Страница 112, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.292 Решите уравнение:

а) 77 770 : 110 + x = 708;

б) 7761 + p : 123 = 8000;

в) 2730 + 1216 : y = 2 794

г) 13 755 : 131 + k = 105.

a)
$77770 : 110 + x = 708$

$707 + x = 708$
$x = 708 - 707$
$x = 1$
Ответ: 1.

б)
$7761 + p : 123 = 8000$
$p : 123 = 8000 - 7761$

$p : 123 = 239$
$p = 239 · 123$

$p = 29397$
Ответ: 29397.

в)
$2730 + 1216 : y = 2794$
$1216 : y = 2794 - 2730$

$1216 : y = 64$
$y = 1216 : 64$

$y = 19$
Ответ: 19.

г)
$13755 : 131 + k = 105$

$105 + k = 105$
$k = 105 - 105$
$k = 0$
Ответ: 0.

а) $77 770 : 110 + x = 708$

Это уравнение содержит неизвестное слагаемое $x$. Сначала выполним действие деления в левой части уравнения, чтобы его упростить.

$77 770 : 110 = 707$

Теперь подставим результат в исходное уравнение:

$707 + x = 708$

Чтобы найти неизвестное слагаемое ($x$), нужно из суммы ($708$) вычесть известное слагаемое ($707$).

$x = 708 - 707$

$x = 1$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$77 770 : 110 + 1 = 707 + 1 = 708$. Равенство верно.

Ответ: $1$.

б) $7761 + p : 123 = 8000$

В этом уравнении выражение $p : 123$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, нужно из суммы ($8000$) вычесть известное слагаемое ($7761$).

$p : 123 = 8000 - 7761$

$p : 123 = 239$

Теперь у нас есть уравнение, в котором неизвестно делимое $p$. Чтобы найти делимое, нужно частное ($239$) умножить на делитель ($123$).

$p = 239 \times 123$

$p = 29397$

Выполним проверку, подставив найденное значение $p$ в исходное уравнение:

$7761 + 29397 : 123 = 7761 + 239 = 8000$. Равенство верно.

Ответ: $29397$.

в) $2730 + 1216 : y = 2794$

В данном уравнении выражение $1216 : y$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, вычтем из суммы ($2794$) известное слагаемое ($2730$).

$1216 : y = 2794 - 2730$

$1216 : y = 64$

Теперь у нас есть уравнение, где неизвестен делитель $y$. Чтобы найти делитель, нужно делимое ($1216$) разделить на частное ($64$).

$y = 1216 : 64$

$y = 19$

Выполним проверку, подставив найденное значение $y$ в исходное уравнение:

$2730 + 1216 : 19 = 2730 + 64 = 2794$. Равенство верно.

Ответ: $19$.

г) $13 755 : 131 + k = 105$

Сначала выполним действие деления в левой части уравнения.

$13 755 : 131 = 105$

Подставим полученный результат в уравнение:

$105 + k = 105$

Чтобы найти неизвестное слагаемое ($k$), нужно из суммы ($105$) вычесть известное слагаемое ($105$).

$k = 105 - 105$

$k = 0$

Выполним проверку, подставив найденное значение $k$ в исходное уравнение:

$13 755 : 131 + 0 = 105 + 0 = 105$. Равенство верно.

Ответ: $0$.

3.293 Выполните деление:

а) 1 774 080 : 168;

б) 489 849 : 607;

в) 7 014 007 : 1001;

г) 309 148 000 : 42 700.

а)

б)

в)

г)

а) $1\ 774\ 080 : 168$

Выполним деление в столбик:

1. 1. Первое неполное делимое – 177. Делим 177 на 168. Получаем 1. $1 \times 168 = 168$. Находим остаток: $177 - 168 = 9$. Первая цифра частного – 1.
2. 2. Сносим следующую цифру 4, получаем 94. Так как $94 < 168$, в частное записываем 0.
3. 3. Сносим следующую цифру 0, получаем 940. Делим 940 на 168. Подбираем число: $168 \times 5 = 840$. Находим остаток: $940 - 840 = 100$. В частное записываем 5.
4. 4. Сносим следующую цифру 8, получаем 1008. Делим 1008 на 168. Подбираем число: $168 \times 6 = 1008$. Находим остаток: $1008 - 1008 = 0$. В частное записываем 6.
5. 5. Сносим последнюю цифру 0. Делим 0 на 168, получаем 0. В частное записываем 0.

