Страница 95, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.148 Заполните таблицу.

Могут ли быть другие случаи деления с остатком с делимым 58 и неполным частным 3?

1) x - делитель

$58 : x = 3$(ост. 13)
$58 = 3x + 13$
$3x = 58 - 13$
$3x = 45$
$x = 45 : 3$
$x = 15$

2) x - делитель

$58 : x = 3$(ост. 10)
$58 = 3x + 10$
$3x = 58 - 10$
$3x = 48$
$x = 48 : 3$
$x = 16$

3) Будем увеличивать на 1 делитель до тех пор, пока неполное частное будет оставаться число 3.

$b = 17$
$58 : 17 = 3$(ост. 7)

Заполните таблицу.

Для решения задачи воспользуемся основной формулой деления с остатком: $a = b \cdot q + r$. В этой формуле a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, а r — остаток. Ключевым условием является то, что остаток всегда неотрицателен и строго меньше делителя: $0 \le r < b$.

Согласно условию, во всех случаях делимое $a = 58$ и неполное частное $q = 3$. Подставив эти значения в формулу, получим: $58 = b \cdot 3 + r$.

Из этого уравнения можно выразить делитель b через остаток r: $3b = 58 - r$ $b = \frac{58 - r}{3}$

Заполнение первого и второго столбцов:

Для первого столбца дан остаток $r = 13$. Найдем соответствующий делитель b: $b = \frac{58 - 13}{3} = \frac{45}{3} = 15$. Проверим выполнение условия $r < b$: $13 < 15$. Условие выполнено. Таким образом, в первой пустой ячейке должно стоять число 15.

Для второго столбца дан остаток $r = 10$. Найдем делитель b: $b = \frac{58 - 10}{3} = \frac{48}{3} = 16$. Проверим условие $r < b$: $10 < 16$. Условие выполнено. Во второй пустой ячейке должно стоять число 16.

Заполнение остальных столбцов:

Чтобы заполнить остальные столбцы, нам нужно найти все возможные пары (b, r). Из формулы $b = \frac{58 - r}{3}$ видно, что для целочисленности b необходимо, чтобы разность $(58 - r)$ была кратна 3. Число 58 при делении на 3 дает в остатке 1 (так как $58 = 19 \cdot 3 + 1$). Следовательно, чтобы разность $(58 - r)$ делилась на 3, остаток r также должен давать 1 при делении на 3.

Теперь используем условие $r < b$. Подставим в него выражение для b: $r < \frac{58 - r}{3}$ $3r < 58 - r$ $4r < 58$ $r < 14.5$

Таким образом, мы ищем все целые числа r, которые удовлетворяют условиям: $0 \le r < 14.5$ и остаток от деления r на 3 равен 1. Переберем возможные значения: $r = 1, 4, 7, 10, 13$.

Для каждого найденного r вычислим соответствующее значение b:

• Если $r=13$, то $b = (58 - 13) / 3 = 15$.
• Если $r=10$, то $b = (58 - 10) / 3 = 16$.
• Если $r=7$, то $b = (58 - 7) / 3 = 17$.
• Если $r=4$, то $b = (58 - 4) / 3 = 18$.
• Если $r=1$, то $b = (58 - 1) / 3 = 19$.

Эти пять пар являются всеми возможными решениями. Теперь мы можем заполнить всю таблицу.

Итоговая таблица:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

Могут ли быть другие случаи деления с остатком с делимым 58 и неполным частным 3?

Да, могут. Как было показано в ходе анализа для заполнения таблицы, существует всего 5 различных пар делителя и остатка, которые удовлетворяют заданным условиям ($a=58, q=3$). Эти пары (делитель b, остаток r): (15, 13), (16, 10), (17, 7), (18, 4), (19, 1).

Поскольку в исходной таблице были даны только два случая (для $r=13$ и $r=10$), то существуют и другие случаи.

Ответ: Да, существуют еще 3 случая. Это деление 58 на 17 с остатком 7; деление 58 на 18 с остатком 4; и деление 58 на 19 с остатком 1.

3.149 Укажите все возможные значения делителя и остатка.

$a = bq + r,$ $r<b$

3)

$b = 22$
$156 = 22 \cdot 7 + 2$ 

$b = 21$
$156 = 21 \cdot 7 + r$
$r = 156 - 147$
$r = 9$
$9<21$ – верно 

$b = 20$
$156 = 20 \cdot 7 + r$
$r = 156 - 140$
$r = 16$
$16<20$ – верно 

$b = 19$
$156 = 19 \cdot 7 + r$
$r = 156 - 133$
$r = 23$
$23<19$ – неверно

4)

$b = 39$
$396 = 39 \cdot 10 + 6$ 

$b = 38$
$396 = 38 \cdot 10 + r$
$r = 396 - 380$
$r = 16$
$16<38$ – верно 

$b = 37$
$396 = 37 \cdot 10 + r$
$r = 396 - 370$
$r = 26$
$26<37$ – верно 

$b = 36$
$396 = 36 \cdot 10 + r$
$r = 396 - 360$
$r = 36$
$36<36$ – неверно

Для решения задачи воспользуемся формулой деления с остатком: $a = b \cdot q + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток. Ключевым условием является то, что остаток должен быть неотрицательным и строго меньше делителя: $0 \le r < b$.

Для a = 57, q = 5

Из формулы $a = bq + r$ получаем $57 = b \cdot 5 + r$, откуда $r = 57 - 5b$.
Подставляем это выражение в неравенство $0 \le r < b$:
$0 \le 57 - 5b < b$.
Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:
1) $0 \le 57 - 5b \implies 5b \le 57 \implies b \le 11.4$
2) $57 - 5b < b \implies 57 < 6b \implies b > 9.5$
Таким образом, делитель $b$ должен быть целым числом, удовлетворяющим условию $9.5 < b \le 11.4$. Возможные значения для $b$: 10 и 11.
Найдем соответствующие значения остатка $r$:
- при $b = 10$, $r = 57 - 5 \cdot 10 = 7$.
- при $b = 11$, $r = 57 - 5 \cdot 11 = 2$.

Ответ: делитель 10, остаток 7; или делитель 11, остаток 2.

Для a = 71, q = 4

Из формулы $a = bq + r$ получаем $71 = b \cdot 4 + r$, откуда $r = 71 - 4b$.
Подставляем в неравенство $0 \le r < b$:
$0 \le 71 - 4b < b$.
Решаем систему:
1) $0 \le 71 - 4b \implies 4b \le 71 \implies b \le 17.75$
2) $71 - 4b < b \implies 71 < 5b \implies b > 14.2$
Таким образом, $b$ — целое число в интервале $(14.2, 17.75]$. Возможные значения для $b$: 15, 16, 17.
Найдем соответствующие остатки $r$:
- при $b = 15$, $r = 71 - 4 \cdot 15 = 11$.
- при $b = 16$, $r = 71 - 4 \cdot 16 = 7$.
- при $b = 17$, $r = 71 - 4 \cdot 17 = 3$.

Ответ: делитель 15, остаток 11; или делитель 16, остаток 7; или делитель 17, остаток 3.

