Страница 115, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.303 Представьте в виде произведения степень:

а) (3 + c)⁴;

б) (b - 4)²;

в) (x + y)²;

г) (a - b)³.

а) ${\left(3 + c\right)}^4 = \left(3 + c\right) · \left(3 + c\right) · \left(3 + c\right) · \left(3 + c\right)$

б) ${\left(b - 4\right)}^2 = \left(b - 4\right) · \left(b - 4\right)$

в) ${\left(x + y\right)}^2 = \left(x + y\right) · \left(x + y\right)$

г) ${\left(a - b\right)}^3 = \left(a - b\right) · \left(a - b\right) · \left(a - b\right)$

а) По определению степени с натуральным показателем, выражение $a^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Для выражения $(3+c)^4$ основанием является $(3+c)$, а показателем степени — $4$. Это означает, что для представления этого выражения в виде произведения, необходимо умножить $(3+c)$ само на себя $4$ раза.
$(3+c)^4 = (3+c)(3+c)(3+c)(3+c)$
Ответ: $(3+c)(3+c)(3+c)(3+c)$

б) Для выражения $(b-4)^2$ основание равно $(b-4)$, а показатель степени — $2$. Следовательно, мы умножаем основание само на себя $2$ раза.
$(b-4)^2 = (b-4)(b-4)$
Ответ: $(b-4)(b-4)$

в) Для выражения $(x+y)^2$ основание равно $(x+y)$, а показатель степени — $2$. Представим его в виде произведения двух одинаковых множителей.
$(x+y)^2 = (x+y)(x+y)$
Ответ: $(x+y)(x+y)$

г) Для выражения $(a-b)^8$ основание равно $(a-b)$, а показатель степени — $8$. Умножим основание само на себя $8$ раз.
$(a-b)^8 = (a-b)(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)$
Ответ: $(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)$

3.304 Вычислите:

а) 35²;

б) 100²;

в) 10³;

г) 11³;

д) 15³;

е) 103².

a) ${35}^2 = 35 · 35 = 1225$

б) ${100}^2 = 100 · 100 = 10000$

в) ${10}^3 = 10 · 10 · 10 = 1000$
 

г) ${11}^3 = 11 · 11 · 11 = 1331$

д) ${15}^3 = 15 · 15 · 15 = 3375$

е) ${103}^2 = 103 · 103 = 10609$

а) Чтобы вычислить $35^2$, можно использовать формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ или специальное правило для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.
Способ 1: по формуле квадрата суммы.
Представим 35 как сумму $30 + 5$ и применим формулу:
$35^2 = (30 + 5)^2 = 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 5 + 5^2 = 900 + 300 + 25 = 1225$.
Способ 2: правило для чисел, оканчивающихся на 5.
Для этого необходимо число, образованное всеми цифрами кроме последней пятерки (то есть 3), умножить на следующее за ним натуральное число (4). К полученному результату ($3 \cdot 4 = 12$) приписывается 25. Получаем 1225.
Ответ: 1225.

б) Чтобы вычислить $100^2$, нужно 100 умножить само на себя, либо представить 100 как $10^2$ и использовать свойства степеней.
$100^2 = 100 \cdot 100 = 10000$.
Или так: $100^2 = (10^2)^2 = 10^{2 \cdot 2} = 10^4 = 10000$.
Ответ: 10000.

в) Выражение $10^8$ означает возведение числа 10 в 8-ю степень. Результатом является число, состоящее из единицы и восьми нулей.
$10^8 = 100 \, 000 \, 000$.
Ответ: 100 000 000.

г) Чтобы вычислить $11^3$, нужно 11 умножить само на себя три раза.
Сначала вычислим $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.
Затем умножим результат на 11: $121 \cdot 11 = 1331$.
Также можно воспользоваться формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$11^3 = (10 + 1)^3 = 10^3 + 3 \cdot 10^2 \cdot 1 + 3 \cdot 10 \cdot 1^2 + 1^3 = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331$.
Ответ: 1331.

д) Вычисление $15^2$ аналогично пункту а).
Способ 1: по формуле квадрата суммы.
$15^2 = (10 + 5)^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 5 + 5^2 = 100 + 100 + 25 = 225$.
Способ 2: правило для чисел, оканчивающихся на 5.
Умножаем 1 на следующее за ним число 2: $1 \cdot (1+1) = 2$. Приписываем 25 и получаем 225.
Ответ: 225.

е) Для вычисления $103^2$ удобно использовать формулу квадрата суммы, представив 103 как $100 + 3$.
$103^2 = (100 + 3)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$.
Ответ: 10609.

3.305 Найдите значение степени:

а) 2⁶;

б) 10⁵;

в) 1²¹;

г) 3⁴;

д) 53¹;

е) 3⁵.

a) $$\begin{gathered} 2^6 = \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} = \\ = 4 · 4 · 4 = 16 · 4 = 64 \end{gathered}$$

б) ${10}^5 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = \mathrm{100 000}$

b) $1^{21} = \underset{21 раз}{\underbrace{1 · 1 · 1 · ... · 1}} = 1$

2) $3^4 = \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} = 9 · 9 = 81$

g) ${53}^1 = 53$

e) $$\begin{gathered} 3^5 = \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} · 3 = 9 · 9 · 3 = \\ = 81 · 3 = 243 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение степени $2^6$, необходимо возвести число 2 в 6-ю степень. Это означает, что число 2 нужно умножить само на себя 6 раз.

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Выполним вычисления поэтапно:

$2 \cdot 2 = 4$

$4 \cdot 2 = 8$

$8 \cdot 2 = 16$

$16 \cdot 2 = 32$

$32 \cdot 2 = 64$

Таким образом, $2^6 = 64$.

Ответ: 64

б) Чтобы найти значение степени $10^5$, необходимо возвести число 10 в 5-ю степень. Это означает, что число 10 нужно умножить само на себя 5 раз. При возведении 10 в натуральную степень, результат будет равен единице с количеством нулей, равным показателю степени.

$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100000$.

Ответ: 100000

в) Чтобы найти значение степени $1^{21}$, необходимо возвести число 1 в 21-ю степень. Единица, умноженная сама на себя любое количество раз, всегда будет равна единице.

$1^{21} = \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1}_{21 \text{ раз}} = 1$.

Ответ: 1

г) Чтобы найти значение степени $3^4$, необходимо возвести число 3 в 4-ю степень. Это означает, что число 3 нужно умножить само на себя 4 раза.

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

Выполним вычисления:

$3 \cdot 3 = 9$

$9 \cdot 3 = 27$

$27 \cdot 3 = 81$

Таким образом, $3^4 = 81$.

Ответ: 81

д) Чтобы найти значение степени $53^1$, необходимо возвести число 53 в 1-ю степень. Любое число в первой степени равно самому себе.

$53^1 = 53$.

Ответ: 53

е) Чтобы найти значение степени $8^3$, необходимо возвести число 8 в 3-ю степень. Это означает, что число 8 нужно умножить само на себя 3 раза.

$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8$

Выполним вычисления:

$8 \cdot 8 = 64$

$64 \cdot 8 = 512$

Таким образом, $8^3 = 512$.

