Страница 103, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.221 При приготовлении яблочного сока получают 7 частей сока и 2 части жмыха (по массе). Сколько сока получится из 18 ц яблок?

Пусть x из - масса одной части, тогда 7x ц - масса сока, 2x ц - масса жмыха.
$7x + 2x = 18$
$\left(7 + 2\right)x = 18$
$9x = 18$
$x = 18 : 9$
$x = 2$
$7 · 2 = 14 \left(\mathrm{ц}\right)$
Ответ: 14ц.

Согласно условию задачи, при переработке яблок вся их масса делится на части: 7 частей сока и 2 части жмыха. Для начала найдем общее количество частей, на которые делятся яблоки.
$7 + 2 = 9$ (частей)

Это означает, что вся масса яблок, составляющая 18 центнеров (ц), эквивалентна 9 равным частям. Теперь мы можем найти, какая масса приходится на одну часть. Для этого разделим общую массу на количество частей:
$18 \text{ ц} \div 9 = 2 \text{ ц}$

Итак, масса одной части составляет 2 центнера.

Поскольку сок составляет 7 частей, для определения его массы необходимо умножить массу одной части на 7:
$2 \text{ ц} \times 7 = 14 \text{ ц}$

Ответ: из 18 ц яблок получится 14 ц сока.

3.222 Для изготовления казеинового клея берут 11 частей воды, 5 частей нашатырного спирта и 4 части казеина (по массе). Сколько граммов каждого вещества нужно взять, чтобы приготовить 720 г клея?

Пусть х г - масса одной части, тогда 11х г - масса воды, 5х г - масса нашатырного спирта, 4х г - масса казеина.
$11x + 5x + 4x = 720$
$11 + 5 + 4$
$20x = 720$
$x = 720 : 20$

$x = 36$
11 · 36 = 396 (г) - масса воды
5 · 36 = 180 (г) - масса нашатырного спирта
4 · 36 = 144 (г) - масса казеина.
Ответ: 396 г, 180 г, 144 г.

3.223 1) В блокадном Ленинграде (ныне город Санкт-Петербург) паёк хлеба, который получал военнослужащий, состоял из 6 частей ржаной муки, 2 частей целлюлозы и жмыха, 1 части отрубей и 1 части прочих примесей. Сколько граммов ржаной муки содержал паёк массой 300 г, который получал военнослужащий?

2) В блокадном Ленинграде норма хлеба на одного ребёнка была в 2 раза меньше нормы на одного рабочего завода и в 4 раза меньше нормы солдата первой линии обороны. Сколько граммов хлеба полагалось ребёнку, если буханка массой 1 кг делилась на двоих детей, одного рабочего и одного солдата первой линии обороны?

1) Пусть $x$ г – масса одной части, тогда 6x г – масса ржаной муки,2x г – масса целлюлозы и жмыха,1x г – масса отрубей, 1x г – масса прочих примесей

$6x + 2x + 1x + 1x = 300$
$(6 + 2 + 1 + 1)x = 300$
$10x = 300$
$x = 300 : 10$
$x = 30$
$\mathrm{6 · 30 = 180}\left(\mathrm{г}\right)$. – масса ржаной муки.

Ответ: 180 г.

2) Пусть х г – норма хлеба на 1 ребенка, тогда 2x г – норма хлеба на 1 рабочего завода, 4x г – норма солдата первой линии обороны Так как буханка хлеба массой 1 кг делилась на 2-х детей, 1 рабочего и 1 солдата первой линии обороны, составим уравнение:

$2 · x + 2x + 4x = 1000$
$\mathrm{1}\mathrm{кг} = 1000\mathrm{г}$
$(2 + 2 + 4)x = 1000$
$8x = 1000$
$x = 1000 : 8$
$x = 125$

Ответ: 125 г.

3.224 Мороженое «Пломбир» содержит 84 части молочных продуктов (молоко и сливки), 14 частей сахара, а 2 части составляют ванилин и желатин. Сколько нужно сахара для приготовления 5200 кг мороженого?

Пусть Х кг - масса одной части, тогда 84х кг - масса молочных продуктов, 14х кг - масса сахара, 2х кг - масса ванилина и желатина.
$84x + 14x + 2x = 5200$
$84 + 14 + 2$
$100x = 5200$
$x = 5200 : 100$
$x = 52$
$14 · 52 = 728 \text{кг}$ - масса сахара.

Ответ: 728 кг.

3.225 Катя нашла в 2 раза больше грибов, чем Петя. После того как Петя нашёл ещё 17 грибов, у ребят оказалось всего 89 грибов. Сколько грибов нашёл Петя, а сколько - Катя?

