Страница 101, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.196 С одного аэродрома одновременно в противоположных направлениях вылетели два вертолёта. Скорость одного из них равна 220 км/ч, а другого - 240 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут вертолёты через 3 ч?

(220 + 240) км/ч - скорость удаления

$(220 + 240) · 3 = 460 · 3 = 1380$(км)

Ответ: 1380 км.

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Нахождение расстояния для каждого вертолёта по отдельности

1. Сначала вычислим, какое расстояние пролетел первый вертолёт за 3 часа. Для этого умножим его скорость на время полёта.

$S_1 = 220 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 660 \text{ км}$

2. Затем вычислим расстояние, которое пролетел второй вертолёт за то же время.

$S_2 = 240 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 720 \text{ км}$

3. Поскольку вертолёты летели в противоположных направлениях, общее расстояние между ними будет равно сумме расстояний, которые пролетел каждый из них.

$S = S_1 + S_2 = 660 \text{ км} + 720 \text{ км} = 1380 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа вертолёты будут на расстоянии 1380 км друг от друга.

Способ 2: Использование скорости удаления

1. Сначала найдём скорость удаления вертолётов. Так как они движутся в противоположных направлениях от одной точки, их скорость удаления равна сумме их скоростей.

$v_{удаления} = v_1 + v_2 = 220 \text{ км/ч} + 240 \text{ км/ч} = 460 \text{ км/ч}$

2. Теперь, зная общую скорость, с которой вертолёты удаляются друг от друга, найдём расстояние между ними через 3 часа, умножив скорость удаления на время.

$S = v_{удаления} \times t = 460 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 1380 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа вертолёты будут на расстоянии 1380 км друг от друга.

3.197 Составьте задачу на движение по выражению:

а) (12 + 15) • 4;

б) 108 : (12 + 15);

в) 108 : 4 - 12.

а) $(12 + 15) · 4$

Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через 4 ч. Скорость одного велосипедиста 12 км/ч, а второго - 15 км/ч. Найти расстояние между городами.

б) $108 : (12 + 15)$

Из двух городов, расстояние между которыми 108 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Скорость одного мотоциклиста 12 км/ч, а второго - 15 км/ч. Через какое время мотоциклисты встретятся?

в) $108 : 4 - 12$

Из двух городов, расстояние между которыми 108 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Скорость одного мотоциклиста 12 км/ч. Найдите скорость второго мотоциклиста, если они встретились через 4 ч.

а)

Задача: Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух разных городов. Скорость одного велосипедиста составляет 12 км/ч, а скорость другого — 15 км/ч. Они встретились через 4 часа. Какое расстояние было между городами?

Решение:
Это задача на встречное движение. Чтобы найти искомое расстояние, нужно скорость сближения велосипедистов умножить на время их движения до встречи. Скорость сближения при движении навстречу равна сумме их скоростей. Таким образом, решение задачи соответствует выражению $(12 + 15) \cdot 4$.
1) Найдем скорость сближения велосипедистов: $12 + 15 = 27$ (км/ч).
2) Найдем расстояние между городами, умножив скорость сближения на время: $27 \cdot 4 = 108$ (км).

Ответ: 108 км.

б)

Задача: Из двух городов, расстояние между которыми 108 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость одного велосипедиста — 12 км/ч, а скорость другого — 15 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение:
Это задача на встречное движение. Чтобы найти время до встречи, нужно расстояние между городами разделить на скорость сближения велосипедистов. Скорость сближения равна сумме их скоростей. Таким образом, решение задачи соответствует выражению $108 : (12 + 15)$.
1) Найдем скорость сближения велосипедистов: $12 + 15 = 27$ (км/ч).
2) Найдем время, через которое они встретятся, разделив расстояние на скорость сближения: $108 : 27 = 4$ (ч).

Ответ: 4 часа.

в)

Задача: Из двух городов, расстояние между которыми 108 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через 4 часа. Один из велосипедистов двигался со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью двигался второй велосипедист?

Решение:
Это задача на встречное движение. Чтобы найти скорость второго велосипедиста, нужно из их общей скорости сближения вычесть скорость первого. Скорость сближения можно найти, разделив расстояние на время до встречи. Таким образом, решение задачи соответствует выражению $108 : 4 - 12$.
1) Найдем скорость сближения велосипедистов: $108 : 4 = 27$ (км/ч).
2) Найдем скорость второго велосипедиста: $27 - 12 = 15$ (км/ч).

Ответ: 15 км/ч.

3.198 Представьте в виде суммы или разности, применив распределительное свойство умножения:

а) (54 + x) • 3;

б) (y - 6) • 8;

в) 13(18 - a);

г) 31(20 + b).

а) $(54 + x) · 3 =$$54 · 3 + 3x =$$162 + 3x$

б) $(y - 6) · 8 =$$8y - 6 · 8 =$$8y - 48$

в) $13 · (18 - a) =$$13 · 18 - 13a =$$234 - 13a$

г) $31 · (20 + b) =$$31 · 20 + 31b =$$620 + 31b$

а) Для того чтобы представить выражение $(54 + x) \cdot 3$ в виде суммы, нужно применить распределительное свойство умножения относительно сложения, которое гласит: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. В нашем случае $a = 54$, $b = x$ и $c = 3$.
Применяем свойство:
$(54 + x) \cdot 3 = 54 \cdot 3 + x \cdot 3$
Вычисляем произведение $54 \cdot 3 = 162$.
Получаем сумму: $162 + 3x$.
Ответ: $162 + 3x$.

б) Чтобы представить выражение $(y - 6) \cdot 8$ в виде разности, используем распределительное свойство умножения относительно вычитания: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$. Здесь $a = y$, $b = 6$ и $c = 8$.
Применяем свойство:
$(y - 6) \cdot 8 = y \cdot 8 - 6 \cdot 8$
Вычисляем произведение $6 \cdot 8 = 48$.
Получаем разность: $8y - 48$.
Ответ: $8y - 48$.

в) Для выражения $13(18 - a)$ применяем распределительное свойство умножения относительно вычитания: $c \cdot (a - b) = c \cdot a - c \cdot b$. В данном случае $c = 13$, $a = 18$ и $b = a$.
Применяем свойство:
$13(18 - a) = 13 \cdot 18 - 13 \cdot a$
Вычисляем произведение $13 \cdot 18 = 234$.
Получаем разность: $234 - 13a$.
Ответ: $234 - 13a$.

г) Чтобы представить выражение $31(20 + b)$ в виде суммы, используем распределительное свойство умножения относительно сложения: $c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b$. Здесь $c = 31$, $a = 20$ и $b = b$.
Применяем свойство:
$31(20 + b) = 31 \cdot 20 + 31 \cdot b$
Вычисляем произведение $31 \cdot 20 = 620$.
Получаем сумму: $620 + 31b$.
Ответ: $620 + 31b$.

3.199 Найдите, при каких значениях с верно равенство:

а) 5(4 + c) = 20 + 5c;

б) (4 + 5)c = 4c + 5c;

в) (c + 8) • 5 = 7 • 5 + 8 • 5;

г) (c + 4) • 3 = 2 • 3 + 4 • 3;

д) (7 - 3)c = 7c - 3c;

е) (7 - 3)c = 7c - 3 • 6.

а) $5 · (4 + c) = 20 + 5c$

Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, получим

$5 · (4 + c) =$$5 · 4 + 5c =$$20 + 5c$

$20 + 5c = 20 + 5c$

Следовательно, равенство верно при любых значениях с.

б) $(4 + 5)c = 4c + 5c$

Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, получим

$(4 + 5)c = 4c + 5c$

$9c = 9c$

Следовательно, равенство верно при любых значениях с.

в) $(c + 8) · 5 = 7 · 5 + 8 · 5$

при $c = 7$

$(7 + 8) · 5 = 7 · 5 + 8 · 5$ - верно

Ответ: при $c = 7$

г) $(c + 4) · 3 = 2 · 3 + 4 · 3$

при $c = 2$

$(2 + 4) · 3 = 2 · 3 + 4 · 3$ - верно

Ответ: при $c = 2$.

д) $(7 - 3)c = 7c - 3c$

Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получим

$(7 - 3)c = 7c - 3c$

$4c = 4c$

Следовательно, равенство верно при любых значениях с.

е) $(7 - 3) · c = 7c - 3 · 6$

при $c = 6$

$(7 - 3) · 6 = 7 · 6 - 3 · 6$ - верно

Ответ: при $c = 6$.