Ответ: 512

3.306 Найдите значение выражения:

а) 4² + 5;

б) 4 + 5²;

в) (4 + 5)²;

г) 4² + 5².

а) $$\begin{gathered} 4^2 + 5 = 4 · 4 + 5 = \\ = 16 + 5 = 21 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} 4 + 5^2 = 4 + 5 · 5 = \\ = 4 + 25 = 29 \end{gathered}$$

в) ${(4 + 5)}^2 = 9^2 = 9 · 9 = 81$

г) $$\begin{gathered} 4^2 + 5^2 = 4 · 4 + 5 · 5 = \\ = 16 + 25 = 41 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $4^2 + 5$, необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем сложение, согласно порядку выполнения арифметических операций.

1. Вычисляем степень: $4^2 = 4 \times 4 = 16$.

2. Выполняем сложение: $16 + 5 = 21$.

Полное решение: $4^2 + 5 = 16 + 5 = 21$.

Ответ: 21

б) Чтобы найти значение выражения $4 + 5^2$, необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем сложение.

1. Вычисляем степень: $5^2 = 5 \times 5 = 25$.

2. Выполняем сложение: $4 + 25 = 29$.

Полное решение: $4 + 5^2 = 4 + 25 = 29$.

Ответ: 29

в) Чтобы найти значение выражения $(4 + 5)^2$, сначала нужно выполнить действие в скобках, а затем возвести результат в степень.

1. Выполняем сложение в скобках: $4 + 5 = 9$.

2. Возводим полученную сумму в квадрат: $9^2 = 9 \times 9 = 81$.

Полное решение: $(4 + 5)^2 = 9^2 = 81$.

Ответ: 81

г) Чтобы найти значение выражения $4^2 + 5^2$, необходимо сначала выполнить возведение в степень для каждого слагаемого, а затем сложить полученные результаты.

1. Вычисляем первую степень: $4^2 = 4 \times 4 = 16$.

2. Вычисляем вторую степень: $5^2 = 5 \times 5 = 25$.

3. Выполняем сложение: $16 + 25 = 41$.

Полное решение: $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

Ответ: 41

3.307 Вычислите:

а) 4³ + 6;

б) 6³ + 4;

в) (6 + 4)³;

г) (6³ - 4³) : (6 - 4).

а)
$$\begin{gathered} 4^3 + 6 = 4 · 4 · 4 + 6 = \\ = 64 + 6 = 70 \end{gathered}$$

б)
 $$\begin{gathered} 6^3 + 4 = 6 · 6 · 6 + 4 = \\ = 216 + 4 = 220 \end{gathered}$$

в)
${(6 + 4)}^3 = {10}^3 = 10 · 10 · 10 = 1000$

г)
 $$\begin{gathered} (6^3 - 4^3) : (6 - 4) = \\ = (6 · 6 · 6 - 4 · 4 · 4) : 2 = \\ = (216 - 64) : 2 = 152 : 2 = 76 \end{gathered}$$

а) $4^3 + 6$. Согласно порядку выполнения математических операций, сначала необходимо выполнить возведение в степень, а затем сложение.
1. Вычислим значение степени: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
2. К полученному результату прибавим 6: $64 + 6 = 70$.
Ответ: 70

б) $6^3 + 4$. Так же, как и в предыдущем примере, сначала вычисляем степень.
1. Вычислим значение степени: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
2. Выполним сложение: $216 + 4 = 220$.
Ответ: 220

в) $(6 + 4)^3$. В этом выражении в первую очередь выполняется действие в скобках.
1. Вычислим сумму в скобках: $6 + 4 = 10$.
2. Возведем полученную сумму в куб: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
Ответ: 1000

г) $(6^3 - 4^3) : (6 - 4)$. Данное выражение можно вычислить двумя способами.
Способ 1: По действиям.
1. Вычисляем степени: $6^3 = 216$ и $4^3 = 64$.
2. Выполняем действия в скобках: $216 - 64 = 152$ и $6 - 4 = 2$.
3. Выполняем деление: $152 : 2 = 76$.
Способ 2: С использованием формулы разности кубов.
Формула разности кубов имеет вид: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Из этой формулы следует, что частное от деления разности кубов на разность оснований равно неполному квадрату суммы: $(a^3 - b^3) : (a - b) = a^2 + ab + b^2$.
Подставим в правую часть формулы значения $a=6$ и $b=4$:
$6^2 + 6 \cdot 4 + 4^2 = 36 + 24 + 16 = 60 + 16 = 76$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 76

3.308 Чему равно значение выражения:

а) 2³ + 3²;

б) 10³ : 5²;

в) 7² • 2⁴;

г) 7³ - 3⁵?

a)
$$\begin{gathered} 2^3 + 3^2 = 2 · 2 · 2 + 3 · 3 = \\ = 8 + 9 = 17 \end{gathered}$$

б)
$$\begin{gathered} {10}^3 : 5^2 = (10 · 10 · 10) : (5 · 5) = \\ = 1000 : 25 = 40 \end{gathered}$$

в)
$$\begin{gathered} 7^2 · 2^4 = (7 · 7) · (2 · 2 · 2 · 2) = \\ = 49 · 16 = 784 \end{gathered}$$

г)
$$\begin{gathered} 7^3 - 3^5 = 7 · \stackrel{49}{7 · 7} - \stackrel{9}{3 · 3} · \stackrel{9}{3 · 3} · 3 = \\ = 343 - 81 · 3 = 343 - 243 = 100 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $2^3 + 3^2$, необходимо сначала вычислить значение каждого слагаемого, то есть возвести числа в степень, а затем сложить полученные результаты.
1. Вычислим $2^3$: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
2. Вычислим $3^2$: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
3. Сложим полученные значения: $8 + 9 = 17$.
Таким образом, $2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17$.
Ответ: 17.

б) Чтобы найти значение выражения $10^3 : 5^2$, сначала вычислим значение делимого и делителя, а затем выполним деление.
1. Вычислим $10^3$: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
2. Вычислим $5^2$: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
3. Разделим полученные значения: $1000 : 25 = 40$.
Таким образом, $10^3 : 5^2 = 1000 : 25 = 40$.
Ответ: 40.

в) Чтобы найти значение выражения $7^2 \cdot 2^4$, сначала вычислим значение каждого множителя, а затем перемножим их.
1. Вычислим $7^2$: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
2. Вычислим $2^4$: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
3. Перемножим полученные значения: $49 \cdot 16 = 784$.
Таким образом, $7^2 \cdot 2^4 = 49 \cdot 16 = 784$.
Ответ: 784.

г) Чтобы найти значение выражения $7^3 - 3^5$, необходимо сначала вычислить значение уменьшаемого и вычитаемого, а затем найти их разность.
1. Вычислим $7^3$: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
2. Вычислим $3^5$: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.
3. Вычтем из первого значения второе: $343 - 243 = 100$.
Таким образом, $7^3 - 3^5 = 343 - 243 = 100$.
Ответ: 100.