Пусть $x$ грибов первоначально нашёл Петя, тогда $2x$ грибов нашла Катя.

$\left(x + 2x\right) + 17 = 89$
$x\left(1 + 2\right) = 89 - 17$
$3x = 72$
$x = 72 : 3$
$24 + 17 = 41 (\mathrm{гр}.)$ – нашёл Петя
$2 · 24 = 48 (\mathrm{гр}.)$ – нашла Катя

Ответ: 41 гриб и 48 грибов.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество грибов, которое Петя нашёл изначально.

По условию задачи, Катя нашла в 2 раза больше грибов, чем Петя, следовательно, у Кати было $2x$ грибов.

После того как Петя нашёл ещё 17 грибов, у него стало $x + 17$ грибов. Количество грибов у Кати не изменилось. Общее количество грибов у них стало 89. Составим уравнение, которое отражает эту ситуацию:

$(\text{грибы Пети}) + (\text{грибы Кати}) = 89$

$(x + 17) + 2x = 89$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:

1. Сложим слагаемые, содержащие $x$:

$3x + 17 = 89$

2. Перенесём число 17 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$3x = 89 - 17$

$3x = 72$

3. Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{72}{3}$

$x = 24$

Таким образом, мы нашли, что Петя изначально нашёл 24 гриба.

Теперь найдём, сколько грибов нашла Катя. Мы знаем, что у неё было в 2 раза больше грибов, чем у Пети, то есть $2x$:

$2 \times 24 = 48$

Следовательно, Катя нашла 48 грибов.

Проверим полученные результаты: у Пети после того, как он нашёл ещё грибы, стало $24 + 17 = 41$ гриб. У Кати было 48 грибов. Вместе у них $41 + 48 = 89$ грибов, что соответствует условию задачи.

Ответ: Петя нашёл 24 гриба, а Катя — 48 грибов.

3.226 Составьте уравнение по числовому равенству 4 • 13 + 5 • 13 + 12 • 13 + 3 • 13 = 312, если известно, что его корень равен 13. Придумайте задачу по этому уравнению.

$4·13 + 5·13 + 12·13 + 3·13 = 312$

Известно, что корень уравнения равен 13. Значит, $x = 13$. Получим уравнение $4x + 5x + 12x + 3x = 312.$ Купили 312 г сухофруктов. Финики составляют 4 части, курага - 5 частей, изюм - 12 частей и инжир - 2 части от массы сухофруктов. Сколько граммовизюма, кураги, фиников и инжиракупили в отдельности?

Составьте уравнение по числовому равенству

Исходное числовое равенство: $4 \cdot 13 + 5 \cdot 13 + 12 \cdot 13 + 3 \cdot 13 = 312$.

В условии сказано, что корень уравнения, которое нужно составить, равен 13. Это означает, что мы должны заменить число 13 на неизвестную переменную, например, $x$. При такой замене левая часть равенства превратится в левую часть искомого уравнения.

Выполним замену:

$4 \cdot x + 5 \cdot x + 12 \cdot x + 3 \cdot x = 312$

Это и есть искомое уравнение. Для удобства его можно упростить. Вынесем общий множитель $x$ за скобки, используя распределительное свойство умножения:

$(4 + 5 + 12 + 3) \cdot x = 312$

Вычислим сумму в скобках:

$4 + 5 + 12 + 3 = 24$

В результате получаем упрощенное уравнение:

$24x = 312$

Проверим, что $x = 13$ действительно является корнем этого уравнения: $24 \cdot 13 = 312$, что верно.

Ответ: $4x + 5x + 12x + 3x = 312$ или в упрощенном виде $24x = 312$.

Придумайте задачу по этому уравнению

Текст задачи:

Для школьной библиотеки закупили книги в четырех партиях. В первой партии было 4 упаковки книг, во второй — 5 упаковок, в третьей — 12 упаковок и в четвертой — 3 упаковки. Во всех упаковках было одинаковое количество книг. Сколько книг в каждой упаковке, если всего было закуплено 312 книг?

Составление уравнения и решение:

Пусть в каждой упаковке было $x$ книг. Тогда в первой партии было $4x$ книг, во второй — $5x$ книг, в третьей — $12x$ книг, а в четвертой — $3x$ книг. Всего было закуплено $4x + 5x + 12x + 3x$ книг. По условию, это количество равно 312. Составим уравнение:

$4x + 5x + 12x + 3x = 312$

$24x = 312$

$x = 312 : 24$

$x = 13$

Значит, в каждой упаковке было по 13 книг.

