и решим уравнение:
$x + 9x = 4720$
$10x = 4720$
$x = 4720 \div 10$
$x = 472$
Итак, меньшее число равно 472. Найдем большее число:
$9 \cdot 472 = 4248$
Искомые числа — 472 и 4248.
Проверка: $472 + 4248 = 4720$.
Ответ: 472 и 4248.

3) их разность равна 315 и одно меньше другого в 8 раз;
Обозначим меньшее число через $x$. Тогда большее число будет $8x$. Их разность равна 315. Составим и решим уравнение (из большего числа вычитаем меньшее):
$8x - x = 315$
$7x = 315$
$x = 315 \div 7$
$x = 45$
Итак, меньшее число равно 45. Найдем большее число:
$8 \cdot 45 = 360$
Искомые числа — 45 и 360.
Проверка: $360 - 45 = 315$.
Ответ: 45 и 360.

4) их разность равна 567 и одно больше другого в 8 раз.
Обозначим меньшее число через $x$. Тогда большее число будет $8x$. Их разность равна 567. Составим и решим уравнение:
$8x - x = 567$
$7x = 567$
$x = 567 \div 7$
$x = 81$
Итак, меньшее число равно 81. Найдем большее число:
$8 \cdot 81 = 648$
Искомые числа — 81 и 648.
Проверка: $648 - 81 = 567$.
Ответ: 81 и 648.

3.325 Вычислите:

а) 16²;

б) 5³;

в) 19²;

г) 30³;

д) 50²;

е) 100³.

a) ${16}^2 = 16 · 16 = 256$

б) $5^3 = 5 - 5 - 5 = 25 - 5 = 125$

в) ${19}^2 = 19 · 19 = 361$

г) ${30}^3 = \underset{900}{\underset{⏝}{30 · 30}} · 30 = 900 · 30 = 27000$
g) ${50}^2 = 50 · 50 = 2500$
e) ${100}^3 = 100 · 100 · 100 = 1000000$

а) Возвести число 16 в квадрат ($16^2$) означает умножить его само на себя:
$16^2 = 16 \cdot 16 = 256$.
Ответ: 256

б) Возвести число 5 в куб ($5^3$) означает умножить его само на себя три раза:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125

в) Возвести число 19 в квадрат ($19^2$) означает умножить его само на себя:
$19^2 = 19 \cdot 19 = 361$.
Ответ: 361

г) Возвести число 30 в куб ($30^3$) означает умножить его само на себя три раза:
$30^3 = 30 \cdot 30 \cdot 30 = 900 \cdot 30 = 27000$.
Ответ: 27000

д) Возвести число 50 в квадрат ($50^2$) означает умножить его само на себя:
$50^2 = 50 \cdot 50 = 2500$.
Ответ: 2500

е) Возвести число 100 в куб ($100^3$) означает умножить его само на себя три раза:
$100^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 = 10000 \cdot 100 = 1000000$.
Ответ: 1000000

3.326 Найдите степень:

а) 2⁵;

б) 11²;

в) 10⁶;

г) 1¹⁵;

д) 100⁴;

е) 20⁷.

а)
$$\begin{gathered} 2^5 = \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · 2 = \\ = 4 · 4 · 2 = 16 · 2 = 32 \end{gathered}$$

б)
${11}^2 = 11 · 11 = 121$

в)
$$\begin{gathered} {10}^6 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = \\ = 1000000 \end{gathered}$$

г) 
$1^{15} = \underset{15 \mathrm{раз}}{\underbrace{1 · 1 · 1 · \dots · 1· 1}} = 1$

д) 
${100}^4 = 100 · 100 · 100 · 100 =100000000$

е) 
$$\begin{gathered} {20}^7 = \underset{400}{20 · 20} · \underset{400}{20 · 20} · \underset{400}{20 · 20} · 20 = \\ = \underset{160000}{400 · 400} · \underset{8000}{400 · 20} = \\ =160000 · 8000 = 1280000000 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение степени $2^5$, необходимо число 2 (основание степени) умножить само на себя 5 раз (показатель степени).
$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$
Вычислим произведение:
$2 \times 2 = 4$
$4 \times 2 = 8$
$8 \times 2 = 16$
$16 \times 2 = 32$
Следовательно, $2^5 = 32$.
Ответ: 32

б) Чтобы найти значение степени $11^2$ (также читается как "одиннадцать в квадрате"), необходимо число 11 умножить само на себя 2 раза.
$11^2 = 11 \times 11 = 121$
Ответ: 121

в) Чтобы найти значение степени $10^6$, необходимо число 10 умножить само на себя 6 раз. При возведении числа 10 в натуральную степень, результат представляет собой единицу, за которой следует столько нулей, каков показатель степени.
$10^6 = 1 \, 000 \, 000$ (один миллион).
Ответ: 1 000 000

г) Чтобы найти значение степени $1^{15}$, необходимо число 1 умножить само на себя 15 раз. Единица в любой натуральной степени всегда равна единице.
$1^{15} = 1 \times 1 \times \dots \times 1 \text{ (15 раз)} = 1$
Ответ: 1

д) Чтобы найти значение степени $100^4$, можно представить основание 100 как степень числа 10, то есть $100 = 10^2$. Затем воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$100^4 = (10^2)^4 = 10^{2 \cdot 4} = 10^8$
Результатом является единица с 8 нулями.
$10^8 = 100 \, 000 \, 000$ (сто миллионов).
Ответ: 100 000 000

е) Чтобы найти значение степени $20^7$, можно воспользоваться свойством степени произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Представим 20 как произведение $2 \cdot 10$.
$20^7 = (2 \cdot 10)^7 = 2^7 \cdot 10^7$
Сначала вычислим $2^7$:
$2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$
Теперь умножим полученный результат на $10^7$:
$128 \cdot 10^7 = 128 \cdot 10 \, 000 \, 000 = 1 \, 280 \, 000 \, 000$ (один миллиард двести восемьдесят миллионов).
Ответ: 1 280 000 000

3.327 Чему равно значение выражения:

а) 18 + 8²;

б) 19² - 301;

в) (22 - 18)² : 2³;

г) (18 - 17)⁸ + 2⁶?