3.309 Найдите значение выражения:

а) 10² : (6² + 2⁶);

б) (10² - 4³) • 3³;

в) 2 • 6³ - 7³;

г) 4 • 3⁴ + 2⁸.

a) ${10}^2 : (6^2 + 2^6) = 1$
1) $6^2 = 6 · 6 = 36$
2) $$\begin{gathered} 2^6 = \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} \\ = \underset{16}{4 ·4} · 4 = 16 · 4 = 64 \end{gathered}$$
3)

4) ${10}^2 = 10 · 10 = 100$
5) $100 : 100 = 1$

б) $({10}^2 - 4^3) · 3^3 = 972$
1) ${10}^2 = 10 · 10 = 100$
2) $4^3 = 4 · 4 · 4 = 64$
3) $100 - 64 = 36$
4) $3^3 = 3 · 3 · 3 = 27$
5) $36 · 27 = 972$

в) $2 · 6^3 - 7^3 = 89$
1) $6^3 = 6 · 6 · 6 = 216$
2) $2 · 216 = 432$

3) $7^3 = 7 · 7 · 7 = 49 · 7 = 343$

4)

г) $4 · 3^4 + 2^8 = 580$
1) $3^4 = \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} = 9 · 9 = 81$
2) $4 · 81 = 324$
3) $$\begin{gathered} 2^8 = \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} = \\ = \underset{16}{4 · 4} · \underset{16}{4 · 4} = 16 · 16 = 256 \end{gathered}$$

4)

а) $10^2 : (6^2 + 2^6)$

Согласно порядку действий, сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок сначала возводим числа в степень, а затем выполняем сложение.

1. Возведение в степень в скобках:
$6^2 = 36$
$2^6 = 64$

2. Сложение в скобках:
$36 + 64 = 100$

3. Теперь исходное выражение принимает вид: $10^2 : 100$. Вычисляем степень и деление:
$10^2 = 100$
$100 : 100 = 1$

Полное решение: $10^2 : (6^2 + 2^6) = 100 : (36 + 64) = 100 : 100 = 1$.

Ответ: 1

б) $(10^2 - 4^3) \cdot 3^2$

Сначала выполняем действия в скобках: возведение в степень, затем вычитание. После этого результат умножаем.

1. Возведение в степень в скобках:
$10^2 = 100$
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

2. Вычитание в скобках:
$100 - 64 = 36$

3. Теперь исходное выражение принимает вид: $36 \cdot 3^2$. Вычисляем степень и умножение:
$3^2 = 9$
$36 \cdot 9 = 324$

Полное решение: $(10^2 - 4^3) \cdot 3^2 = (100 - 64) \cdot 9 = 36 \cdot 9 = 324$.

Ответ: 324

в) $2 \cdot 6^2 - 7^2$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце вычитание.

1. Возведение в степень:
$6^2 = 36$
$7^2 = 49$

2. Умножение:
$2 \cdot 36 = 72$

3. Вычитание:
$72 - 49 = 23$

Полное решение: $2 \cdot 6^2 - 7^2 = 2 \cdot 36 - 49 = 72 - 49 = 23$.

Ответ: 23

г) $4 \cdot 3^4 + 2^8$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце сложение.

1. Возведение в степень:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$
$2^8 = 256$

2. Умножение:
$4 \cdot 81 = 324$

3. Сложение:
$324 + 256 = 580$

Полное решение: $4 \cdot 3^4 + 2^8 = 4 \cdot 81 + 256 = 324 + 256 = 580$.

Ответ: 580

3.310 Установите, верно ли равенство:

а) 12² + 9² = (12 + 9)²;

б) 13² - 5² = (13 - 5)²;

в) 12² + 9² = 15²;

г) 13² - 5² = 12².

a)
${12}^2 + 9^2 = {(12 + 9)}^2$

$$\begin{gathered} {12}^2 + 9^2 = 12 · 12 + 9 · 9 = \\ = 144 + 81 = 225 \end{gathered}$$

${(12 + 9)}^2 = {21}^2 = 21 · 21 = 441$

$225 = 441$ - неверно
 

б)
${13}^2 - 5^2 = {(13 - 5)}^2$

$$\begin{gathered} {13}^2 - 5^2 = 13 · 13 - 5 · 5 = \\ = 169 - 25 = 144 \end{gathered}$$

${(13 - 5)}^2 = 8^2 = 8 · 8 = 64$

$144 = 64$ - неверно
 

в)
${12}^2 + 9^2 = {15}^2$

$$\begin{gathered} {12}^2 + 9^2 = 12 · 12 + 9 · 9 = \\ = 144 + 81 = 225 \end{gathered}$$

${15}^2 = 15 · 15 = 225$

$225 = 225$ - верно

г) 
${13}^2 - 5^2 = {12}^2$

$$\begin{gathered} {13}^2 - 5^2 = 13 · 13 - 5 · 5 = \\ = 169 - 25 = 144 \end{gathered}$$

${12}^2 = 12 · 12 = 144$

$144 = 144$ - верно

а) $12^2 + 9^2 = (12 + 9)^2$

Чтобы установить, верно ли равенство, необходимо вычислить значения его левой и правой частей и сравнить их.
Вычисляем левую часть: $12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
Вычисляем правую часть: $(12 + 9)^2 = 21^2 = 441$.
Сравниваем полученные значения: $225 \neq 441$.
Равенство неверно. Стоит отметить, что формула квадрата суммы выглядит как $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а не $a^2+b^2$.
Ответ: неверно.

б) $13^2 - 5^2 = (13 - 5)^2$

Аналогично предыдущему пункту, вычислим обе части равенства.
Левая часть: $13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
Правая часть: $(13 - 5)^2 = 8^2 = 64$.
Сравниваем полученные значения: $144 \neq 64$.
Равенство неверно. Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Ответ: неверно.

в) $12^2 + 9^2 = 15^2$

Вычислим значения левой и правой частей равенства.
Левая часть: $12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
Правая часть: $15^2 = 225$.
Сравниваем полученные значения: $225 = 225$.
Равенство верно. Это является числовым примером теоремы Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) для прямоугольного треугольника с катетами 9, 12 и гипотенузой 15.
Ответ: верно.

г) $13^2 - 5^2 = 12^2$

Вычислим значения левой и правой частей равенства.
Левая часть: $13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
Для вычисления левой части также можно было применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $13^2 - 5^2 = (13-5)(13+5) = 8 \cdot 18 = 144$.
Правая часть: $12^2 = 144$.
Сравниваем полученные значения: $144 = 144$.
Равенство верно. Его можно записать в виде $13^2 = 12^2 + 5^2$, что также является примером теоремы Пифагора для египетского треугольника с катетами 5, 12 и гипотенузой 13.
Ответ: верно.

3.311 Установите, верно ли равенство:

а) 5³ • 2³ = 10³;

б) 3³ • 3² = 3⁶;

в) 5² • 2² = (5 • 2)⁴;

г) 3³ • 3² = 3⁵.