Ответ: Для школьной библиотеки закупили книги в четырех партиях. В первой партии было 4 упаковки книг, во второй — 5 упаковок, в третьей — 12 упаковок и в четвертой — 3 упаковки. Во всех упаковках было одинаковое количество книг. Сколько книг в каждой упаковке, если всего было закуплено 312 книг?

3.227 Вычислите:

a) $25 · 3 = (20 + 5) · 3 =$
$= 20 · 3 + 5 · 3 =$
$= 60 + 15 = 75$

$75 : 15 = 5$

$5 + 29 = 34$

$34 : 17 = 2$

б) $15 · 4 = (10 + 5) · 4 =$
$= 10 · 4 + 5 · 4 =$
$= 40 + 20 = 60$

$60 + 16 = 76$

$76 : 19 = 4$

$4 - 4 = 0$

в) $100 : 25 = 4$

$4 · 17 = 4 · (10 + 7) =$
$= 4 · 10 + 4 · 7 =$
$= 40 + 28 = 68$

$68 : 2 = 34$

$34 + 26 = 60$

г) $16 · 3 = (10 + 6) · 3 =$
$= 10 · 3 + 6 · 3 =$
$= 30 + 18 = 48$

$48 - 12 = 36$

$36 : 12 = 3$

$3 · 23 = 3 · (20 + 3) =$
$= 3 · 20 + 3 · 3 =$
$= 60 + 9 = 69$

д) $54 : 18 = 3$

$3 + 27 = 30$

$30 : 15 = 2$

$2 · 29 = 2 · (20 + 9) =$
$= 2 · 20 + 2 · 9 =$
$= 40 + 18 = 58$

а) Выполним вычисления последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — умножение: $25 \cdot 3 = 75$.

2) Второе действие — деление: $75 : 15 = 5$.

3) Третье действие — сложение: $5 + 29 = 34$.

4) Четвертое действие — деление: $34 : 17 = 2$.

Ответ: 2

б) Выполним вычисления последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — умножение: $15 \cdot 4 = 60$.

2) Второе действие — сложение: $60 + 16 = 76$.

3) Третье действие — деление: $76 : 19 = 4$.

4) Четвертое действие — вычитание: $4 - 4 = 0$.

Ответ: 0

в) Выполним вычисления последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — деление: $100 : 25 = 4$.

2) Второе действие — умножение: $4 \cdot 17 = 68$.

3) Третье действие — деление: $68 : 2 = 34$.

4) Четвертое действие — сложение: $34 + 26 = 60$.

Ответ: 60

г) Выполним вычисления последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — умножение: $16 \cdot 3 = 48$.

2) Второе действие — вычитание: $48 - 12 = 36$.

3) Третье действие — деление: $36 : 12 = 3$.

4) Четвертое действие — умножение: $3 \cdot 23 = 69$.

Ответ: 69

д) Выполним вычисления последовательно сверху вниз:

1) Первое действие — деление: $54 : 18 = 3$.

2) Второе действие — сложение: $3 + 27 = 30$.

3) Третье действие — деление: $30 : 15 = 2$.

4) Четвертое действие — умножение: $2 \cdot 29 = 58$.

Ответ: 58

3.228 Вычислите, выбирая наиболее удобный способ:

а) 8 • 46 • 125;

б) 24 • 13 • 125;

в) 71 + 785 + 94 + 29 + 215.

а) $8 · 46 · 125 =$
$= (8 · 125) · 46 =$
$= 1000 · 46 = 46000$

б) $24 · 13 · 125 =$
$= (3 · 8) · 13 · 125 =$
$= (3 · 13) · (8 · 125) =$
$= 39 · 1000 = 39000$

в) $71 + 785 + 94 + 29 + 215 =$
$= (71 + 29) + (785 + 215) + 94 =$
$= 100 + 1000 + 94 = 1194$

а)

Чтобы вычислить $8 \cdot 46 \cdot 125$ наиболее удобным способом, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сгруппируем множители так, чтобы получить круглое число. Удобно умножить $8$ на $125$.

$8 \cdot 46 \cdot 125 = (8 \cdot 125) \cdot 46$

Вычислим произведение в скобках:

$8 \cdot 125 = 1000$

Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель:

$1000 \cdot 46 = 46000$

Ответ: $46000$

б)

В выражении $24 \cdot 13 \cdot 125$ также удобно использовать группировку. Представим множитель $24$ в виде произведения $3 \cdot 8$.

$24 \cdot 13 \cdot 125 = (3 \cdot 8) \cdot 13 \cdot 125$

Перегруппируем множители, чтобы снова использовать удобное произведение $8 \cdot 125$:

$(3 \cdot 13) \cdot (8 \cdot 125)$

Вычислим произведения в каждой паре скобок:

$3 \cdot 13 = 39$

$8 \cdot 125 = 1000$

Теперь найдем конечное произведение:

$39 \cdot 1000 = 39000$

Ответ: $39000$

в)

Чтобы вычислить сумму $71 + 785 + 94 + 29 + 215$ наиболее удобным способом, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглые числа.