а)
$$\begin{gathered} 18 + 8^2 = 18 + 8 · 8 = \\ = 18 + 64 = \\ = (10 + 8) + (60 + 4) = \\ = (10 + 60) + (8 + 4) = \\ = 70 + 12 = 82 \end{gathered}$$

б) 
$$\begin{gathered} {19}^2 - 301 = 19 · 19 - 301 = \\ = 361 - 301 = 60 \end{gathered}$$

в)
$$\begin{gathered} (22 - 18{)}^2 : 2^3 = 4^2 : 2^3 = \\ = (4 · 4) : (2 · 2 · 2) = \\ = 16 : 8 = 2 \end{gathered}$$

г) 
$$\begin{gathered} (18 - 17{)}^8 + 2^6 = 1^8 + 2^6 = \\ = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 + \\ + \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} = \\ = 1 + \underset{16}{4 · 4} · 4 = 1 + 64 = 65 \end{gathered}$$

а) $18 + 8^2$

Для нахождения значения выражения необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем сложение, согласно порядку выполнения действий в математике.

1. Возводим число 8 в квадрат: $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$.

2. К 18 прибавляем полученный результат: $18 + 64 = 82$.

Таким образом, $18 + 8^2 = 18 + 64 = 82$.

Ответ: 82

б) $19^2 - 301$

Сначала выполняем возведение в степень, а затем вычитание.

1. Возводим число 19 в квадрат: $19^2 = 19 \cdot 19 = 361$.

2. Из полученного результата вычитаем 301: $361 - 301 = 60$.

Таким образом, $19^2 - 301 = 361 - 301 = 60$.

Ответ: 60

в) $(22 - 18)^2 : 2^3$

Порядок действий: сначала выполняем операцию в скобках, затем возведение в степень, и в последнюю очередь — деление.

1. Вычисляем разность в скобках: $22 - 18 = 4$.

2. Теперь выражение выглядит так: $4^2 : 2^3$.

3. Возводим в степень: $4^2 = 16$ и $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

4. Выполняем деление: $16 : 8 = 2$.

Таким образом, $(22 - 18)^2 : 2^3 = 4^2 : 2^3 = 16 : 8 = 2$.

Ответ: 2

г) $(18 - 17)^8 + 2^6$

Порядок действий: сначала операция в скобках, затем возведение в степень, и в конце — сложение.

1. Вычисляем разность в скобках: $18 - 17 = 1$.

2. Теперь выражение выглядит так: $1^8 + 2^6$.

3. Возводим в степень: $1^8 = 1$ (единица в любой степени равна единице) и $2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.

4. Выполняем сложение: $1 + 64 = 65$.

Таким образом, $(18 - 17)^8 + 2^6 = 1^8 + 2^6 = 1 + 64 = 65$.

Ответ: 65

3.328 Найдите значение выражения:

а) 6³ : 3;

б) 2³ • 3²;

в) 3⁴ • 10⁴;

г) 5⁴ : 5².

а)
$$\begin{gathered} 6^3:3 = (\stackrel{36}{\overbrace{6 · 6}} · 6):3 = \\ =(36 · 6):3 = 216:3 = 72 \end{gathered}$$

б)
$$\begin{gathered} 2^3 · 3^2 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3) = \\ = 8 · 9 = 72 \end{gathered}$$

в) 
$$\begin{gathered} 3^4 · {10}^4 = (3 · 3 · 3 · 3) · \\ · (10 · 10 · 10 · 10) = \\ = 81 · 10000 = 810000 \end{gathered}$$

г) 
$$\begin{gathered} 5^4:5^2 = (\stackrel{25}{\overbrace{5 · 5}} · \stackrel{25}{\overbrace{5 · 5}}):(5 · 5) = \\ = (25 · 25):25 = \\ = 625:25 = 25 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $6^8 : 3$, представим число 6 в виде произведения простых множителей: $6 = 2 \cdot 3$.

Тогда выражение $6^8$ можно записать как $(2 \cdot 3)^8$. Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $6^8 = (2 \cdot 3)^8 = 2^8 \cdot 3^8$.

Теперь исходное выражение выглядит так: $(2^8 \cdot 3^8) : 3$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$). В нашем случае $3$ — это $3^1$, поэтому $3^8 : 3^1 = 3^{8-1} = 3^7$. Таким образом, выражение упрощается до $2^8 \cdot 3^7$.

Вычислим значения степеней и перемножим их:
$2^8 = 256$
$3^7 = 2187$
$256 \cdot 2187 = 559872$.

Ответ: 559872.

б) Чтобы найти значение выражения $2^8 \cdot 3^2$, необходимо вычислить каждую степень по отдельности, а затем перемножить результаты.

Вычислим значения степеней:
$2^8 = 256$
$3^2 = 9$

Теперь умножим полученные значения:
$256 \cdot 9 = 2304$.

Ответ: 2304.

в) Для решения примера $3^4 \cdot 10^4$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.

Применим это свойство к выражению: $3^4 \cdot 10^4 = (3 \cdot 10)^4 = 30^4$.

Теперь вычислим значение $30^4$:
$30^4 = 30 \cdot 30 \cdot 30 \cdot 30 = 810000$.

Ответ: 810000.

г) В выражении $5^4 : 5^2$ мы делим степени с одинаковым основанием. Воспользуемся свойством деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применим это свойство: $5^4 : 5^2 = 5^{4-2} = 5^2$.

Вычислим значение полученной степени:
$5^2 = 25$.

Ответ: 25.