а)
$5^3 · 2^3 = {10}^3$

$$\begin{gathered} 5^3 · 2^3 = (5 · 5 · 5) · (2 · 2 · 2) = \\ = 125 · 8 = 1000 \end{gathered}$$

${10}^3 = 10 · 10 · 10 = 1000$

$1000 = 1000$ - верно

б) 
$3^5 · 3^2 = 3^6$

$$\begin{gathered} 3^5 · 3^2 = (3 · 3 · 3) · (3 · 3) = \\ = 27 · 9 = 243 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3^6 = \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} = \\ = 81 · 9 = 729 \end{gathered}$$

$243 = 729$ - неверно

в) 
$5^2 · 2^2 = (5 · 2{)}^4$

$$\begin{gathered} 5^2 · 2^2 = (5 · 5) · (2 · 2) = \\ = 25 · 4 = 100 \end{gathered}$$

$(5 · 2{)}^4 = {10}^4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000$

$100 = 10000$ - неверно

г)
$3^3 · 3^2 = 3^5$

$$\begin{gathered} 3^3 · 3^2 = (3 · 3 · 3) · (3 · 3) = \\ = 27 · 9 = 243 \end{gathered}$$

$3^5 = \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} · 3 = 81 · 3 = 243$

$243 = 243$ - верно

а) $5^8 \cdot 2^8 = 10^8$

Для проверки верности данного равенства используется свойство умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Применим это свойство к левой части равенства, где $a=5$, $b=2$ и $n=8$:

$5^8 \cdot 2^8 = (5 \cdot 2)^8 = 10^8$

В результате преобразования левая часть стала равна $10^8$, что совпадает с правой частью равенства. Таким образом, равенство является верным.

Ответ: верно.

б) $3^8 \cdot 3^2 = 3^6$

Для проверки этого равенства используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применим это свойство к левой части равенства, где $a=3$, $m=8$ и $n=2$:

$3^8 \cdot 3^2 = 3^{8+2} = 3^{10}$

Сравним полученный результат с правой частью равенства: $3^{10} \neq 3^6$. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: неверно.

в) $5^2 \cdot 2^2 = (5 \cdot 2)^4$

Преобразуем левую и правую части равенства по отдельности.

Для левой части используем свойство умножения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$5^2 \cdot 2^2 = (5 \cdot 2)^2 = 10^2 = 100$

Для правой части выполним вычисление в скобках и возведение в степень:

$(5 \cdot 2)^4 = 10^4 = 10000$

Сравним результаты: $100 \neq 10000$. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: неверно.

г) $3^8 \cdot 3^2 = 3^5$

Для проверки этого равенства, как и в пункте б), воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применим свойство к левой части:

$3^8 \cdot 3^2 = 3^{8+2} = 3^{10}$

Теперь сравним полученный результат с правой частью равенства: $3^{10} \neq 3^5$. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: неверно.

3.312 Сравните значения выражений:

а) 3 • 2³ и (3 • 2)³;

б) 2⁴ • 2 и 2⁴;

в) (4 • 3)² и 4² • 3²;

г) 2³ • 2⁵ и 2⁸.

a)
$3 · 2^3<{\left(3 · 2\right)}^3$

$3 · 2^3 = 3 · \left(2 · 2 · 2\right) = 3 · 8 = 24$

${\left(3 · 2\right)}^3 = 6 · 6 · 6 = 36 · 6 = 216$

$24<216$

б)
$2^4 · 2>2^4$

$2^4 · 2 = (\underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2}) · 2 = 16 · 2 = 32$

$2^4 = \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} = 4 · 4 = 16$

$32>16$

в)
${\left(4 · 3\right)}^2 = 4^2 · 3^2$

${\left(4 · 3\right)}^2 = {12}^2 = 12 · 12 = 144$

$4^2 · 3^2 = \left(4 · 4\right) · \left(3 · 3\right) = 16 · 9 = 144$

$144 = 144$

г)
$2^3 · 2^5 = 2^8$

$$\begin{gathered} 2^3 · 2^5 = \left(2 · 2 · 2\right) · \left(\underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · 2\right) = \\ = 8 · \left(16 · 2\right) = 8 · 32 = 256 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2^8 = \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} = \\ = \underset{16}{4 · 4} · \underset{16}{4 · 4} = 16 · 16 = 256 \end{gathered}$$

а) Сравним выражения $3 \cdot 2^8$ и $(3 \cdot 2)^8$.
Для решения используем свойство степени произведения, которое гласит, что $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Преобразуем второе выражение: $(3 \cdot 2)^8 = 3^8 \cdot 2^8$.
Теперь задача сводится к сравнению двух выражений: $3 \cdot 2^8$ и $3^8 \cdot 2^8$.
Поскольку $2^8$ является общим положительным множителем в обоих выражениях, мы можем сравнить другие множители: $3$ и $3^8$.
Так как $8 > 1$, то $3^8$ (произведение восьми троек) очевидно больше, чем $3$ (одна тройка).
Следовательно, $3 \cdot 2^8 < 3^8 \cdot 2^8$, а это значит, что $3 \cdot 2^8 < (3 \cdot 2)^8$.
Ответ: $3 \cdot 2^8 < (3 \cdot 2)^8$.

б) Сравним выражения $2^4 \cdot 2$ и $2^4$.
Для решения используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Представим число $2$ как $2^1$ и преобразуем первое выражение:
$2^4 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2^1 = 2^{4+1} = 2^5$.
Теперь сравним $2^5$ и $2^4$.
Так как основание степени $2$ больше $1$, то чем больше показатель степени, тем больше значение. Поскольку $5 > 4$, то $2^5 > 2^4$.
Можно также вычислить значения: $2^5 = 32$, а $2^4 = 16$. Так как $32 > 16$, то $2^5 > 2^4$.
Следовательно, $2^4 \cdot 2 > 2^4$.
Ответ: $2^4 \cdot 2 > 2^4$.

в) Сравним выражения $(4 \cdot 3)^2$ и $4^2 \cdot 3^2$.
Используем свойство степени произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Применив это правило к первому выражению, мы получим: $(4 \cdot 3)^2 = 4^2 \cdot 3^2$.
Как видно, левая часть тождественно равна правой части.
Проверим это вычислением:
Левая часть: $(4 \cdot 3)^2 = 12^2 = 144$.
Правая часть: $4^2 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.
Так как $144 = 144$, выражения равны.
Ответ: $(4 \cdot 3)^2 = 4^2 \cdot 3^2$.

г) Сравним выражения $2^8 \cdot 2^5$ и $2^8$.
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Преобразуем первое выражение: $2^8 \cdot 2^5 = 2^{8+5} = 2^{13}$.
Теперь сравним $2^{13}$ и $2^8$.
Поскольку основание степени $2$ больше $1$, а показатель $13 > 8$, то значение выражения $2^{13}$ будет больше значения выражения $2^8$.
Другой способ: мы сравниваем $2^8 \cdot 2^5$ и $2^8$. Так как $2^5 = 32$, а $32 > 1$, то умножение $2^8$ на $32$ даст результат больший, чем само число $2^8$.
Следовательно, $2^8 \cdot 2^5 > 2^8$.
Ответ: $2^8 \cdot 2^5 > 2^8$.

3.313 Пользуясь таблицами квадратов и кубов чисел, найдите значение а, если:

а) 144 = a²;

б) a² = 169;

в) a² = 1 000 000;

г) 216 = a³;

д) a³ = 729.

