Страница 85, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.60 Найдите произведение:

а) 54 • 36;

б) 47 • 75;

в) 325 • 38;

г) 138 • 27;

д) 302 • 405;

е) 120 • 3500;

ж) 1207 • 6322;

з) 4006 • 4050.

а) Чтобы найти произведение $54 \cdot 36$, воспользуемся распределительным свойством умножения: $54 \cdot 36 = 54 \cdot (30 + 6) = 54 \cdot 30 + 54 \cdot 6 = 1620 + 324 = 1944$. Ответ: 1944

б) Для вычисления произведения $47 \cdot 75$ разложим второй множитель: $47 \cdot 75 = 47 \cdot (70 + 5) = 47 \cdot 70 + 47 \cdot 5 = 3290 + 235 = 3525$. Ответ: 3525

в) Вычислим произведение $325 \cdot 38$: $325 \cdot 38 = 325 \cdot (30 + 8) = 325 \cdot 30 + 325 \cdot 8 = 9750 + 2600 = 12350$. Ответ: 12350

г) Найдем произведение $138 \cdot 27$: $138 \cdot 27 = 138 \cdot (20 + 7) = 138 \cdot 20 + 138 \cdot 7 = 2760 + 966 = 3726$. Ответ: 3726

д) Вычислим произведение $302 \cdot 405$. Удобно разложить 405 на $400$ и $5$: $302 \cdot (400 + 5) = 302 \cdot 400 + 302 \cdot 5 = 120800 + 1510 = 122310$. Ответ: 122310

е) Для вычисления $120 \cdot 3500$ сгруппируем множители: $120 \cdot 3500 = 12 \cdot 10 \cdot 35 \cdot 100 = (12 \cdot 35) \cdot (10 \cdot 100) = 420 \cdot 1000 = 420000$. Ответ: 420000

ж) Чтобы найти произведение $1207 \cdot 6322$, выполним умножение по разрядам (как в столбик): $1207 \cdot 6322 = 1207 \cdot (6000 + 300 + 20 + 2) = 1207 \cdot 6000 + 1207 \cdot 300 + 1207 \cdot 20 + 1207 \cdot 2 = 7242000 + 362100 + 24140 + 2414 = 7630654$. Ответ: 7630654

з) Найдем произведение $4006 \cdot 4050$. Разложим второй множитель: $4006 \cdot (4000 + 50) = 4006 \cdot 4000 + 4006 \cdot 50 = 16024000 + 200300 = 16224300$. Ответ: 16224300

3.61 а) От одной автостанции одновременно в противоположных направлениях вышли два автобуса. Какое расстояние будет между автобусами через 4 ч, если скорость одного из них равна 65 км/ч, а другого - 75 км/ч?

б) Сивка-Бурка мчался без устали 6 ч со скоростью 24 км/ч. Сколько времени он потратит на обратный путь, если поскачет по той же дороге, но на 8 км/ч медленнее?

1) 65 + 75 = 140 (км/ч) – скорость удаления

2) 140 · 4 = (100 + 40) · 4 = 100 · 4 + 40 · 4 = 400 + 160 = 560 (км)

Ответ: 560 км.

б)

1) 6 · 24 = 6 · (20 + 4) = 6 · 20 + 6 · 4 = 120 + 24 = 144 (км)

2) 24 - 8 = 16 (км/ч) – скорость на обратном пути

3) 144 : 16 = 9 (ч)

Ответ: 9 ч.

а)

Чтобы найти расстояние между автобусами, которые движутся от одной станции в противоположных направлениях, нужно сначала определить их общую скорость удаления друг от друга.

1. Скорость удаления равна сумме скоростей автобусов, так как они движутся в разные стороны:
$v_{удаления} = 65 \text{ км/ч} + 75 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$.

2. Теперь, чтобы найти расстояние между ними через 4 часа, умножим скорость удаления на время в пути:
$S = v_{удаления} \times t = 140 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 560 \text{ км}$.

Ответ: через 4 часа расстояние между автобусами будет 560 км.

б)

Для решения этой задачи нужно выполнить три шага: найти расстояние, пройденное "туда", определить скорость на обратном пути и затем рассчитать время обратного пути.

1. Вычисляем расстояние, которое проскакал Сивка-Бурка. Для этого умножаем его скорость на время:
$S = v_{туда} \times t_{туда} = 24 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 144 \text{ км}$.

2. Находим скорость на обратном пути. Она на 8 км/ч медленнее первоначальной:
$v_{обратно} = 24 \text{ км/ч} - 8 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$.

3. Рассчитываем время на обратный путь. Для этого делим расстояние (оно не изменилось) на новую скорость:
$t_{обратно} = \frac{S}{v_{обратно}} = \frac{144 \text{ км}}{16 \text{ км/ч}} = 9 \text{ ч}$.

Ответ: на обратный путь Сивка-Бурка потратит 9 часов.

3.62 Составьте задачу по выражению:

а) 110 + 35 • 3;

б) 186 - 57 • 2;

в) 15 • 4 + 12 • 4.

$\mathrm{а}) 110 + 35 · 3$

На большой полке в библиотеке стоит 110 книг, а на трёх маленьких полках по 35 книг. Сколько всего книг в библиотеке?

$\mathrm{б}) 186 - 57 · 2$

В магазин привезли 186 кг помидоров. Продали 2 ящика помидоров по 57 кг. Сколько килограммов помидоров осталось продать?

$\mathrm{в}) 15 · 4 + 12 · 4$

Вася купил 4 карандаша по 12р. и 4 ручки по 15р. Сколько всего денег заплатил Вася?

