Страница 109, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Назовите действия первой ступени и второй ступени.

В арифметике действия принято делить на ступени по их приоритету выполнения.

К действиям первой ступени относятся сложение и вычитание.

К действиям второй ступени относятся умножение и деление.

Действия второй ступени имеют более высокий приоритет, чем действия первой ступени.

Ответ: Действия первой ступени — это сложение и вычитание. Действия второй ступени — это умножение и деление.

Какой порядок выполнения действий в выражении без скобок с действиями одной и той же ступени?

Если в выражении без скобок содержатся только действия одной ступени (например, только сложение и вычитание, или только умножение и деление), то они выполняются по порядку слева направо.

Пример с действиями первой ступени: $30 - 12 + 5$.

1. Выполняем вычитание: $30 - 12 = 18$.

2. Выполняем сложение: $18 + 5 = 23$.

Пример с действиями второй ступени: $24 \div 3 \times 2$.

1. Выполняем деление: $24 \div 3 = 8$.

2. Выполняем умножение: $8 \times 2 = 16$.

Ответ: В выражении без скобок с действиями одной ступени действия выполняются в том порядке, в котором они записаны, то есть слева направо.

Как выполняют действия в выражении без скобок со всеми арифметическими действиями?

Если в выражении без скобок есть действия разных ступеней, то порядок их выполнения следующий:

1. Сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление) в порядке их следования слева направо.

2. Затем выполняются действия первой ступени (сложение и вычитание) также в порядке их следования слева направо.

Пример: $40 - 5 \times 2 + 18 \div 3$.

1. Выполняем умножение: $5 \times 2 = 10$. Выражение принимает вид: $40 - 10 + 18 \div 3$.

2. Выполняем деление: $18 \div 3 = 6$. Выражение принимает вид: $40 - 10 + 6$.

3. Выполняем вычитание (слева направо): $40 - 10 = 30$. Выражение принимает вид: $30 + 6$.

4. Выполняем сложение: $30 + 6 = 36$.

Ответ: Сначала выполняются по порядку слева направо умножение и деление, а затем — сложение и вычитание, также слева направо.

Как выполняют действия в выражениях со скобками?

Скобки указывают на то, что действия, заключенные в них, должны быть выполнены в первую очередь. Порядок выполнения действий внутри скобок подчиняется тем же правилам, что и для выражений без скобок (сначала умножение/деление, затем сложение/вычитание).

Пример: $100 - (15 + 25 \div 5) \times 2$.

1. Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок первым делом выполняем деление: $25 \div 5 = 5$.

2. Затем в скобках выполняем сложение: $15 + 5 = 20$. Выражение принимает вид: $100 - 20 \times 2$.

3. Теперь выполняем действия за скобками по общим правилам. Сначала умножение: $20 \times 2 = 40$.

4. Выполняем вычитание: $100 - 40 = 60$.

Ответ: В выражениях со скобками сначала выполняют действия в скобках, а затем остальные действия в соответствии с установленным порядком.

Можно ли опустить скобки, если в выражении содержатся только действия сложения; только действия сложения и вычитания? Приведите примеры.

1. Только действия сложения.

Да, можно. Благодаря сочетательному свойству сложения, порядок сложения чисел не влияет на результат. Скобки можно опустить.

Пример: Выражения $(12 + 5) + 3$ и $12 + (5 + 3)$ дают одинаковый результат.
$(12 + 5) + 3 = 17 + 3 = 20$.
$12 + (5 + 3) = 12 + 8 = 20$.
Поэтому можно просто написать $12 + 5 + 3 = 20$.

2. Только действия сложения и вычитания.

Нет, не всегда. Опускать скобки можно только в том случае, если это не изменит результат вычислений. Если перед скобкой стоит знак «+», скобки можно опустить, не меняя знаки внутри. Если же перед скобкой стоит знак «-», то при опускании скобок знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные.

Пример, когда можно опустить скобки: $50 + (20 - 10)$.
Со скобками: $50 + (10) = 60$.
Без скобок: $50 + 20 - 10 = 70 - 10 = 60$. Результат тот же.

Пример, когда нельзя просто опустить скобки: $50 - (20 + 10)$.
Со скобками: $50 - (30) = 20$.
Если просто убрать скобки: $50 - 20 + 10 = 30 + 10 = 40$. Результаты разные.
Чтобы получить верный ответ, нужно изменить знаки внутри скобок: $50 - 20 - 10 = 20$.

Ответ: Если в выражении только сложение, скобки можно опустить. Если в выражении есть сложение и вычитание, скобки можно опускать не всегда; в частности, если перед скобкой стоит знак минус, то при их раскрытии нужно менять знаки у чисел внутри скобок.

3.264 Укажите порядок действий в выражении:

а) 480 - 180 : 6;

б) (480 - 180) : 6;

в) 480 - 180 + 6;

г) 480 - (180 + 6).

а) $480 \stackrel{2}{-} 180 \stackrel{1}{:} 6$

б) $(480 \stackrel{1}{-} 180) \stackrel{2}{:} 6$

в) $480 \stackrel{2}{+} 180 \stackrel{1}{:} 6$

г) $480 \stackrel{2}{-} (180 \stackrel{1}{+} 6)$

Для определения порядка действий в математических выражениях применяются следующие правила:

1. В первую очередь выполняются действия, заключенные в скобки.

2. Далее выполняются умножение и деление в порядке их следования слева направо.

3. В последнюю очередь выполняются сложение и вычитание, также в порядке их следования слева направо.

а) $480 - 180 : 6$

В этом выражении нет скобок. Согласно правилам, операция деления имеет более высокий приоритет, чем операция вычитания, и выполняется первой.