а)
$144 = a^2$
$a^2 = {12}^2$
$a = 12$
Ответ: 12.

б)
$a^2 = 169$
$a^2 = {13}^2$
$a = 13$
Ответ: 13.

в)
$a^2 = 1000000$
$a^2 = {1000}^2$
$a = 1000$
Ответ: 1000.

г)
$216 = a^3$
$6^3 = a^3$
$a = 6$
Ответ: 6.

д)
$a^3 = 729$
$a^3 = 9^3$
$a = 9$
Ответ: 9.

а) В уравнении $144 = a^2$ переменная $a$ является основанием степени. Чтобы найти $a$, нужно извлечь квадратный корень из 144. Согласно таблице квадратов, $12^2 = 144$. Следовательно, $a=12$.

Ответ: $a=12$.

б) В уравнении $a^2 = 169$ нам нужно найти число, которое при возведении в квадрат дает 169. Для этого извлечем квадратный корень из 169. По таблице квадратов находим, что $13^2 = 169$. Значит, $a=13$.

Ответ: $a=13$.

в) Дано уравнение $a^2 = 1 000 000$. Чтобы найти $a$, необходимо извлечь квадратный корень из 1 000 000. Мы знаем, что $1000 \times 1000 = 1 000 000$, что можно записать как $1000^2$. Таким образом, $a = \sqrt{1 000 000} = 1000$.

Ответ: $a=1000$.

г) В уравнении $216 = a^3$ переменная $a$ является основанием степени, а показатель степени равен 3. Чтобы найти $a$, нужно извлечь кубический корень из 216. По таблице кубов чисел находим, что $6^3 = 216$. Следовательно, $a=6$.

Ответ: $a=6$.

д) Дано уравнение $a^3 = 729$. Для нахождения $a$ нужно найти число, которое при возведении в куб дает 729. Это операция извлечения кубического корня. Используя таблицу кубов, находим, что $9^3 = 729$. Таким образом, $a=9$.

Ответ: $a=9$.

3.314 Вычислите:

а) 4 • 10²;

б) 16 • 10⁴;

в) 9 • 10⁶;

г) 108 • 10⁷.

a)
$$\begin{gathered} 4 · {10}^2 = 4 · (10 · 10) = \\ = 4 · 100 = 400 \end{gathered}$$

б)
$$\begin{gathered} 16 · {10}^4 = 16 · (10 · 10 · 10 · 10) = \\ = 16 · 10000 = 160000 \end{gathered}$$

в)
$$\begin{gathered} 9 · {10}^6 = 9 · (10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10) = \\ = 9 · 1000000 = 9000000 \end{gathered}$$

г)
$$\begin{gathered} 108 · {10}^7 = 108 · (10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10) = \\ = 108 · 10000000 = 1080000000 \end{gathered}$$

а) Чтобы вычислить выражение $4 \cdot 10^2$, сначала найдем значение $10^2$. Возведение числа 10 во вторую степень означает умножение его само на себя: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.
Далее умножим 4 на полученный результат: $4 \cdot 100 = 400$.
Ответ: 400

б) Для вычисления выражения $16 \cdot 10^4$ необходимо найти значение $10^4$. Степень 4 означает, что число 10 умножается на себя четыре раза: $10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$. Другими словами, $10^4$ - это единица с четырьмя нулями.
Теперь умножим 16 на 10000, что эквивалентно приписыванию четырех нулей к числу 16: $16 \cdot 10000 = 160000$.
Ответ: 160000

в) Вычислим выражение $9 \cdot 10^6$. Сначала найдем значение $10^6$. Это число, состоящее из единицы и шести нулей, то есть 1 000 000.
Теперь выполним умножение: $9 \cdot 10^6 = 9 \cdot 1000000 = 9000000$.
Ответ: 9000000

г) Для вычисления выражения $108 \cdot 10^7$ найдем значение $10^7$. Это число, состоящее из единицы и семи нулей, то есть 10 000 000.
Умножение на $10^7$ эквивалентно приписыванию семи нулей к числу 108. Таким образом: $108 \cdot 10^7 = 108 \cdot 10000000 = 1080000000$.
Ответ: 1080000000

3.315 Представьте в виде суммы разрядных слагаемых числа:

а) 1 236 078;

б) 33 033 330;

в) 11 101 110 100;

г) 246 135 789 000.

a)
$$\begin{gathered} 1236078 = 1 · 1000000 + 2 · 100000 + 3 · 10000 + \\ + 6 · 1000 + 0 · 100 + 7 · 10 + 8 · 1 = \\ = 1 · {10}^6 + 2 · {10}^5 + 3 · {10}^4 + 6 · {10}^3 + 7 · 10 + 8 \end{gathered}$$

б)
$$\begin{gathered} 33033330 = 3 · 10000000 + 3 · 1000000 + \\ 0 · 100000 + 3 · 10000 + 3 · 1000 + \\ + 3 · 100 + 3 · 10 + 0 · 1 = \\ = 3 · {10}^7 + 3 · {10}^6 + 3 · {10}^4 + \\ + 3 · {10}^3 + 3 · {10}^2 + 3 · 10 \end{gathered}$$

в)
$$\begin{gathered} 11101110100 = 1 · 10000000000 + 1 · 1000000000 + \\ + 1 · 100000000 + 0 · 10000000 + 1 · 1000000 + \\ 1 · 100000 + 1 · 10000 + 0 · 1000 + 1 · 100 = \\ = 1 · {10}^{10} + 1 · {10}^9 + 1 · {10}^8 + 1 · {10}^6 \\ + 1 · {10}^5 + 1 · {10}^4 + 1 · {10}^2 \end{gathered}$$

г)
$$\begin{gathered} 246135789000 = 2 · 100000000000 + 4 · 10000000000 + \\ + 6 · 1000000000 + 1 · 100000000 + 3 · 10000000 + \\ + 5 · 1000000 + 7 · 100000 + 8 · 10000 + 9 · 1000 = \\ = 2 · {10}^{11} + 4 · {10}^{10} + 6 · {10}^9 + 1 · {10}^8 + 3 · {10}^7 + \\ + 5 · {10}^6 + 7 · {10}^5 + 8 · {10}^4 + 9 · {10}^3 \end{gathered}$$

а) Чтобы представить число в виде суммы разрядных слагаемых, необходимо определить значение каждой его цифры в зависимости от ее позиции (разряда). Для числа 1 236 078 разложение будет следующим:
- Цифра 1 находится в разряде миллионов, ее значение — $1 \cdot 1~000~000 = 1~000~000$.
- Цифра 2 находится в разряде сотен тысяч, ее значение — $2 \cdot 100~000 = 200~000$.
- Цифра 3 находится в разряде десятков тысяч, ее значение — $3 \cdot 10~000 = 30~000$.
- Цифра 6 находится в разряде тысяч, ее значение — $6 \cdot 1~000 = 6~000$.
- Цифра 0 находится в разряде сотен, ее значение — $0$. Это слагаемое можно опустить.
- Цифра 7 находится в разряде десятков, ее значение — $7 \cdot 10 = 70$.
- Цифра 8 находится в разряде единиц, ее значение — $8 \cdot 1 = 8$.
Теперь сложим все ненулевые разрядные слагаемые:
$1~236~078 = 1~000~000 + 200~000 + 30~000 + 6~000 + 70 + 8$.
Ответ: $1~236~078 = 1~000~000 + 200~000 + 30~000 + 6~000 + 70 + 8$.