Для a = 156, q = 7

Из формулы $a = bq + r$ получаем $156 = b \cdot 7 + r$, откуда $r = 156 - 7b$.
Подставляем в неравенство $0 \le r < b$:
$0 \le 156 - 7b < b$.
Решаем систему:
1) $0 \le 156 - 7b \implies 7b \le 156 \implies b \le \frac{156}{7} \approx 22.28$
2) $156 - 7b < b \implies 156 < 8b \implies b > \frac{156}{8} = 19.5$
Таким образом, $b$ — целое число в интервале $(19.5, 22.28]$. Возможные значения для $b$: 20, 21, 22.
Найдем соответствующие остатки $r$:
- при $b = 20$, $r = 156 - 7 \cdot 20 = 16$.
- при $b = 21$, $r = 156 - 7 \cdot 21 = 9$.
- при $b = 22$, $r = 156 - 7 \cdot 22 = 2$.

Ответ: делитель 20, остаток 16; или делитель 21, остаток 9; или делитель 22, остаток 2.

Для a = 396, q = 10

Из формулы $a = bq + r$ получаем $396 = b \cdot 10 + r$, откуда $r = 396 - 10b$.
Подставляем в неравенство $0 \le r < b$:
$0 \le 396 - 10b < b$.
Решаем систему:
1) $0 \le 396 - 10b \implies 10b \le 396 \implies b \le 39.6$
2) $396 - 10b < b \implies 396 < 11b \implies b > \frac{396}{11} = 36$
Таким образом, $b$ — целое число в интервале $(36, 39.6]$. Возможные значения для $b$: 37, 38, 39.
Найдем соответствующие остатки $r$:
- при $b = 37$, $r = 396 - 10 \cdot 37 = 26$.
- при $b = 38$, $r = 396 - 10 \cdot 38 = 16$.
- при $b = 39$, $r = 396 - 10 \cdot 39 = 6$.

Ответ: делитель 37, остаток 26; или делитель 38, остаток 16; или делитель 39, остаток 6.

Для a = 83, q = 8

Из формулы $a = bq + r$ получаем $83 = b \cdot 8 + r$, откуда $r = 83 - 8b$.
Подставляем в неравенство $0 \le r < b$:
$0 \le 83 - 8b < b$.
Решаем систему:
1) $0 \le 83 - 8b \implies 8b \le 83 \implies b \le 10.375$
2) $83 - 8b < b \implies 83 < 9b \implies b > \frac{83}{9} \approx 9.22$
Таким образом, $b$ — целое число в интервале $(9.22, 10.375]$. Единственное возможное значение для $b$: 10.
Найдем соответствующий остаток $r$:
- при $b = 10$, $r = 83 - 8 \cdot 10 = 3$.

Ответ: делитель 10, остаток 3.

3.150 Найдите остаток от деления:

а) 548 на 9;

б) 371 на 6;

в) 293 на 10;

г) 100 000 на 3;

д) 224 на 100;

е) 6140 на 78;

ж) 10 744 на 56;

з) 82 400 на 2700;

и) 70 696 на 131.

а) Чтобы найти остаток от деления 548 на 9, можно воспользоваться свойством делимости: остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9. Сумма цифр числа 548 равна: $5 + 4 + 8 = 17$. Теперь найдем остаток от деления 17 на 9: $17 = 1 \cdot 9 + 8$. Остаток равен 8. Также можно выполнить деление в столбик, которое даст тот же результат: $548 = 60 \cdot 9 + 8$. Ответ: 8

б) Для нахождения остатка от деления 371 на 6 выполним деление с остатком. $371 \div 6$. $360$ делится на 6 без остатка: $360 = 60 \cdot 6$. $371 = 360 + 11 = 60 \cdot 6 + 11$. Остаток 11 больше делителя 6, поэтому продолжим деление: $11 = 1 \cdot 6 + 5$. Тогда $371 = 60 \cdot 6 + 1 \cdot 6 + 5 = (60 + 1) \cdot 6 + 5 = 61 \cdot 6 + 5$. Остаток равен 5. Ответ: 5

в) Остаток от деления натурального числа на 10 всегда равен последней цифре этого числа. Для числа 293 последняя цифра — 3. Формально: $293 = 290 + 3 = 29 \cdot 10 + 3$. Остаток равен 3. Ответ: 3

г) Для нахождения остатка от деления 100 000 на 3 воспользуемся свойством делимости на 3: остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3. Сумма цифр числа 100 000: $1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1$. При делении 1 на 3 получаем 0 в частном и 1 в остатке. Проверка: $100000 = 99999 + 1 = 33333 \cdot 3 + 1$. Остаток равен 1. Ответ: 1

д) Остаток от деления натурального числа на 100 равен числу, образованному двумя его последними цифрами. Для числа 224 это число 24. Формально: $224 = 200 + 24 = 2 \cdot 100 + 24$. Остаток равен 24. Ответ: 24

е) Выполним деление 6140 на 78. Сначала делим 614 на 78. Ближайшее произведение $78 \cdot 7 = 546$. Остаток: $614 - 546 = 68$. Сносим 0, получаем 680. Делим 680 на 78. Ближайшее произведение $78 \cdot 8 = 624$. Остаток: $680 - 624 = 56$. Частное равно 78. Таким образом, $6140 = 78 \cdot 78 + 56$. Остаток равен 56. Ответ: 56

ж) Выполним деление 10744 на 56. Делим 107 на 56. Частное 1, остаток $107 - 56 = 51$. Сносим 4, получаем 514. Делим 514 на 56. Частное 9 ($56 \cdot 9 = 504$), остаток $514 - 504 = 10$. Сносим 4, получаем 104. Делим 104 на 56. Частное 1 ($56 \cdot 1 = 56$), остаток $104 - 56 = 48$. Полное частное равно 191. Таким образом, $10744 = 191 \cdot 56 + 48$. Остаток равен 48. Ответ: 48

з) Для нахождения остатка от деления 82 400 на 2700, можно сначала найти остаток от деления 824 на 27. $824 \div 27$. $27 \cdot 30 = 810$. Остаток $824 - 810 = 14$. Таким образом, $824 = 30 \cdot 27 + 14$. Теперь умножим это равенство на 100, чтобы вернуться к исходным числам: $824 \cdot 100 = (30 \cdot 27 + 14) \cdot 100$ $82400 = 30 \cdot 2700 + 1400$. Так как $0 \le 1400 < 2700$, остаток равен 1400. Ответ: 1400

и) Выполним деление 70 696 на 131. Делим 706 на 131. Частное 5 ($131 \cdot 5 = 655$), остаток $706 - 655 = 51$. Сносим 9, получаем 519. Делим 519 на 131. Частное 3 ($131 \cdot 3 = 393$), остаток $519 - 393 = 126$. Сносим 6, получаем 1266. Делим 1266 на 131. Частное 9 ($131 \cdot 9 = 1179$), остаток $1266 - 1179 = 87$. Полное частное равно 539. Таким образом, $70696 = 539 \cdot 131 + 87$. Остаток равен 87. Ответ: 87

3.151 Сколько остатков и какие получатся при делении чисел на: 3; 5; 10; 15; 200?

Так как остаток меньше делителя, то $r<b$, где r – остаток, b – делитель

При делении любого целого числа $a$ на натуральное число $n$ (делитель), остаток от деления $r$ всегда является целым неотрицательным числом, которое строго меньше делителя $n$. Это формализуется следующим образом: $a = q \cdot n + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток, причем $0 \le r < n$.