3.329 Выполните действия:

а) 5 • 2⁴ + 7²;

б) (9³ - 3³) : 3²;

в) 8³ - 4 • 5²;

г) 10⁴ • (5³ + 5²).

a) $5 · 2^4 + 7^2 = 129$
1) $2^4 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16$
2) 
$$\begin{gathered} 16 · 5 = (10 + 6) · 5 = \\ = 10 · 5 + 6 · 5 = \\ = 50 + 30 = 80 \end{gathered}$$
3) $7^2 = 7 · 7 = 49$
4) $80 + 49 = 129$

б) $(9^3 - 3^3):3^2 = 78$
1) $9^3 = 9 · 9 · 9 = 81 · 9 = 729$

2) $3^3 = 3 · 3 · 3 = 27$
3) $729 - 27 = 702$
4) $3^2 = 9$
5)

в) $8^3 - 4 · 5^2 = 412$
1) $8^3 = 8 · 8 · 8 = 64 · 8 = 512$

2) $5^2 = 5 · 5 = 25$
3) $4 · 25 = 100$
4) $512 - 100 = 412$

г) ${10}^4 · (5^3 + 5^2) =$
1) $5^3 = 5 · 5 · 5 = 25 · 5 = 125$
2) $5^2 = 5 · 5 = 25$
3) $125 + 25 = 150$
4) ${10}^4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000$
5) $150 · 10000 = 1500000$

а) Для вычисления выражения $5 \cdot 2^4 + 7^2$ необходимо соблюдать порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце сложение.

1. Вычисляем степени: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ и $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
2. Выполняем умножение: $5 \cdot 16 = 80$.
3. Выполняем сложение: $80 + 49 = 129$.

Таким образом, $5 \cdot 2^4 + 7^2 = 5 \cdot 16 + 49 = 80 + 49 = 129$.

Ответ: 129.

б) Для вычисления выражения $(9^3 - 8^3) : 3^2$ сначала выполняются действия в скобках, а затем деление.

1. Вычисляем степени: $9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$, $8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ и $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
2. Выполняем вычитание в скобках: $729 - 512 = 217$.
3. Выполняем деление: $217 : 9 = \frac{217}{9}$. Это несократимая дробь, которую можно представить в виде смешанного числа $24 \frac{1}{9}$.

Таким образом, $(9^3 - 8^3) : 3^2 = (729 - 512) : 9 = 217 : 9 = \frac{217}{9}$.

Ответ: $\frac{217}{9}$.

в) Для вычисления выражения $8^3 - 4 \cdot 5^2$ соблюдаем порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение и вычитание.

1. Вычисляем степени: $8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ и $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
2. Выполняем умножение: $4 \cdot 25 = 100$.
3. Выполняем вычитание: $512 - 100 = 412$.

Таким образом, $8^3 - 4 \cdot 5^2 = 512 - 4 \cdot 25 = 512 - 100 = 412$.

Ответ: 412.

г) Для вычисления выражения $10^4 \cdot (5^3 + 5^2)$ сначала выполняем действия в скобках (возведение в степень и сложение), а затем умножение.

1. Вычисляем степени: $10^4 = 10000$, $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ и $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
2. Выполняем сложение в скобках: $125 + 25 = 150$.
3. Выполняем умножение: $10000 \cdot 150 = 1500000$.

Таким образом, $10^4 \cdot (5^3 + 5^2) = 10000 \cdot (125 + 25) = 10000 \cdot 150 = 1500000$.

Ответ: 1500000.

3.330 Запишите число, представленное суммой разрядных слагаемых:

а) 3 • 10⁶ + 4 • 10³ + 8 • 10 + 5;

б) 10¹² + 3 • 10⁸ + 9 • 10⁵ + 10.

а)
$$\begin{gathered} 3 · {10}^6 + 4 · {10}^3 + 8 · 10 + 5 = \\ = 3 · 1000000 + 4 · 1000 + 80 + 5 = \\ = 3000000 + 4000 + 80 + 5 = 3004085 \end{gathered}$$

б)
$$\begin{gathered} {10}^{12} + 3 · {10}^8 + 9 · {10}^5 + 10 = \\ = 1000000000000 + 3 · 100000000 + \\ + 9 · 100000 + 10 = \\ = 1000000000000 + 300000000 + \\ + 900000 + 10 = 1000300900010 \end{gathered}$$

а) Чтобы записать число, представленное суммой разрядных слагаемых $8 \cdot 10^6 + 4 \cdot 10^3 + 8 \cdot 10 + 5$, нужно определить значение каждого слагаемого и затем их сложить. Каждое слагаемое вида $a \cdot 10^n$ означает, что цифра $a$ стоит в разряде, соответствующем $10^n$.

$8 \cdot 10^6 = 8 \cdot 1\;000\;000 = 8\;000\;000$ (8 миллионов)
$4 \cdot 10^3 = 4 \cdot 1\;000 = 4\;000$ (4 тысячи)
$8 \cdot 10 = 8 \cdot 10^1 = 80$ (8 десятков)
$5 = 5 \cdot 10^0 = 5$ (5 единиц)

Теперь сложим эти значения:

$8\;000\;000 + 4\;000 + 80 + 5 = 8\;004\;085$

Можно также составить число, расставляя цифры по соответствующим разрядам. Самый старший разряд — миллионы ($10^6$), значит, число будет семизначным.
Цифра в разряде миллионов ($10^6$): 8
Цифра в разряде сотен тысяч ($10^5$): 0 (слагаемое отсутствует)
Цифра в разряде десятков тысяч ($10^4$): 0 (слагаемое отсутствует)
Цифра в разряде тысяч ($10^3$): 4
Цифра в разряде сотен ($10^2$): 0 (слагаемое отсутствует)
Цифра в разряде десятков ($10^1$): 8
Цифра в разряде единиц ($10^0$): 5
Соединив цифры, получаем число 8 004 085.

Ответ: 8 004 085.

б) Рассмотрим сумму разрядных слагаемых $10^{12} + 8 \cdot 10^8 + 9 \cdot 10^5 + 10$. Запишем каждое слагаемое в виде числа. Обратим внимание, что $10^{12}$ это то же самое, что $1 \cdot 10^{12}$, а $10$ это $1 \cdot 10^1$.