Результат деления: $1\ 774\ 080 : 168 = 10\ 560$.

Ответ: 10560.

б) $489\ 849 : 607$

Выполним деление в столбик:

1. 1. Первое неполное делимое – 4898. Делим 4898 на 607. Подбираем число: $607 \times 8 = 4856$. Находим остаток: $4898 - 4856 = 42$. Первая цифра частного – 8.
2. 2. Сносим следующую цифру 4, получаем 424. Так как $424 < 607$, в частное записываем 0.
3. 3. Сносим следующую цифру 9, получаем 4249. Делим 4249 на 607. Подбираем число: $607 \times 7 = 4249$. Находим остаток: $4249 - 4249 = 0$. В частное записываем 7.

Результат деления: $489\ 849 : 607 = 807$.

Ответ: 807.

в) $7\ 014\ 007 : 1001$

Выполним деление в столбик:

1. 1. Первое неполное делимое – 7014. Делим 7014 на 1001. Подбираем число: $1001 \times 7 = 7007$. Находим остаток: $7014 - 7007 = 7$. Первая цифра частного – 7.
2. 2. Сносим следующую цифру 0, получаем 70. Так как $70 < 1001$, в частное записываем 0.
3. 3. Сносим следующую цифру 0, получаем 700. Так как $700 < 1001$, в частное снова записываем 0.
4. 4. Сносим последнюю цифру 7, получаем 7007. Делим 7007 на 1001. $1001 \times 7 = 7007$. Находим остаток: $7007 - 7007 = 0$. В частное записываем 7.

Результат деления: $7\ 014\ 007 : 1001 = 7007$.

Ответ: 7007.

г) $309\ 148\ 000 : 42\ 700$

Для упрощения вычислений можно сократить нули в делимом и делителе. Разделим оба числа на 100:

$309\ 148\ 000 : 42\ 700 = (3\ 091\ 480 \times 100) : (427 \times 100) = 3\ 091\ 480 : 427$.

Выполним деление $3\ 091\ 480 : 427$ в столбик:

1. 1. Первое неполное делимое – 3091. Делим 3091 на 427. Подбираем число: $427 \times 7 = 2989$. Находим остаток: $3091 - 2989 = 102$. Первая цифра частного – 7.
2. 2. Сносим следующую цифру 4, получаем 1024. Делим 1024 на 427. Подбираем число: $427 \times 2 = 854$. Находим остаток: $1024 - 854 = 170$. В частное записываем 2.
3. 3. Сносим следующую цифру 8, получаем 1708. Делим 1708 на 427. Подбираем число: $427 \times 4 = 1708$. Находим остаток: $1708 - 1708 = 0$. В частное записываем 4.
4. 4. Сносим последнюю цифру 0. Делим 0 на 427, получаем 0. В частное записываем 0.

Результат деления: $309\ 148\ 000 : 42\ 700 = 7240$.

Ответ: 7240.

3.294 Моторная лодка шла 2 ч по реке и 5 ч по озеру. Найдите, сколько всего километров прошла моторная лодка, если по озеру она двигалась со скоростью 21 км/ч, а по реке - на 4 км/ч быстрее.

1) $21 + 4 = 25 (\mathrm{км}/ч)$ - скорость лодки

2) $2 · 25 = 50 \left(\text{км}\right)$ - по реке

3) $5 · 21 = 105\left(\text{км}\right)$ - по озеру

4) $105 + 50 = 155\left(\text{км}\right)$

Ответ: 155 км.

Для того чтобы найти общее расстояние, пройденное моторной лодкой, необходимо сначала определить расстояние, пройденное по реке, и расстояние, пройденное по озеру, а затем сложить их.

1. Найдем скорость лодки по реке.