Таким образом, количество возможных остатков при делении на число $n$ равно $n$, а самими остатками являются все целые числа от $0$ до $n-1$.

При делении на 3:
Делитель $n=3$. Возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 3$.
Следовательно, возможные остатки — это числа 0, 1, 2.
Количество возможных остатков — 3.
Ответ: 3 остатка: 0, 1, 2.

При делении на 5:
Делитель $n=5$. Возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 5$.
Следовательно, возможные остатки — это числа 0, 1, 2, 3, 4.
Количество возможных остатков — 5.
Ответ: 5 остатков: 0, 1, 2, 3, 4.

При делении на 10:
Делитель $n=10$. Возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 10$.
Следовательно, возможные остатки — это числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Количество возможных остатков — 10.
Ответ: 10 остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

При делении на 15:
Делитель $n=15$. Возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 15$.
Следовательно, возможные остатки — это все целые числа от 0 до 14.
Количество возможных остатков — 15.
Ответ: 15 остатков: 0, 1, 2, ..., 14.

При делении на 200:
Делитель $n=200$. Возможные остатки $r$ должны удовлетворять условию $0 \le r < 200$.
Следовательно, возможные остатки — это все целые числа от 0 до 199.
Количество возможных остатков — 200.
Ответ: 200 остатков: 0, 1, 2, ..., 199.

3.152 Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток и проверьте равенство:

а) 2791 = 36 • 76 + 55;

б) 4897 = 68 • 71 + 69;

в) 4986 = 4 • 1000 + 986.

а) Рассмотрим равенство $2791 = 36 \cdot 76 + 55$.
Общая формула деления с остатком выглядит так: $a = b \cdot q + r$, где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, а $r$ – остаток, причем остаток всегда должен быть меньше делителя ($0 \le r < b$).
В данном примере остаток $r = 55$. Чтобы определить, какой из множителей (36 или 76) является делителем, сравним их с остатком. Так как $55 > 36$, число 36 не может быть делителем. Условие $55 < 76$ выполняется, следовательно, делитель – это 76.
Таким образом, компоненты деления следующие:
Делимое: 2791
Делитель: 76
Неполное частное: 36
Остаток: 55
Теперь проверим правильность исходного равенства. Для этого вычислим значение выражения в правой части:
$36 \cdot 76 + 55 = 2736 + 55 = 2791$.
Результат совпадает с левой частью равенства: $2791 = 2791$.
Ответ: Делимое — 2791, делитель — 76, неполное частное — 36, остаток — 55. Равенство верно.

б) Рассмотрим равенство $4897 = 68 \cdot 71 + 69$.
Используем правило, что остаток должен быть меньше делителя ($r < b$).
В этом случае остаток $r = 69$. Сравним его с множителями 68 и 71. Условие $69 < 68$ неверно. Условие $69 < 71$ верно. Значит, делителем является число 71, а неполным частным — 68.
Компоненты деления:
Делимое: 4897
Делитель: 71
Неполное частное: 68
Остаток: 69
Проверим равенство, вычислив правую часть:
$68 \cdot 71 + 69 = 4828 + 69 = 4897$.
Результат совпадает с левой частью: $4897 = 4897$.
Ответ: Делимое — 4897, делитель — 71, неполное частное — 68, остаток — 69. Равенство верно.

в) Рассмотрим равенство $4986 = 4 \cdot 1000 + 986$.
Применим правило, что остаток должен быть меньше делителя ($r < b$).
Здесь остаток $r = 986$. Сравним его с множителями 4 и 1000. Неравенство $986 < 4$ ложно. Неравенство $986 < 1000$ истинно. Следовательно, делитель — это 1000, а неполное частное — 4.
Компоненты деления:
Делимое: 4986
Делитель: 1000
Неполное частное: 4
Остаток: 986
Проверим равенство, вычислив правую часть:
$4 \cdot 1000 + 986 = 4000 + 986 = 4986$.
Результат совпадает с левой частью: $4986 = 4986$.
Ответ: Делимое — 4986, делитель — 1000, неполное частное — 4, остаток — 986. Равенство верно.

3.153 Назовите несколько чисел, при делении которых:

а) на 20 получается остаток 5;

б) на 25 получается остаток 13.

а) 5; 25; 45; 65; 85; 105; ...

б) 13; 38; 63; 88; 113; 138; ...

а)

Чтобы найти числа, которые при делении на 20 дают в остатке 5, мы можем использовать общую формулу деления с остатком: $a = b \cdot q + r$, где $a$ – делимое (искомое число), $b$ – делитель, $q$ – неполное частное (целое число), а $r$ – остаток.

В данном случае делитель $b = 20$, а остаток $r = 5$. Таким образом, формула для нахождения искомых чисел будет выглядеть так: $a = 20 \cdot q + 5$.

Мы можем найти сколько угодно таких чисел, подставляя вместо $q$ различные целые неотрицательные значения (0, 1, 2, 3 и т.д.).

Приведем несколько примеров:

• Если $q = 1$, то $a = 20 \cdot 1 + 5 = 25$. Проверка: $25 \div 20 = 1$ (остаток $5$).
• Если $q = 2$, то $a = 20 \cdot 2 + 5 = 40 + 5 = 45$. Проверка: $45 \div 20 = 2$ (остаток $5$).
• Если $q = 5$, то $a = 20 \cdot 5 + 5 = 100 + 5 = 105$. Проверка: $105 \div 20 = 5$ (остаток $5$).

Ответ: 25, 45, 105.

б)

Аналогично, чтобы найти числа, которые при делении на 25 дают в остатке 13, воспользуемся той же формулой: $a = b \cdot q + r$.

Здесь делитель $b = 25$, а остаток $r = 13$. Формула для искомых чисел: $a = 25 \cdot q + 13$.

Подставим различные целые неотрицательные значения для неполного частного $q$.

Приведем несколько примеров:

• Если $q = 0$, то $a = 25 \cdot 0 + 13 = 13$. Проверка: $13 \div 25 = 0$ (остаток $13$).
• Если $q = 1$, то $a = 25 \cdot 1 + 13 = 38$. Проверка: $38 \div 25 = 1$ (остаток $13$).
• Если $q = 2$, то $a = 25 \cdot 2 + 13 = 50 + 13 = 63$. Проверка: $63 \div 25 = 2$ (остаток $13$).

Ответ: 13, 38, 63.

3.154 Запишите наименьшее трёхзначное число, при делении которого на 14 получается остаток 3.

100 - наименьшее трёхзначное число

$100 : 14 = 7$(ост. 2)

$101 : 14 = 7$(ост. 3)

Ответ: 101.

3.154

Пусть искомое число — это $x$. По условию задачи, это число должно быть трёхзначным, а значит, оно должно быть не меньше 100. Также известно, что при делении $x$ на 14 получается остаток 3.

Это условие можно записать в виде формулы деления с остатком: $x = 14 \cdot q + 3$, где $q$ — это целое число (неполное частное).