б) Разложим число 33 033 330 на разрядные слагаемые:
- 3 в разряде десятков миллионов: $30~000~000$.
- 3 в разряде миллионов: $3~000~000$.
- 0 в разряде сотен тысяч: $0$.
- 3 в разряде десятков тысяч: $30~000$.
- 3 в разряде тысяч: $3~000$.
- 3 в разряде сотен: $300$.
- 3 в разряде десятков: $30$.
- 0 в разряде единиц: $0$.
Суммируем все ненулевые слагаемые:
$33~033~330 = 30~000~000 + 3~000~000 + 30~000 + 3~000 + 300 + 30$.
Ответ: $33~033~330 = 30~000~000 + 3~000~000 + 30~000 + 3~000 + 300 + 30$.

в) Представим число 11 101 110 100 в виде суммы разрядных слагаемых. Это многозначное число, разряды которого включают миллиарды.
- 1 в разряде десятков миллиардов: $10~000~000~000$.
- 1 в разряде миллиардов: $1~000~000~000$.
- 1 в разряде сотен миллионов: $100~000~000$.
- 0 в разряде десятков миллионов: $0$.
- 1 в разряде миллионов: $1~000~000$.
- 1 в разряде сотен тысяч: $100~000$.
- 1 в разряде десятков тысяч: $10~000$.
- 0 в разряде тысяч: $0$.
- 1 в разряде сотен: $100$.
- 0 в разряде десятков: $0$.
- 0 в разряде единиц: $0$.
Итоговая сумма:
$11~101~110~100 = 10~000~000~000 + 1~000~000~000 + 100~000~000 + 1~000~000 + 100~000 + 10~000 + 100$.
Ответ: $11~101~110~100 = 10~000~000~000 + 1~000~000~000 + 100~000~000 + 1~000~000 + 100~000 + 10~000 + 100$.

г) Разложим число 246 135 789 000 на разрядные слагаемые:
- 2 в разряде сотен миллиардов: $200~000~000~000$.
- 4 в разряде десятков миллиардов: $40~000~000~000$.
- 6 в разряде миллиардов: $6~000~000~000$.
- 1 в разряде сотен миллионов: $100~000~000$.
- 3 в разряде десятков миллионов: $30~000~000$.
- 5 в разряде миллионов: $5~000~000$.
- 7 в разряде сотен тысяч: $700~000$.
- 8 в разряде десятков тысяч: $80~000$.
- 9 в разряде тысяч: $9~000$.
Разряды сотен, десятков и единиц равны нулю.
Сумма разрядных слагаемых:
$246~135~789~000 = 200~000~000~000 + 40~000~000~000 + 6~000~000~000 + 100~000~000 + 30~000~000 + 5~000~000 + 700~000 + 80~000 + 9~000$.
Ответ: $246~135~789~000 = 200~000~000~000 + 40~000~000~000 + 6~000~000~000 + 100~000~000 + 30~000~000 + 5~000~000 + 700~000 + 80~000 + 9~000$.

3.316 Напишите число, представленное суммой разрядных слагаемых:

а) 10⁷ + 9 • 10⁶ + 5 • 10⁴ + 10²;

б) 6 • 10⁹ + 2 • 10⁸ + 3 • 10⁵ + 10³ + 4;

в) 9 • 10⁵ + 7 • 10⁴ + 8 • 10³ + 5 • 10;

г) 10¹⁰ + 10⁷ + 10⁴ + 10 + 1.

а)
$$\begin{gathered} {10}^7 + 9 · {10}^6 + 5 · {10}^4 + {10}^2 = \\ =10000000 + 9 · 1000000 + 5 · 10000 + 100 = \\ = 10000000 + 9000000 + 50000 + 100 = 19050100 \end{gathered}$$

б)
$$\begin{gathered} 6 · {10}^9 + 2 · {10}^8 + 3 · {10}^5 + {10}^3 + 4 = \\ = 6 · 1000000000 + 2 · 100000000 + \\ +3 · 100000 + 1000 + 4 = \\ =6000000000 + 200000000 + \\ + 300000 + 1000 + 4 =6200301004 \end{gathered}$$

в)
$$\begin{gathered} 9 · {10}^5 + 7 · {10}^4 + 8 · {10}^3 + 5 · 10 = \\ = 9 · 100000 + 7 · 10000 + 8 · 1000 + 5 · 10 = \\ =900000 + 70000 + 8000 + 50 = 978050 \end{gathered}$$

г)
$$\begin{gathered} {10}^{10} + {10}^7 + {10}^4 + 10 + 1 = \\ =10000000000 + 10000000 + \\ +10000 + 10 + 1 = 10010010011 \end{gathered}$$

а) Чтобы записать число, представленное суммой разрядных слагаемых $10^7 + 9 \cdot 10^6 + 5 \cdot 10^4 + 10^2$, нужно определить цифру для каждого разряда. Степень числа 10 указывает на разряд (место) цифры. Представим выражение в полной форме, где коэффициент при степени 10 является цифрой в соответствующем разряде. Для отсутствующих степеней 10 коэффициент равен нулю. Выражение можно переписать так: $1 \cdot 10^7 + 9 \cdot 10^6 + 0 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$. Коэффициенты при степенях 10, записанные по порядку от старшего разряда к младшему (1, 9, 0, 5, 0, 1, 0, 0), и образуют искомое число.
Ответ: 19 050 100.

б) Рассмотрим сумму $6 \cdot 10^9 + 2 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^5 + 10^3 + 4$. Старший разряд определяется слагаемым $6 \cdot 10^9$. Запишем сумму, заполнив пропущенные разряды нулями, помня, что $10^3 = 1 \cdot 10^3$ и $4 = 4 \cdot 10^0$: $6 \cdot 10^9 + 2 \cdot 10^8 + 0 \cdot 10^7 + 0 \cdot 10^6 + 3 \cdot 10^5 + 0 \cdot 10^4 + 1 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0$. Цифры числа, начиная со старшего разряда: 6, 2, 0, 0, 3, 0, 1, 0, 0, 4.
Ответ: 6 200 301 004.

в) Дана сумма $9 \cdot 10^5 + 7 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10$. Старший разряд — пятый ($10^5$). Запишем полную сумму разрядных слагаемых: $9 \cdot 10^5 + 7 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$. Коэффициенты при степенях 10 по порядку: 9, 7, 8, 0, 5, 0.
Ответ: 978 050.

г) Дана сумма $10^{10} + 10^7 + 10^4 + 10 + 1$. Старший разряд — десятый ($10^{10}$). Перепишем сумму с явными коэффициентами 1 и добавим нули для пропущенных разрядов: $1 \cdot 10^{10} + 0 \cdot 10^9 + 0 \cdot 10^8 + 1 \cdot 10^7 + 0 \cdot 10^6 + 0 \cdot 10^5 + 1 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0$. Составляем число из коэффициентов, записанных по порядку: 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1.
Ответ: 10 010 010 011.