а) Задача: В школьную столовую привезли 110 кг картофеля. Затем доставили еще 3 мешка картофеля, по 35 кг в каждом. Сколько всего килограммов картофеля стало в столовой?

Решение:
1. Сначала найдем, сколько килограммов картофеля привезли в 3 мешках. Для этого умножим количество килограммов в одном мешке на количество мешков: $35 \cdot 3 = 105$ (кг).
2. Теперь найдем общее количество картофеля, сложив то, что было изначально, и то, что привезли: $110 + 105 = 215$ (кг).

Вычисление по выражению: $110 + 35 \cdot 3 = 110 + 105 = 215$.

Ответ: 215.

б) Задача: В ателье было 186 метров ткани. Швея сшила 2 одинаковых платья, израсходовав на каждое по 57 метров ткани. Сколько метров ткани осталось в ателье?

Решение:
1. Сначала определим, сколько всего ткани ушло на пошив двух платьев. Для этого умножим расход ткани на одно платье на количество платьев: $57 \cdot 2 = 114$ (м).
2. Теперь найдем, сколько ткани осталось. Для этого из первоначального количества вычтем израсходованное количество: $186 - 114 = 72$ (м).

Вычисление по выражению: $186 - 57 \cdot 2 = 186 - 114 = 72$.

Ответ: 72.

в) Задача: Для украшения класса купили 4 упаковки красных шаров, по 15 штук в каждой, и 4 упаковки синих шаров, по 12 штук в каждой. Сколько всего шаров купили для украшения класса?

Решение:
Этот пример можно решить двумя способами.
Способ 1:
1. Найдем общее количество красных шаров: $15 \cdot 4 = 60$ (шаров).
2. Найдем общее количество синих шаров: $12 \cdot 4 = 48$ (шаров).
3. Сложим количество красных и синих шаров, чтобы найти их общее число: $60 + 48 = 108$ (шаров).
Способ 2 (используя распределительный закон умножения):
Можно представить выражение как $(15 + 12) \cdot 4$.
1. Найдем, сколько всего шаров в одной красной и одной синей упаковке вместе: $15 + 12 = 27$ (шаров).
2. Так как у нас 4 таких "набора" из красных и синих упаковок, умножим это число на 4: $27 \cdot 4 = 108$ (шаров).

Вычисление по выражению: $15 \cdot 4 + 12 \cdot 4 = 60 + 48 = 108$.

Ответ: 108.

3.63 Не вычисляя, сравните значения выражений (используя знак >):

а) 245 • 678 и 332 • 713;

б) 8983 • 1142 и 6394 • 998.

а) $332 · 713>245 · 678$, так как $332>245$ и $713>678$

б) $8983 · 1142>6394 · 998$, так как $8983>6394$ и $1142>998$

а) Чтобы сравнить значения выражений $245 \cdot 678$ и $332 \cdot 713$ без вычислений, необходимо сравнить множители в каждом из произведений.

Сравним первые множители в каждом выражении: $245 < 332$.

Сравним вторые множители в каждом выражении: $678 < 713$.

Поскольку оба множителя в первом произведении ($245$ и $678$) меньше соответствующих множителей во втором произведении ($332$ и $713$), то и значение первого произведения будет меньше значения второго. Таким образом, $245 \cdot 678 < 332 \cdot 713$.

Согласно условию, необходимо использовать знак $>$, поэтому запишем неравенство в виде $332 \cdot 713 > 245 \cdot 678$.

Ответ: $332 \cdot 713 > 245 \cdot 678$.

б) Чтобы сравнить значения выражений $8983 \cdot 1142$ и $6394 \cdot 998$, воспользуемся тем же методом.

Сравним первые множители: $8983 > 6394$.

Сравним вторые множители: $1142 > 998$.

Так как оба множителя в первом произведении ($8983$ и $1142$) больше соответствующих множителей во втором произведении ($6394$ и $998$), то и значение первого произведения будет больше значения второго.

Ответ: $8983 \cdot 1142 > 6394 \cdot 998$.

3.64 Не вычисляя, запишите выражения в порядке убывания:

а) 183 • 181;

б) 85 • 86;

в) 85 • 104;

г) 39 • 86;

д) 39 • 75;

е) 183 • 104.

а) $183 · 181$;

е) $185 · 104$;

в) $104 · 85$;

б) $85 · 86$;

г) $39 · 86$;

д) $39 · 75$

Ответ: а), е), в), б), г), д).

Если в двух произведениях есть одинаковые множители, то больше будет, то произведение, в котором второй множитель больше.

Чтобы расположить выражения в порядке убывания без прямого вычисления, мы будем их сравнивать попарно. Основной принцип сравнения: если у двух произведений один из множителей совпадает, то больше то произведение, у которого второй множитель больше.

Начнем с поиска самого большого значения. Выражения а) $183 \cdot 181$ и е) $183 \cdot 104$ содержат наибольшие множители. Сравним их между собой. У них есть общий множитель $183$. Поскольку второй множитель в выражении а) больше ($181 > 104$), то и все произведение больше: $183 \cdot 181 > 183 \cdot 104$. Значит, $183 \cdot 181$ — самое большое выражение.

Теперь сравним $183 \cdot 104$ (выражение е)) со следующим кандидатом, например, с выражением в) $85 \cdot 104$. У них общий множитель $104$. Так как $183 > 85$, то $183 \cdot 104 > 85 \cdot 104$.