Поскольку мы ищем наименьшее трёхзначное число, нам нужно найти наименьшее целое $q$, при котором значение $x$ будет больше или равно 100. Составим и решим неравенство: $14 \cdot q + 3 \ge 100$

Вычтем 3 из обеих частей неравенства: $14 \cdot q \ge 100 - 3$
$14 \cdot q \ge 97$

Теперь разделим обе части на 14, чтобы найти значение $q$: $q \ge \frac{97}{14}$
$q \ge 6.928...$

Так как $q$ должно быть целым числом, наименьшее целое значение $q$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 7.

Подставим это значение $q$ в исходную формулу, чтобы найти $x$: $x = 14 \cdot 7 + 3 = 98 + 3 = 101$.

Полученное число 101 является наименьшим трёхзначным числом, которое при делении на 14 даёт в остатке 3.

Ответ: 101

3.155 Найдите делимое, если делитель 43, неполное частное 0, а остаток 17.

$a = 43 \cdot 0 + 17$

$a = 17$

Ответ: 17.

Чтобы найти делимое, необходимо воспользоваться формулой деления с остатком. Согласно этой формуле, делимое равно произведению делителя на неполное частное, к которому прибавлен остаток.

Математически эта формула выглядит так:
$a = b \cdot q + r$
где:
a – делимое (искомое значение),
b – делитель,
q – неполное частное,
r – остаток.

В условии задачи нам даны следующие значения:
Делитель (b) = 43
Неполное частное (q) = 0
Остаток (r) = 17

Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения делимого (a):
$a = 43 \cdot 0 + 17$

Выполним вычисления по порядку. Сначала выполняется умножение, а затем сложение:
$a = 0 + 17$
$a = 17$

Таким образом, искомое делимое равно 17. При делении с остатком всегда должно выполняться условие, что остаток меньше делителя. В данном случае $17 < 43$, так что условие соблюдено.

Ответ: 17

3.156 Длина перегона Крылатское - Строгино Московского метрополитена составляет 6615 м. Двигаясь с максимальной скоростью, электропоезд может пройти это расстояние за 5 мин, однако со средней скоростью проходит его примерно за 7 мин. Чему равна максимальная и средняя скорость движения электропоезда?

1)

(м/мин) - максим. скорость

2)

(м/мин) - средняя скорость

Ответ: 1323 м/мин; 945 м/мин.

Для решения задачи необходимо рассчитать максимальную и среднюю скорость, используя основную формулу скорости: $v = \frac{S}{t}$, где $v$ — скорость, $S$ — расстояние, $t$ — время.

Максимальная скорость

Максимальная скорость ($v_{макс}$) — это скорость, с которой поезд прошел бы перегон, если бы двигался равномерно и с наибольшей возможной скоростью на всем пути.

Из условия известно:
Расстояние $S = 6615$ м.
Время движения с максимальной скоростью $t_{макс} = 5$ мин.

Переведем время из минут в секунды для удобства расчетов в системе СИ:
$t_{макс} = 5 \text{ мин} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 300$ с.

Теперь рассчитаем максимальную скорость:
$v_{макс} = \frac{S}{t_{макс}} = \frac{6615 \text{ м}}{300 \text{ с}} = 22.05$ м/с.

Для наглядности переведем скорость в километры в час (км/ч), используя соотношение $1 \text{ м/с} = 3.6 \text{ км/ч}$:
$v_{макс} = 22.05 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 3.6 \frac{\text{км/ч}}{\text{м/с}} = 79.38$ км/ч.

Ответ: максимальная скорость электропоезда равна 22.05 м/с (или 79.38 км/ч).

Средняя скорость

Средняя скорость ($v_{ср}$) — это отношение всего пройденного пути ко всему времени движения. Это реальная скорость с учетом разгона, торможения и движения с разными скоростями на участках.

Из условия известно:
Расстояние $S = 6615$ м.
Время движения со средней скоростью $t_{ср} = 7$ мин.

Переведем время в секунды:
$t_{ср} = 7 \text{ мин} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 420$ с.

Рассчитаем среднюю скорость:
$v_{ср} = \frac{S}{t_{ср}} = \frac{6615 \text{ м}}{420 \text{ с}} = 15.75$ м/с.

Переведем среднюю скорость в километры в час (км/ч):
$v_{ср} = 15.75 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 3.6 \frac{\text{км/ч}}{\text{м/с}} = 56.7$ км/ч.

Ответ: средняя скорость движения электропоезда равна 15.75 м/с (или 56.7 км/ч).

3.157 Требуется расфасовать 160 кг мандаринов в ящики вместимостью 12 кг. Сколько ящиков потребуется, чтобы разложить все мандарины?

$160 : 12 = 13$(ост. 4)

Потребуется 13 ящиков и 4 мандарина останутся. Для этих 4-х мандаринов потребуется ещё 1 ящик.

$13 + 1 = 14$ (ящ.)

Ответ: 14 ящиков.

Для того чтобы определить, сколько ящиков потребуется для расфасовки всех мандаринов, необходимо общую массу мандаринов разделить на вместимость одного ящика.

Общая масса мандаринов составляет 160 кг.

Вместимость одного ящика составляет 12 кг.

Найдем количество ящиков путем деления:

$160 \div 12$

При делении 160 на 12 получается 13 и остаток. Давайте проверим:

$12 \times 13 = 156$ кг.

Это означает, что после заполнения 13 ящиков полностью, останется еще некоторое количество мандаринов. Найдем этот остаток:

$160 - 156 = 4$ кг.

Так как нужно расфасовать все мандарины, то для оставшихся 4 кг потребуется еще один ящик.

Таким образом, общее количество необходимых ящиков равно:

$13 \text{ (полных)} + 1 \text{ (неполный)} = 14$ ящиков.

Ответ: 14 ящиков.

3.158 На счёте мобильного телефона Арины было 250 р. После разговора с подругой осталось 75 р. Сколько минут они разговаривали, если минута разговора стоила 2 р. 50 к.?

Пусть x мин. Ирина разговаривала с подругой

$250 \mathrm{р.} = 25000 \mathrm{к.}$
$75 \mathrm{р.} = 7500 \mathrm{к.}$
$2 \mathrm{р.} 50 \mathrm{к.} = 250 \mathrm{к.}$

Составим уравнение:

$25000 - 250x = 7500$
$250x = 25000 - 7500$

$250x = 17500$
$x = 17500 : 250$

$x = 70$

$70 \mathrm{мин} = 1 \mathrm{ч} 10 \mathrm{мин}$

Ответ: 70 мин.

Для того чтобы найти, сколько минут разговаривала Арина, необходимо выполнить три шага: найти общую стоимость разговора, выразить стоимость минуты в одной единице измерения (рублях) и затем разделить общую стоимость на стоимость минуты.

1. Найдём стоимость разговора
Для этого вычтем из первоначальной суммы на счёте ту, что осталась после разговора:
$250 \text{ р.} - 75 \text{ р.} = 175 \text{ р.}$
Таким образом, общая стоимость разговора составила 175 рублей.

2. Переведём стоимость минуты в рубли
Стоимость одной минуты разговора составляет 2 рубля 50 копеек. Так как в одном рубле 100 копеек, то 50 копеек — это половина рубля, то есть 0,5 рубля.
$2 \text{ р. } 50 \text{ к.} = 2.5 \text{ р.}$

3. Рассчитаем длительность разговора
Чтобы узнать, сколько минут длился разговор, разделим его общую стоимость на стоимость одной минуты:
$\frac{175}{2.5} = \frac{1750}{25} = 70$ (минут)

Ответ: 70 минут.