Известно, что скорость лодки по озеру составляет $21$ км/ч. Скорость по реке была на $4$ км/ч быстрее. Следовательно, скорость лодки по реке равна:

$v_{реки} = 21 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 25 \text{ км/ч}$

2. Найдем расстояние, пройденное по реке.

Лодка шла по реке $2$ часа со скоростью $25$ км/ч. Расстояние ($S$) вычисляется по формуле $S = v \times t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.

$S_{реки} = 25 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 50 \text{ км}$

3. Найдем расстояние, пройденное по озеру.

Лодка шла по озеру $5$ часов со скоростью $21$ км/ч.

$S_{озера} = 21 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 105 \text{ км}$

4. Найдем общее расстояние.

Чтобы найти общее расстояние, сложим расстояния, пройденные по реке и по озеру.

$S_{общ} = S_{реки} + S_{озера} = 50 \text{ км} + 105 \text{ км} = 155 \text{ км}$

Ответ: моторная лодка прошла всего 155 километров.

3.295 Сколько секунд надо собаке, чтобы догнать кошку, которая находится на расстоянии 30 м от неё, если скорость кошки 6 м/с, а собаки 9 м/с?

1) $9 - 6 = 3 (\mathrm{м}/\mathrm{с})$ - скорость сближения,

2) $30 : 3 = 10 \left(\text{с}\right)$

Ответ: 10 с.

Для решения данной задачи необходимо использовать понятие относительной скорости, или скорости сближения. Собака догоняет кошку, следовательно, расстояние между ними сокращается. Скорость, с которой это происходит, равна разности их скоростей.

1. Найдем скорость сближения
Скорость сближения ($v_{сбл}$) вычисляется как разность скоростей собаки ($v_{с}$) и кошки ($v_{к}$), так как они движутся в одном направлении.
$v_{сбл} = v_{с} - v_{к}$
Подставим числовые значения:
$v_{сбл} = 9 \text{ м/с} - 6 \text{ м/с} = 3 \text{ м/с}$
Это означает, что каждую секунду собака приближается к кошке на 3 метра.

2. Рассчитаем время
Время ($t$), за которое собака покроет начальное расстояние ($S$) до кошки, можно найти, разделив это расстояние на скорость сближения.
$t = \frac{S}{v_{сбл}}$
Подставим известные значения в формулу:
$t = \frac{30 \text{ м}}{3 \text{ м/с}} = 10 \text{ с}$

Ответ: 10 с.

3.296 Развивай память и внимание. Найдите в таблице все числа по порядку от 2 до 50, засекая время выполнения. Это упражнение полезно выполнить несколько раз. Можно изготовить аналогичные таблицы для большего числа чисел.

Задание на развитие памяти и внимания, решение не требуется.

а)

Задача заключается в последовательном поиске чисел от 2 до 50 в представленной таблице размером $7 \times 7$. Это упражнение направлено на развитие внимания и концентрации. Ниже представлен порядок нахождения чисел с указанием их координат в формате (строка, столбец).

• 2: (3, 2)
• 3: (2, 6)
• 4: (6, 4)
• 5: (7, 1)
• 6: (4, 7)
• 7: (2, 5)
• 8: (4, 1)
• 9: (1, 7)
• 10: (3, 4)
• 11: (6, 2)
• 12: (2, 1)
• 13: (6, 6)
• 14: (1, 2)
• 15: (4, 5)
• 16: (6, 7)
• 17: (5, 4)
• 18: (2, 4)
• 19: (7, 5)
• 20: (2, 7)
• 21: (5, 3)
• 22: (3, 6)
• 23: (7, 6)
• 24: (3, 3)
• 25: (1, 5)
• 26: (6, 5)
• 27: (4, 6)
• 28: (6, 1)
• 29: (5, 7)
• 30: (2, 2)
• 31: (1, 1)
• 32: (7, 3)
• 33: (4, 2)
• 34: (1, 4)
• 35: (7, 7)
• 36: (5, 5)
• 37: (3, 7)
• 38: (5, 6)
• 39: (3, 1)
• 40: (1, 6)
• 41: (4, 3)
• 42: (7, 4)
• 43: (2, 3)
• 44: (5, 1)
• 45: (1, 3)
• 46: (7, 2)
• 47: (3, 5)
• 48: (5, 2)
• 49: (4, 4)
• 50: (6, 3)

Все числа от 2 до 50 присутствуют в таблице и были найдены в правильной последовательности.