1. Первое действие — деление: $180 : 6$.

2. Второе действие — вычитание: из $480$ вычитается результат первого действия.

Выполним вычисления для проверки: $480 - 180 : 6 = 480 - 30 = 450$.

Ответ: 1. Деление ($180 : 6$); 2. Вычитание.

б) $(480 - 180) : 6$

В данном выражении есть скобки, поэтому действие в них выполняется в первую очередь.

1. Первое действие — вычитание в скобках: $480 - 180$.

2. Второе действие — деление: результат первого действия делится на $6$.

Выполним вычисления для проверки: $(480 - 180) : 6 = 300 : 6 = 50$.

Ответ: 1. Вычитание ($480 - 180$); 2. Деление.

в) $480 - 180 + 6$

Здесь присутствуют только операции вычитания и сложения. Они имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняются последовательно в том порядке, в котором они записаны, то есть слева направо.

1. Первое действие — вычитание: $480 - 180$.

2. Второе действие — сложение: к результату первого действия прибавляется $6$.

Выполним вычисления для проверки: $480 - 180 + 6 = 300 + 6 = 306$.

Ответ: 1. Вычитание ($480 - 180$); 2. Сложение.

г) $480 - (180 + 6)$

В этом выражении есть скобки, поэтому сначала необходимо выполнить действие, заключенное в них.

1. Первое действие — сложение в скобках: $180 + 6$.

2. Второе действие — вычитание: из $480$ вычитается результат первого действия.

Выполним вычисления для проверки: $480 - (180 + 6) = 480 - 186 = 294$.

Ответ: 1. Сложение ($180 + 6$); 2. Вычитание.

3.265 Укажите выражение, в котором порядок действий указан неверно:

2) $27 \stackrel{3}{-} 21 \stackrel{1}{:}\hspace{0.17em}3 \stackrel{2}{+} 19$ - порядок действий указан неверно.

Ответ: 2)

Чтобы определить, в каком из выражений порядок действий указан неверно, проанализируем каждый пункт, следуя общепринятым математическим правилам.

Правила порядка выполнения действий:

1. Действия в скобках.
2. Умножение и деление (имеют равный приоритет, выполняются слева направо).
3. Сложение и вычитание (имеют равный приоритет, выполняются слева направо).

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

1) В выражении $4 \cdot 7 - 25 : 5$ нет скобок. Действия умножения и деления имеют приоритет над вычитанием. Указанный порядок — ? умножение, ? деление, ? вычитание — является верным. Сначала выполняются операции умножения и деления, а затем их результаты вычитаются.

Ответ: Порядок действий указан верно.

2) В выражении $27 - 21 : 3 + 19$ первым действием выполняется деление: $21 : 3 = 7$. После этого выражение принимает вид: $27 - 7 + 19$. Операции вычитания и сложения имеют одинаковый приоритет, поэтому должны выполняться по порядку слева направо. Сначала выполняется вычитание ($27 - 7 = 20$), а затем сложение ($20 + 19 = 39$). Таким образом, правильный порядок действий: 1) деление, 2) вычитание, 3) сложение. В задании предложен порядок: ? деление, ? сложение, ? вычитание. Это неверно, так как нарушено правило выполнения равноприоритетных действий слева направо.

Ответ: Порядок действий указан неверно.

3) В выражении $(45 - 27) : 2$ первым действием выполняется операция в скобках: $45 - 27 = 18$. Вторым действием выполняется деление: $18 : 2 = 9$. Указанный порядок: ? действие в скобках, ? деление. Это правильный порядок действий.

Ответ: Порядок действий указан верно.

4) В выражении $(42 - 28) : (23 - 16)$ сначала выполняются действия в скобках: ? $42 - 28 = 14$ и ? $23 - 16 = 7$. Третьим действием выполняется деление результатов: $14 : 7 = 2$. Указанный порядок действий является правильным.

Ответ: Порядок действий указан верно.

3.266 Укажите порядок действий и найдите значение выражения:

а) 36 - 7 • 4 + 8;

б) 18 + (81 - 45) : 9.

$\mathrm{a}) 36 \stackrel{2}{-} 7 \stackrel{1}{·} 4 \stackrel{3}{+} 8 = 16$

$1) 7 \cdot 4 = 28;$
$2) 36 - 28 = 8;$
$3) 8 + 8 = 16.$

$\mathrm{б}) 18 \stackrel{3}{+} (81 \stackrel{1}{-} 45) \stackrel{2}{:} 9 = 22$

1)

$2) 36 : 9 = 4;$
$3) 18 + 4 = 22.$

а)

Для вычисления значения выражения $36 - 7 \cdot 4 + 8$ необходимо соблюдать следующий порядок действий:

1. Первым действием выполняется умножение, так как оно имеет более высокий приоритет, чем сложение и вычитание.

$7 \cdot 4 = 28$

2. Вторым действием выполняется вычитание, так как оно идет левее сложения.

$36 - 28 = 8$

3. Третьим действием выполняется сложение.

$8 + 8 = 16$

Полная последовательность вычислений:

$36 - 7 \cdot 4 + 8 = 36 - 28 + 8 = 16$

Ответ: 16

б)

Для вычисления значения выражения $18 + (81 - 45) : 9$ необходимо соблюдать следующий порядок действий:

1. Первым действием выполняется операция в скобках.

$81 - 45 = 36$

2. Вторым действием выполняется деление, так как оно имеет более высокий приоритет, чем сложение.

$36 : 9 = 4$

3. Третьим действием выполняется сложение.