3.317 Запишите числа, выражающие примерные массы планет, в виде а • 10ⁿ.

Чтобы записать число в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, нужно представить его как произведение числа от 1 до 10 и степени десяти. Показатель степени $n$ равен количеству разрядов, на которые нужно сдвинуть запятую в исходном числе, чтобы получить число $a$. Если запятая сдвигается влево, показатель $n$ положительный.

Меркурий

Масса Меркурия: 330 000 000 000 000 000 тт. Чтобы получить коэффициент $a$ в диапазоне $1 \le a < 10$, сдвинем запятую так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры '3'. Получим $a = 3.3$. Запятая была сдвинута на 17 позиций влево, поэтому показатель степени $n=17$.

Ответ: $3.3 \cdot 10^{17}$ тт.

Венера

Масса Венеры: 4 900 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '4', чтобы получить $a = 4.9$. Запятая была сдвинута на 18 позиций влево, значит, $n=18$.

Ответ: $4.9 \cdot 10^{18}$ тт.

Земля

Масса Земли: 6 000 000 000 000 000 000 тт. Здесь коэффициент $a = 6$. Число имеет 18 нулей после шестерки. Чтобы получить $a=6$, нужно сдвинуть запятую на 18 позиций влево. Таким образом, $n=18$.

Ответ: $6 \cdot 10^{18}$ тт.

Марс

Масса Марса: 640 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '6', чтобы получить $a = 6.4$. Запятая была сдвинута на 17 позиций влево, следовательно, $n=17$.

Ответ: $6.4 \cdot 10^{17}$ тт.

Сатурн

Масса Сатурна: 568 000 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '5', чтобы получить $a = 5.68$. Запятая была сдвинута на 20 позиций влево, поэтому $n=20$.

Ответ: $5.68 \cdot 10^{20}$ тт.

Юпитер

Масса Юпитера: 1 876 600 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '1', чтобы получить $a = 1.8766$. Запятая была сдвинута на 21 позицию влево, значит, $n=21$.

Ответ: $1.8766 \cdot 10^{21}$ тт.

Нептун

Масса Нептуна: 101 600 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '1', чтобы получить $a = 1.016$. Запятая была сдвинута на 20 позиций влево, следовательно, $n=20$.

Ответ: $1.016 \cdot 10^{20}$ тт.

Уран

Масса Урана: 87 000 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '8', чтобы получить $a = 8.7$. Запятая была сдвинута на 19 позиций влево, поэтому $n=19$.

Ответ: $8.7 \cdot 10^{19}$ тт.

6.151 Какое число:

а) на 2413 меньше 4913;

б) на 919 больше 1;

в) в 2 раза больше 37;

г) в 4 раза меньше 811?

а) Чтобы найти число, которое на $2 \frac{4}{13}$ меньше, чем $4 \frac{9}{13}$, необходимо выполнить вычитание. Вычитаем целые и дробные части по отдельности:
$4 \frac{9}{13} - 2 \frac{4}{13} = (4 - 2) + (\frac{9}{13} - \frac{4}{13}) = 2 + \frac{9 - 4}{13} = 2 + \frac{5}{13} = 2 \frac{5}{13}$.
Ответ: $2 \frac{5}{13}$.

б) Чтобы найти число, которое на $\frac{9}{19}$ больше 1, необходимо выполнить сложение:
$1 + \frac{9}{19} = 1 \frac{9}{19}$.
Ответ: $1 \frac{9}{19}$.

в) Чтобы найти число, которое в 2 раза больше $\frac{3}{7}$, необходимо выполнить умножение дроби на число:
$\frac{3}{7} \times 2 = \frac{3 \times 2}{7} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

г) Чтобы найти число, которое в 4 раза меньше $\frac{8}{11}$, необходимо выполнить деление дроби на число. Деление на число равносильно умножению на обратное ему число:
$\frac{8}{11} \div 4 = \frac{8}{11} \times \frac{1}{4} = \frac{8 \times 1}{11 \times 4} = \frac{8}{44}$.
Сократим полученную дробь на 4:
$\frac{8 \div 4}{44 \div 4} = \frac{2}{11}$.
Ответ: $\frac{2}{11}$.

6.152 Найдите число m (рис. 6.19).

а

На данном рисунке показана числовая прямая. Розовые дуги обозначают одинаковые шаги или отрезки. Первый шаг от 0 заканчивается на отметке 0,2. Это означает, что длина одного шага (цена одного деления) равна 0,2.

Чтобы найти число $m$, нужно посчитать, сколько всего шагов сделано от начальной точки 0 до точки $m$. На рисунке видно, что сделано 4 шага.

Теперь умножим количество шагов на длину одного шага, чтобы найти значение $m$:

$m = 4 \times 0,2$

$m = 0,8$

Ответ: $m = 0,8$.

б

На этой числовой прямой два шага от 0 приводят к отметке 0,06. Чтобы найти длину одного шага, нужно разделить 0,06 на количество шагов, то есть на 2:

Длина одного шага $= 0,06 \div 2 = 0,03$.

Теперь посчитаем общее количество шагов от 0 до точки $m$. На рисунке показано 6 шагов.

Чтобы найти число $m$, умножим общее количество шагов на найденную длину одного шага:

$m = 6 \times 0,03$

$m = 0,18$

Ответ: $m = 0,18$.

6.153 Верно ли утверждение: «Площади любых двух участков, заборы у которых одинаковой длины, равны»? Проиллюстрируйте свой ответ примером.

Если у любых двух участков забор имеют одинаковую длину, то периметры этих участков равны. Например,

Периметры двух участков равны, а площади не равны.

Нет, утверждение «Площади любых двух участков, заборы у которых одинаковой длины, равны» является неверным.

Длина забора, ограждающего участок, соответствует его периметру. Чтобы опровергнуть данное утверждение, достаточно привести пример двух участков, которые имеют одинаковый периметр, но разную площадь.

Рассмотрим два участка, длина забора (периметр) каждого из которых составляет 20 метров.

Участок 1: Квадрат
Пусть первый участок имеет форму квадрата. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны.Найдем сторону нашего квадрата: $a = P / 4 = 20 / 4 = 5$ метров.Площадь этого участка будет равна: $S_1 = a^2 = 5^2 = 25$ $м^2$.

Участок 2: Прямоугольник
Пусть второй участок имеет форму прямоугольника со сторонами $l = 8$ метров и $w = 2$ метра.Проверим его периметр: $P_2 = 2(l+w) = 2(8+2) = 2 \cdot 10 = 20$ метров. Периметр совпадает с периметром первого участка.Теперь найдем площадь этого участка: $S_2 = l \cdot w = 8 \cdot 2 = 16$ $м^2$.

Вывод
Мы видим, что оба участка имеют одинаковую длину забора — 20 метров. Однако их площади различны: $25$ $м^2 \neq 16$ $м^2$. Это наглядно доказывает, что исходное утверждение ложно.