$10^{12} = 1 \cdot 10^{12} = 1\;000\;000\;000\;000$ (1 триллион)
$8 \cdot 10^8 = 8 \cdot 100\;000\;000 = 800\;000\;000$ (800 миллионов)
$9 \cdot 10^5 = 9 \cdot 100\;000 = 900\;000$ (900 тысяч)
$10 = 1 \cdot 10^1 = 10$ (1 десяток)

Сложим полученные значения:

$1\;000\;000\;000\;000 + 800\;000\;000 + 900\;000 + 10 = 1\;000\;800\;900\;010$

Также составим число по разрядам. Самый старший разряд соответствует $10^{12}$, значит, число будет тринадцатизначным.
Цифра в разряде $10^{12}$: 1
Цифра в разряде $10^{11}$: 0
Цифра в разряде $10^{10}$: 0
Цифра в разряде $10^9$: 0
Цифра в разряде $10^8$: 8
Цифра в разряде $10^7$: 0
Цифра в разряде $10^6$: 0
Цифра в разряде $10^5$: 9
Цифра в разряде $10^4$: 0
Цифра в разряде $10^3$: 0
Цифра в разряде $10^2$: 0
Цифра в разряде $10^1$: 1
Цифра в разряде $10^0$: 0
Соединив цифры, получаем число 1 000 800 900 010.

Ответ: 1 000 800 900 010.

3.331 Расстояние между домами двух друзей 1 км 800 м. Они одновременно вышли навстречу друг другу: один со скоростью 84 м/мин, другой со скоростью, на 12 м/мин большей. Какое расстояние будет между друзьями через 6 мин после выхода?

1 км 800 м = 1800 м

1) $84 + 12 = 96 (\mathrm{м}/\mathrm{мин})$ – скорость второго друга

2) $84 + 96 = 180 (\mathrm{м}/\mathrm{мин})$ – скорость сближения

3) $180 · 6 = 1080 \left(\mathrm{м}\right)$ – прошли оба друга за 6 мин

4) $1800 - 1080 = 720\left(м\right)$

Ответ: 720 м.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательность действий.

1. Сначала выразим общее расстояние в одних единицах измерения. Поскольку скорости даны в метрах в минуту, удобнее всего перевести расстояние в метры:
$S = 1 \text{ км } 800 \text{ м} = 1 \times 1000 \text{ м} + 800 \text{ м} = 1800 \text{ м}$.

2. Найдем скорость второго друга. Известно, что скорость первого друга $v_1 = 84$ м/мин, а скорость второго друга $v_2$ на 12 м/мин больше:
$v_2 = v_1 + 12 = 84 + 12 = 96$ м/мин.

3. Вычислим скорость сближения друзей. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения $v_{сбл}$ будет равна:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 84 \text{ м/мин} + 96 \text{ м/мин} = 180$ м/мин.

4. Определим, на какое расстояние друзья сблизятся за 6 минут. Для этого умножим скорость сближения на время $t = 6$ мин:
$S_{сбл} = v_{сбл} \times t = 180 \text{ м/мин} \times 6 \text{ мин} = 1080$ м.

5. Наконец, найдем итоговое расстояние между друзьями через 6 минут. Для этого из начального расстояния вычтем расстояние, на которое они сблизились:
$S_{ост} = S - S_{сбл} = 1800 \text{ м} - 1080 \text{ м} = 720$ м.

Ответ: через 6 мин после выхода расстояние между друзьями будет 720 м.

6.162 Округлите:

а) 2,78; 2,283; 99,333; 99,5333; 703,4077 до целых;

б) 0,4732; 0,6329; 0,9621; 34,6504 до десятых.

а) Округлим данные числа до целых. Правило округления до целых гласит: нужно посмотреть на первую цифру после запятой (разряд десятых). Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то целую часть числа нужно увеличить на единицу, а дробную часть отбросить. Если же первая цифра после запятой 0, 1, 2, 3 или 4, то целую часть оставляют без изменений, а дробную часть отбрасывают.

• Для числа $2,78$, первая цифра после запятой – 7. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем целую часть на 1. Получаем: $2,78 \approx 3$.

• Для числа $2,283$, первая цифра после запятой – 2. Так как $2 < 5$, оставляем целую часть без изменений. Получаем: $2,283 \approx 2$.

• Для числа $99,333$, первая цифра после запятой – 3. Так как $3 < 5$, оставляем целую часть без изменений. Получаем: $99,333 \approx 99$.

• Для числа $99,5333$, первая цифра после запятой – 5. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем целую часть на 1. Получаем: $99,5333 \approx 100$.

• Для числа $703,4077$, первая цифра после запятой – 4. Так как $4 < 5$, оставляем целую часть без изменений. Получаем: $703,4077 \approx 703$.

Ответ: 3; 2; 99; 100; 703.

б) Округлим данные числа до десятых. Для этого нужно посмотреть на вторую цифру после запятой (разряд сотых). Если эта цифра 5 или больше, то цифру в разряде десятых увеличиваем на единицу, а все последующие цифры отбрасываем. Если же цифра в разряде сотых меньше 5, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.

• Для числа $0,4732$, вторая цифра после запятой – 7. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых (4) на 1. Получаем: $0,4732 \approx 0,5$.

• Для числа $0,6329$, вторая цифра после запятой – 3. Так как $3 < 5$, оставляем цифру в разряде десятых (6) без изменений. Получаем: $0,6329 \approx 0,6$.

• Для числа $0,9621$, вторая цифра после запятой – 6. Так как $6 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых (9) на 1. Так как $9+1=10$, то в разряде десятых пишем 0, а целую часть увеличиваем на 1. Получаем: $0,9621 \approx 1,0$.

• Для числа $34,6504$, вторая цифра после запятой – 5. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых (6) на 1. Получаем: $34,6504 \approx 34,7$.

Ответ: 0,5; 0,6; 1,0; 34,7.

6.163 Найдите целые приближённые значения с недостатком и с избытком для чисел 0,31; 0,86; 4,86; 34,709; 15,482; 2,058.

Для числа 0,31:
Целое приближенное значение с недостатком — это наибольшее целое число, которое меньше данного числа. Для числа 0,31 это 0. Это также называется целой частью числа.
Целое приближенное значение с избытком — это наименьшее целое число, которое больше данного числа. Для числа 0,31 это 1.
Таким образом, число 0,31 заключено между двумя последовательными целыми числами: $0 < 0,31 < 1$.
Ответ: приближенное значение с недостатком - 0, с избытком - 1.