а) $5(4 + c) = 20 + 5c$
Чтобы определить, при каких значениях c верно данное равенство, раскроем скобки в левой части, используя распределительное свойство умножения: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
$5 \cdot 4 + 5 \cdot c = 20 + 5c$
$20 + 5c = 20 + 5c$
Мы получили тождество, то есть равенство, в котором левая часть полностью совпадает с правой. Такое равенство верно при любом значении переменной $c$.
Ответ: равенство верно при любом значении $c$.

б) $(4 + 5)c = 4c + 5c$
Данное равенство является примером распределительного свойства умножения относительно сложения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Чтобы убедиться в этом, упростим обе части.
Упростим левую часть, выполнив сложение в скобках:
$(4 + 5)c = 9c$
Упростим правую часть, сложив подобные слагаемые:
$4c + 5c = (4+5)c = 9c$
Получаем тождество: $9c = 9c$.
Следовательно, равенство верно при любом значении переменной $c$.
Ответ: равенство верно при любом значении $c$.

в) $(c + 8) \cdot 5 = 7 \cdot 5 + 8 \cdot 5$
Упростим обе части уравнения, чтобы найти значение $c$.
Раскроем скобки в левой части: $(c + 8) \cdot 5 = c \cdot 5 + 8 \cdot 5 = 5c + 40$.
Вычислим значение правой части: $7 \cdot 5 + 8 \cdot 5 = 35 + 40 = 75$.
Теперь приравняем полученные выражения и решим уравнение:
$5c + 40 = 75$
$5c = 75 - 40$
$5c = 35$
$c = \frac{35}{5}$
$c = 7$
Ответ: равенство верно при $c = 7$.

г) $(c + 4) \cdot 3 = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 3$
Упростим обе части уравнения.
Левая часть: $(c + 4) \cdot 3 = c \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 3c + 12$.
Правая часть: $2 \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 6 + 12 = 18$.
Приравняем левую и правую части:
$3c + 12 = 18$
Решим полученное уравнение:
$3c = 18 - 12$
$3c = 6$
$c = \frac{6}{3}$
$c = 2$
Ответ: равенство верно при $c = 2$.

д) $(7 - 3)c = 7c - 3c$
Это равенство является примером распределительного свойства умножения относительно вычитания: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$. Проверим это, упростив обе части.
Упростим левую часть: $(7 - 3)c = 4c$.
Упростим правую часть: $7c - 3c = (7-3)c = 4c$.
Мы получили тождество $4c = 4c$, которое верно для любого значения $c$.
Ответ: равенство верно при любом значении $c$.

е) $(7 - 3)c = 7c - 3 \cdot 6$
Упростим обе части уравнения для нахождения $c$.
Левая часть: $(7 - 3)c = 4c$.
Правая часть: $7c - 3 \cdot 6 = 7c - 18$.
Приравняем полученные выражения:
$4c = 7c - 18$
Решим уравнение. Перенесем слагаемые с $c$ в одну сторону, а числа в другую:
$18 = 7c - 4c$
$18 = 3c$
$c = \frac{18}{3}$
$c = 6$
Ответ: равенство верно при $c = 6$.

3.200 Запишите в виде произведения выражение:

а) 47a + 13a;

б) 34y + бy;

в) x + 61x;

г) t + 65t;

д) 47p — 27p;

е) 92g - 90g;

ж) 102l - l;

з) 10 000k - k.

а) $47a + 13a = (47 + 13)a = 60a$

б) $34y + 6y = (34 + 6)y = 40y$

в) $x + 61x = (1 + 61)x = 62x$

г) $t + 65t = (1 + 65)t = 66t$

д) $47p - 27p = (47 - 27)p = 20p$

е) $92g - 90g = (92 - 90)g = 2g$

ж) $102l - l = (102 - 1)l = 101l$

з) $10000k - k = (10000 - 1)k = 9999k$

а) Чтобы записать выражение $47a + 13a$ в виде произведения, необходимо вынести общий множитель $a$ за скобки, используя распределительный закон умножения относительно сложения:
$47a + 13a = (47 + 13)a$
Теперь выполним сложение числовых коэффициентов в скобках:
$47 + 13 = 60$
Таким образом, получаем произведение:
$60a$
Ответ: $60a$.

б) В выражении $34y + 6y$ общим множителем является переменная $y$. Вынесем ее за скобки:
$34y + 6y = (34 + 6)y$
Сложим коэффициенты в скобках:
$34 + 6 = 40$
В результате получаем произведение:
$40y$
Ответ: $40y$.

в) В выражении $x + 61x$ следует помнить, что слагаемое $x$ имеет коэффициент 1, то есть $x = 1x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x + 61x = (1 + 61)x$
Сложим числа в скобках:
$1 + 61 = 62$
Итоговое произведение:
$62x$
Ответ: $62x$.

г) Аналогично предыдущему примеру, в выражении $t + 65t$ слагаемое $t$ можно записать как $1t$. Вынесем общий множитель $t$:
$t + 65t = (1 + 65)t$
Сложим коэффициенты:
$1 + 65 = 66$
Получаем произведение:
$66t$
Ответ: $66t$.

д) В выражении $47p - 27p$ вынесем общий множитель $p$ за скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания:
$47p - 27p = (47 - 27)p$
Выполним вычитание в скобках:
$47 - 27 = 20$
Получаем произведение:
$20p$
Ответ: $20p$.

е) Для выражения $92g - 90g$ вынесем за скобки общий множитель $g$:
$92g - 90g = (92 - 90)g$
Вычтем числа в скобках:
$92 - 90 = 2$
В результате получаем:
$2g$
Ответ: $2g$.

ж) В выражении $102l - l$ вычитаемое $l$ имеет коэффициент 1. Вынесем общий множитель $l$ за скобки:
$102l - l = (102 - 1)l$
Выполним вычитание:
$102 - 1 = 101$
Итоговое произведение:
$101l$
Ответ: $101l$.

з) В выражении $10 000k - k$ вычитаемое $k$ имеет коэффициент 1. Выносим общий множитель $k$ за скобки:
$10 000k - k = (10 000 - 1)k$
Найдем разность в скобках:
$10 000 - 1 = 9999$
Получаем произведение:
$9999k$
Ответ: $9999k$.

3.201 Масса чашки a г, а масса блюдца b г. Что означает выражение:

а) 12a + 12b;

б) 12(a + b);

в) 10b - 10a?

а) $12a + 12b$ - общая масса 12 чашек и 12 блюдец, где 12а - масса 12 чешек; 12b - масса 12 блюдец.

б) $12(a + b)$ - общая масса 12 ящиков и 12 блюдец, где a + b - масса чашки и блюдца вместе.

в) $10b - 10a$ - на сколько граммов масса 10 блюдец больше, чем масса 10 ящиков

По условию задачи, масса одной чашки составляет $a$ граммов, а масса одного блюдца — $b$ граммов. Проанализируем каждое выражение, чтобы понять его физический смысл.

а)

Выражение $12a$ представляет собой общую массу двенадцати чашек (масса одной чашки $a$, умноженная на количество чашек 12).

Выражение $12b$ представляет собой общую массу двенадцати блюдец (масса одного блюдца $b$, умноженная на количество блюдец 12).

Следовательно, сумма $12a + 12b$ — это общая масса 12 чашек и 12 блюдец вместе.

Ответ: Выражение $12a + 12b$ означает общую массу 12 чашек и 12 блюдец.

б)

Сумма в скобках, $a + b$, представляет собой массу одного комплекта, состоящего из одной чашки и одного блюдца (одной чайной пары).

Умножение этой суммы на 12, то есть выражение $12(a + b)$, означает общую массу двенадцати таких комплектов.

Стоит отметить, что, используя распределительный закон умножения, можно раскрыть скобки: $12(a + b) = 12a + 12b$. Это показывает, что выражения в пунктах а) и б) математически эквивалентны и означают одно и то же.

Ответ: Выражение $12(a + b)$ означает общую массу 12 чайных пар (комплектов из чашки и блюдца).

в)

Выражение $10b$ представляет собой общую массу десяти блюдец.

Выражение $10a$ представляет собой общую массу десяти чашек.

Разность $10b - 10a$ показывает, на сколько граммов общая масса 10 блюдец больше общей массы 10 чашек. Это можно также представить как $10(b - a)$, то есть разница в массе между одним блюдцем и одной чашкой, умноженная на 10.

