Страница 90, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.100 Используя рисунок 3.6, найдите у.

$36 + y + y + y - 14 = 58$
$(36 + 3y) - 14 = 58$
$36 + 3y = 58 + 14$

$36 + 3y = 72$
$3y = 72 - 36$

$3y = 36$
$y = 36 : 3$
$y = 12$
Ответ: 12

На рисунке 3.6 показана числовая ось с последовательностью математических операций. Чтобы найти значение $y$, необходимо проанализировать представленную схему.

Движение по числовой оси начинается от точки 36. Далее, три одинаковые розовые стрелки, направленные вправо, показывают три последовательных шага, каждый из которых заключается в прибавлении неизвестного числа $y$. Таким образом, после трех таких шагов мы окажемся в точке, значение которой можно выразить как $36 + 3y$.

Из этой конечной точки ($36 + 3y$) выходит зеленая стрелка, которая указывает на точку 58. Эта стрелка направлена влево и имеет пометку «$-14$», что означает операцию вычитания. Следовательно, если из конечного положения ($36 + 3y$) вычесть 14, то получится 58. Это позволяет составить следующее уравнение:

$(36 + 3y) - 14 = 58$

Теперь решим данное уравнение, чтобы найти значение $y$.

1. Сначала упростим левую часть уравнения, выполнив вычитание чисел:

$36 - 14 + 3y = 58$

$22 + 3y = 58$

2. Далее, чтобы изолировать слагаемое с переменной $y$, перенесем 22 в правую часть уравнения (вычтем 22 из обеих частей):

$3y = 58 - 22$

$3y = 36$

3. Наконец, чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 3:

$y = \frac{36}{3}$

$y = 12$

Проверка:

Для проверки подставим найденное значение $y=12$ в исходную последовательность действий.
Начальная точка: 36.
После трех шагов по $+12$ окажемся в точке: $36 + 3 \times 12 = 36 + 36 = 72$.
Из полученной точки вычтем 14: $72 - 14 = 58$.
Результат 58 совпадает с конечной точкой, указанной на схеме. Следовательно, значение $y$ найдено верно.

Ответ: 12

3.101 Решите задачу с помощью уравнения:

а) Если число разделить на 7, а потом от частного отнять 2, то получится 4. Найдите это число.

б) Если из числа вычесть 36 и полученную разность увеличить в 5 раз, то получится 240. Найдите это число.

а) Пусть искомое число — это $x$. Согласно условию задачи, если это число разделить на 7, получится частное $\frac{x}{7}$. Затем от этого частного нужно отнять 2, и в результате получится 4. Составим уравнение, которое соответствует условию задачи:
$\frac{x}{7} - 2 = 4$
Для решения этого уравнения сначала перенесем слагаемое -2 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$\frac{x}{7} = 4 + 2$
$\frac{x}{7} = 6$
Теперь, чтобы найти неизвестное делимое $x$, нужно частное (6) умножить на делитель (7):
$x = 6 \cdot 7$
$x = 42$
Сделаем проверку: разделим 42 на 7, получим 6. Отнимем от 6 число 2, получим 4. Условие задачи выполняется.

Ответ: 42

б) Пусть искомое число — это $y$. По условию, из этого числа нужно вычесть 36, что дает разность $(y - 36)$. Эту разность необходимо взять в скобки, так как следующая операция применяется ко всему результату вычитания. Затем полученную разность нужно увеличить в 5 раз, и в итоге получится 240. Составим уравнение:
$(y - 36) \cdot 5 = 240$
Чтобы решить это уравнение, сначала найдем неизвестный множитель $(y - 36)$, разделив произведение (240) на известный множитель (5):
$y - 36 = 240 : 5$
$y - 36 = 48$
Теперь найдем неизвестное уменьшаемое $y$, сложив разность (48) и вычитаемое (36):
$y = 48 + 36$
$y = 84$
Сделаем проверку: из 84 вычтем 36, получим 48. Умножим 48 на 5, получим 240. Условие задачи выполняется.

Ответ: 84

3.102 Решите задачу с помощью уравнения:

а) Каждой сотруднице мастерской решили подарить по одинаковому букету цветов. Для этого купили 161 красную розу. Когда в каждый букет добавили ещё по 2 белые розы, то в нём оказалось 9 роз. Сколько сотрудниц было в мастерской?

б) На корабле имеются шлюпки. В случае аварии на них должно разместиться 360 пассажиров. Кроме того, в каждой шлюпке должно быть по три члена экипажа. Сколько шлюпок понадобится, если в каждую помещается 33 человека?

а) Пусть x сотрудниц в мастерской или количество одинаковых букетов, тогда $161 : x$ - количество роз в букете.

Было роз в 1 букете – 161 : х

Добавили роз в 1 букет – 2

Стало роз в 1 букете – 9

$161 : x + 2 = 9$
$161 : x = 9 - 2$
$161 : x = 7$
$x = 161 : 7$

$x = 23$
Ответ: 23 сотрудницы.

б) Пусть понадобится x шлюпок, тогда $360 : x$ - количество пассажиров в одной шлюпке.

Количество пассажиров в одной шлюпке: $(360 : x)$ человек Количество членов экипажа в одной шлюпке: 3 человека.

Всего количество человек в одной шлюпке: 33 человека.

$360 : x + 3 = 33$
$360 : x = 33 - 3$
$360 : x = 30$
$x = 360 : 30$

$x = 12$
Ответ: 12 шлюпок.

а) Пусть $x$ — количество сотрудниц в мастерской. Это же количество равно количеству букетов, которые для них составили.