Для числа 0,86:
Приближенное значение с недостатком равно целой части числа, то есть 0.
Приближенное значение с избытком равно целой части, увеличенной на 1, то есть $0 + 1 = 1$.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < 0,86 < 1$.
Ответ: приближенное значение с недостатком - 0, с избытком - 1.

Для числа 4,86:
Приближенное значение с недостатком равно целой части числа 4,86, то есть 4.
Приближенное значение с избытком равно целой части, увеличенной на единицу: $4 + 1 = 5$.
Неравенство: $4 < 4,86 < 5$.
Ответ: приближенное значение с недостатком - 4, с избытком - 5.

Для числа 34,709:
Приближенное значение с недостатком (целая часть) равно 34.
Приближенное значение с избытком равно $34 + 1 = 35$.
Неравенство: $34 < 34,709 < 35$.
Ответ: приближенное значение с недостатком - 34, с избытком - 35.

Для числа 15,482:
Приближенное значение с недостатком равно целой части числа, то есть 15.
Приближенное значение с избытком равно целой части, увеличенной на 1, то есть $15 + 1 = 16$.
Неравенство: $15 < 15,482 < 16$.
Ответ: приближенное значение с недостатком - 15, с избытком - 16.

Для числа 2,058:
Приближенное значение с недостатком равно целой части числа, то есть 2.
Приближенное значение с избытком равно целой части, увеличенной на 1, то есть $2 + 1 = 3$.
Неравенство: $2 < 2,058 < 3$.
Ответ: приближенное значение с недостатком - 2, с избытком - 3.

6.164 Запишите число, которое:

а) больше миллиарда: в 1000 раз; на 1000;

б) меньше миллиарда: в 1000 раз; на 1000;

в) меньше числа 561 800 000: в 100 раз; в 1000 раз; в 100 000 раз;

г) больше числа 832: в 10 000 раз; в 100 000 раз.

а) Для того чтобы найти число, которое больше миллиарда (1 000 000 000) в 1000 раз, необходимо выполнить умножение. Увеличение "в" какое-то количество раз означает умножение.

$1\,000\,000\,000 \times 1000 = 1\,000\,000\,000\,000$

Для того чтобы найти число, которое больше миллиарда на 1000, необходимо выполнить сложение. Увеличение "на" какое-то число означает сложение.

$1\,000\,000\,000 + 1000 = 1\,000\,001\,000$

Ответ: 1 000 000 000 000; 1 000 001 000.

б) Для того чтобы найти число, которое меньше миллиарда (1 000 000 000) в 1000 раз, необходимо выполнить деление. Уменьшение "в" какое-то количество раз означает деление.

$1\,000\,000\,000 \div 1000 = 1\,000\,000$

Для того чтобы найти число, которое меньше миллиарда на 1000, необходимо выполнить вычитание. Уменьшение "на" какое-то число означает вычитание.

$1\,000\,000\,000 - 1000 = 999\,999\,000$

Ответ: 1 000 000; 999 999 000.

в) Для того чтобы найти число, которое меньше числа 561 800 000 в 100, 1000 и 100 000 раз, нужно последовательно разделить исходное число на 100, 1000 и 100 000.

Меньше в 100 раз:

$561\,800\,000 \div 100 = 5\,618\,000$

Меньше в 1000 раз:

$561\,800\,000 \div 1000 = 561\,800$

Меньше в 100 000 раз:

$561\,800\,000 \div 100\,000 = 5\,618$

Ответ: 5 618 000; 561 800; 5 618.

г) Для того чтобы найти число, которое больше числа 832 в 10 000 и 100 000 раз, нужно последовательно умножить исходное число на 10 000 и 100 000.

Больше в 10 000 раз:

$832 \times 10\,000 = 8\,320\,000$

Больше в 100 000 раз:

$832 \times 100\,000 = 83\,200\,000$

Ответ: 8 320 000; 83 200 000.

6.165 Найдите произведение:

а) 90 000 • 40 000;

б) 1500 • 900 000;

в) 250 000 • 700 • 80;

г) 15 000 • 40 000 • 60.

N G 165

a) $90\hspace{0.17em}000 · 40\hspace{0.17em}000 = 3\hspace{0.17em}600\hspace{0.17em}000\hspace{0.17em}000$

б) $1500 · 900\hspace{0.17em}000 = 1\hspace{0.17em}350\hspace{0.17em}000\hspace{0.17em}000$

в) 56000

$250\hspace{0.17em}000 · 700 · 80 = 14\hspace{0.17em}000\hspace{0.17em}000\hspace{0.17em}000$

$\begin{array}{r}250\hspace{0.17em}000\\ 56\hspace{0.17em}000\\ \phantom{0}150\\ + \phantom{0}125\\ 14\hspace{0.17em}000\hspace{0.17em}000\hspace{0.17em}000\end{array}$

2)

а) Чтобы найти произведение $90 \ 000 \cdot 40 \ 000$, можно сначала перемножить значащие части чисел (9 и 4), а затем приписать к результату сумму нулей из обоих множителей.

1. Перемножаем значащие части: $9 \cdot 4 = 36$.

2. Считаем количество нулей в первом множителе (90 000) – 4 нуля, и во втором (40 000) – 4 нуля. Всего $4 + 4 = 8$ нулей.

3. Приписываем 8 нулей к результату произведения значащих частей (36): $3 \ 600 \ 000 \ 000$.

Таким образом, $90 \ 000 \cdot 40 \ 000 = 3 \ 600 \ 000 \ 000$.

Ответ: $3 \ 600 \ 000 \ 000$.

б) Найдем произведение $1500 \cdot 900 \ 000$.

1. Перемножаем значащие части: $15 \cdot 9 = 135$.

2. Считаем количество нулей: в числе 1500 – 2 нуля, в числе 900 000 – 5 нулей. Всего $2 + 5 = 7$ нулей.

3. Приписываем 7 нулей к результату (135): $1 \ 350 \ 000 \ 000$.

Таким образом, $1500 \cdot 900 \ 000 = 1 \ 350 \ 000 \ 000$.

Ответ: $1 \ 350 \ 000 \ 000$.

в) Найдем произведение $250 \ 000 \cdot 700 \cdot 80$.