Продолжим сравнение. Сравним $85 \cdot 104$ (выражение в)) и $85 \cdot 86$ (выражение б)). Общий множитель — $85$. Поскольку $104 > 86$, то $85 \cdot 104 > 85 \cdot 86$.

Далее сравним $85 \cdot 86$ (выражение б)) и $39 \cdot 86$ (выражение г)). Общий множитель — $86$. Поскольку $85 > 39$, то $85 \cdot 86 > 39 \cdot 86$.

И, наконец, сравним $39 \cdot 86$ (выражение г)) и $39 \cdot 75$ (выражение д)). Общий множитель — $39$. Поскольку $86 > 75$, то $39 \cdot 86 > 39 \cdot 75$. Выражение $39 \cdot 75$ является самым маленьким.

Собирая все сравнения воедино, мы получаем итоговую последовательность в порядке убывания:
$183 \cdot 181 > 183 \cdot 104 > 85 \cdot 104 > 85 \cdot 86 > 39 \cdot 86 > 39 \cdot 75$.

Ответ: $183 \cdot 181$; $183 \cdot 104$; $85 \cdot 104$; $85 \cdot 86$; $39 \cdot 86$; $39 \cdot 75$.

3.65 Найдите значение выражения:

а) (1212 - 849 + 3781) : 56;

б) (14 844 - 2396 - 5566) : 93.

a) $(1212 \stackrel{1}{-} 849 \stackrel{2}{+} 3781) \stackrel{3}{:} 56=74$

1)

2)

3)

б) $(14844 \stackrel{1}{-} 2396 \stackrel{2}{-} 5566) \stackrel{3}{:} 93=74$

1)

2)

3)

а) Чтобы найти значение выражения $(1212 - 849 + 3781) : 56$, выполним действия в соответствии с порядком операций. Сначала вычисляем значение в скобках, затем выполняем деление.
1. Выполним вычитание в скобках:
$1212 - 849 = 363$
2. Выполним сложение в скобках:
$363 + 3781 = 4144$
3. Теперь разделим результат, полученный в скобках, на 56:
$4144 : 56 = 74$
Ответ: 74

б) Чтобы найти значение выражения $(14844 - 2396 - 5566) : 93$, выполним действия в соответствии с порядком операций. Сначала вычисляем значение в скобках (действия вычитания выполняются по порядку слева направо), затем выполняем деление.
1. Выполним первое вычитание в скобках:
$14844 - 2396 = 12448$
2. Выполним второе вычитание в скобках:
$12448 - 5566 = 6882$
3. Теперь разделим результат, полученный в скобках, на 93:
$6882 : 93 = 74$
Ответ: 74

3.66 Найдите корень уравнения:

а) (x + 15) - 8 = 17;

б) (24 + x) - 21 = 10;

в) (45 - y) + 18 = 58;

г) (y - 35) + 12 = 32.

а) Чтобы решить уравнение $(x + 15) - 8 = 17$, сначала рассмотрим выражение в скобках $(x + 15)$ как одно целое — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно сложить вычитаемое и разность:
$x + 15 = 17 + 8$
$x + 15 = 25$
Теперь в уравнении $x + 15 = 25$ переменная $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$x = 25 - 15$
$x = 10$

Ответ: 10

б) В уравнении $(24 + x) - 21 = 10$ выражение в скобках $(24 + x)$ является неизвестным уменьшаемым. Найдем его, сложив вычитаемое 21 и разность 10:
$24 + x = 10 + 21$
$24 + x = 31$
Теперь $x$ — неизвестное слагаемое. Найдем его, вычтя из суммы 31 известное слагаемое 24:
$x = 31 - 24$
$x = 7$

Ответ: 7

в) В уравнении $(45 - y) + 18 = 58$ выражение в скобках $(45 - y)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, нужно из суммы 58 вычесть известное слагаемое 18:
$45 - y = 58 - 18$
$45 - y = 40$
Теперь в уравнении $45 - y = 40$ переменная $y$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого 45 вычесть разность 40:
$y = 45 - 40$
$y = 5$

Ответ: 5

г) В уравнении $(y - 35) + 12 = 32$ выражение в скобках $(y - 35)$ является неизвестным слагаемым. Найдем его, вычтя из суммы 32 известное слагаемое 12:
$y - 35 = 32 - 12$
$y - 35 = 20$
Теперь в уравнении $y - 35 = 20$ переменная $y$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно сложить вычитаемое 35 и разность 20:
$y = 20 + 35$
$y = 55$

Ответ: 55

3.67 Используя диаграмму на рисунке 3.3, найдите стоимость горячей воды, потребляемой жителями подъезда многоквартирного дома за первый квартал, если цена 1 кубометра горячей воды 163 р.

1) $163 · 604 = 98452$ (р.) - за январь

2) $163 · 570 = 92910$ (р.) - за февраль

3) $163 · 691 = 112633$ (р.) - за март

4) $98452 + 92910 + 112633 = 303995$ (р.)

или

$163 · (604 + 570 + 691) = 303995$(р.)

1)

2)

3)

Ответ: 303 995 р.

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти общий объем потребленной воды за первый квартал (январь, февраль, март), а затем умножить этот объем на стоимость одного кубометра.

1. Найдем общий расход воды за первый квартал.

Из диаграммы видно, что расход воды по месяцам составил:

• Январь: 604 кубометра
• Февраль: 570 кубометров
• Март: 691 кубометр

Суммируем эти значения, чтобы получить общий объем за квартал: $604 + 570 + 691 = 1865$ кубометров.

2. Рассчитаем стоимость потребленной воды.