Ответ: Выражение $10b - 10a$ означает, на сколько граммов масса 10 блюдец больше массы 10 чашек.

3.202 а) Из двух деревень, расстояние между которыми 26 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два автобуса. Какое расстояние будет между ними через 3 ч, если первый автобус проезжает x км за час, а второй — y км за час? Составьте выражение по условию задачи.

б) Два друга одновременно вышли из дома навстречу друг другу. Какое расстояние будет между ними через 2 мин, если первый проходил x м в минуту, второй — y м в минуту, а расстояние между домами 800 м?

$(x + y)$ км/ч - скорость удаления;

$3(x + y)$ км - расстояние, которое прошли автобусы за 3 ч;

$3(x + y) + 26$ - расстояние между автобусами.

(2х) м прошёл один друг;

(2у) м прошёл второй друг;

$800 - (2x + 2y)$ - расстояние между ними через 2 мин.

Для решения этой задачи необходимо найти общее расстояние, которое будет разделять автобусы через 3 часа. Оно складывается из трех частей: начального расстояния между деревнями, расстояния, пройденного первым автобусом, и расстояния, пройденного вторым автобусом, так как они движутся в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга.

1. Найдем расстояние, которое проехал первый автобус за 3 часа. Его скорость равна $x$ км/ч, следовательно, за 3 часа он проедет:
$S_1 = 3 \cdot x = 3x$ км.

2. Найдем расстояние, которое проехал второй автобус за 3 часа. Его скорость равна $y$ км/ч, следовательно, за 3 часа он проедет:
$S_2 = 3 \cdot y = 3y$ км.

3. Теперь найдем итоговое расстояние между автобусами. Оно равно сумме начального расстояния (26 км) и расстояний, пройденных каждым автобусом. Составим выражение:

$S_{итог} = 26 + S_1 + S_2 = 26 + 3x + 3y$ км.

Ответ: Выражение для нахождения расстояния между автобусами через 3 часа: $26 + 3x + 3y$ км.

В этой задаче друзья движутся навстречу друг другу, поэтому расстояние между ними будет сокращаться. Чтобы найти, какое расстояние будет между ними через 2 минуты, нужно из начального расстояния вычесть сумму расстояний, которые пройдет каждый из друзей за это время.

1. Найдем расстояние, которое прошел первый друг за 2 минуты. Его скорость равна $x$ м/минуту, следовательно, за 2 минуты он пройдет:
$S_1 = 2 \cdot x = 2x$ м.

2. Найдем расстояние, которое прошел второй друг за 2 минуты. Его скорость равна $y$ м/минуту, следовательно, за 2 минуты он пройдет:
$S_2 = 2 \cdot y = 2y$ м.

3. Расстояние, на которое они сблизятся, равно сумме пройденных ими расстояний: $S_{сближения} = S_1 + S_2 = 2x + 2y$ м.

4. Итоговое расстояние между друзьями будет равно начальному расстоянию (800 м) минус расстояние сближения. Составим выражение:

$S_{итог} = 800 - (S_1 + S_2) = 800 - (2x + 2y)$ м.

Ответ: Расстояние между друзьями через 2 минуты будет равно $800 - (2x + 2y)$ м.

3.203 Чему равно значение выражения:

а) 57a + 43a при a = 321; 998;

б) 381p - 181p при p = 59; 623?

а) $57a + 43a = (57 + 43)a = 100a$

при $a = 321$, $100 · 321 = 32100$

при $a = 998$, $100 · 998 = 99800$

б) $381p - 181p = (381 - 181)p = 200p$

при $p = 59$, $200 · 59 =$$200 · (60 - 1) =$$200 · 60 - 200 · 1 =$$12000 - 200 = 11800$

при $p = 623$, $200 · 623 =$$200 · (600 + 23) =$$200 · 600 + 200 · 23 =$$120000 + 4600 = 124600$

а) Чтобы найти значение выражения $57a + 43a$, сначала упростим его. Для этого воспользуемся распределительным свойством умножения (вынесем общий множитель $a$ за скобки):
$57a + 43a = (57 + 43)a = 100a$
Теперь вычисления станут проще. Подставим поочередно значения $a$ в упрощенное выражение.
1. Если $a = 321$, то значение выражения равно:
$100 \times 321 = 32100$
2. Если $a = 998$, то значение выражения равно:
$100 \times 998 = 99800$
Ответ: при $a = 321$ значение равно 32100; при $a = 998$ значение равно 99800.

б) Чтобы найти значение выражения $381p - 181p$, также сначала упростим его, вынеся общий множитель $p$ за скобки:
$381p - 181p = (381 - 181)p = 200p$
Теперь подставим заданные значения $p$ в упрощенное выражение.
1. Если $p = 59$, то значение выражения равно:
$200 \times 59 = 11800$
2. Если $p = 623$, то значение выражения равно:
$200 \times 623 = 124600$
Ответ: при $p = 59$ значение равно 11800; при $p = 623$ значение равно 124600.

3.204 Чему равно значение выражения:

а) $24x + 24y = 24(x + y),$ если $x = 32,$ $y = 8$ то $24 · (32 + 8) = 960;$

б) $13a - 13b = 13(a - b),$ если $a = 407,$ $b = 207,$ то $13 · (407 - 207) = 13 · 200 = 2600.$

а) Чтобы найти значение выражения $24x + 24y$, если $x = 32$ и $y = 8$, удобно сначала вынести общий множитель за скобки. В данном случае общий множитель — это 24.

Применим распределительный закон умножения относительно сложения:

$24x + 24y = 24 \cdot (x + y)$

Теперь подставим числовые значения $x$ и $y$ в полученное выражение:

$24 \cdot (32 + 8)$

Сначала выполним действие в скобках:

$32 + 8 = 40$

Затем выполним умножение:

$24 \cdot 40 = 960$

Ответ: 960

б) Чтобы найти значение выражения $13a - 13b$, если $a = 407$ и $b = 207$, также вынесем общий множитель за скобки. Общий множитель здесь — это 13.

Применим распределительный закон умножения относительно вычитания:

$13a - 13b = 13 \cdot (a - b)$

Теперь подставим числовые значения $a$ и $b$ в полученное выражение:

$13 \cdot (407 - 207)$

Сначала выполним действие в скобках:

$407 - 207 = 200$

Затем выполним умножение:

$13 \cdot 200 = 2600$

Ответ: 2600

3.205 Найдите корень уравнения:

а) 6a + 6a = 636;

б) 15b - 8b = 721;

в) 9t + t = 7000;

г) 10s - s = 540;

д) l + 3l + 6l = 1800;

е) 5t + 4t - t = 7200.

а) $6a + 6a = 636$

Для решения уравнения сначала упростим левую часть, сложив подобные слагаемые (выражения с одинаковой переменной $a$):
$(6 + 6)a = 636$
$12a = 636$
Теперь, чтобы найти неизвестный множитель $a$, разделим произведение (636) на известный множитель (12):
$a = 636 : 12$
$a = 53$
Ответ: $53$

б) $15b - 8b = 721$

Упростим левую часть уравнения, выполнив вычитание подобных слагаемых:
$(15 - 8)b = 721$
$7b = 721$
Чтобы найти корень уравнения $b$, разделим обе части уравнения на 7:
$b = 721 : 7$
$b = 103$
Ответ: $103$

в) $9t + t = 7000$

Упростим левую часть уравнения. Выражение $t$ эквивалентно $1t$.
$(9 + 1)t = 7000$
$10t = 7000$
Найдем $t$, разделив обе части уравнения на 10:
$t = 7000 : 10$
$t = 700$
Ответ: $700$

г) $10s - s = 540$

Упростим левую часть, помня, что $s$ это то же самое, что и $1s$:
$(10 - 1)s = 540$
$9s = 540$
Найдем корень уравнения $s$, разделив обе части на 9:
$s = 540 : 9$
$s = 60$
Ответ: $60$

д) $l + 3l + 6l = 1800$

Сложим все подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(1 + 3 + 6)l = 1800$
$10l = 1800$
Найдем $l$, разделив обе части уравнения на 10:
$l = 1800 : 10$
$l = 180$
Ответ: $180$

е) $5t + 4t - t = 7200$

Упростим левую часть, выполнив сложение и вычитание подобных слагаемых:
$(5 + 4 - 1)t = 7200$
$8t = 7200$
Найдем корень уравнения $t$, разделив обе части на 8:
$t = 7200 : 8$
$t = 900$
Ответ: $900$

3.206 При каком значении буквы:

а) выражение 9z меньше 5z на 68;

б) выражение 27p больше 9p на 126;

в) разность 25c и 15c равна 12 120;

г) сумма 2x и 9x равна 5533?