$18 + 4 = 22$

Полная последовательность вычислений:

$18 + (81 - 45) : 9 = 18 + 36 : 9 = 18 + 4 = 22$

Ответ: 22

3.267 Найдите значение выражения:

а) 56 - 29 + 23 - 27;

б) 165 + 308 - 75 - 153;

в) 34 • 35 : 85 • 3;

г) 1088 : 136 • 25 : 20;

д) 11 • 45 - 224 : 14 - 336 : 8;

е) 442 : 34 • 60 - 256 • 9 : 96.

а) $56 \stackrel{1}{-} 29 \stackrel{2}{+} 23 \stackrel{3}{-} 27 = 23$

1)

3)

б) $165 \stackrel{1}{+} 308 \stackrel{2}{-} 75 \stackrel{3}{-} 153 = 245$

1)

2)

3)

в) $34 \stackrel{1}{·} 35\stackrel{2}{:}85 \stackrel{3}{·} 3 = 42$

1)

2)

3)

г) $1088\stackrel{1}{:}136 \stackrel{2}{·} 25\stackrel{3}{:}20 = 10$

1)

2)

д) $11 \stackrel{1}{·} 45 \stackrel{4}{-} 224\stackrel{2}{:}14 \stackrel{5}{-} 336\stackrel{3}{:}8 = 437$

1)

2)

3)

4)

5)

е) $442\stackrel{1}{:}34 \stackrel{2}{·} 60 \stackrel{5}{-} 256 \stackrel{3}{·} 9\stackrel{4}{:}96 = 756$

1)

2)

3)

4)

5)

а) $56 - 29 + 23 - 27$

Выражение содержит только сложение и вычитание, поэтому выполняем действия по порядку слева направо:

1) $56 - 29 = 27$

2) $27 + 23 = 50$

3) $50 - 27 = 23$

Ответ: 23

б) $165 + 308 - 75 - 153$

Выполним действия по порядку слева направо:

1) $165 + 308 = 473$

2) $473 - 75 = 398$

3) $398 - 153 = 245$

Для удобства можно было сгруппировать числа: $(165 - 75) + (308 - 153) = 90 + 155 = 245$.

Ответ: 245

в) $34 \cdot 35 : 85 \cdot 3$

Выражение содержит только умножение и деление, поэтому выполняем действия по порядку слева направо:

1) $34 \cdot 35 = 1190$

2) $1190 : 85 = 14$

3) $14 \cdot 3 = 42$

Ответ: 42

г) $1088 : 136 \cdot 25 : 20$

Выполняем действия по порядку слева направо:

1) $1088 : 136 = 8$

2) $8 \cdot 25 = 200$

3) $200 : 20 = 10$

Ответ: 10

д) $11 \cdot 45 - 224 : 14 - 336 : 8$

Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение и деление, а затем вычитание:

1) $11 \cdot 45 = 495$

2) $224 : 14 = 16$

3) $336 : 8 = 42$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычитание:

4) $495 - 16 - 42 = 479 - 42 = 437$

Ответ: 437

е) $442 : 34 \cdot 60 - 256 \cdot 9 : 96$

Сначала выполняем действия умножения и деления в каждой части выражения, затем вычитание. Действия умножения и деления выполняются слева направо.

1) $442 : 34 = 13$

2) $13 \cdot 60 = 780$

3) $256 \cdot 9 = 2304$

4) $2304 : 96 = 24$

Теперь выполним вычитание:

5) $780 - 24 = 756$

Ответ: 756

3.268 Вычислите:

$\mathrm{а}) 465 \stackrel{5}{:} (141 \stackrel{3}{+} 14 \stackrel{1}{·} 22 \stackrel{4}{-} 17 \stackrel{2}{·} 38) \stackrel{7}{+} 594 \stackrel{6}{:} 33 = 33$

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

б) $(17 \stackrel{1}{·} 9 \stackrel{3}{-} 403 \stackrel{2}{:} 31) \stackrel{6}{·} (1598 \stackrel{4}{:} 47 \stackrel{5}{-} 24) = 1400$

1)

2)

3)

4)

в) $(110 \stackrel{2}{+} 17 \stackrel{1}{·} 6) \stackrel{5}{·} 240 \stackrel{6}{:} (400 \stackrel{4}{-} 5 \stackrel{3}{·} 64) = 636$

1)

2)

3)

4)

5)

6)

г) $(54 \stackrel{2}{+} 1112 \stackrel{1}{·} 139) \stackrel{3}{·} 31 \stackrel{4}{-} 46 = 4793236$

1)

2)

3)

4)

д) $8607 \stackrel{4}{+} 7605 \stackrel{5}{+} (376012 \stackrel{1}{-} 83314) \stackrel{2}{:} 414 \stackrel{3}{:} 7 = 16313$

1)

2)

4)

5)

е) $(5980 \stackrel{1}{+} 6620) \stackrel{5}{:} 28 \stackrel{6}{:} (5 \stackrel{2}{·} 3 \stackrel{4}{+} 15 \stackrel{3}{·} 29) = 1$

1)

3)

4)

5)

а) Вычислим выражение по действиям, соблюдая порядок: сначала действия в скобках (умножение/деление, затем сложение/вычитание), затем деление и сложение вне скобок.
1. Вычислим значение в скобках: $(141 + 14 \cdot 22 - 11 \cdot 38)$
$14 \cdot 22 = 308$
$11 \cdot 38 = 418$
$141 + 308 - 418 = 449 - 418 = 31$
2. Теперь выражение выглядит так: $465 : 31 + 594 : 33$
3. Выполним деление:
$465 : 31 = 15$
$594 : 33 = 18$
4. Выполним сложение:
$15 + 18 = 33$
Ответ: 33