Ответ: Все числа от 2 до 50 найдены в таблице а).

б)

Аналогично пункту а), выполним поиск чисел от 2 до 50 во второй таблице размером $7 \times 7$. Ниже приведены координаты каждого числа в порядке их нахождения.

• 2: (1, 5)
• 3: (4, 6)
• 4: (4, 3)
• 5: (7, 4)
• 6: (4, 4)
• 7: (4, 2)
• 8: (2, 1)
• 9: (7, 7)
• 10: (1, 2)
• 11: (5, 4)
• 12: (3, 4)
• 13: (7, 1)
• 14: (4, 7)
• 15: (2, 6)
• 16: (6, 4)
• 17: (3, 1)
• 18: (1, 7)
• 19: (6, 5)
• 20: (5, 5)
• 21: (6, 2)
• 22: (1, 3)
• 23: (5, 3)
• 24: (7, 6)
• 25: (4, 1)
• 26: (2, 3)
• 27: (3, 3)
• 28: (1, 1)
• 29: (5, 6)
• 30: (7, 3)
• 31: (1, 6)
• 32: (3, 7)
• 33: (3, 2)
• 34: (2, 7)
• 35: (6, 1)
• 36: (2, 5)
• 37: (3, 6)
• 38: (6, 6)
• 39: (5, 1)
• 40: (3, 5)
• 41: (7, 5)
• 42: (5, 7)
• 43: (7, 2)
• 44: (2, 4)
• 45: (1, 4)
• 46: (5, 2)
• 47: (6, 3)
• 48: (2, 2)
• 49: (6, 7)
• 50: (4, 5)

Все числа от 2 до 50 также присутствуют во второй таблице и были найдены в требуемом порядке.

Ответ: Все числа от 2 до 50 найдены в таблице б).

1 Вычислите значения выражений:

20 • 8 - 6 : 2,

20 • (8 - 6 : 2),

20 • (8 - 6) : 2,

(20 • 8 - 6) : 2.

Объясните, почему получены разные ответы.

$20 \stackrel{1}{·} 8 \stackrel{3}{-} 6 \stackrel{2}{:} 2 = 160 - 3 = 157$
$20 \stackrel{3}{·} (8 \stackrel{2}{-} 6 \stackrel{1}{:} 2) = 20 - (8 - 3) = 20 - 5 = 100$
$20 \stackrel{2}{·} (8 \stackrel{1}{-} 6) \stackrel{3}{:} 2 = 20 - 2 : 2 = 40 : 2 = 20$
$(20 \stackrel{1}{·} 8 \stackrel{2}{-} 6) \stackrel{3}{:} 2 = (160 - 6) : 2 = 154 : 2 = 77$

Несмотря на одинаковые число и знаки действий, каждое выражение задает алгоритм своего вычисления, который зависит от расстановки скобок.

$20 \cdot 8 - 6 : 2$

В этом выражении нет скобок, поэтому действия выполняются согласно их приоритету: сначала умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.
1. Выполняем умножение: $20 \cdot 8 = 160$.
2. Выполняем деление: $6 : 2 = 3$.
3. Выполняем вычитание: $160 - 3 = 157$.
Ответ: 157

$20 \cdot (8 - 6 : 2)$

Сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок деление имеет более высокий приоритет, чем вычитание.
1. Выполняем деление в скобках: $6 : 2 = 3$.
2. Выполняем вычитание в скобках: $8 - 3 = 5$.
3. Выполняем умножение: $20 \cdot 5 = 100$.
Ответ: 100

$20 \cdot (8 - 6) : 2$

Сначала выполняем действие в скобках.
1. Выполняем вычитание в скобках: $8 - 6 = 2$.
2. Теперь выражение выглядит так: $20 \cdot 2 : 2$. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку, слева направо.
3. Выполняем умножение: $20 \cdot 2 = 40$.
4. Выполняем деление: $40 : 2 = 20$.
Ответ: 20

$(20 \cdot 8 - 6) : 2$

Сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок умножение имеет приоритет над вычитанием.
1. Выполняем умножение в скобках: $20 \cdot 8 = 160$.
2. Выполняем вычитание в скобках: $160 - 6 = 154$.
3. Выполняем деление: $154 : 2 = 77$.
Ответ: 77

Объясните, почему получены разные ответы.