1. Перемножим значащие части: $25 \cdot 7 \cdot 8$. Удобнее сначала умножить $25$ на $8$, а затем результат на $7$.

$25 \cdot 8 = 200$

$200 \cdot 7 = 1400$

2. Считаем общее количество нулей в множителях: в 250 000 – 4 нуля, в 700 – 2 нуля, в 80 – 1 нуль. Всего $4 + 2 + 1 = 7$ нулей.

3. Приписываем 7 нулей к полученному произведению значащих частей (1400): $1400$ и еще 7 нулей, что дает $14 \ 000 \ 000 \ 000$.

Таким образом, $250 \ 000 \cdot 700 \cdot 80 = 14 \ 000 \ 000 \ 000$.

Ответ: $14 \ 000 \ 000 \ 000$.

г) Найдем произведение $15 \ 000 \cdot 40 \ 000 \cdot 60$.

1. Перемножим значащие части: $15 \cdot 4 \cdot 6$.

$15 \cdot 4 = 60$

$60 \cdot 6 = 360$

2. Считаем общее количество нулей в множителях: в 15 000 – 3 нуля, в 40 000 – 4 нуля, в 60 – 1 нуль. Всего $3 + 4 + 1 = 8$ нулей.

3. Приписываем 8 нулей к полученному произведению (360): $360$ и еще 8 нулей, что дает $36 \ 000 \ 000 \ 000$.

Таким образом, $15 \ 000 \cdot 40 \ 000 \cdot 60 = 36 \ 000 \ 000 \ 000$.

Ответ: $36 \ 000 \ 000 \ 000$.

6.166 Найдите скорость моторной лодки против течения реки, если собственная скорость лодки 12,6 км/ч, а скорость по течению реки 15,1 км/ч.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти скорость течения реки, а затем, зная ее, вычислить скорость лодки против течения.

Обозначим:

• $v_{собств}$ — собственная скорость лодки ($12,6$ км/ч)
• $v_{теч}$ — скорость течения реки
• $v_{по\;теч}$ — скорость лодки по течению ($15,1$ км/ч)
• $v_{против\;теч}$ — искомая скорость лодки против течения

Скорость лодки по течению реки равна сумме ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{по\;теч} = v_{собств} + v_{теч}$

Из этой формулы мы можем найти скорость течения реки, вычтя собственную скорость лодки из ее скорости по течению:

$v_{теч} = v_{по\;теч} - v_{собств}$

Подставим известные значения в формулу:

$v_{теч} = 15,1 \text{ км/ч} - 12,6 \text{ км/ч} = 2,5 \text{ км/ч}$

Теперь, когда мы знаем скорость течения, мы можем найти скорость лодки против течения. Она вычисляется как разность собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{против\;теч} = v_{собств} - v_{теч}$

Подставим значения:

$v_{против\;теч} = 12,6 \text{ км/ч} - 2,5 \text{ км/ч} = 10,1 \text{ км/ч}$

Ответ: 10,1 км/ч.

6.167 Сколько километров прошёл катамаран за 6 ч, если он 4 ч шёл по озеру со скоростью 18 км/ч, а остальное время — по реке, вытекающей из этого озера? Скорость течения реки 4,5 км/ч.

1. 1) Если катамаран шёл по озеру, то $V_{\mathrm{собств}} = 18\mathrm{км}/ч$ $18·4 = 72\left(\mathrm{км}\right)$ - расстояние по озеру
2. 2) Так как река вытекает из озера, то катамаран едет по течению $V_{\text{по теч}} = V_{\mathrm{собств}} + V_{\mathrm{теч}} = 18 + 4,5 = 22,5(\mathrm{км}/ч)$
3. 3) $6 - 4 = 2\left(ч\right)$ - шёл катамаран по реке
4. 4) $22,5·2 = 45\left(\mathrm{км}\right)$ - прошёл катамаран по реке
5. 5) $72 + 45 = 117\left(\mathrm{км}\right)$ - прошёл катамаран

Ответ: 117 км

Для решения задачи необходимо найти расстояние, пройденное катамараном на каждом из двух участков (по озеру и по реке), а затем сложить их.

1. Вычисление расстояния, пройденного по озеру.
В озере нет течения, поэтому скорость катамарана равна его собственной скорости.

• Скорость катамарана по озеру: $v_{озеро} = 18$ км/ч.
• Время движения по озеру: $t_{озеро} = 4$ ч.

Расстояние находим по формуле $S = v \cdot t$:
$S_{озеро} = 18 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 72 \text{ км}$.

2. Вычисление времени движения по реке.
Общее время движения катамарана — 6 часов. Из них 4 часа он двигался по озеру. Оставшееся время он двигался по реке.
$t_{река} = t_{общее} - t_{озеро} = 6 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 2 \text{ ч}$.

3. Вычисление скорости и расстояния, пройденного по реке.
Поскольку река вытекает из озера, катамаран двигался по течению. Его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

• Собственная скорость катамарана: $v_{собств} = 18$ км/ч.
• Скорость течения реки: $v_{теч} = 4,5$ км/ч.

Скорость катамарана по течению реки:
$v_{река} = v_{собств} + v_{теч} = 18 \text{ км/ч} + 4,5 \text{ км/ч} = 22,5 \text{ км/ч}$.
Теперь найдем расстояние, пройденное по реке за 2 часа:
$S_{река} = v_{река} \cdot t_{река} = 22,5 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 45 \text{ км}$.

4. Вычисление общего расстояния.
Чтобы найти общее расстояние, сложим расстояния, пройденные по озеру и по реке.
$S_{общее} = S_{озеро} + S_{река} = 72 \text{ км} + 45 \text{ км} = 117 \text{ км}$.

Ответ: 117 км.

6.168 Рыбак на моторной лодке двигался сначала 1 ч по озеру, а потом по реке, впадающей в озеро, преодолев за всё время 39,5 км. Сколько времени он двигался по реке, если собственная скорость лодки 15,5 км/ч, скорость течения реки 3,5 км/ч?

Для решения задачи выполним следующие действия по шагам.