б) Сначала вычислим значения в каждой из скобок, затем перемножим результаты.
1. Первая скобка: $(17 \cdot 9 - 403 : 31)$
$17 \cdot 9 = 153$
$403 : 31 = 13$
$153 - 13 = 140$
2. Вторая скобка: $(1598 : 47 - 24)$
$1598 : 47 = 34$
$34 - 24 = 10$
3. Перемножим результаты:
$140 \cdot 10 = 1400$
Ответ: 1400

в) Сначала вычислим значения в скобках, затем выполним умножение и деление слева направо.
1. Первая скобка: $(110 + 17 \cdot 6)$
$17 \cdot 6 = 102$
$110 + 102 = 212$
2. Вторая скобка: $(400 - 5 \cdot 64)$
$5 \cdot 64 = 320$
$400 - 320 = 80$
3. Теперь выражение выглядит так: $212 \cdot 240 : 80$
Выполним действия слева направо:
$212 \cdot 240 = 50880$
$50880 : 80 = 636$
(Или можно сначала разделить $240 : 80 = 3$, а затем $212 \cdot 3 = 636$)
Ответ: 636

г) Сначала выполним действия в скобках (умножение, затем сложение), потом умножение и вычитание вне скобок.
1. Вычислим значение в скобках: $(54 + 1112 \cdot 139)$
$1112 \cdot 139 = 154568$
$54 + 154568 = 154622$
2. Теперь выражение выглядит так: $154622 \cdot 31 - 46$
3. Выполним умножение:
$154622 \cdot 31 = 4793282$
4. Выполним вычитание:
$4793282 - 46 = 4793236$
Ответ: 4793236

д) Сначала выполним вычитание в скобках, затем деление слева направо, и в конце сложение.
1. Вычислим значение в скобках: $(376012 - 83314)$
$376012 - 83314 = 292698$
2. Теперь выражение выглядит так: $8607 + 7605 + 292698 : 414 : 7$
3. Выполним деление слева направо:
$292698 : 414 = 707$
$707 : 7 = 101$
4. Выполним сложение:
$8607 + 7605 + 101 = 16212 + 101 = 16313$
Ответ: 16313

е) Сначала вычислим значения в обеих скобках, затем выполним деление слева направо.
1. Первая скобка: $(5980 + 6620)$
$5980 + 6620 = 12600$
2. Вторая скобка: $(5 \cdot 3 + 15 \cdot 29)$
$5 \cdot 3 = 15$
$15 \cdot 29 = 435$
$15 + 435 = 450$
3. Теперь выражение выглядит так: $12600 : 28 : 450$
4. Выполним деление слева направо:
$12600 : 28 = 450$
$450 : 450 = 1$
Ответ: 1

6.118 Найдите сумму:

а) 475,339 + 4,93;

б) 8,7 + 703,73;

в) 0,97 + 34,2349;

г) 2,9668 + 368,0132;

д) 43,85 + 0,369;

е) 0,01478 + 0,0005879.

Чтобы найти сумму десятичных дробей, нужно записать их друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой. Затем, уравняв при необходимости количество знаков после запятой добавлением нулей, выполнить сложение, не обращая внимания на запятую, и в полученной сумме поставить запятую под запятыми в слагаемых.

Сложим $475,339$ и $4,93$. Для этого запишем числа столбиком, выровняв их по запятой, и добавим ноль в конце второго числа для удобства.

 475,339+ 4,930---------- 480,269 

Таким образом, $475,339 + 4,93 = 480,269$.

Ответ: $480,269$

Сложим $8,7$ и $703,73$. Запишем числа столбиком, выровняв по запятой, и добавим ноль к первому числу.

 8,70+ 703,73---------- 712,43 

Таким образом, $8,7 + 703,73 = 712,43$.

Ответ: $712,43$

Сложим $0,97$ и $34,2349$. Запишем числа столбиком, выровняв по запятой, и добавим два нуля к первому числу.

 0,9700+ 34,2349---------- 35,2049 

Таким образом, $0,97 + 34,2349 = 35,2049$.

Ответ: $35,2049$

Сложим $2,9668$ и $368,0132$. Запишем числа столбиком, выровняв по запятой. Количество знаков после запятой одинаково.

 2,9668+ 368,0132---------- 370,9800 

Нули в конце дробной части можно отбросить. Таким образом, $2,9668 + 368,0132 = 370,98$.

Ответ: $370,98$

Сложим $43,85$ и $0,369$. Запишем числа столбиком, выровняв по запятой, и добавим ноль к первому числу.

 43,850+ 0,369---------- 44,219 

Таким образом, $43,85 + 0,369 = 44,219$.

Ответ: $44,219$

Сложим $0,01478$ и $0,0005879$. Запишем числа столбиком, выровняв по запятой, и добавим нули к первому числу для удобства вычислений.

 0,0147800+ 0,0005879----------- 0,0153679 

Таким образом, $0,01478 + 0,0005879 = 0,0153679$.