$71 + 785 + 94 + 29 + 215 = (71 + 29) + (785 + 215) + 94$

Вычислим суммы в скобках:

$71 + 29 = 100$

$785 + 215 = 1000$

Теперь сложим полученные результаты с оставшимся слагаемым:

$100 + 1000 + 94 = 1100 + 94 = 1194$

Ответ: $1194$

3.229 Решите уравнение:

а) 37 = 37 + a;

б) 37 - a = 37;

в) a - 37 = 37;

г) 0 = 37 - a.

a) $37 = 37 + a$
$a = 37 - 37$
$a = 0$
Ответ: 0.

б) $37 - a = 37$
$a = 37 - 37$
$a = 0$
Ответ: 0.

в) $a - 37 = 37$
$a = 37 + 37$
$a = 74$
Ответ: 74.

г) $0 = 37 - a$
$a = 37 - 0$
$a = 37$
Ответ: 37.

а) Дано уравнение $37 = 37 + a$.

В этом уравнении a является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (37) вычесть известное слагаемое (37).

$a = 37 - 37$

$a = 0$

Проверим решение, подставив найденное значение a в исходное уравнение:

$37 = 37 + 0$

$37 = 37$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $a = 0$.

б) Дано уравнение $37 - a = 37$.

Здесь a является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (37) вычесть разность (37).

$a = 37 - 37$

$a = 0$

Проверим решение, подставив найденное значение a в исходное уравнение:

$37 - 0 = 37$

$37 = 37$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $a = 0$.

в) Дано уравнение $a - 37 = 37$.

В данном случае a является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (37) прибавить вычитаемое (37).

$a = 37 + 37$

$a = 74$

Проверим решение, подставив найденное значение a в исходное уравнение:

$74 - 37 = 37$

$37 = 37$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $a = 74$.

г) Дано уравнение $0 = 37 - a$.

Это уравнение можно переписать для удобства: $37 - a = 0$. Здесь a является неизвестным вычитаемым. Чтобы разность была равна нулю, уменьшаемое и вычитаемое должны быть равны. Следовательно, $a = 37$.

Другой способ решения — перенести -a из правой части в левую, изменив знак на противоположный:

$a = 37$

Проверим решение, подставив найденное значение a в исходное уравнение:

$0 = 37 - 37$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $a = 37$.

3.230 Подберите корни уравнения:

а) x - 234 = 3856 - 234;

б) y : 98 = 1274 : 98;

в) 2018z = 24 • 2018.

а) В уравнении $x - 234 = 3856 - 234$ мы видим, что в левой и правой частях вычитается одно и то же число ($234$). Равенство представляет собой равенство двух разностей. Если вычитаемые равны, то для сохранения равенства должны быть равны и уменьшаемые.
В левой части уменьшаемое — это $x$.
В правой части уменьшаемое — это $3856$.
Следовательно, чтобы равенство было верным, необходимо, чтобы $x$ был равен $3856$.
Проверка: $3856 - 234 = 3622$. Справа: $3856 - 234 = 3622$. Равенство $3622 = 3622$ истинно.
Ответ: $x = 3856$.

б) В уравнении $y : 98 = 1274 : 98$ левая и правая части делятся на одно и то же число ($98$). Это равенство двух частных. Если делители равны, то для сохранения равенства должны быть равны и делимые.
В левой части делимое — это $y$.
В правой части делимое — это $1274$.
Следовательно, чтобы равенство было верным, $y$ должен быть равен $1274$.
Проверка: подставив $y = 1274$, получаем $1274 : 98 = 1274 : 98$, что является верным равенством.
Ответ: $y = 1274$.

в) Уравнение $2018z = 24 \cdot 2018$ можно записать как $2018 \cdot z = 24 \cdot 2018$. В этом уравнении мы видим, что левая и правая части представляют собой произведения, содержащие одинаковый множитель ($2018$). Если один из множителей в произведениях одинаков (и не равен нулю), то для сохранения равенства должны быть равны и вторые множители.
В левой части второй множитель — это $z$.
В правой части второй множитель — это $24$.
Следовательно, $z$ должен быть равен $24$.
Проверка: $2018 \cdot 24 = 24 \cdot 2018$. Согласно переместительному свойству умножения, это равенство является верным.
Ответ: $z = 24$.

3.231 Придумайте задачу по уравнению:

а) 4a + a = 95;

б) c + c + c = c + 72;

в) 4b + 6b = 120.