1. Найдем расстояние, которое рыбак проплыл по озеру.
Скорость движения по озеру равна собственной скорости лодки, так как в озере нет течения.Собственная скорость лодки: $v_{с} = 15,5$ км/ч.
Время движения по озеру: $t_{озеро} = 1$ ч.
Расстояние, пройденное по озеру, вычисляется по формуле $S = v \times t$:
$S_{озеро} = v_{с} \times t_{озеро} = 15,5 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 15,5 \text{ км}$.

2. Найдем расстояние, которое рыбак проплыл по реке.
Общее расстояние, которое преодолел рыбак, составляет $S_{общ} = 39,5$ км. Чтобы найти расстояние, пройденное по реке, нужно из общего расстояния вычесть расстояние, пройденное по озеру:
$S_{река} = S_{общ} - S_{озеро} = 39,5 \text{ км} - 15,5 \text{ км} = 24 \text{ км}$.

3. Найдем скорость лодки при движении по реке.
В условии сказано, что рыбак двигался сначала по озеру, а потом по реке, которая впадает в озеро. Это означает, что он двигался из озера в реку, то есть вверх по течению (против течения).
Скорость течения реки: $v_{теч} = 3,5$ км/ч.
Скорость лодки против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения:
$v_{против} = v_{с} - v_{теч} = 15,5 \text{ км/ч} - 3,5 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$.

4. Найдем время движения по реке.
Чтобы найти время, нужно расстояние, пройденное по реке, разделить на скорость движения по реке. Используем формулу $t = S / v$:
$t_{река} = \frac{S_{река}}{v_{против}} = \frac{24 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$.

Ответ: рыбак двигался по реке 2 часа.

6.169 Вместо прямоугольников поставьте пропущенные цифры, чтобы вычисления были верными.

а)

Для решения задачи будем восстанавливать пропущенные цифры, выполняя сложение в столбик справа налево.

1. Разряд единиц: $5 + 2 = 7$. Последняя цифра суммы равна 7. Переноса в следующий разряд нет.

2. Разряд десятков: $8 + 8 = 16$. Вторая цифра суммы справа равна 6. Переносим 1 в разряд сотен.

3. Разряд сотен: $7 + ¦ + 1(\text{перенос})$ должно оканчиваться на 7. Следовательно, $8 + ¦ = 17$, откуда находим, что пропущенная цифра во втором слагаемом равна 9. Переносим 1 в разряд тысяч.

4. Разряд тысяч: $¦ + 4 + 1(\text{перенос}) = 6$. Следовательно, $¦ + 5 = 6$, откуда находим, что пропущенная цифра в первом слагаемом равна 1. Переноса нет.

5. Разряд десятков тысяч: $3 + ¦ = 3$. Отсюда пропущенная цифра во втором слагаемом равна 0. Переноса нет.

6. Разряд сотен тысяч: $¦ + 3 = 9$. Отсюда пропущенная цифра в первом слагаемом равна 6. Переноса нет.

7. Разряд миллионов: В первом слагаемом стоит цифра 6. Второе слагаемое — шестизначное, поэтому в этом разряде у него 0. Первая цифра суммы равна $6 + 0 = 6$.

В результате получаем следующий пример:

6631785
+ 304982
----------
6936767

Ответ: $6631785 + 304982 = 6936767$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, будем восстанавливать цифры справа налево. Судя по количеству знаков, оба слагаемых и сумма являются семизначными числами.

1. Разряд единиц: $¦ + 5$ оканчивается на 3. Это возможно, только если сумма равна 13. Значит, пропущенная цифра в первом слагаемом — 8. Переносим 1 в разряд десятков.

2. Разряд десятков: $3 + ¦ + 1(\text{перенос}) = 9$. Следовательно, $4 + ¦ = 9$, откуда пропущенная цифра во втором слагаемом — 5. Переноса нет.

3. Разряд сотен: $4 + 2 = 6$. Пропущенная цифра в сумме равна 6. Переноса нет.

4. Разряд тысяч: $7 + ¦$ оканчивается на 6. Это возможно, если сумма равна 16. Значит, пропущенная цифра во втором слагаемом — 9. Переносим 1 в разряд десятков тысяч.

5. Разряд десятков тысяч: $¦ + 4 + 1(\text{перенос})$ оканчивается на 0. Сумма должна быть равна 10. Значит, $¦ + 5 = 10$, откуда пропущенная цифра в первом слагаемом — 5. Переносим 1 в разряд сотен тысяч.

6. Разряд сотен тысяч: $7 + ¦ + 1(\text{перенос})$ оканчивается на 1. Сумма должна быть равна 11. Значит, $8 + ¦ = 11$, откуда пропущенная цифра во втором слагаемом — 3. Переносим 1 в разряд миллионов.

7. Разряд миллионов: $3 + 4 + 1(\text{перенос}) = 8$. Первая цифра суммы равна 8.

В результате получаем следующий пример:

3757438
+ 4349255
----------
8106693

Ответ: $3757438 + 4349255 = 8106693$.

6.170 Не выполняя вычислений, определите, справедливы ли равенства:

а) $112,42 + 81,006 + 9,58 = 203,004$Равенство неверно, так как сумма должна заканчиваться цифрой 6 в разряде тысячных.

б) $123,54 - 32,047 - 21,47 = 70,054$Равенство неверно, так как разность должна заканчиваться цифрой 3 в разряде тысячных.

а) $112,42 + 81,006 + 9,58 = 203,004$

Чтобы определить справедливость равенства, не выполняя полных вычислений, достаточно проанализировать последние значащие цифры в дробных частях чисел. В данном выражении это тысячные доли.

При сложении десятичных дробей их записывают так, чтобы запятая находилась под запятой. Чтобы сложить числа, приведем их к одинаковому количеству знаков после запятой (в данном случае к трем):

• $112,42 = 112,420$
• $81,006$
• $9,58 = 9,580$

Теперь посмотрим на цифры в разряде тысячных (третья цифра после запятой) у слагаемых: 0, 6 и 0. Найдем их сумму: $0 + 6 + 0 = 6$.

Это означает, что в итоговой сумме в разряде тысячных должна стоять цифра 6. В предложенном результате $203,004$ в разряде тысячных стоит цифра 4.

Так как $6 \neq 4$, данное равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.