Ответ: $0,0153679$

6.119 Найдите разность:

а) $\mathrm{0,69} - \mathrm{0,36}\mathrm{0,33}$

б) $\mathrm{11,05} - \mathrm{2,38}\mathrm{8,67}$

в) $\mathrm{4,10} - \mathrm{0,07}\mathrm{4,03}$

г) $\mathrm{27,02} - \mathrm{3,90}\mathrm{23,12}$

д) $\mathrm{17,00} - \mathrm{1,38}\mathrm{15,62}$

е) $\mathrm{12,00} - \mathrm{0,05}\mathrm{11,95}$

ж) $\mathrm{9,46} - \mathrm{3,46}\mathrm{6,00} = 6$

з) $\mathrm{306,330} - \mathrm{80,506}\mathrm{225,824}$

и) $\mathrm{0,04900} - \mathrm{0,00286}\mathrm{0,04614}$

а) Чтобы найти разность десятичных дробей, выровняем их по запятой и выполним вычитание в столбик, как с натуральными числами. $$ \begin{array}{r} -\,0,69 \\ \underline{\;\;0,36} \\ 0,33 \end{array} $$ Таким образом, $0,69 - 0,36 = 0,33$.
Ответ: $0,33$.

б) Выполним вычитание столбиком, занимая единицу из старших разрядов при необходимости. $$ \begin{array}{r} -\,11,05 \\ \underline{\;\;2,38} \\ 8,67 \end{array} $$ Таким образом, $11,05 - 2,38 = 8,67$.
Ответ: $8,67$.

в) Чтобы вычесть $0,07$ из $4,1$, сначала уравняем количество знаков после запятой, дописав ноль: $4,1 = 4,10$. Затем выполним вычитание. $$ \begin{array}{r} -\,4,10 \\ \underline{\;\;0,07} \\ 4,03 \end{array} $$ Таким образом, $4,1 - 0,07 = 4,03$.
Ответ: $4,03$.

г) Уравняем количество знаков после запятой, представив $3,9$ как $3,90$, и выполним вычитание столбиком. $$ \begin{array}{r} -\,27,02 \\ \underline{\;\;3,90} \\ 23,12 \end{array} $$ Таким образом, $27,02 - 3,9 = 23,12$.
Ответ: $23,12$.

д) Представим целое число $17$ как десятичную дробь $17,00$ и выполним вычитание. $$ \begin{array}{r} -\,17,00 \\ \underline{\;\;1,38} \\ 15,62 \end{array} $$ Таким образом, $17 - 1,38 = 15,62$.
Ответ: $15,62$.

е) Представим целое число $12$ как десятичную дробь $12,00$ и найдем разность. $$ \begin{array}{r} -\,12,00 \\ \underline{\;\;0,05} \\ 11,95 \end{array} $$ Таким образом, $12 - 0,05 = 11,95$.
Ответ: $11,95$.

ж) Выполним вычитание столбиком. Дробные части чисел равны, поэтому в результате вычитания они дадут ноль. $$ \begin{array}{r} -\,9,46 \\ \underline{\;\;3,46} \\ 6,00 \end{array} $$ Таким образом, $9,46 - 3,46 = 6$.
Ответ: $6$.

з) Уравняем количество знаков после запятой, представив $306,33$ как $306,330$, и выполним вычитание. $$ \begin{array}{r} -\,306,330 \\ \underline{\;\;80,506} \\ 225,824 \end{array} $$ Таким образом, $306,33 - 80,506 = 225,824$.
Ответ: $225,824$.

и) Чтобы найти разность, уравняем количество знаков после запятой, дописав нули к уменьшаемому: $0,049 = 0,04900$. $$ \begin{array}{r} -\,0,04900 \\ \underline{\;\;0,00286} \\ 0,04614 \end{array} $$ Таким образом, $0,049 - 0,00286 = 0,04614$.
Ответ: $0,04614$.

6.120 У треугольника АВС сторона АВ равна 43,6 см, сторона ВС на 4,8 см длиннее стороны АВ, сторона АС на 5,6 см длиннее стороны ВС. Вычислите периметр треугольника.

Для того чтобы вычислить периметр треугольника ABC, необходимо найти длины всех его сторон, а затем сложить их.

1. Найдем длину стороны BC

По условию задачи, сторона $AB$ равна 43,6 см. Сторона $BC$ на 4,8 см длиннее стороны $AB$. Следовательно, чтобы найти длину стороны $BC$, нужно к длине стороны $AB$ прибавить 4,8 см.

$BC = AB + 4,8 \text{ см} = 43,6 \text{ см} + 4,8 \text{ см} = 48,4 \text{ см}$

2. Найдем длину стороны AC

По условию, сторона $AC$ на 5,6 см длиннее стороны $BC$. Мы уже вычислили, что длина $BC$ составляет 48,4 см. Чтобы найти длину стороны $AC$, нужно к длине стороны $BC$ прибавить 5,6 см.

$AC = BC + 5,6 \text{ см} = 48,4 \text{ см} + 5,6 \text{ см} = 54,0 \text{ см}$

3. Вычислим периметр треугольника

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Теперь у нас есть длины всех трех сторон: $AB = 43,6$ см, $BC = 48,4$ см и $AC = 54,0$ см.

$P = AB + BC + AC$

$P = 43,6 \text{ см} + 48,4 \text{ см} + 54,0 \text{ см}$

$43,6 + 48,4 = 92,0$

$92,0 + 54,0 = 146,0$

$P = 146,0 \text{ см}$

Ответ: периметр треугольника равен 146,0 см.

6.121 На клумбе площадью 7,33 м² высадили тюльпаны на площади 3,85 м², а на оставшейся части высадили пионы. На сколько площадь, занятая тюльпанами, больше площади, занятой пионами?

Для решения задачи необходимо выполнить два основных действия:

1. Сначала определим площадь, на которой были высажены пионы. Для этого из общей площади клумбы вычтем площадь, занятую тюльпанами:

$7,33 \text{ м}^2 - 3,85 \text{ м}^2 = 3,48 \text{ м}^2$

Таким образом, пионы занимают площадь в $3,48$ м².