Разные ответы получены потому, что в каждом выражении задан разный порядок выполнения арифметических действий. Порядок вычислений в математике строго регламентирован:
1. Действия в скобках.
2. Умножение и деление (в порядке их следования, слева направо).
3. Сложение и вычитание (в порядке их следования, слева направо).
Скобки в выражениях изменяют этот стандартный порядок. Поскольку в каждом из четырех примеров порядок действий из-за разного расположения скобок (или их отсутствия) отличается, результаты вычислений также получаются разными.

2 Найдите значение выражения:

a) $312 \stackrel{1}{:} 13 \stackrel{4}{+} 17 \stackrel{2}{·} 52 \stackrel{5}{-} 90 \stackrel{3}{:} 2 = 863$

1)	2)
3)	4)
5)

б) $(312 \stackrel{1}{:} 13 \stackrel{3}{+} \stackrel{2}{17 \cdot 52}) \stackrel{5}{-} 90 \stackrel{4}{:} 2 = 863$

1)	2)
3)	4)
5)

в) $312 \stackrel{3}{:} 13 \stackrel{5}{+} (17 \stackrel{1}{·} 52 \stackrel{2}{-} 90) \stackrel{4}{:} 2= 421$

1)	2)
3)	4)
5)

г) $312 \stackrel{3}{:} 13 \stackrel{5}{+} 17 \stackrel{4}{·} (52 \stackrel{2}{-} 90 \stackrel{1}{:} 2)= 143$

1)	2)
3)	4)
5)

а) $312 : 13 + 17 \cdot 52 - 90 : 2$
Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции умножения и деления (слева направо), а затем — сложения и вычитания (также слева направо).
1. Выполним первое деление: $312 : 13 = 24$.
2. Выполним умножение: $17 \cdot 52 = 884$.
3. Выполним второе деление: $90 : 2 = 45$.
4. Подставим полученные значения в выражение: $24 + 884 - 45$.
5. Выполним сложение: $24 + 884 = 908$.
6. Выполним вычитание: $908 - 45 = 863$.
Ответ: 863.

б) $(312 : 13 + 17 \cdot 52) - 90 : 2$
Первым делом выполняются действия в скобках, соблюдая тот же порядок (умножение/деление, затем сложение/вычитание).
1. Действие в скобках (деление): $312 : 13 = 24$.
2. Действие в скобках (умножение): $17 \cdot 52 = 884$.
3. Действие в скобках (сложение): $24 + 884 = 908$.
4. Теперь выполняем действия за скобками. Деление: $90 : 2 = 45$.
5. Выполняем вычитание: $908 - 45 = 863$.
Ответ: 863.

в) $312 : 13 + (17 \cdot 52 - 90) : 2$
Сначала выполняем действия в скобках.
1. Действие в скобках (умножение): $17 \cdot 52 = 884$.
2. Действие в скобках (вычитание): $884 - 90 = 794$.
3. Теперь выражение выглядит так: $312 : 13 + 794 : 2$. Выполняем деление слева направо.
4. Первое деление: $312 : 13 = 24$.
5. Второе деление: $794 : 2 = 397$.
6. Выполняем сложение: $24 + 397 = 421$.
Ответ: 421.

г) $312 : 13 + 17 \cdot (52 - 90 : 2)$
Снова начинаем с действий в скобках. Внутри скобок первым выполняется деление.
1. Действие в скобках (деление): $90 : 2 = 45$.
2. Действие в скобках (вычитание): $52 - 45 = 7$.
3. Теперь выражение выглядит так: $312 : 13 + 17 \cdot 7$. Выполняем деление и умножение слева направо.
4. Деление: $312 : 13 = 24$.
5. Умножение: $17 \cdot 7 = 119$.
6. Выполняем сложение: $24 + 119 = 143$.
Ответ: 143.