3.159 Требуется оклеить обоями комнату, стены которой имеют площадь 78 квадратных метров. Сколько пачек обойного клея необходимо купить, если одной пачки хватает для оклейки 20 - 25 квадратных метров?

$78 : 20 = 3$(ост. 18)

Необходимо купить 3 пачки и 18 кв.м останутся не оклеенными. Значит, нужна ещё 1 пачка клея.

$3 + 1 = 4$(п.)

или

$78 : 25 = 3$(ост. 3)

Необходимо купить 3 пачки и 3 кв.м останутся не оклеенными. Значит, нужна ещё 1 пачка клея.

$3 + 1 = 4$(п.)

Ответ: 4 пачки.

Для того чтобы определить необходимое количество пачек обойного клея, нужно общую площадь стен разделить на площадь, которую можно оклеить с помощью одной пачки.

По условию задачи:
Общая площадь стен: $S_{общая} = 78$ м?.
Площадь оклейки одной пачкой клея: от 20 до 25 м?.

Чтобы гарантированно хватило клея, следует ориентироваться на минимальное значение расхода, то есть считать, что одной пачки хватит на 20 квадратных метров. Этот подход исключает риск нехватки материала.

Рассчитаем минимально необходимое количество пачек клея:
$N_{min} = \frac{S_{общая}}{S_{пачки.мин}} = \frac{78 \text{ м}^2}{20 \text{ м}^2} = 3.9$ пачек.

Поскольку пачки клея продаются только целиком, необходимо округлить полученное число в большую сторону до ближайшего целого. Таким образом, потребуется 4 пачки.

Проверим расчет для максимальной площади покрытия одной пачкой (25 м?):
$N_{max} = \frac{S_{общая}}{S_{пачки.макс}} = \frac{78 \text{ м}^2}{25 \text{ м}^2} = 3.12$ пачек.

Даже в самом экономном случае требуется больше трех пачек, поэтому необходимо приобрести 4 пачки.

Ответ: необходимо купить 4 пачки обойного клея.

3.160 На круизном теплоходе 296 пассажирских мест и 84 места для экипажа. Какое наименьшее количество спасательных шлюпок должно быть на этом теплоходе, если одна шлюпка вмещает 70 человек?

1) $296 + 84 = 380$(чел.) - всего

2) $380 : 70 = 5$(ост. 30)

Нужно 5 шлюпок, а 30 чел. не войдут. Значит, для них нужна еще 1 шлюпка.

$5 + 1 = 6$(шл.)

Ответ: 6 шлюпок.

Чтобы найти наименьшее необходимое количество спасательных шлюпок, нужно сначала вычислить общее количество людей на борту теплохода.

1. Определим общее количество людей на теплоходе.
Для этого сложим количество пассажирских мест и количество мест для экипажа:
$296 + 84 = 380$ человек.

2. Рассчитаем необходимое количество шлюпок.
Теперь, зная, что на теплоходе 380 человек, а одна шлюпка вмещает 70 человек, разделим общее количество людей на вместимость одной шлюпки:
$380 \div 70 \approx 5.428...$

Поскольку количество шлюпок должно быть целым числом, и 5 шлюпок будет недостаточно для спасения всех людей ($5 \times 70 = 350$ человек), необходимо округлить полученный результат в большую сторону до ближайшего целого числа. Это гарантирует, что для всех 380 человек найдется место в шлюпках.

Таким образом, потребуется 6 шлюпок.

Ответ: 6.

6.16 Вычислите:

a) $7\frac{5}{11} + 5\frac{8}{11} - 2\frac{2}{11} + 2\frac{8}{11} = 7 + \frac{5}{11} +$

$+ 5 + \frac{8}{11} - 2 + \frac{2}{11} + 2 + \frac{8}{11} =$

$= 7 + \frac{5}{11} + 5 + \frac{8}{11} - 2 - \frac{2}{11} + 2 + \frac{8}{11} =$

$= 7 + 5 - 2 + 2 + \frac{5}{11} + \frac{8}{11} - \frac{2}{11} + \frac{8}{11} =$

$= 12 + \frac{19}{11} = 12 + 1\frac{8}{11} = 13\frac{8}{11}$

б) $9\frac{6}{15} - 5\frac{3}{5} + 4\frac{4}{15} + 2\frac{2}{5} =$

$= 9\frac{6}{15} + 4\frac{4}{15} - 5\frac{3}{5} + 2\frac{2}{5} = 13\frac{10}{15} -$

$- 5\frac{3}{5} + 2\frac{2}{5} = 13\frac{10}{15} - 5\frac{3 · 3}{5 · 3} + 2\frac{2 · 3}{5 · 3} =$

$= 13\frac{10}{15} - 5\frac{9}{15} + 2\frac{6}{15} = 13 + \frac{10}{15} + 2 + \frac{6}{15} -$

$- 5 + \frac{9}{15} = 15 + \frac{16}{15} - 5 - \frac{9}{15} = 10 + \frac{7}{15} = 10\frac{7}{15}$

а)

В данном примере символ «^», вероятно, является опечаткой и должен интерпретироваться как знак сложения «+». Таким образом, выражение для вычисления принимает вид: $7\frac{5}{11} + 5\frac{8}{11} + 2\frac{2}{11} + 2\frac{8}{11}$.

Для нахождения суммы смешанных чисел сложим отдельно их целые и дробные части. Все дроби в примере имеют одинаковый знаменатель 11, что упрощает вычисления.

1. Складываем целые части:

$7 + 5 + 2 + 2 = 16$

2. Складываем дробные части:

$\frac{5}{11} + \frac{8}{11} + \frac{2}{11} + \frac{8}{11} = \frac{5+8+2+8}{11} = \frac{23}{11}$

3. Дробь $\frac{23}{11}$ является неправильной. Преобразуем ее в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:

$23 \div 11 = 2$ (остаток $1$)

Следовательно, $\frac{23}{11} = 2\frac{1}{11}$.

4. Складываем результат сложения целых частей и полученное смешанное число:

$16 + 2\frac{1}{11} = 18\frac{1}{11}$

Ответ: $18\frac{1}{11}$

б)

Аналогично предыдущему пункту, будем считать, что символ «^» означает операцию сложения. Выражение для вычисления: $9\frac{6}{15} + 5\frac{3}{5} + 4\frac{4}{15} + 2\frac{2}{5}$.

Для вычисления суммы необходимо привести все дробные части к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 15 и 5 является 15.

1. Приведем дроби, у которых знаменатель равен 5, к знаменателю 15:

$5\frac{3}{5} = 5\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = 5\frac{9}{15}$

$2\frac{2}{5} = 2\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = 2\frac{6}{15}$

2. Теперь исходное выражение можно переписать так:

$9\frac{6}{15} + 5\frac{9}{15} + 4\frac{4}{15} + 2\frac{6}{15}$

3. Сложим отдельно целые и дробные части.