б) $123,54 - 32,047 - 21,47 = 70,054$

Для проверки этого равенства можно использовать аналогичный метод. Преобразуем выражение, перенеся вычитаемые в правую часть уравнения. При переносе через знак равенства их знаки меняются на противоположные:

$123,54 = 70,054 + 32,047 + 21,47$

Теперь нам нужно проверить, верна ли сумма в правой части. Снова обратим внимание на разряд тысячных. Приведем все слагаемые к трем знакам после запятой:

• $70,054$
• $32,047$
• $21,47 = 21,470$

Сложим цифры, стоящие в разряде тысячных: $4 + 7 + 0 = 11$.

Результатом сложения в разряде тысячных будет цифра 1 (а 1 перейдет в разряд сотых). Таким образом, третья цифра после запятой в сумме должна быть 1.

Посмотрим на число в левой части преобразованного равенства: $123,54$. Если записать его с тремя знаками после запятой, получим $123,540$. Здесь в разряде тысячных стоит цифра 0.

Так как $1 \neq 0$, данное равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.

1 Запишите вместо * цифру, зная результат округления:

N1

$3,0\approx 3$

$3,5\approx 4$

$3,1\approx 3$

$3,6\approx 4$

$3,2\approx 3$

$3,7\approx 4$

$3,3\approx 3$

$3,8\approx 4$

$3,4\approx 3$

$3,9\approx 4$

При округлении десятичной дроби до ближайшего целого числа необходимо посмотреть на цифру, стоящую в разряде десятых (первая цифра после запятой).

Правило округления гласит:
– если первая цифра после запятой — 0, 1, 2, 3 или 4, то целая часть числа не меняется, а дробная часть отбрасывается (округление с недостатком).
– если первая цифра после запятой — 5, 6, 7, 8 или 9, то целая часть числа увеличивается на единицу, а дробная часть отбрасывается (округление с избытком).

В данном случае число $3,*$ при округлении дает $3$. Это означает, что целая часть (равная 3) осталась неизменной. Такое округление (с недостатком) происходит, когда цифра, заменяющая звездочку, меньше 5.

Таким образом, вместо звездочки могут стоять цифры: 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

В этом случае число $3,*$ при округлении дает $4$. Это означает, что целая часть исходного числа (равная 3) была увеличена на единицу.

Согласно правилу, такое округление (с избытком) происходит, когда первая цифра после запятой равна 5 или больше.

Таким образом, вместо звездочки могут стоять цифры: 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

2 Округлите:

а) 574,57; 874,24; 0,499 до десятых;

б) 3,8563; 1,8463; 5,2985; до сотых;

в) 710; 846,3; 26347,89 до сотен;

г) 24,2; 35,51; 49,7; 0,4 до единиц.

а) Округление до десятых.
Правило округления: смотрим на цифру в разряде сотых. Если она 5 или больше, то цифру в разряде десятых увеличиваем на 1, а все последующие цифры отбрасываем. Если она меньше 5, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.
• В числе 574,57 в разряде десятых стоит 5, а в разряде сотых — 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону: $574,57 \approx 574,6$.
• В числе 874,24 в разряде десятых стоит 2, а в разряде сотых — 4. Так как $4 < 5$, оставляем разряд десятых без изменений: $874,24 \approx 874,2$.
• В числе 0,499 в разряде десятых стоит 4, а в разряде сотых — 9. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону: $0,499 \approx 0,5$.
Ответ: 574,6; 874,2; 0,5.

б) Округление до сотых.
Правило округления: смотрим на цифру в разряде тысячных. Если она 5 или больше, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1. Если она меньше 5, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.
• В числе 3,8563 в разряде сотых стоит 5, а в разряде тысячных — 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону: $3,8563 \approx 3,86$.
• В числе 1,8463 в разряде сотых стоит 4, а в разряде тысячных — 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону: $1,8463 \approx 1,85$.
• В числе 5,2985 в разряде сотых стоит 9, а в разряде тысячных — 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону. Увеличение 9 на 1 дает 10, поэтому разряд сотых становится 0, а к разряду десятых прибавляется 1: $5,2985 \approx 5,30$.
Ответ: 3,86; 1,85; 5,30.

в) Округление до сотен.
Правило округления: смотрим на цифру в разряде десятков. Если она 5 или больше, то цифру в разряде сотен увеличиваем на 1. Если она меньше 5, то цифру в разряде сотен оставляем без изменений. Все цифры правее разряда сотен (десятки и единицы) заменяем нулями, а дробную часть отбрасываем.
• В числе 710 в разряде сотен стоит 7, а в разряде десятков — 1. Так как $1 < 5$, оставляем разряд сотен без изменений: $710 \approx 700$.
• В числе 846,3 в разряде сотен стоит 8, а в разряде десятков — 4. Так как $4 < 5$, оставляем разряд сотен без изменений: $846,3 \approx 800$.
• В числе 26347,89 в разряде сотен стоит 3, а в разряде десятков — 4. Так как $4 < 5$, оставляем разряд сотен без изменений: $26347,89 \approx 26300$.
Ответ: 700; 800; 26300.

г) Округление до единиц.
Правило округления: смотрим на цифру в разряде десятых. Если она 5 или больше, то цифру в разряде единиц увеличиваем на 1. Если она меньше 5, то цифру в разряде единиц оставляем без изменений. Дробную часть отбрасываем.
• В числе 24,2 в разряде единиц стоит 4, а в разряде десятых — 2. Так как $2 < 5$, оставляем разряд единиц без изменений: $24,2 \approx 24$.
• В числе 35,51 в разряде единиц стоит 5, а в разряде десятых — 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону: $35,51 \approx 36$.
• В числе 49,7 в разряде единиц стоит 9, а в разряде десятых — 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону. Увеличение 9 на 1 дает 10, поэтому разряд единиц становится 0, а к разряду десятков прибавляется 1: $49,7 \approx 50$.
• В числе 0,4 в разряде единиц стоит 0, а в разряде десятых — 4. Так как $4 < 5$, оставляем разряд единиц без изменений: $0,4 \approx 0$.
Ответ: 24; 36; 50; 0.