Ответ: Нет, утверждение неверно. Например, квадратный участок со стороной 5 м и прямоугольный участок со сторонами 8 м и 2 м имеют одинаковую длину забора (периметр) — 20 м, но их площади не равны (25 $м^2$ и 16 $м^2$ соответственно).

6.154 Миша плывёт по реке. Продвигается ли он в каком-то направлении и если да, то с какой скоростью, если скорость течения реки 50 м/мин, а собственная скорость Миши равна:

а) 80 м/мин и он плывёт по течению;

б) 80 м/мин и он плывёт против течения;

в) 50 м/мин и он плывёт по течению;

г) 50 м/мин и он плывёт против течения?

Для решения задачи необходимо найти результирующую скорость Миши относительно берега. Эта скорость ($V$) зависит от собственной скорости Миши ($V_{соб}$) и скорости течения реки ($V_{теч}$). По условию, скорость течения реки $V_{теч} = 50$ м/мин.

• Когда Миша плывёт по течению, его скорость относительно берега равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $V = V_{соб} + V_{теч}$.
• Когда Миша плывёт против течения, его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости и скорости течения: $V = V_{соб} - V_{теч}$.

Если результирующая скорость $V$ больше нуля, значит, Миша продвигается в каком-то направлении. Если $V = 0$, он остается на месте относительно берега.

а) Собственная скорость Миши $V_{соб} = 80$ м/мин, и он плывёт по течению.
Его результирующая скорость относительно берега составляет:
$V = V_{соб} + V_{теч} = 80 \text{ м/мин} + 50 \text{ м/мин} = 130 \text{ м/мин}$.
Так как скорость больше нуля, Миша продвигается по течению.
Ответ: Да, продвигается по течению со скоростью 130 м/мин.

б) Собственная скорость Миши $V_{соб} = 80$ м/мин, и он плывёт против течения.
Его результирующая скорость относительно берега составляет:
$V = V_{соб} - V_{теч} = 80 \text{ м/мин} - 50 \text{ м/мин} = 30 \text{ м/мин}$.
Так как скорость больше нуля, Миша продвигается против течения.
Ответ: Да, продвигается против течения со скоростью 30 м/мин.

в) Собственная скорость Миши $V_{соб} = 50$ м/мин, и он плывёт по течению.
Его результирующая скорость относительно берега составляет:
$V = V_{соб} + V_{теч} = 50 \text{ м/мин} + 50 \text{ м/мин} = 100 \text{ м/мин}$.
Так как скорость больше нуля, Миша продвигается по течению.
Ответ: Да, продвигается по течению со скоростью 100 м/мин.

г) Собственная скорость Миши $V_{соб} = 50$ м/мин, и он плывёт против течения.
Его результирующая скорость относительно берега составляет:
$V = V_{соб} - V_{теч} = 50 \text{ м/мин} - 50 \text{ м/мин} = 0 \text{ м/мин}$.
Так как результирующая скорость равна нулю, Миша не продвигается относительно берега, а остается на одном месте.
Ответ: Нет, не продвигается, его скорость относительно берега равна 0 м/мин.

6.155 Собственная скорость катера 13,5 км/ч. Катер шёл 4 ч по течению реки, а затем вернулся обратно. Сколько времени затратил катер на обратный путь, если скорость течения реки равна 1,5 км/ч?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём скорость катера по течению реки.

Скорость по течению равна сумме собственной скорости катера и скорости течения реки.

$13,5 \text{ км/ч} + 1,5 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$

2. Найдём расстояние, которое проплыл катер по течению.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время.

$15 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 60 \text{ км}$

3. Найдём скорость катера против течения реки.

На обратном пути катер двигался против течения. Его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения.

$13,5 \text{ км/ч} - 1,5 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$

4. Найдём время, затраченное на обратный путь.

Расстояние на обратном пути то же самое. Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость против течения.

$t = \frac{S}{V} = \frac{60 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 5 \text{ ч}$

Ответ: 5 часов.

6.156 1) На ферме надоили 240 л молока. Из них 58 отправили на молокозавод, а остальное переработали на творог. Сколько литров молока переработали на творог?

2) С огорода собрали 270 кг картофеля. Из них 59 оставили на зиму, а остальное реализовали на рынке. Сколько килограммов картофеля реализовали на рынке?

1) На молокозавод - $\frac{5}{8}$ от 240л } 240л

На творог - ?

1) $\frac{5}{8} \cdot 240 = \frac{5 \cdot 240}{8} = \frac{5 \cdot 8 \cdot 30}{8} = 5 \cdot 30 = 150л$ - отправили на молокозавод

2) $240 - 150 = 90л$ - переработали на творог

2) На зиму - $\frac{5}{9}$ от 270кг } 270кг

На рынок - ?

1) $\frac{5}{9} \cdot 270 = \frac{5 \cdot 270}{9} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 30}{9} = 5 \cdot 30 = 150кг$ - оставили на зиму

2) $270 - 150 = 120кг$ - реализовали на рынке

Ответ:1) 90л; 2) 120кг

1)

Для решения задачи сначала определим, какая часть молока осталась после отправки на молокозавод. Если все молоко принять за $1$ (целое), а на молокозавод отправили $\frac{5}{8}$, то оставшаяся часть равна:

$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

Теперь, зная, что всего было 240 литров молока, найдем, сколько литров составляет $\frac{3}{8}$ от этого количества. Для этого умножим общее количество молока на эту дробь:

$240 \cdot \frac{3}{8} = \frac{240 \cdot 3}{8} = 30 \cdot 3 = 90$ (л)

Ответ: на творог переработали 90 литров молока.

2)

Сначала определим, какая часть картофеля была реализована на рынке. Если весь собранный картофель принять за $1$ (целое), а на зиму оставили $\frac{5}{9}$, то часть, реализованная на рынке, составляет:

$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

Теперь, зная, что всего собрали 270 кг картофеля, найдем, сколько килограммов составляет $\frac{4}{9}$ от этого количества. Для этого умножим общее количество картофеля на эту дробь:

$270 \cdot \frac{4}{9} = \frac{270 \cdot 4}{9} = 30 \cdot 4 = 120$ (кг)

Ответ: на рынке реализовали 120 килограммов картофеля.

6.157 Сравните значения выражений 42 - m или m + 7,35, если m равно 41,3; 2,649; 34,899; 17,325.

$42 - m\text{ и }m + 7\text{,35}$

Если m=41,3, то

$42 - 41\text{,3} = 0\text{,7;}$

$\text{42,0} - \text{41,3}\text{0,7}$

$41\text{,3} + 7\text{,35} = 48\text{,65}$

$\text{41,30} + \text{7,35}\text{48,65}$

Так как $0\text{,7}<48\text{,65,}$ то

$42 - m<m + 7\text{,35}$

Если m=1,649, то

$42 - 2\text{,649} = 39\text{,351}$

$\text{42,000} - \text{2,649}\text{39,351}$

$2\text{,649} + 7\text{,35} = 9\text{,999}$

$\text{2,649} + \text{7,350}\text{9,999}$

$39\text{,351}>9\text{,999}$

Если m=34,899, то

$42 - 34\text{,899} = 7\text{,101}$