В каждом букете оказалось 9 роз, из которых 2 были белыми. Следовательно, количество красных роз в одном букете равно разнице общего числа роз и числа белых роз:

$9 - 2 = 7$ (красных роз в одном букете).

Всего для составления букетов купили 161 красную розу. Чтобы найти количество букетов (и, соответственно, сотрудниц), нужно общее количество красных роз разделить на количество красных роз в одном букете. Составим уравнение, где $x$ — искомое количество сотрудниц:

$x \cdot 7 = 161$

Решим это уравнение:

$x = 161 : 7$

$x = 23$

Таким образом, в мастерской было 23 сотрудницы.

Ответ: 23 сотрудницы.

б) Пусть $x$ — необходимое количество шлюпок.

В случае аварии в шлюпках должны разместиться 360 пассажиров и члены экипажа. В каждой из $x$ шлюпок должно быть по 3 члена экипажа, значит, общее число членов экипажа в шлюпках составит $3x$.

Следовательно, общее количество людей, которых нужно разместить в шлюпках, равно сумме пассажиров и членов экипажа: $360 + 3x$.

Каждая шлюпка вмещает 33 человека. Таким образом, общая вместимость всех $x$ шлюпок составляет $33x$ человек.

Чтобы найти необходимое количество шлюпок, нужно, чтобы их общая вместимость была равна общему числу людей, которых нужно эвакуировать. Составим уравнение:

$33x = 360 + 3x$

Решим это уравнение:

$33x - 3x = 360$

$30x = 360$

$x = 360 : 30$

$x = 12$

Следовательно, понадобится 12 шлюпок.

Ответ: 12 шлюпок.

3.103 Произведение 135 и 26 равно 3510. Выполните деление или решите уравнение:

а) 3510 : 135;

б) 3510 : 26;

в) 26x = 3510;

г) 135z = 3510;

д) n : 26 = 135;

с) t : 135 = 26;

ж) 3510 : a = 135;

з) 3510 : b = 26.

$135 · 26 = 3510$

а) $3510 : 135 = 26$

б) $3510 : 26 = 135$

В условии задачи дано, что произведение чисел 135 и 26 равно 3510. Математически это записывается как $135 \times 26 = 3510$. Это равенство является ключом к решению всех последующих заданий, так как оно устанавливает связь между тремя числами. Из этого равенства напрямую следует, что $3510 : 135 = 26$ и $3510 : 26 = 135$.

а) В этом задании необходимо выполнить деление $3510 : 135$. Исходя из основного равенства, если произведение (3510) разделить на один из множителей (135), то в результате получится другой множитель (26).
Ответ: 26.

б) Здесь требуется выполнить деление $3510 : 26$. Аналогично, если произведение (3510) разделить на множитель 26, то результатом будет другой множитель — 135.
Ответ: 135.

в) Дано уравнение $26x = 3510$. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, необходимо произведение (3510) разделить на известный множитель (26). Получаем $x = 3510 : 26$. Как мы уже знаем из основного соотношения, результат этого деления равен 135.
Ответ: $x=135$.

г) Дано уравнение $135z = 3510$. Чтобы найти неизвестный множитель $z$, нужно произведение (3510) разделить на известный множитель (135). Получаем $z = 3510 : 135$. Известно, что результат этого деления равен 26.
Ответ: $z=26$.

д) В уравнении $n : 26 = 135$ переменная $n$ является делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное (135) умножить на делитель (26). Получаем $n = 135 \times 26$. Из условия задачи мы знаем, что это произведение равно 3510.
Ответ: $n=3510$.

е) В уравнении $t : 135 = 26$ переменная $t$ является делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное (26) умножить на делитель (135). Получаем $t = 26 \times 135$. Исходное равенство гласит, что это произведение равно 3510.
Ответ: $t=3510$.

ж) В уравнении $3510 : a = 135$ переменная $a$ является делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое (3510) разделить на частное (135). Получаем $a = 3510 : 135$. Из основного соотношения мы знаем, что результат этого деления равен 26.
Ответ: $a=26$.

з) В уравнении $3510 : b = 26$ переменная $b$ является делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое (3510) разделить на частное (26). Получаем $b = 3510 : 26$. Из основного соотношения мы знаем, что результат этого деления равен 135.
Ответ: $b=135$.

3.104 Выполните действие или решите уравнение, если 11 214 : 89 = 126:

а) 11 214 : 126;

б) 89 • 126;

в) x : 126 = 89;

г) y : 89 = 126;

д) 11 214 : a = 89;

е) 11 214 : b = 126;

ж) 126z = 11 214;

з) 89t = 11 214.

$11214 : 89 = 126$

а) $11214 : 126 = 89$

б) $89 · 126 = 11214$

Все решения основаны на исходном равенстве $11214 : 89 = 126$. Из этого равенства следуют два других: $11214 = 89 \cdot 126$ и $11214 : 126 = 89$.

а) Чтобы найти значение выражения $11214 : 126$, воспользуемся связью между компонентами деления: если делимое разделить на частное, получится делитель. Из исходного равенства $11214 : 89 = 126$ следует, что $11214 : 126 = 89$.
Ответ: $89$.

б) Чтобы найти значение выражения $89 \cdot 126$, воспользуемся связью между компонентами деления: произведение делителя и частного равно делимому. Из исходного равенства $11214 : 89 = 126$ следует, что $89 \cdot 126 = 11214$.
Ответ: $11214$.

в) В уравнении $x : 126 = 89$ переменная $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно перемножить делитель ($126$) и частное ($89$). Получаем $x = 126 \cdot 89$. Как мы выяснили в пункте б), это произведение равно $11214$.
Ответ: $x = 11214$.