По условию, цена 1 кубометра горячей воды составляет 163 рубля. Умножим общий объем потребленной воды на цену за кубометр: $1865 \times 163 = 303995$ рублей.

Ответ: 303995 рублей.

3.68 Развивай внимание. Сосчитайте, сколько шестёрок и сколько семёрок на рисунке 3.4, по особому правилу — считать нужно подряд и шестёрки, и семёрки: «Первая шестёрка, первая семёрка, вторая шестёрка, третья шестёрка, вторая семёрка и т. д.». Если сразу не удастся сосчитать, возвращайтесь к этому заданию ещё и ещё раз.

1-ая шестёрка,
1-ая семёрка,
2-ая шестёрка,
3-я шестёрка,
2-ая семёрка,
4-я шестёрка,
3-я семёрка,
4-я семёрка,
5-я шестёрка,
5-я семёрка,
6-я шестёрка,
7-я шестёрка,
6-я семёрка,
8-я шестёрка,
7-я семёрка,
8-я семёрка,
9-я шестёрка,
9-я семёрка,
10-я шестёрка,
10-я семёрка

Сколько шестёрок на рисунке

Чтобы найти общее количество шестёрок, нужно сосчитать их в каждой строке и сложить полученные результаты. Это упражнение на внимательность, поэтому будем считать последовательно.

В первой (верхней) строке находятся числа: 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 6, 7. Посчитаем количество шестёрок: первая, вторая, третья, четвёртая, пятая. Всего в верхней строке 5 шестёрок.

Во второй (нижней) строке находятся числа: 6, 6, 7, 6, 7, 7, 6, 7, 6, 7. Посчитаем количество шестёрок в этой строке: первая, вторая, третья, четвёртая, пятая. Всего в нижней строке также 5 шестёрок.

Теперь сложим количество шестёрок из обеих строк: $5 + 5 = 10$.

Ответ: на рисунке 10 шестёрок.

Сколько семёрок на рисунке

Аналогичным образом посчитаем общее количество семёрок, суммируя их количество в каждой строке.

В первой (верхней) строке (6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 6, 7) посчитаем количество семёрок: первая, вторая, третья, четвёртая, пятая. Всего в верхней строке 5 семёрок.

Во второй (нижней) строке (6, 6, 7, 6, 7, 7, 6, 7, 6, 7) посчитаем количество семёрок: первая, вторая, третья, четвёртая, пятая. Всего в нижней строке также 5 семёрок.

Сложим количество семёрок из обеих строк: $5 + 5 = 10$.

Ответ: на рисунке 10 семёрок.

1 Найдите произведение 18 и 9.

$18 · 9 = (10 + 8) · 9 =$
$= 10 · 9 + 8 · 9 =$
$= 90 + 72 = 162$

1

Чтобы найти произведение чисел 18 и 9, необходимо выполнить операцию умножения. Это можно записать в виде выражения: $18 \times 9$.

Для вычисления этого произведения можно использовать несколько методов.

Метод 1: Разложение на слагаемые (распределительное свойство)
Можно представить число 18 как сумму двух более простых чисел, например, $10$ и $8$.
$18 = 10 + 8$
Теперь умножим эту сумму на 9, используя распределительное свойство умножения: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$.
$(10 + 8) \times 9 = (10 \times 9) + (8 \times 9)$
Вычислим каждое произведение по отдельности:
$10 \times 9 = 90$
$8 \times 9 = 72$
Теперь сложим полученные результаты:
$90 + 72 = 162$

Метод 2: Умножение в столбик
1. Умножаем 9 на единицы числа 18, то есть на 8. Получаем $9 \times 8 = 72$. Записываем 2 в разряд единиц ответа, а 7 десятков запоминаем.
2. Умножаем 9 на десятки числа 18, то есть на 1. Получаем $9 \times 1 = 9$.
3. К полученному результату (9) прибавляем 7 десятков, которые мы запомнили на предыдущем шаге: $9 + 7 = 16$.
4. Записываем 16 в разряды сотен и десятков ответа.
Соединив результаты, получаем число 162.

Итак, произведение чисел 18 и 9 равно 162.

Ответ: 162

2 Найдите произведение суммы 18 и 9 и разности 18 и 9.

$(18 \stackrel{1}{+} 9) \stackrel{3}{·} (18 \stackrel{2}{-} 9) =$
$= 27 · 9 = (20 + 7) · 9 =$
$= 20 · 9 + 7 · 9 =$
$= 180 + 63 = 243$

Для того чтобы найти произведение суммы чисел 18 и 9 и их разности, необходимо выполнить следующие вычисления.

Сперва найдем сумму чисел 18 и 9. Сумма — это результат сложения:

$18 + 9 = 27$

Далее найдем разность этих же чисел. Разность — это результат вычитания:

$18 - 9 = 9$

Наконец, согласно условию задачи, найдем произведение полученной суммы (27) и полученной разности (9). Произведение — это результат умножения:

$27 \times 9 = 243$

Данную задачу также можно решить с помощью формулы сокращенного умножения, известной как разность квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a=18$ и $b=9$.

$(18+9)(18-9) = 18^2 - 9^2 = 324 - 81 = 243$

Ответ: 243

3 Разложите на множители число 162 двумя способами.

162 = 2 · 81, так как

162 = 3 · 54, так как

Разложить число 162 на множители означает представить его в виде произведения других чисел. Это можно сделать несколькими способами. Вот два из них.

Этот способ заключается в том, чтобы представить число как произведение только простых чисел (чисел, которые делятся без остатка только на 1 и на самих себя). Для этого мы будем последовательно делить число 162 на его наименьшие простые делители.