2. Теперь, чтобы выяснить, на сколько площадь под тюльпанами больше площади под пионами, вычтем из площади, занятой тюльпанами, площадь, занятую пионами:

$3,85 \text{ м}^2 - 3,48 \text{ м}^2 = 0,37 \text{ м}^2$

Ответ: площадь, занятая тюльпанами, больше площади, занятой пионами, на 0,37 м².

6.122 Масса оболочки воздушного шара равна 0,56 т. Она больше массы гондолы для пассажиров на 0,33 т и больше массы газовой горелки для нагрева газа внутри оболочки на 0,47 т. Чему равна масса воздушного шара?

Для решения задачи необходимо последовательно найти массу каждого элемента воздушного шара, а затем сложить их для получения общей массы.

Масса оболочки известна и составляет $0,56$ т.

1. Найдем массу гондолы для пассажиров.

Из условия известно, что масса оболочки на $0,33$ т больше массы гондолы. Следовательно, чтобы найти массу гондолы, нужно из массы оболочки вычесть $0,33$ т:

$0,56 - 0,33 = 0,23$ (т)

Таким образом, масса гондолы составляет $0,23$ т.

2. Найдем массу газовой горелки.

Аналогично, масса оболочки на $0,47$ т больше массы газовой горелки. Чтобы найти массу горелки, нужно из массы оболочки вычесть $0,47$ т:

$0,56 - 0,47 = 0,09$ (т)

Таким образом, масса газовой горелки составляет $0,09$ т.

3. Найдем общую массу воздушного шара.

Общая масса воздушного шара равна сумме масс его частей: оболочки, гондолы и газовой горелки. Сложим все найденные значения:

$0,56 + 0,23 + 0,09 = 0,88$ (т)

Ответ: масса воздушного шара равна $0,88$ т.

6.123 Черепаха за первую минуту проползла 4,7 м, за вторую минуту — на 1,4 м больше, а за третью минуту — на 2,8 м меньше, чем за первые две минуты вместе. Сколько метров проползла черепаха за 3 мин?

I - $\mathrm{4,7}\text{ м}$

II - на $\mathrm{1,4}\text{ м}$ больше

III - на $\mathrm{2,8}\text{ м}$ меньше

1) $\mathrm{4,7} + \mathrm{1,4} = \mathrm{6,1}\text{м}$ - за вторую минуту

2) $\mathrm{4,7} + \mathrm{6,1} = \mathrm{10,8}\text{м}$ - за две минуты

3) $\mathrm{10,8} - \mathrm{2,8} = 8\text{м}$ - за третью минуту

4) $\mathrm{10,8} + 8 = \mathrm{18,8}\text{м}$ - за три минуты

Ответ: $\mathrm{18,8}\text{ м}$

Решим задачу по действиям.

1. Найдем, какое расстояние черепаха проползла за вторую минуту.

В условии сказано, что за вторую минуту она проползла на 1,4 м больше, чем за первую (4,7 м). Чтобы найти это расстояние, нужно к расстоянию за первую минуту прибавить 1,4 м:

$4,7 + 1,4 = 6,1$ м.

2. Найдем, какое расстояние черепаха проползла за третью минуту.

Сначала вычислим общее расстояние, которое черепаха проползла за первые две минуты вместе. Для этого сложим расстояния за первую и вторую минуты:

$4,7 + 6,1 = 10,8$ м.

Теперь, зная, что за третью минуту черепаха проползла на 2,8 м меньше, чем за первые две минуты вместе, выполним вычитание:

$10,8 - 2,8 = 8$ м.

3. Найдем общее расстояние, которое черепаха проползла за три минуты.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно сложить расстояния, пройденные за каждую из трех минут:

$4,7 + 6,1 + 8 = 18,8$ м.

Ответ: 18,8 м.

6.124 Найдите скорости катера по течению и против течения, если его собственная скорость 35,7 км/ч, а скорость течения 4,6 км/ч.

$V\text{собств.} = 35,7\text{км/ч}$

$V\text{течения} = 4,6\text{км/ч}$

$V\text{по течению} = V\text{собств.} + V\text{теч} = 35,7 + 4,6 =$

$= 40,3\text{(км/ч)}$

①②

$\begin{array}{r} + 35,7\\ 4,6\\ \overline{40,3}\end{array}$

$V\text{против течения} = V\text{собств.} - V\text{теч} =$

$= 35,7 - 4,6 = 31,1\text{(км/ч)}$

Ответ: $40,3\text{км/ч}$; $31,1\text{км/ч}$

Для решения данной задачи необходимо определить скорость катера при движении по течению реки и против течения. Мы используем следующие данные:

• Собственная скорость катера ($V_{собственная}$) = 35,7 км/ч
• Скорость течения ($V_{течения}$) = 4,6 км/ч

Скорость катера по течению

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения, так как течение помогает движению.

Формула для расчета скорости по течению: $V_{по\;течению} = V_{собственная} + V_{течения}$.

Подставляем известные значения в формулу:

$35,7 \text{ км/ч} + 4,6 \text{ км/ч} = 40,3 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость катера по течению равна 40,3 км/ч.

Скорость катера против течения

Когда катер движется против течения, скорость течения вычитается из его собственной скорости, так как течение мешает движению.

Формула для расчета скорости против течения: $V_{против\;течения} = V_{собственная} - V_{течения}$.

Подставляем известные значения в формулу:

$35,7 \text{ км/ч} - 4,6 \text{ км/ч} = 31,1 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость катера против течения равна 31,1 км/ч.