г) В уравнении $y : 89 = 126$ переменная $y$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно перемножить делитель ($89$) и частное ($126$). Это действие напрямую соответствует исходному равенству, из которого следует, что $y = 89 \cdot 126 = 11214$.
Ответ: $y = 11214$.

д) В уравнении $11214 : a = 89$ переменная $a$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое ($11214$) разделить на частное ($89$). Получаем $a = 11214 : 89$. Согласно исходному условию, это частное равно $126$.
Ответ: $a = 126$.

е) В уравнении $11214 : b = 126$ переменная $b$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое ($11214$) разделить на частное ($126$). Получаем $b = 11214 : 126$. Как мы выяснили в пункте а), это частное равно $89$.
Ответ: $b = 89$.

ж) В уравнении $126z = 11214$ переменная $z$ является неизвестным множителем. Чтобы найти множитель, нужно произведение ($11214$) разделить на известный множитель ($126$). Получаем $z = 11214 : 126$. Из пункта а) мы знаем, что результат этого деления равен $89$.
Ответ: $z = 89$.

з) В уравнении $89t = 11214$ переменная $t$ является неизвестным множителем. Чтобы найти множитель, нужно произведение ($11214$) разделить на известный множитель ($89$). Получаем $t = 11214 : 89$. Из исходного условия известно, что результат этого деления равен $126$.
Ответ: $t = 126$.

3.105 Составьте равенство по тексту:

1) У Димы было x груш, у Ильи — на 5 груш меньше, чем у Димы, а у Алёши — на 7 груш больше, чем у Ильи. Когда сложили груши и поделили поровну, каждому досталось по 13 груш.

2) На спортивные игры поехали ребята из трёх классов: из первого класса — y ребят, из второго — на 7 ребят меньше, чем из первого, а из третьего — на 5 ребят больше, чем из второго. Всех ребят разбили на 3 команды по 14 человек.

(х - 5) груш у Ильи
(х - 5 + 7) груш у Алёны
$(x + (x - 5) + (x - 5 + 7\left)\right) : 3 = 13$

$(y - 7)$ ребят из II класса
$(y - 7 + 5)$ ребят из III класса
$(y + (y - 7) + (y - 7 + 5\left)\right) : 3 = 14$

1) Чтобы составить равенство, выразим количество груш у каждого мальчика через переменную $x$.
У Димы было $x$ груш.
У Ильи было на 5 груш меньше, чем у Димы, то есть $(x - 5)$ груш.
У Алёши было на 7 груш больше, чем у Ильи, то есть $((x - 5) + 7)$ груш.
Всего груш было: $x + (x - 5) + ((x - 5) + 7)$.
Когда все груши сложили и поделили поровну на троих (Дима, Илья и Алёша), каждому досталось по 13 груш. Это значит, что среднее арифметическое их груш равно 13. Равенство можно составить, приравняв выражение для среднего арифметического к 13.
Ответ: $\frac{x + (x - 5) + ((x - 5) + 7)}{3} = 13$.

2) Чтобы составить равенство, выразим количество ребят из каждого класса через переменную $y$ и приравняем общее количество ребят к известному значению.
Из первого класса поехало $y$ ребят.
Из второго класса — на 7 ребят меньше, чем из первого, то есть $(y - 7)$ ребят.
Из третьего класса — на 5 ребят больше, чем из второго, то есть $((y - 7) + 5)$ ребят.
Суммарное количество ребят из трех классов: $y + (y - 7) + ((y - 7) + 5)$.
Всех ребят разбили на 3 команды по 14 человек, значит, всего было $3 \cdot 14$ человек.
Приравниваем два выражения для общего количества ребят.
Ответ: $y + (y - 7) + ((y - 7) + 5) = 3 \cdot 14$.

3.106 Вычислите.

а) $28 + 32 =$$(20 + 8) + (30 + 2) =$$(20 + 30) + (8 + 2) =$$50 + 10 = 60$

$60 : 12 = 5$

$5 · 17 = 5 · (10 + 7) =$$5 · 10 + 5 · 7 =$$50 + 35 = 85$

$85 + 25 =$$(80 + 5) + (20 + 5) =$$(80 + 20) + (5 + 5) =$$100 + 10 = 110$

б) $90 - 34 = 90 - (30 + 4) =$$(90 - 30) - 4 =$$60 - 4 = 56$

$56 : 14 = 4$

$4 · 13 = 4 · (10 + 3) =$$4 · 10 + 4 · 3 =$$40 + 12 = 52$

$52 + 18 =$$(50 + 2) + (10 + 8) =$$(50 + 10) + (2 + 8) =$$60 + 10 = 70$

в) $62 - 27 =$$(50 + 12) - (20 + 7) =$$(50 - 20) + (12 - 7) =$$30 + 5 = 35$

$35 : 7 = 5$

$5 · 19 = 5 · (10 + 9) =$$5 · 10 + 5 · 9 =$$50 + 45 = 95$

$95 - 16 =$$(80 + 15) - (10 + 6) =$$(80 - 10) + (15 - 6) =$$70 + 9 = 79$

г) $95 - 37 =$$(80 + 15) - (30 + 7) =$$(80 - 30) + (15 - 7) =$$50 + 8 = 58$

$58 : 29 = 2$
$2 + 90 = 92$
$92 : 23 = 4$

д) $100 - 8 = 92$
$92 : 2 = 46$
$46 - 45 = 1$
$1 · 47 = 47$

а)