а) Условие "выражение 9z меньше 5z на 68" означает, что разность между 5z и 9z равна 68. Составим и решим уравнение:

$5z - 9z = 68$

Упростим левую часть:

$-4z = 68$

Найдем z:

$z = 68 \div (-4)$

$z = -17$

Проверка: при $z = -17$, выражение $9z = 9 \cdot (-17) = -153$, а выражение $5z = 5 \cdot (-17) = -85$. Разница: $-85 - (-153) = -85 + 153 = 68$. Выражение 9z действительно меньше 5z на 68.

Ответ: $z = -17$.

б) Условие "выражение 27p больше 9p на 126" означает, что разность между 27p и 9p равна 126. Составим и решим уравнение:

$27p - 9p = 126$

Упростим левую часть:

$18p = 126$

Найдем p:

$p = 126 \div 18$

$p = 7$

Проверка: при $p = 7$, выражение $27p = 27 \cdot 7 = 189$, а выражение $9p = 9 \cdot 7 = 63$. Разница: $189 - 63 = 126$. Выражение 27p действительно больше 9p на 126.

Ответ: $p = 7$.

в) Согласно условию, разность выражений 25c и 15c равна 12 120. Составим уравнение:

$25c - 15c = 12120$

Выполним вычитание в левой части:

$10c = 12120$

Найдем c:

$c = 12120 \div 10$

$c = 1212$

Проверка: $25 \cdot 1212 - 15 \cdot 1212 = (25-15) \cdot 1212 = 10 \cdot 1212 = 12120$.

Ответ: $c = 1212$.

г) Согласно условию, сумма выражений 2x и 9x равна 5533. Составим уравнение:

$2x + 9x = 5533$

Сложим слагаемые в левой части:

$11x = 5533$

Найдем x:

$x = 5533 \div 11$

$x = 503$

Проверка: $2 \cdot 503 + 9 \cdot 503 = (2+9) \cdot 503 = 11 \cdot 503 = 5533$.

Ответ: $x = 503$.

Теперь решим задачу, представленную на схеме. На схеме изображен отрезок AC, общая длина которого равна 102 см. Этот отрезок состоит из двух частей: AB длиной $6t$ см и BC длиной $11t$ см. Сумма длин частей равна длине целого отрезка. Составим и решим уравнение для нахождения $t$:

$6t + 11t = 102$

Упростим левую часть уравнения:

$17t = 102$

Найдем $t$:

$t = 102 \div 17$

$t = 6$

Проверка: длина отрезка AB равна $6 \cdot 6 = 36$ см, длина отрезка BC равна $11 \cdot 6 = 66$ см. Сумма длин: $36 + 66 = 102$ см, что соответствует общей длине отрезка AC.

Ответ: $t = 6$.

3.207 Запишите равенство и найдите, при каких значениях буквы это равенство верно:

а) разность 84a и 75a равна 108;

б) сумма 6d и 2d равна 96;

в) z меньше, чем 4z, на 72;

г) 28m на 43 меньше, чем 211;

д) 9k вдвое больше, чем 216;

е) 45 в 16 раз меньше 10q.

а)

Запишем равенство, исходя из условия: разность чисел $84a$ и $75a$ равна 108. Это означает, что $84a - 75a = 108$.

Сначала упростим левую часть уравнения, выполнив вычитание подобных слагаемых:

$(84 - 75)a = 108$

$9a = 108$

Теперь, чтобы найти значение $a$, разделим обе части уравнения на 9:

$a = 108 / 9$

$a = 12$

Ответ: $a=12$.

б)

Запишем равенство: сумма $6d$ и $2d$ равна 96. Это можно записать в виде уравнения $6d + 2d = 96$.

Сложим подобные слагаемые в левой части:

$(6 + 2)d = 96$

$8d = 96$

Чтобы найти $d$, разделим обе части уравнения на 8:

$d = 96 / 8$

$d = 12$

Ответ: $d=12$.

в)

Условие "$z$ меньше, чем $4z$, на 72" означает, что разность между $4z$ и $z$ составляет 72. Составим уравнение:

$4z - z = 72$

Упростим левую часть уравнения:

$3z = 72$

Найдем $z$, разделив обе части на 3:

$z = 72 / 3$

$z = 24$

Ответ: $z=24$.

г)

Условие "$28m$ на 43 меньше, чем 211" означает, что если к $28m$ прибавить 43, получится 211. Запишем уравнение:

$28m + 43 = 211$

Чтобы найти $28m$, вычтем 43 из обеих частей уравнения:

$28m = 211 - 43$

$28m = 168$

Теперь найдем $m$, разделив 168 на 28:

$m = 168 / 28$

$m = 6$

Ответ: $m=6$.

д)

Условие "$9k$ вдвое больше, чем 216" означает, что $9k$ равно 216, умноженному на 2. Запишем уравнение:

$9k = 216 \times 2$

Вычислим правую часть:

$9k = 432$

Чтобы найти $k$, разделим 432 на 9:

$k = 432 / 9$

$k = 48$

Ответ: $k=48$.

е)

Условие "45 в 16 раз меньше $10q$" означает, что $10q$ в 16 раз больше, чем 45. Составим уравнение:

$10q = 45 \times 16$

Вычислим произведение в правой части:

$10q = 720$

Найдем $q$, разделив обе части уравнения на 10:

$q = 720 / 10$

$q = 72$

Ответ: $q=72$.

3.208 Найдите длину каждого отрезка на рисунке 3.13, составив уравнение.

AB + BC = AC
AB = 6t см
BC = 11t см
AC = 102 см

$6t + 11t = 102$
$(6 + 11) · t = 102$
$17t = 102$
$t = 102 : 17$

$t = 6$

$AB = 6 · 6 = 36$(см)
$BC = 11 · 6 = 66$(см).

Ответ: 36 см и 66 см.

Согласно рисунку, отрезок AC состоит из двух отрезков: AB и BC. Длина всего отрезка AC равна сумме длин его частей. Из условия задачи известно:

Длина отрезка AB = $6t$ см.

Длина отрезка BC = $11t$ см.

Длина отрезка AC = $102$ см.

Для нахождения длин отрезков AB и BC составим уравнение, основываясь на том, что сумма их длин равна общей длине отрезка AC:

$AB + BC = AC$

$6t + 11t = 102$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение переменной $t$.

Сначала упростим левую часть уравнения, сложив слагаемые с $t$:

$17t = 102$

Далее, чтобы найти $t$, разделим обе части уравнения на 17:

$t = 102 \div 17$

$t = 6$

Теперь, когда мы нашли значение $t$, мы можем вычислить длину каждого из отрезков.

Длина отрезка AB

Подставим найденное значение $t=6$ в выражение для длины отрезка AB, которое равно $6t$:

$AB = 6 \times t = 6 \times 6 = 36$ см.

Ответ: 36 см.

Длина отрезка BC

Аналогично, подставим значение $t=6$ в выражение для длины отрезка BC, которое равно $11t$:

$BC = 11 \times t = 11 \times 6 = 66$ см.

Ответ: 66 см.

3.209 Периметр прямоугольника на рисунке 3.14 равен 374дм. Найдите его стороны.

$(4t + 7t) · 2 = 374$
$4t + 7t = 374 : 2$

$(4 + 7) · t = 374$
$11t = 187$
$t = 187 : 17$

$t = 17$

$4 · 17 = 68$(дм)
$7 · 17 = 119$(дм)

Ответ: 68 дм, 119 дм.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Согласно данным на рисунке, их длины выражены через переменную $t$:

$a = 4t$ дм

$b = 7t$ дм

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию задачи, периметр $P$ равен 374 дм. Мы можем составить уравнение, подставив выражения для сторон в формулу периметра:

$2(4t + 7t) = 374$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $t$.

Сначала сложим слагаемые в скобках:

$2(11t) = 374$

Затем умножим:

$22t = 374$

Найдем $t$, разделив обе части уравнения на 22:

$t = \frac{374}{22}$

$t = 17$

Теперь, когда мы нашли значение $t$, мы можем вычислить длины сторон прямоугольника.

Длина первой стороны: $a = 4t = 4 \cdot 17 = 68$ дм.

Длина второй стороны: $b = 7t = 7 \cdot 17 = 119$ дм.