Сначала заметим, что 162 — это чётное число, следовательно, оно делится на 2:

$162 : 2 = 81$

Теперь у нас есть разложение $162 = 2 \times 81$. Продолжим с числом 81. Его нельзя разделить на 2. Проверим делимость на следующее простое число, 3. Сумма цифр числа 81 ($8 + 1 = 9$) делится на 3, значит, и само число 81 делится на 3:

$81 : 3 = 27$

Теперь наше разложение выглядит так: $162 = 2 \times 3 \times 27$. Продолжим с числом 27, которое также делится на 3:

$27 : 3 = 9$

Получаем: $162 = 2 \times 3 \times 3 \times 9$. И, наконец, разложим 9:

$9 = 3 \times 3$

Собрав все простые множители вместе, мы получаем окончательное разложение числа 162 на простые множители. Такое разложение является уникальным.

Ответ: $162 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$.

В этом способе мы найдём два любых числа, произведение которых даёт 162. Для этого можно воспользоваться признаками делимости. Как мы уже знаем из первого способа, сумма цифр числа 162 ($1 + 6 + 2 = 9$) делится не только на 3, но и на 9. Следовательно, и само число 162 делится на 9.

Выполним деление, чтобы найти второй множитель:

$162 : 9 = 18$

Таким образом, мы можем представить число 162 как произведение чисел 9 и 18.

Ответ: $162 = 9 \times 18$.

Стоит отметить, что существуют и другие варианты разложения на два множителя, например: $162 = 2 \times 81$ или $162 = 6 \times 27$. Любой из этих вариантов также является правильным решением.

4 Сравните произведения:

а) 14 • 15 и 15 • 14;

б) 2 • 3 • 4 • 5 и 6 • 21;

в) 3 • (4 + 12) и (4 + 8) • 4;

г) 7x и 0 • x.

а) $14 · 15 = 15 · 14$ - переместительное свойство умножения

б) $2 · 3 · 4 · 5 < 6 · 21$
$2 · 3 · 4·5 < 2 · 3 · 3 · 7$
$2 · 3 · 20 < 2 · 3 · 21$
$(20<21)$

в) $3 · (4 + 12) = (4 + 8) · 4$
$3 · 16 = 12 · 4$
$3 · 4·4 = 3 · 4 · 4$

г) $7x>0x$, если $x$ - натуральное число или $7x = 0x$, если $x = 0.$

а) Чтобы сравнить произведения $14 \cdot 15$ и $15 \cdot 14$, мы можем применить переместительное свойство умножения. Это свойство гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. В общем виде это записывается как $a \cdot b = b \cdot a$. В данном случае $a = 14$ и $b = 15$, поэтому выражения равны.
Для проверки можно вычислить оба произведения:
$14 \cdot 15 = 210$
$15 \cdot 14 = 210$
Так как $210 = 210$, то и произведения равны.
Ответ: $14 \cdot 15 = 15 \cdot 14$.

б) Сравним произведения $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ и $6 \cdot 21$.
Сначала вычислим значение первого произведения: $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 6 \cdot 20 = 120$.
Теперь вычислим значение второго произведения: $6 \cdot 21 = 126$.
Сравнивая полученные значения, видим, что $120 < 126$.
Следовательно, первое произведение меньше второго.
Ответ: $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 < 6 \cdot 21$.

в) Сравним выражения $3 \cdot (4 + 12)$ и $(4 + 8) \cdot 4$.
Вычислим значение первого выражения, выполнив сначала действие в скобках:
$3 \cdot (4 + 12) = 3 \cdot 16 = 48$.
Теперь вычислим значение второго выражения:
$(4 + 8) \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48$.
Поскольку результаты вычислений равны ($48 = 48$), то и исходные выражения равны.
Ответ: $3 \cdot (4 + 12) = (4 + 8) \cdot 4$.

г) Сравним произведения $7x$ и $0 \cdot x$.
Произведение любого числа на ноль всегда равно нулю, поэтому $0 \cdot x = 0$ при любом значении $x$.
Теперь задача сводится к сравнению выражения $7x$ с нулём. Результат этого сравнения зависит от значения переменной $x$:
1. Если $x$ — положительное число ($x > 0$), то $7x > 0$. Следовательно, $7x > 0 \cdot x$.
2. Если $x$ равен нулю ($x = 0$), то $7x = 7 \cdot 0 = 0$. Следовательно, $7x = 0 \cdot x$.
3. Если $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то $7x < 0$. Следовательно, $7x < 0 \cdot x$.
Таким образом, без дополнительной информации о значении $x$ дать однозначный ответ невозможно.
Ответ: Результат сравнения зависит от значения $x$: если $x > 0$, то $7x > 0 \cdot x$; если $x = 0$, то $7x = 0 \cdot x$; если $x < 0$, то $7x < 0 \cdot x$.

5 Не вычисляя, сравните значения выражений:

а) 23 • 46 и 38 • 23;

б) 438 • 198 и 605 • 198.

a) $23·46>38·23,$$23·46>23·38$, так как $23 = 23$ и $46>38$

б) $438·198<605·198$, так как $438<605$ и $198 = 198$

а)

Чтобы сравнить значения выражений $23 \cdot 46$ и $38 \cdot 23$, не прибегая к вычислениям, мы можем использовать свойства умножения.

Во-первых, применим переместительное свойство умножения ко второму выражению. Это свойство гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$). Таким образом, $38 \cdot 23 = 23 \cdot 38$.