Данный пример решается последовательным выполнением арифметических действий, где результат предыдущего действия используется в следующем:
1) Сначала выполним сложение: $28 + 32 = 60$.
2) Затем разделим полученный результат на 12: $60 : 12 = 5$.
3) Полученное число умножим на 17: $5 \cdot 17 = 85$.
4) И в конце прибавим 25: $85 + 25 = 110$.
Ответ: 110

б)

Выполним действия по порядку, указанному в задании:
1) Первое действие — вычитание: $90 - 34 = 56$.
2) Далее делим результат на 14: $56 : 14 = 4$.
3) Теперь умножаем на 13: $4 \cdot 13 = 52$.
4) Последнее действие — сложение: $52 + 18 = 70$.
Ответ: 70

в)

Решим пример пошагово:
1) Начинаем с вычитания: $62 - 27 = 35$.
2) Полученный результат делим на 7: $35 : 7 = 5$.
3) Следующим шагом умножаем на 19: $5 \cdot 19 = 95$.
4) Завершаем вычитанием: $95 - 16 = 79$.
Ответ: 79

г)

Произведем вычисления в указанной последовательности:
1) Выполняем вычитание: $95 - 37 = 58$.
2) Делим результат на 29: $58 : 29 = 2$.
3) К полученному числу прибавляем 90: $2 + 90 = 92$.
4) И делим на 23: $92 : 23 = 4$.
Ответ: 4

д)

Следуем порядку действий:
1) Вычитаем 8 из 100: $100 - 8 = 92$.
2) Результат делим на 2: $92 : 2 = 46$.
3) Из полученного числа вычитаем 45: $46 - 45 = 1$.
4) И, наконец, умножаем на 47: $1 \cdot 47 = 47$.
Ответ: 47

3.107 Выполните умножение наиболее удобным способом:

а) 13 • 5 • 2;

б) 25 • 34 • 4;

в) 11 • 8 • 50.

а) $13 · 5 · 2 =$$13 · (5 · 2) =$$13 · 10 = 130$

б) $25 · 34 · 4 =$$(25 · 4) · 34 =$$100 · 34 = 3400$

в) $11 · 8 · 50 =$$11 · (8 · 50) =$$11 · 400 = 4400$

а) Чтобы найти произведение $13 \cdot 5 \cdot 2$ наиболее удобным способом, воспользуемся сочетательным свойством умножения. Удобно сгруппировать множители $5$ и $2$, так как их произведение — это круглое число.
$13 \cdot 5 \cdot 2 = 13 \cdot (5 \cdot 2) = 13 \cdot 10 = 130$.
Ответ: 130

б) В выражении $25 \cdot 34 \cdot 4$ используем переместительное и сочетательное свойства умножения. Удобнее всего сначала умножить $25$ на $4$, так как в результате получается $100$.
$25 \cdot 34 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 34 = 100 \cdot 34 = 3400$.
Ответ: 3400

в) Для вычисления $11 \cdot 8 \cdot 50$ наиболее удобно сгруппировать множители $8$ и $50$. Их произведение легко посчитать устно.
$11 \cdot 8 \cdot 50 = 11 \cdot (8 \cdot 50) = 11 \cdot 400 = 4400$.
Ответ: 4400

3.108 Найдите частное наибольшего пятизначного числа и девяти. Найдите произведение этих же чисел.

99999 - Наибольшее пятизначное число

$99999 : 9 = 11111$

Найдите частное наибольшего пятизначного числа и девяти

Сначала определим, какое число является наибольшим пятизначным. Наибольшая цифра в десятичной системе счисления — это 9. Чтобы составить наибольшее пятизначное число, нужно, чтобы на каждом из пяти разрядов стояла эта цифра. Таким образом, наибольшее пятизначное число — это 99 999.

Далее, чтобы найти частное, необходимо разделить это число на девять.

$99999 \div 9 = 11111$

Ответ: 11111.

Найдите произведение этих же чисел

Теперь найдем произведение тех же чисел: наибольшего пятизначного числа (99 999) и девяти.

Для вычисления произведения $99999 \times 9$ можно представить число 99 999 как разность $(100000 - 1)$ и применить распределительный закон умножения:

$(100000 - 1) \times 9 = 100000 \times 9 - 1 \times 9 = 900000 - 9 = 899991$

Ответ: 899991.

3.109 Подберите корни уравнения:

а) 16 • a = 16 : a;

б) t • t = t + t;

в) y : 10 = y • 10.

а) $16 \cdot a = 16 : a$

В данном уравнении необходимо найти такое значение переменной `a`, чтобы произведение `16` и `a` было равно частному от деления `16` на `a`. Важно отметить, что `a` не может равняться нулю, так как деление на ноль не определено.

Проверим значение $a = 1$:
Левая часть: $16 \cdot 1 = 16$
Правая часть: $16 : 1 = 16$
Так как $16 = 16$, то $a = 1$ является корнем уравнения.

Проверим значение $a = -1$:
Левая часть: $16 \cdot (-1) = -16$
Правая часть: $16 : (-1) = -16$
Так как $-16 = -16$, то $a = -1$ также является корнем уравнения.

Для любого другого числа, кроме `1` и `-1`, равенство не будет выполняться. Например, при $a=2$, левая часть равна $32$, а правая $8$.

Ответ: $a = 1$ или $a = -1$.

б) $t \cdot t = t + t$

Это уравнение можно переписать как $t^2 = 2t$. Нам нужно найти такое число `t`, квадрат которого равен его удвоенному значению.