6.125 Моторная лодка двигалась 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние преодолела моторная лодка, если её собственная скорость равна 10,5 км/ч, а скорость течения реки — 2,5 км/ч?

Для того чтобы найти общее расстояние, которое преодолела моторная лодка, необходимо сначала вычислить расстояние, пройденное по течению реки, и расстояние, пройденное против течения, а затем сложить полученные значения.

1. Найдем скорость лодки по течению. Для этого к собственной скорости лодки прибавляем скорость течения реки:

$v_{\text{по течению}} = v_{\text{собственная}} + v_{\text{течения}} = 10,5 \text{ км/ч} + 2,5 \text{ км/ч} = 13 \text{ км/ч}$

Зная скорость и время движения по течению (2 ч), найдем пройденное расстояние:

$S_{\text{по течению}} = v_{\text{по течению}} \cdot t = 13 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 26 \text{ км}$

2. Теперь найдем скорость лодки против течения. Для этого из собственной скорости лодки вычитаем скорость течения реки:

$v_{\text{против течения}} = v_{\text{собственная}} - v_{\text{течения}} = 10,5 \text{ км/ч} - 2,5 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$

Зная скорость и время движения против течения (3 ч), найдем пройденное расстояние:

$S_{\text{против течения}} = v_{\text{против течения}} \cdot t = 8 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 24 \text{ км}$

3. Чтобы найти общее расстояние, которое преодолела моторная лодка, сложим расстояние, пройденное по течению, и расстояние, пройденное против течения:

$S_{\text{общее}} = S_{\text{по течению}} + S_{\text{против течения}} = 26 \text{ км} + 24 \text{ км} = 50 \text{ км}$

Ответ: 50 км.

6.126 Скорость моторной лодки по течению реки равна 18,3 км/ч, а скорость течения — 3,6 км/ч. Найдите скорость моторной лодки против течения реки. Какое расстояние она пройдёт против течения за 4 ч?

Найдите скорость моторной лодки против течения реки.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_{собств.}$ — собственная скорость моторной лодки (в стоячей воде).
• $v_{теч.}$ — скорость течения реки.
• $v_{по\ теч.}$ — скорость лодки по течению.
• $v_{против\ теч.}$ — скорость лодки против течения.

Скорость лодки по течению вычисляется как сумма ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{по\ теч.} = v_{собств.} + v_{теч.}$

Из условия нам известно, что $v_{по\ теч.} = 18,3$ км/ч и $v_{теч.} = 3,6$ км/ч. Используя эти данные, мы можем найти собственную скорость лодки:

$v_{собств.} = v_{по\ теч.} - v_{теч.} = 18,3 - 3,6 = 14,7$ км/ч.

Скорость лодки против течения вычисляется как разность ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{против\ теч.} = v_{собств.} - v_{теч.}$

Подставим найденную собственную скорость и известную скорость течения:

$v_{против\ теч.} = 14,7 - 3,6 = 11,1$ км/ч.

Ответ: скорость моторной лодки против течения реки равна 11,1 км/ч.

Какое расстояние она пройдёт против течения за 4 ч?

Расстояние ($S$) находится по формуле: $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.

Нам нужно найти расстояние, которое лодка пройдет против течения. Мы уже вычислили скорость против течения: $v_{против\ теч.} = 11,1$ км/ч. Время движения дано в условии: $t = 4$ ч.

Теперь можем рассчитать расстояние:

$S = v_{против\ теч.} \cdot t = 11,1 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 44,4$ км.

Ответ: за 4 часа против течения лодка пройдёт 44,4 км.

6.127 Найдите значение выражения:

а) Чтобы найти значение выражения $53,17 - (5,52 + 23,17)$, воспользуемся свойством вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$. Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные: $53,17 - (5,52 + 23,17) = 53,17 - 5,52 - 23,17$. Теперь сгруппируем числа для более удобного вычисления: $(53,17 - 23,17) - 5,52$. Выполним вычитание в скобках: $53,17 - 23,17 = 30$. Завершим вычисление: $30 - 5,52 = 24,48$.
Ответ: 24,48.

б) Чтобы найти значение выражения $261,4 + (24,6 + 2,22)$, воспользуемся сочетательным свойством сложения: $a + (b + c) = (a + b) + c$. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые для удобства: $261,4 + (24,6 + 2,22) = (261,4 + 24,6) + 2,22$. Выполним сложение в скобках: $261,4 + 24,6 = 286$. Теперь добавим оставшееся число: $286 + 2,22 = 288,22$.
Ответ: 288,22.

в) Рассмотрим выражение $(31,38 - 17,84) + (59,02 + 17,84)$. Раскроем скобки. Так как между скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых не изменятся: $31,38 - 17,84 + 59,02 + 17,84$. Сгруппируем слагаемые. Заметим, что слагаемые $-17,84$ и $+17,84$ в сумме дают ноль (взаимно уничтожаются): $(31,38 + 59,02) + (-17,84 + 17,84)$. $31,38 + 59,02 = 90,4$. $-17,84 + 17,84 = 0$. Следовательно, результат равен: $90,4 + 0 = 90,4$.
Ответ: 90,4.

г) Рассмотрим выражение $(52,31 + 24,33) - (5,31 - 4,33)$. Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее изменятся на противоположные: $52,31 + 24,33 - 5,31 + 4,33$. Сгруппируем числа с одинаковой дробной частью для удобства вычислений: $(52,31 - 5,31) + (24,33 + 4,33)$. Выполним действия в каждой группе: $52,31 - 5,31 = 47$. $24,33 + 4,33 = 28,66$. Теперь сложим полученные результаты: $47 + 28,66 = 75,66$.
Ответ: 75,66.