а) $4a + a = 95$
В парке посадили 95 саженцев берёз и дуба, причём берёз посадили в 4 раза больше, чем дубов. Сколько саженцев берёз и саженцев дуба посадили в парке
б) $c + c + c = c + 72$
Задумали некоторое число. Сумма трёх таких чисел равна сумме задуманного числа и числа 72. Какое число задумали?
в) $4b + 6b = 120$
Для приготовления напитка берут 4 части сиропа и 6 частей воды. Сколько граммов сиропа и воды нужно взять, чтобы получить 120 г напитка?

а) Задача: В одной корзине в 4 раза больше яблок, чем в другой. Когда обе корзины с яблоками взвесили вместе, их общая масса составила 95 кг. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

Решение:
Пусть $a$ кг яблок находится в меньшей корзине. Тогда в большей корзине будет $4a$ кг яблок. Согласно условию задачи, общая масса яблок составляет 95 кг. Составим уравнение:
$4a + a = 95$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$5a = 95$
Найдем $a$, разделив обе части уравнения на 5:
$a = 95 / 5$
$a = 19$
Таким образом, в меньшей корзине 19 кг яблок.
Теперь найдем массу яблок в большей корзине:
$4a = 4 \cdot 19 = 76$
В большей корзине 76 кг яблок.
Проверка: $19 + 76 = 95$.

Ответ: В одной корзине 19 кг яблок, а в другой — 76 кг.

б) Задача: На левой чаше весов лежат 3 одинаковых пакета с мукой. На правой чаше весов лежит 1 такой же пакет с мукой и гиря массой 72 грамма. Весы находятся в равновесии. Какова масса одного пакета с мукой?

Решение:
Пусть $c$ граммов — масса одного пакета с мукой. Тогда на левой чаше весов находится масса $c + c + c$ или $3c$ граммов. На правой чаше весов находится масса $c + 72$ граммов. Поскольку весы в равновесии, массы на обеих чашах равны. Составим уравнение:
$c + c + c = c + 72$
Упростим левую часть:
$3c = c + 72$
Перенесем слагаемое $c$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$3c - c = 72$
$2c = 72$
Найдем $c$, разделив обе части уравнения на 2:
$c = 72 / 2$
$c = 36$
Проверка: $3 \cdot 36 = 108$; $36 + 72 = 108$. Равенство верное.

Ответ: Масса одного пакета с мукой составляет 36 граммов.

в) Задача: Турист шёл 4 часа до обеда и 6 часов после обеда, двигаясь с одной и той же скоростью. За весь день он прошёл 120 километров. С какой скоростью шёл турист?

Решение:
Пусть $b$ км/ч — скорость туриста. Расстояние, которое он прошёл до обеда, равно $4b$ км. Расстояние, которое он прошёл после обеда, равно $6b$ км. Общее расстояние, которое он прошёл за день, составляет 120 км. Составим уравнение:
$4b + 6b = 120$
Сложим слагаемые в левой части уравнения:
$10b = 120$
Найдем $b$, разделив обе части уравнения на 10:
$b = 120 / 10$
$b = 12$
Проверка: $4 \cdot 12 + 6 \cdot 12 = 48 + 72 = 120$. Равенство верное.

Ответ: Турист шёл со скоростью 12 км/ч.

3.232 В каких случаях может получиться число 0 в результате сложения, вычитания, умножения, деления двух чисел?

1) $a + b = 0$

В результате сложения двух чисел может получиться 0 только тогда, когда оба слагаемые равны 0, т.е. $a = b = 0$

2) $a - b = 0$

В результате вычитания двух чисел может получиться 0 только тогда, когда уменьшаемое равно вычитаемому, т.е. $a = b$

3) $a·b = 0$

В результате умножения двух чисел может получиться 0 только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, (или оба множителя равны 0) $a = 0$ или $b = 0$.

4) $a : b = 0$

В результате деления двух чисел может получиться 0 только тогда, когда делимое $a = 0.$

Сложение: Сумма двух чисел $a$ и $b$ равна нулю, если эти числа являются противоположными. Это означает, что одно число должно быть положительным, а другое — таким же по модулю, но отрицательным. Математически это записывается как $a + b = 0$, что равносильно $a = -b$.
Например:

• $5 + (-5) = 0$
• $-12.3 + 12.3 = 0$

Также, если оба числа равны нулю, их сумма будет равна нулю: $0 + 0 = 0$.
Ответ: если слагаемые являются противоположными числами.