Проверим значение $t = 0$:
Левая часть: $0 \cdot 0 = 0$
Правая часть: $0 + 0 = 0$
Так как $0 = 0$, то $t = 0$ является корнем уравнения.

Проверим значение $t = 2$:
Левая часть: $2 \cdot 2 = 4$
Правая часть: $2 + 2 = 4$
Так как $4 = 4$, то $t = 2$ также является корнем уравнения.

Если мы подставим любое другое число, равенство не будет верным. Например, при $t=1$, левая часть равна $1$, а правая $2$.

Ответ: $t = 0$ или $t = 2$.

в) $y : 10 = y \cdot 10$

В этом уравнении нужно найти число `y`, которое при делении на `10` дает тот же результат, что и при умножении на `10`.

Проверим значение $y = 0$:
Левая часть: $0 : 10 = 0$
Правая часть: $0 \cdot 10 = 0$
Так как $0 = 0$, то $y = 0$ является корнем уравнения.

Рассмотрим любое ненулевое число. При умножении на `10` его абсолютное значение увеличится, а при делении на `10` — уменьшится. Таким образом, равенство для любого $y \neq 0$ выполняться не может. Например, при $y=10$, левая часть равна $1$, а правая $100$.

Ответ: $y = 0$.

1. Дорожный знак разрешает движение со скоростью 50 км/ч. Автомобиль движется со скоростью, указанной на спидометре (рис. 5.69).

а) Нарушит ли водитель правила уличного движения, если не снизит скорость?

б) На сколько делений и в какую сторону передвинется стрелка, когда скорость снизится до 35 км/ч?

в) Каким будет показание спидометра, когда автомобиль остановится?

а) Нарушит ли водитель правила уличного движения, если не снизит скорость?

Сначала определим скорость автомобиля по показаниям спидометра, изображенного на рисунке 5.69. Стрелка прибора указывает на отметку 60 на внешней шкале, которая измеряет скорость в км/ч. Таким образом, текущая скорость автомобиля составляет $v_{текущая} = 60$ км/ч.

В условии задачи сказано, что дорожный знак разрешает движение со скоростью $v_{разрешенная} = 50$ км/ч.

Сравним текущую скорость автомобиля с разрешенной скоростью: $60 \text{ км/ч} > 50 \text{ км/ч}$

Поскольку скорость автомобиля превышает максимально допустимую на данном участке дороги, водитель нарушит правила уличного движения, если не снизит скорость.

Ответ: Да, нарушит, так как его скорость (60 км/ч) больше разрешенной (50 км/ч).

б) На сколько делений и в какую сторону передвинется стрелка, когда скорость снизится до 35 км/ч?

Для ответа на этот вопрос сначала найдем цену одного деления шкалы спидометра. Рассмотрим участок шкалы между отметками 40 и 50. Этот диапазон скоростей в $50 - 40 = 10$ км/ч разделен на 10 малых делений. Следовательно, цена одного деления составляет: $c = \frac{10 \text{ км/ч}}{10 \text{ делений}} = 1 \text{ км/ч на деление}$

Начальная скорость автомобиля равна $v_{начальная} = 60$ км/ч. По условию, скорость должна снизиться до $v_{конечная} = 35$ км/ч.

Найдем разницу в скорости: $\Delta v = v_{начальная} - v_{конечная} = 60 \text{ км/ч} - 35 \text{ км/ч} = 25 \text{ км/ч}$

Так как цена одного деления равна 1 км/ч, то для снижения скорости на 25 км/ч стрелка спидометра должна переместиться на 25 делений.

Поскольку скорость уменьшается, стрелка будет двигаться от большего значения (60) к меньшему (35), то есть влево, против часовой стрелки.

Ответ: Стрелка передвинется на 25 делений влево (против часовой стрелки).

в) Каким будет показание спидометра, когда автомобиль остановится?

Остановка автомобиля означает, что его скорость движения равна нулю. Спидометр — это прибор, который измеряет и показывает текущую скорость транспортного средства.

Соответственно, когда автомобиль полностью остановится, его скорость будет равна $0$ км/ч. Стрелка спидометра займет положение, соответствующее нулевой скорости, то есть укажет на отметку «0».

Ответ: Показание спидометра будет 0 км/ч.

2. а) На завтраке в детском саду Маша оставила на тарелке четверть каши, а Лена — треть. Кто съел больше?

б) На рисунке 5.70 показано, сколько каши осталось на тарелке у Саши и Миши. Мальчики сказали, что съели половину каши. Кто из них прав, если каша размазана ровным слоем?

а) $1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4}$ каши съела Маша.

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3}$ каши съела Лена.

Сравним дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$

12 - наименьший общий знаменатель

$\frac{3 · 3}{4 · 3}>\frac{2 · 4}{3 · 4}$, $\frac{9}{12}>\frac{8}{12}$

Значит, $\frac{3}{4}>\frac{2}{3}$. Таким образом, Маша съела больше каши, чем Лена.

б) На тарелке Миши осталось половину каши. Значит, он съел половину каши.

На тарелке Саши каши осталось меньше половины.

Значит, Саша съел каши больше половины. Прав Миша.

Ответ: а) Маша; б) Миша

а) Чтобы определить, кто съел больше каши, нужно найти, какую часть от всей порции съела каждая девочка. Вся порция каши принимается за единицу (1).

Маша оставила на тарелке четверть каши, то есть $1/4$. Значит, она съела:
$1 - 1/4 = 4/4 - 1/4 = 3/4$ каши.

Лена оставила на тарелке треть каши, то есть $1/3$. Значит, она съела:
$1 - 1/3 = 3/3 - 1/3 = 2/3$ каши.