Сумма целых частей: $9 + 5 + 4 + 2 = 20$

Сумма дробных частей: $\frac{6}{15} + \frac{9}{15} + \frac{4}{15} + \frac{6}{15} = \frac{6+9+4+6}{15} = \frac{25}{15}$

4. Дробь $\frac{25}{15}$ является неправильной и сократимой. Сначала сократим ее, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5:

$\frac{25 \div 5}{15 \div 5} = \frac{5}{3}$

5. Теперь преобразуем неправильную дробь $\frac{5}{3}$ в смешанное число:

$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

6. Сложим сумму целых частей и полученное смешанное число:

$20 + 1\frac{2}{3} = 21\frac{2}{3}$

Ответ: $21\frac{2}{3}$

6.17 Запишите все смешанные числа, у которых целая часть 15, а знаменатель 5.

Смешанное число — это число, которое состоит из целой части и дробной части. Важным условием является то, что дробная часть смешанного числа всегда является правильной дробью.

По условию задачи, нам нужно найти все смешанные числа, у которых:
- целая часть равна 15;
- знаменатель дробной части равен 5.

Общий вид такого числа можно записать как $15 \frac{n}{5}$, где $n$ — это числитель дробной части.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Кроме того, числитель в дробной части смешанного числа должен быть натуральным числом (то есть целым и положительным).

Таким образом, для числителя $n$ должны выполняться два условия:
1. $n < 5$ (числитель меньше знаменателя).
2. $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.

Объединив эти условия, получаем, что числитель $n$ может принимать следующие целые значения: 1, 2, 3, 4.

Теперь запишем все возможные смешанные числа, подставляя найденные значения $n$:
- Если $n=1$, число равно $15 \frac{1}{5}$.
- Если $n=2$, число равно $15 \frac{2}{5}$.
- Если $n=3$, число равно $15 \frac{3}{5}$.
- Если $n=4$, число равно $15 \frac{4}{5}$.

Ответ: $15 \frac{1}{5}$, $15 \frac{2}{5}$, $15 \frac{3}{5}$, $15 \frac{4}{5}$.

6.18 Запишите в виде смешанного числа:

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель. Полученное неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток от деления станет числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

а) $\frac{4}{3}$

Делим числитель 4 на знаменатель 3:

$4 \div 3 = 1$ (остаток 1)

Таким образом, целая часть равна 1, числитель дробной части равен 1, а знаменатель равен 3.

$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

б) $\frac{37}{12}$

Делим числитель 37 на знаменатель 12:

$37 \div 12 = 3$ (остаток 1), так как $3 \times 12 = 36$ и $37 - 36 = 1$.

Целая часть равна 3, числитель дробной части равен 1, знаменатель равен 12.

$\frac{37}{12} = 3\frac{1}{12}$

Ответ: $3\frac{1}{12}$

в) $\frac{41}{6}$

Делим числитель 41 на знаменатель 6:

$41 \div 6 = 6$ (остаток 5), так как $6 \times 6 = 36$ и $41 - 36 = 5$.

Целая часть равна 6, числитель дробной части равен 5, знаменатель равен 6.

$\frac{41}{6} = 6\frac{5}{6}$

Ответ: $6\frac{5}{6}$

г) $\frac{263}{30}$

Делим числитель 263 на знаменатель 30:

$263 \div 30 = 8$ (остаток 23), так как $8 \times 30 = 240$ и $263 - 240 = 23$.

Целая часть равна 8, числитель дробной части равен 23, знаменатель равен 30.

$\frac{263}{30} = 8\frac{23}{30}$

Ответ: $8\frac{23}{30}$

д) $\frac{503}{100}$

Делим числитель 503 на знаменатель 100:

$503 \div 100 = 5$ (остаток 3), так как $5 \times 100 = 500$ и $503 - 500 = 3$.

Целая часть равна 5, числитель дробной части равен 3, знаменатель равен 100.

$\frac{503}{100} = 5\frac{3}{100}$

Ответ: $5\frac{3}{100}$

6.19 Выразите в виде неправильной дроби число:

Чтобы выразить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно целую часть числа умножить на знаменатель его дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части и результат записать в числитель новой дроби. Знаменатель при этом остается прежним. Общая формула выглядит так: $A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

а) Для числа $1 \frac{1}{3}$ применяем формулу:

$1 \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

б) Для числа $3 \frac{7}{10}$ применяем формулу:

$3 \frac{7}{10} = \frac{3 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{30 + 7}{10} = \frac{37}{10}$.

Ответ: $\frac{37}{10}$.

в) Для числа $18 \frac{6}{7}$ применяем формулу:

$18 \frac{6}{7} = \frac{18 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{126 + 6}{7} = \frac{132}{7}$.

Ответ: $\frac{132}{7}$.

г) Для числа $11 \frac{11}{30}$ применяем формулу:

$11 \frac{11}{30} = \frac{11 \cdot 30 + 11}{30} = \frac{330 + 11}{30} = \frac{341}{30}$.

Ответ: $\frac{341}{30}$.

д) Для числа $8 \frac{3}{10}$ применяем формулу:

$8 \frac{3}{10} = \frac{8 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{80 + 3}{10} = \frac{83}{10}$.

Ответ: $\frac{83}{10}$.

6.20 Что меньше:

а) Чтобы сравнить смешанные числа $8\frac{6}{7}$ и $6\frac{2}{7}$, сначала сравним их целые части. Целая часть первого числа равна 8, а второго — 6.
Так как $6 < 8$, то и все число $6\frac{2}{7}$ будет меньше, чем $8\frac{6}{7}$.
$6\frac{2}{7} < 8\frac{6}{7}$.
Ответ: $6\frac{2}{7}$.

б) Сравним смешанные числа $8\frac{3}{11}$ и $7\frac{10}{11}$. Сначала сравним их целые части. Целая часть первого числа равна 8, а второго — 7.
Так как $7 < 8$, то и все число $7\frac{10}{11}$ будет меньше, чем $8\frac{3}{11}$.
$7\frac{10}{11} < 8\frac{3}{11}$.
Ответ: $7\frac{10}{11}$.

в) Чтобы сравнить смешанное число $8\frac{5}{9}$ и неправильную дробь $\frac{79}{9}$, приведем их к одному виду. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$8\frac{5}{9} = \frac{8 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{72 + 5}{9} = \frac{77}{9}$.
Теперь сравним дроби $\frac{77}{9}$ и $\frac{79}{9}$. Так как у дробей одинаковые знаменатели, сравниваем их числители.
Поскольку $77 < 79$, то $\frac{77}{9} < \frac{79}{9}$.
Следовательно, $8\frac{5}{9} < \frac{79}{9}$.
Ответ: $8\frac{5}{9}$.

г) Чтобы сравнить $3\frac{3}{4}$ м и $3,85$ см, нужно привести их к одной единице измерения. Переведем метры в сантиметры, зная, что в одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
Сначала представим $3\frac{3}{4}$ в виде десятичной дроби: $3\frac{3}{4} = 3,75$.
Значит, $3\frac{3}{4} \text{ м} = 3,75 \text{ м}$.
Теперь переведем в сантиметры: $3,75 \text{ м} = 3,75 \cdot 100 \text{ см} = 375 \text{ см}$.
Сравним полученные значения: $375 \text{ см}$ и $3,85 \text{ см}$.
Так как $3,85 < 375$, то $3,85 \text{ см} < 3\frac{3}{4} \text{ м}$.
Ответ: $3,85$ см.