Вычитание: Разность двух чисел $a$ и $b$ равна нулю, если эти числа равны между собой. То есть уменьшаемое должно быть равно вычитаемому. Математически это записывается как $a - b = 0$, что равносильно $a = b$.
Например:

• $7 - 7 = 0$
• $-4 - (-4) = 0$
• $0 - 0 = 0$

Ответ: если уменьшаемое равно вычитаемому.

Умножение: Произведение двух чисел $a$ и $b$ равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это одно из фундаментальных свойств нуля. Математически это записывается как $a \cdot b = 0$, что выполняется при $a = 0$ или $b = 0$.
Например:

• $25 \cdot 0 = 0$
• $0 \cdot (-8) = 0$
• $0 \cdot 0 = 0$

Ответ: если хотя бы один из множителей равен нулю.

Деление: Частное от деления двух чисел $a$ на $b$ равно нулю, если делимое ($a$) равно нулю, а делитель ($b$) не равен нулю. Деление на ноль является неопределенной операцией в математике. Математически это записывается как $a : b = 0$, что выполняется только при $a=0$ и $b \neq 0$.
Например:

• $0 : 10 = 0$
• $0 : (-1) = 0$

Выражение $0:0$ не имеет смысла (является неопределенностью).
Ответ: если делимое равно нулю, а делитель не равен нулю.

3.233 Сумма семи натуральных чисел равна произведению этих чисел. Найдите эти семь чисел. Попробуйте найти ещё решение.

1) $1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 7 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 7$
$14 = 14$

2) $1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 4$
$12 = 12$

3.234 В библиотеке за 4 дня оцифровали 23 книги. В каждый следующий день книг оцифровывали больше, чем в предыдущий, и в четвёртый день оцифровали вчетверо больше, чем в первый. Сколько книг оцифровали в каждый из этих четырёх дней?

Пусть $x$ книг оцифровали в I день, тогда в IV день оцифровали $4x$ книги.

1) Предположим, что $x = 1$, т.е. в I-ый день оцифровали $1$ книгу, тогда в IV-ый день $4 · 1 = 4$ книги оцифровали. $23-(1 + 4) = 23-5 = 18$ (кн.) оцифровали в II и III день.

По условию задачи в каждый следующий день книг оцифровывали больше, чем в предыдущий. Значит, только 2 книги могли оцифровать во II-ой день и 3 книги – в III день. $2 + 3 = 5$. Следовательно, наше предположение неверно, так как $5<18$.

2) Предположим, что $x = 2$, т.е. в I-ый день оцифровали две книги, тогда $4 · 2 = 8$ (кн.) оцифровали в IV день. 

$23-(2 + 8) = 23-10 = 13$ (кн.) оцифровали во II и III день.

По условию задачи во II и III день оцифровали больше, чем 2 и меньше, чем 8. Если во II день оцифровали 3 книги, то $13-3 = 10$ (кн.) оцифровали в III день. Это неверно, т.к. $10>8$.

Если во II день оцифровали 4 книги, то $13-4 = 9$(кн.) оцифровали в III день. Это неверно, т.к. $9>8$.

Если во II день оцифровали 5 книг, то $13-5 = 8$(кн.) оцифровали в III день. Это неверно, т.к. $8=8$.

Если во II день оцифровали 6 книг, то $13-6 = 7$(кн.) оцифровали в III день. $7<8$ - верно.

Таким образом, I день - 2 книги, II день - 6 книг, III день - 7 книги, IV день - 8 книг.

Ответ: 2 книги, 6 книги, 7 книги и 8 книги.

1 Сравните величины:

а) 0,24 кг и 240 г;

б) 5,73 м и 57,35 см;

в) 210,01 мм и 2,101 дм;

г) 2,35 га и 235 а;

д) 4 км² и 40,1 га;

е) 0,5 га и 500 а.

а) Для сравнения величин $0,24$ кг и $240$ г приведем их к одной единице измерения, например, к граммам (г). В одном килограмме (кг) содержится $1000$ граммов.
Переведем килограммы в граммы:
$0,24 \text{ кг} = 0,24 \times 1000 \text{ г} = 240 \text{ г}$.
Теперь сравним полученное значение с второй величиной:
$240 \text{ г} = 240 \text{ г}$.
Следовательно, данные величины равны.
Ответ: $0,24 \text{ кг} = 240 \text{ г}$.

б) Для сравнения величин $5,73$ м и $57,35$ см приведем их к одной единице измерения, например, к сантиметрам (см). В одном метре (м) содержится $100$ сантиметров.
Переведем метры в сантиметры:
$5,73 \text{ м} = 5,73 \times 100 \text{ см} = 573 \text{ см}$.
Теперь сравним полученное значение с второй величиной:
$573 \text{ см} > 57,35 \text{ см}$.
Следовательно, первая величина больше второй.
Ответ: $5,73 \text{ м} > 57,35 \text{ см}$.