Теперь необходимо сравнить дроби $3/4$ (доля Маши) и $2/3$ (доля Лены). Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 3 равен 12.
Доля Маши: $3/4 = (3 \times 3) / (4 \times 3) = 9/12$.
Доля Лены: $2/3 = (2 \times 4) / (3 \times 4) = 8/12$.

Сравниваем полученные дроби:
$9/12 > 8/12$.
Следовательно, Маша съела больше каши, чем Лена.
Ответ: Маша съела больше.

б) По условию, мальчики утверждают, что съели половину каши. Это означает, что на тарелке у каждого должна была остаться другая половина ($1/2$) от первоначального количества. Так как каша размазана ровным слоем, количество каши можно оценить по площади, которую она занимает на тарелке.

Рассмотрим тарелку Саши (на рисунке слева). Каша на ней занимает форму маленького круга в центре большого круга (тарелки). Визуально видно, что площадь, занимаемая кашей, значительно меньше половины площади всей тарелки. Если принять радиус большой тарелки за 2 единицы (клетки), то радиус маленького круга с кашей будет равен примерно 1 единице. Отношение их площадей будет:
$S_{оставшейся} / S_{всей} = (\pi \cdot 1^2) / (\pi \cdot 2^2) = 1/4$.
Таким образом, Саша оставил примерно четверть каши, а съел три четверти. Значит, он неправ.

Рассмотрим тарелку Миши (на рисунке справа). На ней каша занимает ровно половину круга (полукруг). Это означает, что он оставил $1/2$ каши и, следовательно, съел тоже половину. Значит, Миша прав.

Ответ: Прав Миша.

3. Имеется прямоугольный лист стекла шириной 610 м и длиной 810 м.

а) Можно ли из этого листа вырезать для круглого окна стекло диаметром 1м, 810м, 610м, 310м?

б) Сколько круглых стёкол можно вырезать из этого листа, если радиус стекла равен: 110 м; 15100 м?

а)

Размеры прямоугольного листа стекла: ширина $ \frac{6}{10} $ м и длина $ \frac{8}{10} $ м. Чтобы вырезать из него круглое стекло, диаметр этого стекла должен быть не больше как ширины, так и длины листа. Поскольку ширина листа ($ \frac{6}{10} $ м) меньше его длины ($ \frac{8}{10} $ м), то максимальный возможный диаметр вырезаемого круга равен ширине листа, то есть $ \frac{6}{10} $ м.

Проверим каждый из предложенных диаметров:

1. Диаметр 1 м.
Сравниваем $ 1 $ м и $ \frac{6}{10} $ м. Так как $ 1 = \frac{10}{10} $, то $ \frac{10}{10} > \frac{6}{10} $. Диаметр круга больше ширины листа, поэтому вырезать его невозможно.

2. Диаметр $ \frac{8}{10} $ м.
Сравниваем $ \frac{8}{10} $ м и $ \frac{6}{10} $ м. Так как $ 8 > 6 $, то $ \frac{8}{10} > \frac{6}{10} $. Диаметр круга больше ширины листа, поэтому вырезать его невозможно.

3. Диаметр $ \frac{6}{10} $ м.
Сравниваем $ \frac{6}{10} $ м с размерами листа. $ \frac{6}{10} \le \frac{6}{10} $ (ширина) и $ \frac{6}{10} < \frac{8}{10} $ (длина). Оба условия выполняются, следовательно, вырезать такое стекло можно.

4. Диаметр $ \frac{3}{10} $ м.
Сравниваем $ \frac{3}{10} $ м с размерами листа. $ \frac{3}{10} < \frac{6}{10} $ (ширина) и $ \frac{3}{10} < \frac{8}{10} $ (длина). Оба условия выполняются, следовательно, вырезать такое стекло можно.

Ответ: можно вырезать стёкла с диаметрами $ \frac{6}{10} $ м и $ \frac{3}{10} $ м; нельзя вырезать стёкла с диаметрами 1 м и $ \frac{8}{10} $ м.

б)

Чтобы найти максимальное количество круглых стёкол, которые можно вырезать, мы определим их диаметр по заданному радиусу ($ d = 2r $), а затем рассчитаем, сколько таких кругов поместится по длине и ширине листа при расположении их в виде сетки.

1. Радиус равен $ \frac{1}{10} $ м.
Диаметр круга: $ d = 2 \times \frac{1}{10} = \frac{2}{10} $ м.
Количество кругов, помещающихся по ширине листа ($ \frac{6}{10} $ м): $ \frac{6/10}{2/10} = \frac{6}{2} = 3 $ штуки.
Количество кругов, помещающихся по длине листа ($ \frac{8}{10} $ м): $ \frac{8/10}{2/10} = \frac{8}{2} = 4 $ штуки.
Общее количество стёкол: $ 3 \times 4 = 12 $.

2. Радиус равен $ \frac{15}{100} $ м.
Упростим радиус: $ r = \frac{15}{100} = \frac{3}{20} $ м.
Диаметр круга: $ d = 2 \times \frac{3}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $ м.
Количество кругов, помещающихся по ширине листа ($ \frac{6}{10} $ м): $ \frac{6/10}{3/10} = \frac{6}{3} = 2 $ штуки.
Количество кругов, помещающихся по длине листа ($ \frac{8}{10} $ м): $ \lfloor \frac{8/10}{3/10} \rfloor = \lfloor \frac{8}{3} \rfloor = \lfloor 2\frac{2}{3} \rfloor = 2 $ штуки (можно вырезать только целое количество кругов).
Общее количество стёкол: $ 2 \times 2 = 4 $.