6.128 Разложите по разрядным слагаемым число:

а) 29,61;

б) 0,5075;

в) 23,8401.

а) Чтобы разложить число по разрядным слагаемым, необходимо представить его как сумму значений каждой его цифры в зависимости от позиции (разряда), которую она занимает.

Для числа 29,61:

• Цифра 2 находится в разряде десятков, ее значение равно $2 \times 10 = 20$.
• Цифра 9 находится в разряде единиц, ее значение равно $9 \times 1 = 9$.
• Цифра 6 находится в разряде десятых, ее значение равно $6 \times 0,1 = 0,6$.
• Цифра 1 находится в разряде сотых, ее значение равно $1 \times 0,01 = 0,01$.

Сумма этих разрядных слагаемых и будет разложением числа:

$29,61 = 20 + 9 + 0,6 + 0,01$

Ответ: $29,61 = 20 + 9 + 0,6 + 0,01$.

б) Для числа 0,5075:

Целая часть числа равна 0.

• Цифра 5 находится в разряде десятых, ее значение равно $5 \times 0,1 = 0,5$.
• Цифра 0 находится в разряде сотых. Это слагаемое равно нулю, и его можно не записывать.
• Цифра 7 находится в разряде тысячных, ее значение равно $7 \times 0,001 = 0,007$.
• Цифра 5 находится в разряде десятитысячных, ее значение равно $5 \times 0,0001 = 0,0005$.

Складываем ненулевые разрядные слагаемые:

$0,5075 = 0,5 + 0,007 + 0,0005$

Ответ: $0,5075 = 0,5 + 0,007 + 0,0005$.

в) Для числа 23,8401:

• Цифра 2 находится в разряде десятков, ее значение равно $2 \times 10 = 20$.
• Цифра 3 находится в разряде единиц, ее значение равно $3 \times 1 = 3$.
• Цифра 8 находится в разряде десятых, ее значение равно $8 \times 0,1 = 0,8$.
• Цифра 4 находится в разряде сотых, ее значение равно $4 \times 0,01 = 0,04$.
• Цифра 0 находится в разряде тысячных, ее значение равно 0, поэтому ее можно опустить.
• Цифра 1 находится в разряде десятитысячных, ее значение равно $1 \times 0,0001 = 0,0001$.

Суммируя все значения, получаем разложение:

$23,8401 = 20 + 3 + 0,8 + 0,04 + 0,0001$

Ответ: $23,8401 = 20 + 3 + 0,8 + 0,04 + 0,0001$.

6.129 Представьте в десятичной записи:

а) 31 целая 39 сотых;

б) 0 целых 57 009 миллионных.

а) $\mathrm{31,39}$;

б) $\mathrm{0,057009}$

а) Чтобы представить "31 целая 39 сотых" в виде десятичной дроби, нужно записать целую часть (31) до запятой, а дробную часть (39 сотых) — после запятой.
"Сотые" означают, что дробная часть представляет собой дробь со знаменателем 100. То есть, 39 сотых — это $ \frac{39}{100} $.
В знаменателе два нуля, следовательно, после запятой в десятичной записи должно быть две цифры. Число 39 как раз состоит из двух цифр.
Объединяя целую и дробную части, получаем: $ 31 + \frac{39}{100} = 31,39 $.
Ответ: 31,39

б) Чтобы представить "0 целых 57 009 миллионных" в виде десятичной дроби, нужно записать целую часть (0) до запятой, а дробную часть (57 009 миллионных) — после запятой.
"Миллионные" означают, что дробная часть представляет собой дробь со знаменателем 1 000 000. То есть, 57 009 миллионных — это $ \frac{57009}{1000000} $.
В знаменателе шесть нулей, следовательно, после запятой в десятичной записи должно быть шесть цифр.
Число 57009 состоит из пяти цифр, поэтому, чтобы получить шесть знаков после запятой, необходимо добавить один ноль в начале дробной части: 0,057009.
Объединяя целую и дробную части, получаем: $ 0 + \frac{57009}{1000000} = 0,057009 $.
Ответ: 0,057009

6.130 Длина отрезка CD равна 9,701 м. Выразите его длину в километрах, дециметрах, сантиметрах; миллиметрах.

Для того чтобы выразить длину отрезка $CD$, равную $9,701$ м, в других единицах измерения, воспользуемся следующими соотношениями:

• $1$ километр (км) $= 1000$ метров (м)
• $1$ метр (м) $= 10$ дециметрам (дц)
• $1$ метр (м) $= 100$ сантиметрам (см)
• $1$ метр (м) $= 1000$ миллиметрам (мм)

в километрах

Чтобы перевести метры в километры, необходимо разделить значение в метрах на 1000.
$9,701 \text{ м} = 9,701 \div 1000 \text{ км} = 0,009701 \text{ км}$.
Ответ: $0,009701$ км.

в дециметрах

Чтобы перевести метры в дециметры, необходимо умножить значение в метрах на 10.
$9,701 \text{ м} = 9,701 \times 10 \text{ дц} = 97,01 \text{ дц}$.
Ответ: $97,01$ дц.

в сантиметрах

Чтобы перевести метры в сантиметры, необходимо умножить значение в метрах на 100.
$9,701 \text{ м} = 9,701 \times 100 \text{ см} = 970,1 \text{ см}$.
Ответ: $970,1$ см.

в миллиметрах

Чтобы перевести метры в миллиметры, необходимо умножить значение в метрах на 1000.
$9,701 \text{ м} = 9,701 \times 1000 \text{ мм} = 9701 \text{ мм}$.
Ответ: $9701$ мм.