Теперь нам нужно сравнить два выражения: $23 \cdot 46$ и $23 \cdot 38$.

Оба этих произведения имеют общий множитель — число 23. Если мы умножаем одно и то же положительное число на два разных числа, то результат будет больше там, где второй множитель больше.

Сравним вторые множители: 46 и 38. Очевидно, что $46 > 38$.

Поскольку мы умножаем на одно и то же положительное число 23, то и произведение $23 \cdot 46$ будет больше, чем $23 \cdot 38$.

Следовательно, $23 \cdot 46 > 38 \cdot 23$.

Ответ: $23 \cdot 46 > 38 \cdot 23$

б)

Сравним значения выражений $438 \cdot 198$ и $605 \cdot 198$.

В этом случае оба произведения имеют одинаковый второй множитель — число 198.

Правило сравнения произведений с одинаковым множителем гласит: из двух произведений с одинаковым положительным множителем больше то, у которого другой множитель больше.

Нам нужно сравнить первые множители: 438 и 605.

Так как $438 < 605$, то и произведение с множителем 438 будет меньше, чем произведение с множителем 605, при условии, что второй множитель (198) у них одинаковый и положительный.

Следовательно, $438 \cdot 198 < 605 \cdot 198$.

Ответ: $438 \cdot 198 < 605 \cdot 198$

5.528 Найдите значение выражения:

а)

Чтобы найти значение выражения, выполним действия по порядку. В данном случае умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их слева направо. Деление на дробь можно заменить умножением на обратную ей дробь.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} : \frac{2}{9} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{2}$

Запишем все числители и знаменатели под одной дробной чертой и выполним сокращение:

$\frac{3 \cdot 8 \cdot 9}{4 \cdot 9 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 8 \cdot \cancel{9}}{4 \cdot \cancel{9} \cdot 2} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 2}$

Так как в знаменателе $4 \cdot 2 = 8$, мы можем сократить 8 в числителе и знаменателе:

$\frac{3 \cdot \cancel{8}}{\cancel{8}} = 3$

Ответ: 3

б)

Выполним действия слева направо. Заменим деление на дробь $\frac{5}{26}$ умножением на обратную ей дробь $\frac{26}{5}$.

$\frac{11}{13} : \frac{5}{26} \cdot \frac{25}{33} = \frac{11}{13} \cdot \frac{26}{5} \cdot \frac{25}{33}$

Запишем все под одной дробной чертой и сократим:

$\frac{11 \cdot 26 \cdot 25}{13 \cdot 5 \cdot 33}$

Сокращаем 26 и 13 на 13 ($26 = 2 \cdot 13$):

$\frac{11 \cdot 2 \cdot 25}{5 \cdot 33}$

Сокращаем 25 и 5 на 5 ($25 = 5 \cdot 5$):

$\frac{11 \cdot 2 \cdot 5}{33}$

Сокращаем 11 и 33 на 11 ($33 = 3 \cdot 11$):

$\frac{\cancel{11} \cdot 2 \cdot 5}{3 \cdot \cancel{11}} = \frac{2 \cdot 5}{3} = \frac{10}{3}$

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $3\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{10}{3}$

в)

Выполним действия по порядку слева направо. Заменим деление на дробь $\frac{7}{12}$ умножением на обратную ей дробь $\frac{12}{7}$.

$\frac{17}{24} : \frac{7}{12} \cdot \frac{7}{9} = \frac{17}{24} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{7}{9}$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{17 \cdot 12 \cdot 7}{24 \cdot 7 \cdot 9}$

Сокращаем 7 в числителе и знаменателе:

$\frac{17 \cdot 12 \cdot \cancel{7}}{24 \cdot \cancel{7} \cdot 9} = \frac{17 \cdot 12}{24 \cdot 9}$

Сокращаем 12 и 24 на 12 ($24 = 2 \cdot 12$):

$\frac{17 \cdot \cancel{12}}{2 \cdot \cancel{12} \cdot 9} = \frac{17}{2 \cdot 9}$

Вычисляем произведение в знаменателе:

$\frac{17}{18}$

Ответ: $\frac{17}{18}$

5.529 Снегоуборочная машина до обеда расчистила участок, составляющий 57 от длины участка, расчищенного ею после обеда. Сколько километров дороги она расчистила за весь день, если участок, расчищенный после обеда, оказался на 14 км больше участка, расчищенного до обеда?

До обеда – $\frac{5}{7}$ от

После обеда – $\leftarrow$ , на 14 км больше } ?

Пусть Х км снегоуборочная машина расчистила после обеда, тогда

$\frac{5}{7}x$ км она расчистила до обеда.

Зная, что после обеда она расчистила на 14 км больше, чем до обеда, составим и решим уравнение

1) $x - \frac{5}{7}x = 14$

$1 - \frac{5}{7}x = 14$

$\frac{7}{7} - \frac{5}{7}x = 14$

$\frac{2}{7}x = 14$

$x = 14 : \frac{2}{7}$

$x = 14·\frac{7}{2} = \frac{14·7}{2} = \frac{7·2·7}{2} = 7·7 = 49$

$x = 49$

2) $\frac{5}{7}·49 = \frac{5·49}{7} = \frac{5·7·7}{7} = 5·7 = 35$ (км) – до обеда

3) $49 + 35 = 84$ (км) – за весь день

Ответ: 84 км

Для решения задачи обозначим за $x$ длину участка дороги в километрах, который снегоуборочная машина расчистила после обеда.