Ответ: если радиус равен $ \frac{1}{10} $ м, можно вырезать 12 стёкол; если радиус равен $ \frac{15}{100} $ м, можно вырезать 4 стекла.

4. Свете надо прочитать повесть за 4 дня. В первый день Света прочитала 211 повести, во второй — в 2 раза больше и в третий — 211. Успеет ли Света прочитать повесть?

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо последовательно рассчитать, какую часть повести Света прочитала за первые три дня, и определить, останется ли у неё непрочитанная часть на четвертый день.

1. Найдём, какую часть повести Света прочитала во второй день:

В первый день было прочитано $ \frac{2}{11} $ повести. По условию, во второй день она прочитала в 2 раза больше. Умножим долю первого дня на 2:

$ \frac{2}{11} \cdot 2 = \frac{4}{11} $

Таким образом, во второй день Света прочитала $ \frac{4}{11} $ повести.

2. Найдём, какую общую часть повести Света прочитала за три дня:

Теперь сложим доли, прочитанные за каждый из трёх дней: в первый день — $ \frac{2}{11} $, во второй — $ \frac{4}{11} $, и в третий — $ \frac{2}{11} $. Общая прочитанная часть составляет:

$ \frac{2}{11} + \frac{4}{11} + \frac{2}{11} = \frac{2 + 4 + 2}{11} = \frac{8}{11} $

Итак, за три дня Света прочитала $ \frac{8}{11} $ всей повести.

3. Сделаем вывод:

Вся повесть — это $ 1 $, что эквивалентно $ \frac{11}{11} $. За три дня Света прочитала $ \frac{8}{11} $. Так как $ \frac{8}{11} < 1 $, у неё осталась непрочитанная часть. Вычислим, какая часть осталась на четвёртый день:

$ 1 - \frac{8}{11} = \frac{11}{11} - \frac{8}{11} = \frac{3}{11} $

Поскольку Свете на четвёртый день осталось прочитать $ \frac{3}{11} $ повести, а у неё есть целый день, она успеет дочитать повесть в отведённый срок (4 дня).

Ответ: Да, Света успеет прочитать повесть.

5. В сезон урожая цена на огурцы со 120 р. уменьшилась на половину, а к зиме возросла на 23. Какой стала цена огурцов зимой?

Задача решается в два действия. Сначала определим цену огурцов после её уменьшения в сезон урожая, а затем вычислим новую цену после её увеличения к зиме.

1. Вычисление цены в сезон урожая.
Первоначальная цена огурцов составляла 120 рублей. Согласно условию, в сезон урожая она уменьшилась на половину. Уменьшить на половину — значит разделить на 2.
$120 \div 2 = 60$ рублей.
Итак, цена огурцов в сезон урожая составила 60 рублей.

2. Вычисление цены зимой.
К зиме цена, установившаяся в сезон урожая (60 рублей), возросла на $\frac{2}{3}$. Чтобы найти новую цену, сначала вычислим, на сколько именно рублей она выросла. Для этого нужно найти $\frac{2}{3}$ от 60 рублей.
$60 \times \frac{2}{3} = \frac{60 \times 2}{3} = \frac{120}{3} = 40$ рублей.
Теперь, чтобы найти итоговую зимнюю цену, прибавим полученное увеличение к цене сезона урожая:
$60 + 40 = 100$ рублей.

Ответ: цена огурцов зимой стала 100 рублей.

6. Жители посёлка должны быть эвакуированы во время паводка, если вода поднимется на 2 м. В первый день паводка вода поднялась на 25 м, во второй — на 34 м и в третий — на 710 м. На следующий день уровень воды может подняться ещё на полметра. Надо ли объявлять эвакуацию?

N6

1) $\frac{2}{5} + \frac{3}{4} + \frac{7}{10} = \frac{2·4}{5·4} + \frac{3·5}{4·5} + \frac{7·2}{10·2} = \frac{8}{20} + \frac{15}{20} + \frac{14}{20} = \frac{8 + 15 + 14}{20} = \frac{37}{20}\left(м\right)$

- вода поднялась за три дня

2) $\frac{37}{20} + \frac{1}{2} = \frac{37}{20} + \frac{1·10}{2·10} = \frac{37}{20} + \frac{10}{20} = \frac{47}{20} = 2\frac{7}{20}\left(м\right)$

может подняться вода

$2\frac{7}{20}м>2м$

Ответ: надо объявлять эвакуацию.

Чтобы ответить на вопрос, нужно вычислить общий возможный подъем воды и сравнить его с критическим уровнем в 2 метра, при котором объявляется эвакуация.

1. Сначала найдем, на сколько вода поднялась за первые три дня. Для этого сложим подъемы за каждый день:

$ \frac{2}{5} \text{ м} + \frac{3}{4} \text{ м} + \frac{7}{10} \text{ м} $

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 5, 4 и 10 равно 20.

$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20} $

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20} $

$ \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{14}{20} $

Теперь сложим полученные дроби:

$ \frac{8}{20} + \frac{15}{20} + \frac{14}{20} = \frac{8 + 15 + 14}{20} = \frac{37}{20} $ м.

2. Далее, учтем, что на следующий день вода может подняться еще на полметра, то есть на $ \frac{1}{2} $ м. Прибавим это значение к общему подъему за три дня:

$ \frac{37}{20} + \frac{1}{2} $

Приведем дробь $ \frac{1}{2} $ к знаменателю 20: $ \frac{1}{2} = \frac{10}{20} $.

$ \frac{37}{20} + \frac{10}{20} = \frac{47}{20} $ м.