Для проверки можно снова вычислить периметр с найденными сторонами:

$P = 2(68 + 119) = 2(187) = 374$ дм, что соответствует условию задачи.

Ответ: стороны прямоугольника равны 68 дм и 119 дм.

6.54 Запишите в виде десятичной дроби частное:

а) 2003 : 10;

б) 29 : 1000;

в) 5 : 100;

г) 13 590 : 1000;

д) 3806 : 100.

а) Чтобы разделить натуральное число на 10, нужно в этом числе отделить запятой одну цифру справа. Это эквивалентно переносу запятой, которая у целого числа находится в конце, на один знак влево.
$2003 : 10 = 200,3$.
Ответ: 200,3

б) Чтобы разделить натуральное число на 1000, нужно перенести запятую на три знака влево. В числе 29 всего две цифры, поэтому для переноса запятой на три знака нужно дописать перед ним один ноль, поставить запятую и дописать еще один ноль для целой части.
$29 : 1000 = 0,029$.
Ответ: 0,029

в) Чтобы разделить натуральное число на 100, нужно перенести запятую на два знака влево. В числе 5 всего одна цифра, поэтому для переноса запятой на два знака нужно дописать перед ним один ноль, поставить запятую и дописать еще один ноль для целой части.
$5 : 100 = 0,05$.
Ответ: 0,05

г) Чтобы разделить натуральное число на 1000, нужно перенести запятую на три знака влево. В числе 13 590 переносим запятую на три знака влево.
$13590 : 1000 = 13,590$.
Ноль в конце дробной части десятичной дроби можно отбросить, поэтому результат равен $13,59$.
Ответ: 13,59

д) Чтобы разделить натуральное число на 100, нужно перенести запятую на два знака влево. В числе 3806 переносим запятую на два знака влево.
$3806 : 100 = 38,06$.
Ответ: 38,06

6.55 а) Найдите скорость движения теплохода, если скорость течения реки 5 км/ч, собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде) 31 км/ч и теплоход идёт вниз по реке.

б) Найдите скорость движения катера, если скорость течения 4 км/ч, а собственная скорость катера 16 км/ч и катер идёт вверх по реке.

a) $V\text{течения} = 5\text{км/ч}$

$V\text{собственная} = 31\text{км/ч}$

Так как теплоход идёт вниз по реке, то скорость движения теплохода равна скорости по течению.

$V\text{по течению} = V\text{собственная} + V\text{течения} = 31 + 5 = 36\text{(км/ч)}$

Ответ: 36 км/ч

б) $V\text{течения} = 4\text{км/ч}$

$V\text{собственная} = 16\text{км/ч}$

Так как катер идёт вверх по реке, то скорость движения катера равна скорости против течения.

$V\text{против течения} = V\text{собственная} - V\text{течения} = 16 - 4 = 12\text{(км/ч)}$

Ответ: 12 км/ч

а) Когда теплоход идёт вниз по реке, его скорость складывается из его собственной скорости (скорости в стоячей воде) и скорости течения реки. Это называется скоростью по течению.

Дано:

• Собственная скорость теплохода ($v_{соб}$) = 31 км/ч
• Скорость течения реки ($v_{теч}$) = 5 км/ч

Скорость движения теплохода вниз по реке ($v_{по\;теч}$) находится по формуле:

$v_{по\;теч} = v_{соб} + v_{теч}$

Подставим числовые значения:

$v_{по\;теч} = 31 + 5 = 36$ (км/ч)

Ответ: 36 км/ч

б) Когда катер идёт вверх по реке, течение мешает его движению, поэтому его скорость (относительно берега) уменьшается на величину скорости течения. Это называется скоростью против течения.

Дано:

• Собственная скорость катера ($v_{соб}$) = 16 км/ч
• Скорость течения реки ($v_{теч}$) = 4 км/ч

Скорость движения катера вверх по реке ($v_{против\;теч}$) находится по формуле:

$v_{против\;теч} = v_{соб} - v_{теч}$

Подставим числовые значения:

$v_{против\;теч} = 16 - 4 = 12$ (км/ч)

Ответ: 12 км/ч

6.56 1) Катер шёл с постоянной собственной скоростью сначала 3 ч вверх по реке, а затем 2 ч по озеру. Какое расстояние прошёл катер, если его скорость по озеру была 15 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч?

2) Теплоход шёл с постоянной собственной скоростью сначала 4 ч вниз по реке, а затем 2 ч по озеру. Какое расстояние прошёл теплоход, если его скорость по озеру была 25 км/ч, а скорость течения реки — 2 км/ч?

1)

Для решения задачи нам нужно найти общее расстояние, которое прошёл катер. Оно складывается из расстояния, пройденного по реке, и расстояния, пройденного по озеру.

1. Скорость катера по озеру — это его собственная скорость, так как в озере нет течения.
Собственная скорость катера ($v_{соб}$) = 15 км/ч.

2. Катер шёл вверх по реке, то есть против течения. Его скорость при движении против течения ($v_{против}$) равна разности собственной скорости и скорости течения реки ($v_{теч}$).
$v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = 15 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$.

3. Найдём расстояние, которое катер прошёл вверх по реке за 3 часа. Расстояние ($S$) равно произведению скорости на время ($t$).
$S_{вверх} = v_{против} \times t_{вверх} = 12 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 36$ км.

4. Найдём расстояние, которое катер прошёл по озеру за 2 часа.
$S_{озеро} = v_{соб} \times t_{озеро} = 15 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 30$ км.

5. Найдём общее расстояние, сложив расстояние, пройденное по реке, и расстояние, пройденное по озеру.
$S_{общ} = S_{вверх} + S_{озеро} = 36 \text{ км} + 30 \text{ км} = 66$ км.

Ответ: 66 км.

2)

Для решения второй задачи найдём общее расстояние, которое прошёл теплоход. Оно, как и в первом случае, состоит из двух частей: пути по реке и пути по озеру.

1. Скорость теплохода по озеру является его собственной скоростью.
Собственная скорость теплохода ($v_{соб}$) = 25 км/ч.

2. Теплоход шёл вниз по реке, то есть по течению. Его скорость при движении по течению ($v_{по}$) равна сумме собственной скорости и скорости течения реки ($v_{теч}$).
$v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = 25 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 27 \text{ км/ч}$.

3. Найдём расстояние, которое теплоход прошёл вниз по реке за 4 часа.
$S_{вниз} = v_{по} \times t_{вниз} = 27 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 108$ км.

4. Найдём расстояние, которое теплоход прошёл по озеру за 2 часа.
$S_{озеро} = v_{соб} \times t_{озеро} = 25 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 50$ км.

5. Найдём общее расстояние, которое прошёл теплоход.
$S_{общ} = S_{вниз} + S_{озеро} = 108 \text{ км} + 50 \text{ км} = 158$ км.

Ответ: 158 км.

6.57 Разложите число по разрядным слагаемым:

а) 7031;

б) 13 781 903;

в) 9000;

г) 136 000 200.

а) Чтобы разложить число 7031 по разрядным слагаемым, необходимо представить его в виде суммы произведений каждой цифры на её разрядное значение.
Цифра 7 находится в разряде тысяч, ее значение $7 \times 1000 = 7000$.
Цифра 0 находится в разряде сотен, ее значение $0 \times 100 = 0$.
Цифра 3 находится в разряде десятков, ее значение $3 \times 10 = 30$.
Цифра 1 находится в разряде единиц, ее значение $1 \times 1 = 1$.
Складывая ненулевые разрядные слагаемые, получаем разложение числа:
$7031 = 7000 + 30 + 1$.
Ответ: $7031 = 7000 + 30 + 1$.

б) Разложим число 13 781 903 по разрядным слагаемым. Для этого определим значение каждой цифры в числе:
1 — десятки миллионов ($1 \times 10\,000\,000 = 10\,000\,000$)
3 — единицы миллионов ($3 \times 1\,000\,000 = 3\,000\,000$)
7 — сотни тысяч ($7 \times 100\,000 = 700\,000$)
8 — десятки тысяч ($8 \times 10\,000 = 80\,000$)
1 — единицы тысяч ($1 \times 1\,000 = 1\,000$)
9 — сотни ($9 \times 100 = 900$)
0 — десятки ($0 \times 10 = 0$)
3 — единицы ($3 \times 1 = 3$)
Суммируем все ненулевые разрядные слагаемые:
$13\,781\,903 = 10\,000\,000 + 3\,000\,000 + 700\,000 + 80\,000 + 1\,000 + 900 + 3$.
Ответ: $13\,781\,903 = 10\,000\,000 + 3\,000\,000 + 700\,000 + 80\,000 + 1\,000 + 900 + 3$.