д) Чтобы сравнить смешанное число $11\frac{7}{13}$ и неправильную дробь $\frac{150}{13}$, преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$11\frac{7}{13} = \frac{11 \cdot 13 + 7}{13} = \frac{143 + 7}{13} = \frac{150}{13}$.
Сравниваемые величины оказались равны: $11\frac{7}{13} = \frac{150}{13}$.
Ответ: Данные числа равны.

е) Сравним $7\frac{2}{5}$ кг и $7400$ кг. Единицы измерения одинаковы, поэтому сравниваем сами числа.
Преобразуем смешанное число $7\frac{2}{5}$ в десятичную дробь: $7\frac{2}{5} = 7 + \frac{2}{5} = 7 + 0,4 = 7,4$.
Теперь сравним $7,4$ кг и $7400$ кг.
Очевидно, что $7,4 < 7400$.
Следовательно, $7\frac{2}{5} \text{ кг} < 7400 \text{ кг}$.
Ответ: $7\frac{2}{5}$ кг.

6.21 Развивай мышление. Схематический план квартала города показан на рисунке 6.3. Предложите кратчайший маршрут от точки М до входа: а) в детский сад; б) в школу; в) на почту; г) в дом 9; д) в дом 2, корпус 2. Вычислите длину этого маршрута, если расстояние между домами равно 30м, а у каждого дома ширина 20м и длина 60м. Сколько вариантов кратчайших маршрутов существует в каждом случае?

Для решения задачи представим квартал города в виде сетки (графа), где узлы — это перекрестки, а ребра — это улицы. Движение возможно только по улицам. Кратчайший путь в такой сетке находится с помощью манхэттенского расстояния.

Исходные данные:

• Длина дома (горизонтальный размер): $L = 60$ м.
• Ширина дома (вертикальный размер): $W = 20$ м.
• Расстояние между домами (зазор): $G = 30$ м.

Модель квартала:

Квартал состоит из 5 столбцов и 3 рядов зданий. Это создает сетку из 6 вертикальных и 4 горизонтальных улиц. Введем систему координат, где узлы-перекрестки нумеруются от 0 до 5 по горизонтали (слева направо) и от 0 до 3 по вертикали (сверху вниз).

• Стартовая точка M находится в правом нижнем углу квартала, что соответствует узлу с координатами $(5, 3)$.
• Длина одного горизонтального "шага" по сетке (от одной вертикальной улицы до следующей) составляет: $d_x = L + G = 60 + 30 = 90$ м.
• Длина одного вертикального "шага" (от одной горизонтальной улицы до следующей): $d_y = W + G = 20 + 30 = 50$ м.

Методика расчета:

1. Определяем, на какой улице находится вход в здание. Улица представляет собой отрезок между двумя узлами-перекрестками.
2. Находим расстояние от точки M до каждого из этих двух узлов. Кратчайший путь ко входу будет проходить через ближайший к M узел.
3. Вычисляем длину кратчайшего маршрута. Она равна сумме расстояния от M до ближайшего узла и расстояния от этого узла до входа (которое равно половине длины или ширины дома).
4. Вычисляем количество вариантов кратчайших маршрутов. Оно равно числу способов добраться из M в ближайший узел, что рассчитывается по формуле сочетаний: $C_{n+k}^k = \frac{(n+k)!}{n!k!}$, где $n$ и $k$ — число шагов по горизонтали и вертикали.

a) в детский сад

Детский сад находится в блоке (3, 0) (четвертый слева, в верхнем ряду). Вход расположен с нижней стороны, на горизонтальной улице H1, между вертикальными улицами V3 и V4. Ближайшие узлы — (3, 1) и (4, 1).

Расстояние от M(5, 3) до узла (3, 1): $|5-3| \times 90 + |3-1| \times 50 = 2 \times 90 + 2 \times 50 = 180 + 100 = 280$ м.

Расстояние от M(5, 3) до узла (4, 1): $|5-4| \times 90 + |3-1| \times 50 = 1 \times 90 + 2 \times 50 = 90 + 100 = 190$ м.

Ближайший узел — (4, 1). Кратчайший маршрут до него требует 1 шаг влево и 2 шага вверх. Расстояние от узла (4, 1) до входа равно половине длины дома: $60 / 2 = 30$ м.

Общая длина маршрута: $190 + 30 = 220$ м.

Количество вариантов кратчайших маршрутов до узла (4, 1): $C_{1+2}^1 = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3$.

Ответ: Длина кратчайшего маршрута — 220 м. Существует 3 варианта такого маршрута.

б) в школу

Школа находится в блоке (1, 0). Вход расположен с правой стороны, на вертикальной улице V2, между горизонтальными улицами H0 и H1. Ближайшие узлы — (2, 0) и (2, 1).

Расстояние от M(5, 3) до узла (2, 0): $|5-2| \times 90 + |3-0| \times 50 = 3 \times 90 + 3 \times 50 = 270 + 150 = 420$ м.

Расстояние от M(5, 3) до узла (2, 1): $|5-2| \times 90 + |3-1| \times 50 = 3 \times 90 + 2 \times 50 = 270 + 100 = 370$ м.

Ближайший узел — (2, 1). Маршрут: 3 шага влево, 2 шага вверх. Расстояние от узла (2, 1) до входа равно половине ширины дома: $20 / 2 = 10$ м.

Общая длина маршрута: $370 + 10 = 380$ м.

Количество вариантов кратчайших маршрутов до узла (2, 1): $C_{3+2}^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$.

Ответ: Длина кратчайшего маршрута — 380 м. Существует 10 вариантов такого маршрута.

в) на почту

Почта находится в блоке (1, 1). Вход расположен с нижней стороны, на улице H2, между узлами (1, 2) и (2, 2).

Расстояние от M(5, 3) до узла (1, 2): $|5-1| \times 90 + |3-2| \times 50 = 4 \times 90 + 1 \times 50 = 360 + 50 = 410$ м.

Расстояние от M(5, 3) до узла (2, 2): $|5-2| \times 90 + |3-2| \times 50 = 3 \times 90 + 1 \times 50 = 270 + 50 = 320$ м.

Ближайший узел — (2, 2). Маршрут: 3 шага влево, 1 шаг вверх. Расстояние от узла до входа: $60 / 2 = 30$ м.

Общая длина маршрута: $320 + 30 = 350$ м.

Количество вариантов кратчайших маршрутов до узла (2, 2): $C_{3+1}^1 = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = 4$.

Ответ: Длина кратчайшего маршрута — 350 м. Существует 4 варианта такого маршрута.

г) в дом 9

Дом 9 находится в блоке (4, 0). Вход расположен с нижней стороны, на улице H1, между узлами (4, 1) и (5, 1).

Расстояние от M(5, 3) до узла (4, 1): $|5-4| \times 90 + |3-1| \times 50 = 1 \times 90 + 2 \times 50 = 190$ м.

Расстояние от M(5, 3) до узла (5, 1): $|5-5| \times 90 + |3-1| \times 50 = 0 \times 90 + 2 \times 50 = 100$ м.

Ближайший узел — (5, 1). Маршрут: 0 шагов влево, 2 шага вверх. Расстояние от узла до входа: $60 / 2 = 30$ м.