3. Теперь сравним общий возможный подъем воды с критическим уровнем в 2 м. Чтобы сравнение было проще, представим 2 м в виде дроби со знаменателем 20:

$ 2 = \frac{2 \cdot 20}{20} = \frac{40}{20} $

Сравниваем полученный общий подъем и критический уровень:

$ \frac{47}{20} \text{ м} > \frac{40}{20} \text{ м} $

Так как $ \frac{47}{20} > 2 $, возможный подъем воды превышает критический уровень. Следовательно, эвакуацию объявлять необходимо.

Ответ: да, надо объявлять эвакуацию.

7. Для покраски пола в магазине представлено три вида краски. Расход первой краски составляет 2 кг на 9 м², второй — 3 кг на 14 м², а третьей — 4 кг на 21 м². Какую краску выгоднее купить?

Чтобы определить, какую краску выгоднее купить, необходимо сравнить их расход. Самой выгодной будет та краска, которой требуется меньше всего для покраски одинаковой площади. Для этого рассчитаем расход каждой краски в килограммах на один квадратный метр (кг/м?). Чем меньше это значение, тем выгоднее краска.

Расход первой краски:
Дано, что 2 кг краски уходит на 9 м?. Расход на 1 м? составляет:$2 \div 9 = \frac{2}{9}$ кг/м?

Расход второй краски:
Дано, что 3 кг краски уходит на 14 м?. Расход на 1 м? составляет:$3 \div 14 = \frac{3}{14}$ кг/м?

Расход третьей краски:
Дано, что 4 кг краски уходит на 21 м?. Расход на 1 м? составляет:$4 \div 21 = \frac{4}{21}$ кг/м?

Теперь необходимо сравнить полученные дроби: $\frac{2}{9}$, $\frac{3}{14}$ и $\frac{4}{21}$. Для сравнения приведем их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное для знаменателей 9, 14 и 21.$9 = 3^2$$14 = 2 \cdot 7$$21 = 3 \cdot 7$Наименьший общий знаменатель будет $2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$.

Приведем дроби к знаменателю 126:

Для первой краски: $\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 14}{9 \cdot 14} = \frac{28}{126}$

Для второй краски: $\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 9}{14 \cdot 9} = \frac{27}{126}$

Для третьей краски: $\frac{4}{21} = \frac{4 \cdot 6}{21 \cdot 6} = \frac{24}{126}$

Теперь сравним полученные значения расхода: $\frac{28}{126}$, $\frac{27}{126}$ и $\frac{24}{126}$.Поскольку $24 < 27 < 28$, то и $\frac{24}{126} < \frac{27}{126} < \frac{28}{126}$.Это означает, что $\frac{4}{21} < \frac{3}{14} < \frac{2}{9}$.

Наименьший расход у третьей краски, следовательно, она является самой выгодной.

Ответ: выгоднее купить третью краску.

8. В первый стакан налили молоко, во второй — такое же количество чая и половину молока перелили в стакан с чаем. Затем из второго стакана половину смеси перелили в первый стакан. Чего больше: молока в чае или чая в молоке?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть изначально в каждом стакане было по $V$ единиц жидкости.

Исходное состояние:

• В первом стакане: $V$ молока и $0$ чая.
• Во втором стакане: $V$ чая и $0$ молока.

Проанализируем каждый шаг переливания.

Шаг 1: Переливание половины молока в стакан с чаем

Из первого стакана во второй переливают половину молока, то есть объем $V/2$.

• В первом стакане остается: $V - V/2 = V/2$ молока.
• Во втором стакане становится: $V$ чая и $V/2$ молока. Общий объем жидкости во втором стакане теперь составляет $V + V/2 = 3V/2$.

Теперь найдем концентрацию (долю) молока и чая в смеси во втором стакане:

• Доля молока: $\frac{V/2}{3V/2} = \frac{1}{3}$
• Доля чая: $\frac{V}{3V/2} = \frac{2}{3}$

Шаг 2: Переливание половины смеси из второго стакана в первый

Из второго стакана берут половину смеси и переливают в первый. Объем переливаемой смеси равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{3V}{2} = \frac{3V}{4}$.

Эта смесь состоит из молока и чая в пропорции 1 к 2. Рассчитаем, сколько именно молока и чая перелили обратно в первый стакан:

• Количество молока, перелитого обратно: $\frac{3V}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{V}{4}$.
• Количество чая, перелитого в первый стакан: $\frac{3V}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2V}{4} = \frac{V}{2}$.

Сравнение

Теперь мы можем ответить на главный вопрос задачи: чего больше, молока в чае или чая в молоке? Для этого определим итоговое количество каждой примеси.

• Чай в молоке — это количество чая, которое оказалось в первом стакане. На втором шаге в первый стакан было перелито $\frac{V}{2}$ чая. Таким образом, количество чая в молоке равно $\frac{V}{2}$.
• Молоко в чае — это количество молока, которое в итоге осталось во втором стакане. Изначально туда перелили $\frac{V}{2}$ молока, а затем на втором шаге отлили обратно $\frac{V}{4}$ молока. Следовательно, итоговое количество молока во втором стакане: $\frac{V}{2} - \frac{V}{4} = \frac{2V}{4} - \frac{V}{4} = \frac{V}{4}$.

Сравниваем полученные величины: количество чая в молоке ($\frac{V}{2}$) и количество молока в чае ($\frac{V}{4}$).

Так как $\frac{V}{2} > \frac{V}{4}$, то чая в молоке оказалось больше, чем молока в чае.

Ответ: Чая в молоке больше, чем молока в чае. Его ровно в два раза больше.