в) Разложим число 9000.
В этом числе только одна ненулевая цифра — 9. Она находится в разряде тысяч, и ее разрядное значение равно $9 \times 1000 = 9000$.
Все остальные разряды (сотни, десятки, единицы) равны нулю, поэтому их разрядные слагаемые равны 0 и в сумму не записываются.
Таким образом, разложение числа 9000 состоит из одного слагаемого, равного самому числу.
$9000 = 9000$.
Ответ: $9000 = 9000$.

г) Разложим число 136 000 200 по разрядным слагаемым.
Определим значения ненулевых цифр:
1 — сотни миллионов ($1 \times 100\,000\,000 = 100\,000\,000$)
3 — десятки миллионов ($3 \times 10\,000\,000 = 30\,000\,000$)
6 — единицы миллионов ($6 \times 1\,000\,000 = 6\,000\,000$)
2 — сотни ($2 \times 100 = 200$)
Разряды сотен тысяч, десятков тысяч, тысяч, десятков и единиц равны нулю.
Складываем ненулевые разрядные слагаемые:
$136\,000\,200 = 100\,000\,000 + 30\,000\,000 + 6\,000\,000 + 200$.
Ответ: $136\,000\,200 = 100\,000\,000 + 30\,000\,000 + 6\,000\,000 + 200$.

6.58 Найдите сумму:

а) $\frac{8}{13} + \frac{3}{13} = \frac{8 + 3}{13} = \frac{11}{13}$

б) $\frac{31}{60} + \frac{29}{60} = \frac{31 + 29}{60} = \frac{60}{60} = 1$

в) $18 + \frac{4}{19} = 18\frac{4}{19}$

г) $23 + \frac{9}{10} = 23\frac{9}{10} = \mathrm{23,9}$

д) $2\frac{7}{9} + \frac{8}{9} = 2 + \frac{7}{9} + \frac{8}{9} = 2 + \frac{15}{9}$
$= 2 + 1\frac{6}{9} = 2 + 1 + \frac{6}{9} = 3 + \frac{3 · 2}{3 · 3} = 3\frac{2}{3}$

е) $15\frac{8}{11} + 4\frac{3}{11} = 15 + \frac{8}{11} + 4 + \frac{3}{11}$
$= 19 + \frac{11}{11} = 19 + 1 = 20$

ж) $4\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{2} + 3 + \frac{1}{4} = 7 + \frac{1 · 2}{2 · 2} + \frac{1}{4}$
$= 7 + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = 7 + \frac{3}{4} = 7\frac{3}{4}$

з) $5\frac{1}{7} + 3\frac{20}{21} = 5 + \frac{1}{7} + 3 + \frac{20}{21} = 8 + \frac{1 · 3}{7 · 3} + \frac{20}{21}$
$= 8 + \frac{3}{21} + \frac{20}{21} = 8 + \frac{23}{21} = 8 + 1\frac{2}{21} = 9\frac{2}{21}$

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. $ \frac{8}{13} + \frac{3}{13} = \frac{8+3}{13} = \frac{11}{13} $. Ответ: $ \frac{11}{13} $

б) Складываем дроби с одинаковыми знаменателями. Сумма числителей равна $ 31 + 29 = 60 $. Знаменатель остается прежним. $ \frac{31}{60} + \frac{29}{60} = \frac{31+29}{60} = \frac{60}{60} = 1 $. Ответ: $ 1 $

в) Сумма целого числа и правильной дроби записывается в виде смешанного числа, где целое число является целой частью, а дробь — дробной. $ 18 + \frac{4}{19} = 18\frac{4}{19} $. Ответ: $ 18\frac{4}{19} $

г) Аналогично предыдущему примеру, складываем целое число и правильную дробь. $ 23 + \frac{9}{10} = 23\frac{9}{10} $. Ответ: $ 23\frac{9}{10} $

д) Складываем смешанное число и дробь. Можно сложить дробные части, а целую часть оставить без изменений. $ \frac{7}{9} + \frac{8}{9} = \frac{7+8}{9} = \frac{15}{9} $. Так как получилась неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $ \frac{15}{9} = 1\frac{6}{9} $. Сократим дробную часть на 3: $ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $. Значит, $ \frac{15}{9} = 1\frac{2}{3} $. Теперь прибавим это к целой части исходного числа: $ 2 + 1\frac{2}{3} = 3\frac{2}{3} $. Ответ: $ 3\frac{2}{3} $

е) Чтобы сложить два смешанных числа, можно отдельно сложить их целые части и отдельно — дробные. Сумма целых частей: $ 15 + 4 = 19 $. Сумма дробных частей: $ \frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{8+3}{11} = \frac{11}{11} = 1 $. Теперь сложим полученные результаты: $ 19 + 1 = 20 $. Ответ: $ 20 $

ж) Складываем смешанные числа с разными знаменателями. Сначала сложим целые части: $ 4 + 3 = 7 $. Затем сложим дробные части: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $. Приведем дроби к общему знаменателю 4: $ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} $. Сложим дроби: $ \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $. Теперь сложим целую и дробную части: $ 7 + \frac{3}{4} = 7\frac{3}{4} $. Ответ: $ 7\frac{3}{4} $

з) Складываем смешанные числа с разными знаменателями. Сумма целых частей: $ 5 + 3 = 8 $. Сумма дробных частей: $ \frac{1}{7} + \frac{20}{21} $. Общий знаменатель — 21. Приведем дробь $ \frac{1}{7} $ к этому знаменателю: $ \frac{1}{7} = \frac{1 \times 3}{7 \times 3} = \frac{3}{21} $. Сложим дроби: $ \frac{3}{21} + \frac{20}{21} = \frac{23}{21} $. Выделим целую часть из неправильной дроби: $ \frac{23}{21} = 1\frac{2}{21} $. Теперь сложим полученные результаты: $ 8 + 1\frac{2}{21} = 9\frac{2}{21} $. Ответ: $ 9\frac{2}{21} $

6.59 Найдите разность:

а) Чтобы найти разность смешанных чисел с одинаковыми знаменателями, вычтем отдельно их целые и дробные части. Целые части: $7 - 1 = 6$. Дробные части: $\frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$. Результат: $6 + \frac{1}{5} = 6\frac{1}{5}$.
$7\frac{3}{5} - 1\frac{2}{5} = (7 - 1) + (\frac{3}{5} - \frac{2}{5}) = 6 + \frac{1}{5} = 6\frac{1}{5}$.
Ответ: $6\frac{1}{5}$.

б) Вычитаем отдельно целые и дробные части, так как знаменатели одинаковы. Целые части: $28 - 7 = 21$. Дробные части: $\frac{6}{13} - \frac{1}{13} = \frac{5}{13}$. Результат: $21 + \frac{5}{13} = 21\frac{5}{13}$.
$28\frac{6}{13} - 7\frac{1}{13} = (28 - 7) + (\frac{6}{13} - \frac{1}{13}) = 21 + \frac{5}{13} = 21\frac{5}{13}$.
Ответ: $21\frac{5}{13}$.

в) Чтобы вычесть дробь из целого числа, "займем" единицу у целого числа и представим ее в виде дроби с нужным знаменателем. $6 = 5 + 1 = 5 + \frac{5}{5} = 5\frac{5}{5}$.
Теперь выполним вычитание: $5\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 5 + (\frac{5}{5} - \frac{2}{5}) = 5 + \frac{3}{5} = 5\frac{3}{5}$.
Ответ: $5\frac{3}{5}$.

г) Поступаем аналогично предыдущему примеру. "Займем" единицу у 21 и представим ее в виде дроби со знаменателем 9. $21 = 20 + 1 = 20 + \frac{9}{9} = 20\frac{9}{9}$.
Вычитаем: $20\frac{9}{9} - \frac{5}{9} = 20 + (\frac{9}{9} - \frac{5}{9}) = 20 + \frac{4}{9} = 20\frac{4}{9}$.
Ответ: $20\frac{4}{9}$.

д) В этом случае дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{4}{7}$). Необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого. $4\frac{1}{7} = 3 + 1 + \frac{1}{7} = 3 + \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = 3\frac{8}{7}$.
Теперь вычитаем: $3\frac{8}{7} - 1\frac{4}{7} = (3 - 1) + (\frac{8}{7} - \frac{4}{7}) = 2 + \frac{4}{7} = 2\frac{4}{7}$.
Ответ: $2\frac{4}{7}$.

е) Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{5}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{4}{5}$). "Займем" единицу у 12. $12\frac{2}{5} = 11 + 1 + \frac{2}{5} = 11 + \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = 11\frac{7}{5}$.
Выполняем вычитание: $11\frac{7}{5} - 1\frac{4}{5} = (11 - 1) + (\frac{7}{5} - \frac{4}{5}) = 10 + \frac{3}{5} = 10\frac{3}{5}$.
Ответ: $10\frac{3}{5}$.

ж) У дробей разные знаменатели. Сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 4 это 4. $4\frac{1}{2} = 4\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 4\frac{2}{4}$.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполняем вычитание: $4\frac{2}{4} - 3\frac{1}{4} = (4 - 3) + (\frac{2}{4} - \frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4}$.
Ответ: $1\frac{1}{4}$.

з) Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 21 это 21. $5\frac{1}{7} = 5\frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = 5\frac{3}{21}$.
Получаем выражение: $5\frac{3}{21} - 3\frac{20}{21}$. Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, поэтому "займем" единицу у целой части. $5\frac{3}{21} = 4 + 1 + \frac{3}{21} = 4 + \frac{21}{21} + \frac{3}{21} = 4\frac{24}{21}$.
Теперь вычитаем: $4\frac{24}{21} - 3\frac{20}{21} = (4 - 3) + (\frac{24}{21} - \frac{20}{21}) = 1 + \frac{4}{21} = 1\frac{4}{21}$.
Ответ: $1\frac{4}{21}$.

6.60 1) Из посёлка вышел турист со скоростью 5 км/ч. Через 3 ч из того же посёлка вслед за ним выехал турист на самокате со скоростью 8 км/ч. Через сколько часов после выхода второго туриста они встретятся?

2) Автомобиль выехал из города со скоростью 50 км/ч. Через 2 ч из этого же города в том же направлении выехал другой автомобиль со скоростью 70 км/ч. Через сколько часов после выезда второго автомобиля они встретятся?

1)

Это задача на движение вдогонку. Чтобы её решить, нужно выполнить несколько шагов.

1. Сначала определим, какое расстояние успел пройти первый турист за 3 часа, пока второй турист еще не начал движение. Для этого умножим скорость первого туриста на время его движения:

$S = v \cdot t = 5 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 15 \text{ км}$

Таким образом, в момент, когда второй турист на самокате начал движение, первый турист был впереди на 15 км.

2. Теперь найдем скорость сближения. Поскольку второй турист догоняет первого, их скорость сближения будет равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 8 \text{ км/ч} - 5 \text{ км/ч} = 3 \text{ км/ч}$

Каждый час расстояние между туристами сокращается на 3 км.

3. Чтобы найти время, через которое второй турист догонит первого, нужно разделить начальное расстояние между ними на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{15 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 5 \text{ ч}$

Ответ: через 5 часов после выхода второго туриста они встретятся.

2)

Эта задача решается аналогичным способом.

1. Найдем расстояние, которое проехал первый автомобиль за 2 часа до выезда второго автомобиля. Это его преимущество в расстоянии (фора):

$S = v \cdot t = 50 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 100 \text{ км}$

Когда второй автомобиль выехал, первый уже был на 100 км впереди.

2. Определим скорость сближения автомобилей. Так как они едут в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 70 \text{ км/ч} - 50 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$

Это означает, что второй автомобиль догоняет первый со скоростью 20 км/ч.

3. Найдем время, которое потребуется второму автомобилю, чтобы догнать первый. Для этого разделим расстояние между ними на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{100 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 5 \text{ ч}$

Ответ: через 5 часов после выезда второго автомобиля они встретятся.

6.61 Сравните числа:

а) 6,563 и 6,589;

б) 18,705 и 18,69;

в) 27,199 и 27,2;

г) 7,601 и 7,602;

д) 5,48 и 5,5;

е) 3,84 и 0,1.

а) $\mathrm{6,563}<\mathrm{6,589}$

б) $\mathrm{18,705}>\mathrm{18,69}$, так как $\mathrm{18,705}$ и $\mathrm{18,690}$ - уравняли число цифр после запятой и сравнили как натуральные числа $18705>18690$

в) $\mathrm{27,199}<\mathrm{27,2}$, так как $\mathrm{27,199}$ и $\mathrm{27,200}$ - уравняли число цифр после запятой и сравнили как натуральные числа $27199<27200$

г) $\mathrm{7,601}<\mathrm{7,602}$

д) $\mathrm{5,48}<\mathrm{5,5}$, так как $\mathrm{5,48}$ и $\mathrm{5,50}$ - уравняли число цифр после запятой и сравнили как натуральные числа $548<550$

е) $\mathrm{3,84}>\mathrm{0,1}$

а) Для сравнения десятичных дробей $6,563$ и $6,589$ сначала сравниваем их целые части. В обоих случаях целая часть равна 6. Поскольку целые части равны, переходим к сравнению дробных частей поразрядно, слева направо.
- Разряд десятых: у обоих чисел равен 5.
- Разряд сотых: у числа $6,563$ он равен 6, а у числа $6,589$ — 8.
Поскольку $6 < 8$, то и число $6,563$ меньше числа $6,589$.
Ответ: $6,563 < 6,589$

б) Сравниваем числа $18,705$ и $18,69$. Целые части у них одинаковые и равны 18.
Переходим к сравнению дробных частей. Сравниваем цифры в разряде десятых: у числа $18,705$ это 7, а у числа $18,69$ это 6.
Так как $7 > 6$, то первое число больше второго. Дальнейшее сравнение младших разрядов не требуется.
Ответ: $18,705 > 18,69$

в) Сравниваем $27,199$ и $27,2$. Целые части равны 27.
Сравниваем разряды десятых: у первого числа 1, у второго 2.
Поскольку $1 < 2$, то первое число меньше второго.
Для наглядности можно уравнять количество знаков после запятой, дописав нули: $27,2 = 27,200$. Теперь сравниваем $27,199$ и $27,200$. Очевидно, что $27,199 < 27,200$.
Ответ: $27,199 < 27,2$

г) Сравниваем $7,601$ и $7,602$. Целые части равны 7.
Сравниваем дробные части поразрядно:
- Разряд десятых: у обоих чисел 6.
- Разряд сотых: у обоих чисел 0.
- Разряд тысячных: у первого числа 1, у второго 2.
Так как $1 < 2$, то $7,601$ меньше, чем $7,602$.
Ответ: $7,601 < 7,602$

д) Сравниваем $5,48$ и $5,5$. Целые части равны 5.
Сравниваем разряд десятых: у числа $5,48$ это 4, а у числа $5,5$ это 5.
Поскольку $4 < 5$, то первое число меньше второго.
Можно также привести числа к одинаковому числу знаков после запятой: $5,5 = 5,50$. Сравнивая $5,48$ и $5,50$, видим, что $5,48 < 5,50$.
Ответ: $5,48 < 5,5$

е) Сравниваем числа $3,84$ и $0,1$. В этом случае достаточно сравнить их целые части.
У числа $3,84$ целая часть равна 3.
У числа $0,1$ целая часть равна 0.
Так как $3 > 0$, то первое число больше второго.
Ответ: $3,84 > 0,1$

6.62 Какие цифры можно поставить вместо знака вопроса, чтобы неравенство было верным:

а) 0,?4 > 0,14;

б) 0,2? < 0,27;

в) 2,64 > 2,?8;

г) 7,91 < 7,?1;

д) 42,?3 > 42,52;

е) 0,0001 < 0,00?1?