Общая длина маршрута: $100 + 30 = 130$ м.

Количество вариантов кратчайших маршрутов до узла (5, 1): $C_{0+2}^0 = \frac{2!}{0! \cdot 2!} = 1$.

Ответ: Длина кратчайшего маршрута — 130 м. Существует 1 вариант такого маршрута.

д) в дом 2, корпус 2

Дом 2, корпус 2 находится в блоке (0, 2). Вход расположен с верхней стороны, на улице H2, между узлами (0, 2) и (1, 2).

Расстояние от M(5, 3) до узла (0, 2): $|5-0| \times 90 + |3-2| \times 50 = 5 \times 90 + 1 \times 50 = 450 + 50 = 500$ м.

Расстояние от M(5, 3) до узла (1, 2): $|5-1| \times 90 + |3-2| \times 50 = 4 \times 90 + 1 \times 50 = 360 + 50 = 410$ м.

Ближайший узел — (1, 2). Маршрут: 4 шага влево, 1 шаг вверх. Расстояние от узла до входа: $60 / 2 = 30$ м.

Общая длина маршрута: $410 + 30 = 440$ м.

Количество вариантов кратчайших маршрутов до узла (1, 2): $C_{4+1}^1 = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5$.

Ответ: Длина кратчайшего маршрута — 440 м. Существует 5 вариантов такого маршрута.

6.22 У двух прямоугольных параллелепипедов одинаковые объёмы. У одного из них измерения равны 20 см, 12 см и 15 см. Найдите ширину другого параллелепипеда, если его высота равна 18 см, а длина — 25 см.

По условию задачи, у двух прямоугольных параллелепипедов одинаковые объёмы. Обозначим их как $V_1$ и $V_2$. Таким образом, $V_1 = V_2$.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение его трёх измерений: длины, ширины и высоты. Формула объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.

1. Сначала найдём объём первого параллелепипеда ($V_1$), измерения которого известны: 20 см, 12 см и 15 см.

$V_1 = 20 \cdot 12 \cdot 15 = 240 \cdot 15 = 3600$ см³.

2. Поскольку объёмы параллелепипедов равны, объём второго параллелепипеда ($V_2$) также составляет 3600 см³.

$V_2 = 3600$ см³.

3. Измерения второго параллелепипеда: высота равна 18 см, длина — 25 см. Нам необходимо найти его ширину. Обозначим искомую ширину как $x$.

Используя формулу объёма для второго параллелепипеда, мы можем составить уравнение:

$V_2 = 25 \cdot x \cdot 18$

Подставим известное значение объёма $V_2$:

$3600 = 25 \cdot x \cdot 18$

Вычислим произведение известных измерений:

$25 \cdot 18 = 450$

Теперь уравнение выглядит так:

$3600 = 450 \cdot x$

Чтобы найти $x$, разделим объём на произведение известных сторон:

$x = \frac{3600}{450}$

Сократим дробь, убрав нули:

$x = \frac{360}{45}$

Разделив 360 на 45, получаем:

$x = 8$

Таким образом, ширина второго параллелепипеда равна 8 см.

Ответ: 8 см.

6.23 1) Масса трёх пирожков с капустой и двух ватрушек с творогом равна 770 г, причём пирожок легче ватрушки в 4 раза. Чему равна масса одной ватрушки?

2) Масса двух буханок чёрного хлеба и трёх одинаковых батонов белого хлеба равна 2 кг 800 г, причём буханка чёрного хлеба в 2 раза тяжелее батона белого хлеба. Чему равна масса буханки чёрного хлеба?

3) За три дня тренировок лыжник прошёл 51 км 300 м, причём за первые два дня он прошёл одинаковое расстояние, а в третий — на 3 км 300 м меньше. Какое расстояние прошёл лыжник в первый день?

4) Альпинисты поднялись на высоту 1 км 830 м за четыре дня. Первые три дня они преодолевали одинаковую высоту, а в четвёртый день — на 30 м больше. Найдите высоту подъёма альпинистов в третий день.

1) Пусть масса одного пирожка равна $x$ г. По условию, пирожок легче ватрушки в 4 раза, значит, масса одной ватрушки равна $4x$ г.
Масса трёх пирожков равна $3 \cdot x = 3x$ г.
Масса двух ватрушек равна $2 \cdot 4x = 8x$ г.
Общая масса по условию составляет 770 г. Составим и решим уравнение:
$3x + 8x = 770$
$11x = 770$
$x = 770 / 11$
$x = 70$ (г) — масса одного пирожка.
Теперь найдём массу одной ватрушки:
$4 \cdot 70 = 280$ (г).
Ответ: 280 г.

2) Переведём общую массу в граммы: 2 кг 800 г = $2000 + 800 = 2800$ г.
Пусть масса одного батона белого хлеба равна $x$ г. По условию, буханка чёрного хлеба в 2 раза тяжелее, значит, её масса равна $2x$ г.
Масса трёх батонов белого хлеба равна $3 \cdot x = 3x$ г.
Масса двух буханок чёрного хлеба равна $2 \cdot 2x = 4x$ г.
Общая масса по условию составляет 2800 г. Составим и решим уравнение:
$3x + 4x = 2800$
$7x = 2800$
$x = 2800 / 7$
$x = 400$ (г) — масса одного батона белого хлеба.
Теперь найдём массу одной буханки чёрного хлеба:
$2 \cdot 400 = 800$ (г).
Ответ: 800 г.

3) Переведём все расстояния в метры для удобства вычислений:
Общее расстояние: 51 км 300 м = $51 \cdot 1000 + 300 = 51300$ м.
Разница: 3 км 300 м = $3 \cdot 1000 + 300 = 3300$ м.
Пусть расстояние, которое лыжник прошёл в первый день, равно $x$ м.
В первый и второй день он прошёл одинаковое расстояние, значит, за два дня он прошёл $x + x = 2x$ м.
В третий день он прошёл на 3300 м меньше, чем в первый, то есть $x - 3300$ м.
Общее расстояние за три дня равно 51300 м. Составим и решим уравнение:
$x + x + (x - 3300) = 51300$
$3x - 3300 = 51300$
$3x = 51300 + 3300$
$3x = 54600$
$x = 54600 / 3$
$x = 18200$ (м).
Расстояние, которое лыжник прошёл в первый день, равно 18200 м. Переведём это значение обратно в километры и метры: 18200 м = 18 км 200 м.
Ответ: 18 км 200 м.

4) Переведём общую высоту в метры: 1 км 830 м = $1000 + 830 = 1830$ м.
Пусть высота, которую альпинисты преодолевали в каждый из первых трёх дней, равна $x$ м.
Тогда в четвёртый день они преодолели на 30 м больше, то есть $x + 30$ м.
Общая высота, преодолённая за четыре дня, равна 1830 м. Составим и решим уравнение:
$x (\text{день 1}) + x (\text{день 2}) + x (\text{день 3}) + (x + 30) (\text{день 4}) = 1830$
$4x + 30 = 1830$
$4x = 1830 - 30$
$4x = 1800$
$x = 1800 / 4$
$x = 450$ (м).
Вопрос задачи — найти высоту подъёма в третий день. Эта высота равна $x$.
Ответ: 450 м.