3 Найдите x, если:

а) (65 + x) : 2 - 21 = 30;

б) (x • 58 - 24) : 2 = 191;

в) 8432 - 3870 : x = 8346.

a)
$65 + x : 2 - 21 = 30$
$65 + x : 2 = 30 + 21$
$65 + x : 2 = 51$
$65 + x = 51 · 2$

$65 + x = 102$
$x = 102 - 65$

$x = 37$
Ответ: 37.

б)
$x · 58 - 24 : 2 = 191$
$x · 58 - 24 = 191 · 2$

$x · 58 - 24 = 382$
$x · 58 = 382 + 24$

$x · 58 = 406$
$x = 406 : 58$

$x = 7$
Ответ: 7.

в)
$8432 - 3870 : x = 8346$
$3870 : x = 8432 - 8346$

$3870 : x = 86$
$x = 3870 : 86$

$x = 45$
Ответ: 45.

а) Чтобы найти $x$ в уравнении $(65 + x) : 2 - 21 = 30$, будем выполнять действия в обратном порядке.

1. В данном уравнении выражение $(65 + x) : 2$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности (30) прибавить вычитаемое (21).

$(65 + x) : 2 = 30 + 21$

$(65 + x) : 2 = 51$

2. Теперь выражение в скобках $(65 + x)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное (51) умножить на делитель (2).

$65 + x = 51 \cdot 2$

$65 + x = 102$

3. В получившемся уравнении $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы (102) вычесть известное слагаемое (65).

$x = 102 - 65$

$x = 37$

Ответ: $x = 37$.

б) Решим уравнение $(x \cdot 58 - 24) : 2 = 191$.

1. Выражение в скобках $(x \cdot 58 - 24)$ является неизвестным делимым. Найдём его, умножив частное (191) на делитель (2).

$x \cdot 58 - 24 = 191 \cdot 2$

$x \cdot 58 - 24 = 382$

2. Теперь выражение $x \cdot 58$ является неизвестным уменьшаемым. Найдём его, прибавив к разности (382) вычитаемое (24).

$x \cdot 58 = 382 + 24$

$x \cdot 58 = 406$

3. В последнем уравнении $x$ — неизвестный множитель. Найдём его, разделив произведение (406) на известный множитель (58).

$x = 406 : 58$

$x = 7$

Ответ: $x = 7$.

в) Решим уравнение $8432 - 3870 : x = 8346$.

1. В этом уравнении выражение $3870 : x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого (8432) вычесть разность (8346).

$3870 : x = 8432 - 8346$

$3870 : x = 86$

2. Теперь $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое (3870) разделить на частное (86).

$x = 3870 : 86$

$x = 45$

Ответ: $x = 45$.

4 В одной коробке было 5230 г конфет, а в другой - в 2 раза меньше. Сколько конфет было в обеих коробках?

1) $5230 : 2 = 2615 \left(\mathrm{г}\right)$ – во II коробке

2) $5230 + 2615 = 7845 \left(\mathrm{г}\right)$

$7845 \mathrm{г} = 7 \mathrm{кг} 845 \mathrm{г}$
Ответ: 7 кг 845 г.

Для решения задачи выполним два действия.

1. Найдем массу конфет во второй коробке.

По условию задачи, в первой коробке было 5230 г конфет, а во второй — в 2 раза меньше. Чтобы найти массу конфет во второй коробке, необходимо массу конфет в первой коробке разделить на 2.

$5230 \div 2 = 2615$ (г)

Следовательно, во второй коробке находится 2615 г конфет.

2. Найдем общую массу конфет в обеих коробках.

Чтобы узнать, сколько всего конфет было в двух коробках, нужно сложить массу конфет из первой и второй коробок.

$5230 + 2615 = 7845$ (г)

Ответ: в обеих коробках было 7845 г конфет.