а) Чтобы неравенство $0,?4 > 0,14$ было верным, нужно сравнить числа по разрядам слева направо. Целые части у чисел равны (0). Далее сравниваем разряд десятых. В левом числе это неизвестная цифра, а в правом — 1. Чтобы число слева было больше, его цифра в разряде десятых должна быть больше, чем у числа справа. Если мы поставим цифру 1, то получится $0,14 > 0,14$, что неверно. Значит, нужно поставить любую цифру, которая больше 1.
Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

б) В неравенстве $0,2? < 0,27$ целые части и разряды десятых у чисел совпадают. Чтобы неравенство было верным, цифра в разряде сотых у левого числа должна быть меньше, чем у правого, то есть меньше 7.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

в) В неравенстве $2,64 > 2,?8$ целые части равны (2). Сравниваем разряды десятых. У левого числа в разряде десятых стоит 6, у правого — неизвестная цифра. Чтобы левое число было больше, его цифра в разряде десятых должна быть больше или равна цифре правого числа. Если мы подставим 6, получим $2,64 > 2,68$, что неверно. Значит, цифра на месте знака вопроса должна быть строго меньше 6.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

г) В неравенстве $7,91 < 7,?1$ целые части равны (7). Сравниваем разряды десятых. У левого числа это 9, у правого — неизвестная цифра. Чтобы левое число было меньше, цифра в разряде десятых у правого числа должна быть больше 9. Но цифры больше 9 не существует. Если же мы подставим 9, то получим $7,91 < 7,91$, что неверно, так как числа равны. Следовательно, не существует такой цифры, чтобы неравенство стало верным.
Ответ: таких цифр не существует.

д) В неравенстве $42,?3 > 42,52$ целые части равны (42). Сравниваем разряды десятых. У левого числа это неизвестная цифра, у правого — 5. Чтобы левое число было больше, его цифра в разряде десятых должна быть больше или равна 5. Если мы подставим 5, получим $42,53 > 42,52$, что верно, так как $3 > 2$. Если мы подставим цифру больше 5, например 6, то получим $42,63 > 42,52$, что также верно. Значит, подходят цифры 5 и все, что больше 5.
Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

е) В неравенстве $0,0001 < 0,00?1?$ мы ищем цифру для красного знака вопроса, который стоит в разряде тысячных. Сравним разряды тысячных у обоих чисел: у левого числа это 0, у правого — неизвестная цифра. Если на место вопроса поставить любую цифру от 1 до 9, то число справа станет заведомо больше, так как, например, $0,001... > 0,000...$. Если же поставить 0, то неравенство примет вид $0,0001 < 0,0001?$. Его истинность будет зависеть от второй неизвестной цифры (черного знака вопроса). Чтобы неравенство было верным при любой цифре на месте второго знака вопроса, нужно, чтобы первая неизвестная цифра была больше 0.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

6.63 Напишите два числа, меньшие:

а) 0,01;

б) 0,000001.

а)

Требуется найти два числа, меньших 0,01. Число, меньшее данного положительного числа, будет находиться левее его на числовой прямой. Существует бесконечно много таких чисел. Мы можем найти их, например, уменьшив значение в значащем разряде или добавив значащую цифру в более младшем разряде.

1. Один из способов — разделить исходное число на любое число, большее единицы. Например, разделим 0,01 на 2:

$0,01 : 2 = 0,005$

Поскольку $0,005 < 0,01$, это число нам подходит.

2. Другой способ — взять число, у которого первая значащая цифра находится в разряде, расположенном правее, чем у исходного числа. У числа 0,01 первая значащая цифра '1' стоит в разряде сотых. Возьмем число, у которого первая значащая цифра стоит в разряде тысячных, например, 0,009.

Сравним поразрядно 0,010 и 0,009. В разряде сотых у первого числа стоит 1, а у второго 0. Так как $0 < 1$, то $0,009 < 0,01$.

Таким образом, мы нашли два числа, меньшие 0,01.

Ответ: 0,005 и 0,009.

б)

Аналогично найдем два числа, меньших 0,000001. Это число представляет собой одну миллионную, или $10^{-6}$.

1. Возьмем число, которое в 10 раз меньше исходного. Для этого сдвинем запятую на один знак вправо, добавив ноль после запятой:

$0,000001 : 10 = 0,0000001$

Число 0,0000001 (одна десятимиллионная) меньше, чем 0,000001 (одна миллионная).

2. Возьмем другое число, которое также будет меньше исходного, например, половину от 0,000001.

$0,000001 : 2 = 0,0000005$

Сравнивая 0,000001 и 0,0000005, видим, что в разряде миллионных у первого числа стоит 1, а у второго 0, значит, $0,0000005 < 0,000001$.

Таким образом, мы нашли два числа, меньшие 0,000001.

Ответ: 0,0000001 и 0,0000005.

6.64 Отметьте на координатной прямой точки A(0,6), B(1,4), C(1,9), если единичный отрезок равен десяти клеткам тетради.

$O$

$A$

$\mathrm{0,6}$

$1$

$B$

$\mathrm{1,4}$

$C$

$\mathrm{1,9}$

$2$

Для того чтобы отметить указанные точки на координатной прямой, воспользуемся заданным масштабом: единичный отрезок равен 10 клеткам. Это означает, что расстояние на прямой между целыми числами, например, от 0 до 1 или от 1 до 2, составляет 10 клеток.

Сначала необходимо подготовить координатную прямую. Начертите прямую, выберите на ней точку начала отсчета (0). Отсчитайте 10 клеток вправо и поставьте отметку «1». Отсчитайте еще 10 клеток вправо от отметки «1» (то есть 20 клеток от 0) и поставьте отметку «2».

Далее рассчитаем, на каком расстоянии в клетках от начала координат нужно отметить каждую точку. Для этого координату точки умножаем на масштаб (10 клеток).

A(0,6)

Координата точки A равна 0,6. Чтобы найти ее положение в клетках от начала координат, умножим координату на 10: $0,6 \times 10 = 6$ клеток. Следовательно, точку A следует отметить на расстоянии 6 клеток вправо от точки 0.

B(1,4)

Координата точки B равна 1,4. Рассчитаем ее положение в клетках от начала координат: $1,4 \times 10 = 14$ клеток. Таким образом, точка B находится на расстоянии 14 клеток вправо от точки 0. Это также можно найти, отсчитав 4 клетки вправо от отметки «1».

C(1,9)

Координата точки C равна 1,9. Рассчитаем ее положение в клетках от начала координат: $1,9 \times 10 = 19$ клеток. Таким образом, точка C находится на расстоянии 19 клеток вправо от точки 0. Это также можно найти, отсчитав 9 клеток вправо от отметки «1» (или 1 клетку влево от отметки «2»).

Ответ: На координатной прямой, где единичный отрезок равен 10 клеткам, точки располагаются следующим образом: точка A(0,6) – на 6-й клетке от начала координат, точка B(1,4) – на 14-й клетке от начала координат, точка C(1,9) – на 19-й клетке от начала координат.

6.65 Разложите по разрядным слагаемым числа 181 008 и 345 813 745.

Разложение числа по разрядным слагаемым — это представление числа в виде суммы произведений его цифр на соответствующие разрядные единицы (1, 10, 100, 1000 и т.д.).

Разложение числа 181 008

Чтобы разложить число 181 008, определим значение каждой его цифры в зависимости от её позиции (разряда):

• Цифра 1 находится в разряде сотен тысяч, её значение $1 \times 100~000 = 100~000$.
• Цифра 8 находится в разряде десятков тысяч, её значение $8 \times 10~000 = 80~000$.
• Цифра 1 находится в разряде единиц тысяч, её значение $1 \times 1~000 = 1~000$.
• Цифры 0 в разрядах сотен и десятков в сумму не вносят вклада.
• Цифра 8 находится в разряде единиц, её значение $8 \times 1 = 8$.

Сложив значения всех разрядов, получаем разложение числа:

$181~008 = 100~000 + 80~000 + 1~000 + 8$.

Ответ: $181~008 = 100~000 + 80~000 + 1~000 + 8$.

Разложение числа 345 813 745

Аналогично разложим число 345 813 745. Оно состоит из следующих разрядных слагаемых:

• 3 сотни миллионов: $3 \times 100~000~000 = 300~000~000$.
• 4 десятка миллионов: $4 \times 10~000~000 = 40~000~000$.
• 5 единиц миллионов: $5 \times 1~000~000 = 5~000~000$.
• 8 сотен тысяч: $8 \times 100~000 = 800~000$.
• 1 десяток тысяч: $1 \times 10~000 = 10~000$.
• 3 единицы тысяч: $3 \times 1~000 = 3~000$.
• 7 сотен: $7 \times 100 = 700$.
• 4 десятка: $4 \times 10 = 40$.
• 5 единиц: $5 \times 1 = 5$.

Сумма этих слагаемых дает искомое разложение:

$345~813~745 = 300~000~000 + 40~000~000 + 5~000~000 + 800~000 + 10~000 + 3~000 + 700 + 40 + 5$.

Ответ: $345~813~745 = 300~000~000 + 40~000~000 + 5~000~000 + 800~000 + 10~000 + 3~000 + 700 + 40 + 5$.