в) Для сравнения величин $210,01$ мм и $2,101$ дм приведем их к одной единице измерения, например, к миллиметрам (мм). В одном дециметре (дм) содержится $100$ миллиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 100 \text{ мм}$).
Переведем дециметры в миллиметры:
$2,101 \text{ дм} = 2,101 \times 100 \text{ мм} = 210,1 \text{ мм}$.
Теперь сравним полученное значение с первой величиной:
$210,01 \text{ мм} < 210,1 \text{ мм}$.
Следовательно, первая величина меньше второй.
Ответ: $210,01 \text{ мм} < 2,101 \text{ дм}$.

г) Для сравнения величин $2,35$ га и $235$ а приведем их к одной единице измерения, например, к арам (а). В одном гектаре (га) содержится $100$ аров.
Переведем гектары в ары:
$2,35 \text{ га} = 2,35 \times 100 \text{ а} = 235 \text{ а}$.
Теперь сравним полученное значение с второй величиной:
$235 \text{ а} = 235 \text{ а}$.
Следовательно, данные величины равны.
Ответ: $2,35 \text{ га} = 235 \text{ а}$.

д) Для сравнения величин $4$ км? и $40,1$ га приведем их к одной единице измерения, например, к гектарам (га). Один квадратный километр (км?) равен площади квадрата со стороной $1$ км ($1000$ м). Площадь такого квадрата составляет $1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1 000 000 \text{ м}?$. Один гектар (га) равен $10 000 \text{ м}?$.
Таким образом, в одном квадратном километре содержится $1 000 000 / 10 000 = 100$ гектаров.
Переведем квадратные километры в гектары:
$4 \text{ км}? = 4 \times 100 \text{ га} = 400 \text{ га}$.
Теперь сравним полученное значение с второй величиной:
$400 \text{ га} > 40,1 \text{ га}$.
Следовательно, первая величина больше второй.
Ответ: $4 \text{ км}? > 40,1 \text{ га}$.

е) Для сравнения величин $0,5$ га и $500$ а приведем их к одной единице измерения, например, к арам (а). В одном гектаре (га) содержится $100$ аров.
Переведем гектары в ары:
$0,5 \text{ га} = 0,5 \times 100 \text{ а} = 50 \text{ а}$.
Теперь сравним полученное значение с второй величиной:
$50 \text{ а} < 500 \text{ а}$.
Следовательно, первая величина меньше второй.
Ответ: $0,5 \text{ га} < 500 \text{ а}$.

2 Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки, чтобы неравенство было верным? Запишите все возможные варианты.

а) 1,2* > 1,24;

б) 5,667 < 5,*9;

в) 1*,69 < 16,96;

г) 47,399 > 47,3*9?

а) В неравенстве $1,2* > 1,24$ сравниваются две десятичные дроби. Целые части и разряды десятых у них равны (1 и 2 соответственно). Чтобы первая дробь была больше второй, её цифра в разряде сотых, обозначенная звёздочкой, должна быть больше цифры в разряде сотых второй дроби, то есть больше 4. Таким образом, вместо звёздочки можно поставить любую цифру от 5 до 9.
Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

б) В неравенстве $5,667 < 5,*9$ целые части равны (5). Сравниваем дробные части поразрядно слева направо. В разряде десятых у первой дроби стоит 6. Если в разряде десятых второй дроби (на месте звёздочки) будет стоять цифра больше 6 (то есть 7, 8 или 9), то неравенство будет верным, так как, например, $5,667 < 5,79$. Если на месте звёздочки будет стоять цифра 6, то неравенство примет вид $5,667 < 5,69$. Оно тоже будет верным, так как в следующем разряде, разряде сотых, у второй дроби (9) стоит цифра больше, чем у первой (6). Если же на месте звёздочки будет стоять цифра меньше 6, неравенство будет неверным. Значит, подходят цифры 6, 7, 8, 9.
Ответ: 6, 7, 8, 9.