Согласно условию, до обеда машина расчистила участок, составляющий $\frac{5}{7}$ от длины участка, расчищенного после обеда. Следовательно, его длина равна $\frac{5}{7}x$ км.

Также в условии сказано, что участок, расчищенный после обеда, на 14 км длиннее участка, расчищенного до обеда. Это можно выразить в виде уравнения, где разница между длинами участков равна 14 км: $x - \frac{5}{7}x = 14$

Решим полученное уравнение. Сначала упростим левую часть, приведя $x$ к знаменателю 7: $\frac{7}{7}x - \frac{5}{7}x = \frac{2}{7}x$

Теперь уравнение имеет вид: $\frac{2}{7}x = 14$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $\frac{2}{7}$: $x = 14 : \frac{2}{7} = 14 \cdot \frac{7}{2} = \frac{14 \cdot 7}{2} = 7 \cdot 7 = 49$

Таким образом, длина участка, расчищенного после обеда, составляет 49 км.

Теперь найдем длину участка, расчищенного до обеда, подставив значение $x$: $\frac{5}{7} \cdot 49 = \frac{5 \cdot 49}{7} = 5 \cdot 7 = 35$ км.

Чтобы узнать, сколько всего километров дороги машина расчистила за день, сложим длины обоих участков: $49 \text{ км} + 35 \text{ км} = 84 \text{ км}$.

Ответ: 84 км.

5.530 Из двух посёлков, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста составляла 78 скорости второго. Найдите скорость каждого велосипедиста, если они встретились через 23 ч.

Для решения задачи воспользуемся понятием скорости сближения. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей.

1. Найдем скорость сближения велосипедистов.

Известно, что расстояние между посёлками $S = 30$ км, а время, через которое велосипедисты встретились, $t = \frac{2}{3}$ ч. Скорость сближения $v_{сбл}$ можно найти, разделив расстояние на время:

$v_{сбл} = S \div t = 30 \div \frac{2}{3} = 30 \times \frac{3}{2} = \frac{90}{2} = 45$ км/ч.

2. Составим уравнение для нахождения скоростей.

Скорость сближения равна сумме скоростей первого ($v_1$) и второго ($v_2$) велосипедистов:

$v_1 + v_2 = 45$ км/ч.

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда $v_2 = x$.

По условию, скорость первого велосипедиста составляет $\frac{7}{8}$ скорости второго, то есть $v_1 = \frac{7}{8}x$.

Подставим эти выражения в уравнение для суммы скоростей:

$\frac{7}{8}x + x = 45$

3. Решим уравнение и найдем скорости.

Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю:

$\frac{7}{8}x + \frac{8}{8}x = 45$

$\frac{15}{8}x = 45$

Чтобы найти $x$, разделим 45 на $\frac{15}{8}$:

$x = 45 \div \frac{15}{8} = 45 \times \frac{8}{15} = \frac{45 \times 8}{15} = 3 \times 8 = 24$ км/ч.

Итак, скорость второго велосипедиста $v_2 = 24$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого велосипедиста:

$v_1 = \frac{7}{8}x = \frac{7}{8} \times 24 = 7 \times \frac{24}{8} = 7 \times 3 = 21$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 21 км/ч, скорость второго велосипедиста — 24 км/ч.

5.531 В магазин в двух ящиках привезли 77 кг чёрной смородины, причём масса первого ящика составляет 47 массы второго. Для продажи смородину из первого ящика расфасовали в 35 пластиковых контейнеров, а из второго — в 28 пластиковых стаканов. Где больше чёрной смородины: в одном контейнере или в одном стакане? На сколько килограммов?

N 531

Пусть x кг - масса 2-го ящика, тогда $\frac{4}{7}$ кг - масса 1-го ящика. Зная, что в двух ящиках 77 кг смородины, составим и решим уравнение.

1) $x + \frac{4}{7}x = 77$

$\left(1 + \frac{4}{7}\right)x = 77$

$\left(\frac{7}{7} + \frac{4}{7}\right)x = 77$

$\frac{11}{7}x = 77$

$x = 77 : \frac{11}{7}$

$x = 77·\frac{7}{11}$

$x = 49$

49 кг - масса 2-го ящика

2) $\frac{4}{7}·49 = \frac{4·49}{7} = \frac{4·7·7}{7} = 4·7 = 28\left(\text{кг}\right)$ - масса 1-го ящика

3) $28 : 35 = \frac{28}{35} = \frac{7·4}{7·5} = \frac{4}{5}\left(\text{кг}\right)$ - масса 1-го контейнера

4) $49 : 28 = \frac{49}{28} = \frac{7·7}{4·7} = \frac{7}{4}\left(\text{кг}\right)$ - масса 1-го стаканчика

5) $\frac{7}{4} - \frac{4}{5} = \frac{7·5}{4·5} - \frac{4·4}{5·4} = \frac{35}{20} - \frac{16}{20} = \frac{35 - 16}{20} = \frac{19}{20}\left(\text{кг}\right)$ - больше в одном стакане, чем в одном контейнере

Ответ: в одном стакане больше на

$\frac{19}{20}$ кг.

Для решения задачи сначала найдём массу чёрной смородины в каждом из двух ящиков.

Пусть $x$ кг — масса смородины во втором ящике. Тогда масса смородины в первом ящике составляет $\frac{4}{7}x$ кг. Суммарная масса смородины в двух ящиках равна 77 кг. Составим и решим уравнение:

$x + \frac{4}{7}x = 77$

$\frac{7}{7}x + \frac{4}{7}x = 77$

$\frac{11}{7}x = 77$

$x = 77 \div \frac{11}{7}$

$x = 77 \times \frac{7}{11}$

$x = 7 \times 7 = 49$

Таким образом, масса смородины во втором ящике составляет 49 кг.