в) В неравенстве $1*,69 < 16,96$ сравниваем числа поразрядно слева направо. Разряд десятков у обоих чисел одинаков (1). Сравниваем разряд единиц. Чтобы первое число было меньше второго, цифра в разряде единиц первого числа (на месте звёздочки) должна быть меньше или равна цифре в разряде единиц второго числа (6). Если звёздочка меньше 6 (цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5), то неравенство будет верным, например, $15,69 < 16,96$. Если звёздочка равна 6, то неравенство примет вид $16,69 < 16,96$. Оно тоже будет верным, так как цифра в разряде десятых у первого числа (6) меньше, чем у второго (9). Если звёздочка будет больше 6, неравенство станет неверным. Следовательно, подходят цифры от 0 до 6.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

г) В неравенстве $47,399 > 47,3*9$ целые части (47) и разряды десятых (3) у чисел равны. Сравниваем разряды сотых. Чтобы первое число было больше второго, его цифра в разряде сотых (9) должна быть больше или, в случае равенства, следующие разряды должны определять превосходство. Если цифра на месте звёздочки меньше 9 (то есть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), то первое число уже в разряде сотых оказывается больше, и неравенство будет верным, например, $47,399 > 47,389$. Если на месте звёздочки будет стоять 9, то неравенство примет вид $47,399 > 47,399$, что неверно, так как числа равны. Таким образом, подходят все цифры, которые меньше 9.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

3 Запишите два значения а, при которых верно двойное неравенство:

а) 0,6 < а < 0,7;

б) 2,56 < а < 2,57;

в) 10,99 < а < 11;

г) 5 < а < 5,1.

а) Чтобы найти два значения $a$, удовлетворяющих двойному неравенству $0,6 < a < 0,7$, можно представить его границы с большим числом знаков после запятой. Например, запишем $0,6$ как $0,60$ и $0,7$ как $0,70$. Тогда неравенство примет вид $0,60 < a < 0,70$. Теперь легко выбрать два числа из этого промежутка, например, $0,61$ и $0,65$.
Ответ: 0,61 и 0,65.

б) Рассмотрим неравенство $2,56 < a < 2,57$. Аналогично предыдущему пункту, добавим нули в конце десятичных дробей, чтобы увеличить разрядность: $2,560 < a < 2,570$. Из этого интервала можно выбрать любые числа, например, $2,561$ и $2,562$.
Ответ: 2,561 и 2,562.

в) В неравенстве $10,99 < a < 11$ представим целое число $11$ в виде десятичной дроби $11,00$. Неравенство станет $10,99 < a < 11,00$. Чтобы было проще найти промежуточные значения, снова увеличим разрядность: $10,990 < a < 11,000$. Теперь можно выбрать, например, числа $10,991$ и $10,995$.
Ответ: 10,991 и 10,995.

г) Для неравенства $5 < a < 5,1$ представим его границы с одинаковым количеством знаков после запятой, например, с двумя: $5,00 < a < 5,10$. Из этого интервала можно выбрать, к примеру, числа $5,01$ и $5,05$.
Ответ: 5,01 и 5,05.

4 Приведите дроби к общему знаменателю:

а) 5,1 и 1,02;

б) 15,35 и 20,7;

в) 0,345 и 0,3451.

Чтобы привести десятичные дроби к общему знаменателю, нужно уравнять у них количество знаков после запятой. Для этого к дроби с меньшим количеством десятичных знаков дописывают справа нули. При этом величина дроби не изменяется. После этого десятичные дроби легко представляются в виде обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем, равным $10$, $100$, $1000$ и т.д.

а) 5,1 и 1,02;

В дроби 5,1 один знак после запятой, а в дроби 1,02 — два знака. Наибольшее количество знаков — два. Чтобы уравнять количество знаков, добавим один ноль в конец дроби 5,1:

$5,1 = 5,10$

Теперь обе дроби, 5,10 и 1,02, имеют по два знака после запятой. Это означает, что они приведены к общему знаменателю 100. Запишем их в виде обыкновенных дробей:

$5,10 = \frac{510}{100}$

$1,02 = \frac{102}{100}$

Ответ: $\frac{510}{100}$ и $\frac{102}{100}$.

б) 15,35 и 20,7;

В дроби 15,35 два знака после запятой, в дроби 20,7 — один. Наибольшее количество знаков — два. Добавим один ноль в конец дроби 20,7:

$20,7 = 20,70$

Теперь дроби 15,35 и 20,70 имеют по два знака после запятой, что соответствует общему знаменателю 100. Запишем их в виде обыкновенных дробей:

$15,35 = \frac{1535}{100}$

$20,70 = \frac{2070}{100}$

Ответ: $\frac{1535}{100}$ и $\frac{2070}{100}$.

в) 0,345 и 0,3451.

В дроби 0,345 три знака после запятой, в дроби 0,3451 — четыре. Наибольшее количество знаков — четыре. Добавим один ноль в конец дроби 0,345:

$0,345 = 0,3450$

Теперь дроби 0,3450 и 0,3451 имеют по четыре знака после запятой, что соответствует общему знаменателю 10000. Запишем их в виде обыкновенных дробей:

$0,3450 = \frac{3450}{10000}$

$0,3451 = \frac{3451}{10000}$

Ответ: $\frac{3450}{10000}$ и $\frac{3451}{10000}$.