Теперь найдём массу смородины в первом ящике:

$77 - 49 = 28$ кг.

Или через дробь:

$\frac{4}{7} \times 49 = 4 \times 7 = 28$ кг.

Итак, в первом ящике 28 кг смородины, а во втором — 49 кг.

Теперь ответим на вопросы задачи.

Где больше чёрной смородины: в одном контейнере или в одном стакане?

1. Найдём, сколько килограммов смородины в одном пластиковом контейнере. Смородину из первого ящика (28 кг) расфасовали в 35 контейнеров.

Масса смородины в одном контейнере: $28 \div 35 = \frac{28}{35} = \frac{4 \times 7}{5 \times 7} = \frac{4}{5}$ кг.

Переведём в десятичную дробь: $\frac{4}{5} = 0,8$ кг.

2. Найдём, сколько килограммов смородины в одном пластиковом стакане. Смородину из второго ящика (49 кг) расфасовали в 28 стаканов.

Масса смородины в одном стакане: $49 \div 28 = \frac{49}{28} = \frac{7 \times 7}{4 \times 7} = \frac{7}{4}$ кг.

Переведём в десятичную дробь: $\frac{7}{4} = 1,75$ кг.

3. Сравним полученные значения:

$1,75$ кг $> 0,8$ кг.

Следовательно, в одном стакане больше чёрной смородины, чем в одном контейнере.

На сколько килограммов?

Чтобы найти, на сколько килограммов смородины в одном стакане больше, чем в одном контейнере, вычтем из большей массы меньшую:

$1,75 - 0,8 = 0,95$ кг.

Можно также выполнить вычитание в обыкновенных дробях:

$\frac{7}{4} - \frac{4}{5} = \frac{7 \times 5}{20} - \frac{4 \times 4}{20} = \frac{35}{20} - \frac{16}{20} = \frac{19}{20}$ кг.

$\frac{19}{20} = \frac{19 \times 5}{20 \times 5} = \frac{95}{100} = 0,95$ кг.

Ответ: В одном стакане чёрной смородины больше, чем в одном контейнере, на 0,95 кг.

5.532 Вычислите.

а) Для вычисления значения выражения выполним действия по порядку:

1) Первым действием выполним вычитание: $285 - 213 = 72$

2) Далее выполним деление: $72 : 9 = 8$

3) Затем выполним сложение: $8 + 37 = 45$

4) Последним действием выполним деление: $45 : 15 = 3$

Ответ: 3

б) Для вычисления значения выражения выполним действия по порядку:

1) Первым действием выполним деление: $800 : 16 = 50$

2) Далее выполним умножение: $50 \cdot 7 = 350$

3) Затем выполним вычитание: $350 - 206 = 144$

4) Последним действием выполним деление: $144 : 12 = 12$

Ответ: 12

в) Для вычисления значения выражения выполним действия по порядку:

1) Первым действием выполним деление: $56 : 7 = 8$

2) Далее выполним умножение: $8 \cdot 3 = 24$

3) Затем выполним сложение: $24 + 33 = 57$

4) Последним действием выполним деление: $57 : 19 = 3$

Ответ: 3

г) Для вычисления значения выражения выполним действия по порядку:

1) Первым действием выполним вычитание: $100 - 55 = 45$

2) Далее выполним деление: $45 : 9 = 5$

3) Затем выполним сложение: $5 + 27 = 32$

4) Последним действием выполним деление: $32 : 16 = 2$

Ответ: 2

5.533 Запишите в виде неправильной дроби числа 213, 1911, 318, 9113, 5

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, необходимо умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Результат этого вычисления станет числителем неправильной дроби, а ее знаменатель останется таким же, как у дробной части смешанного числа. Целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

$2\frac{1}{3}$

Для преобразования смешанного числа $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь, выполним следующие действия:

1. Умножим целую часть (2) на знаменатель (3): $2 \cdot 3 = 6$.

2. К полученному результату (6) прибавим числитель (1): $6 + 1 = 7$.

3. Полученное число (7) будет числителем неправильной дроби, а знаменатель (3) останется без изменений.

Таким образом: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$

$1\frac{9}{11}$

Для преобразования смешанного числа $1\frac{9}{11}$ в неправильную дробь, выполним следующие действия:

1. Умножим целую часть (1) на знаменатель (11): $1 \cdot 11 = 11$.

2. К полученному результату (11) прибавим числитель (9): $11 + 9 = 20$.

3. Полученное число (20) будет числителем неправильной дроби, а знаменатель (11) останется без изменений.

Таким образом: $1\frac{9}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 9}{11} = \frac{20}{11}$.

Ответ: $\frac{20}{11}$

$3\frac{1}{8}$

Для преобразования смешанного числа $3\frac{1}{8}$ в неправильную дробь, выполним следующие действия:

1. Умножим целую часть (3) на знаменатель (8): $3 \cdot 8 = 24$.

2. К полученному результату (24) прибавим числитель (1): $24 + 1 = 25$.

3. Полученное число (25) будет числителем неправильной дроби, а знаменатель (8) останется без изменений.

Таким образом: $3\frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8}$.

Ответ: $\frac{25}{8}$

$9\frac{1}{13}$

Для преобразования смешанного числа $9\frac{1}{13}$ в неправильную дробь, выполним следующие действия:

1. Умножим целую часть (9) на знаменатель (13): $9 \cdot 13 = 117$.

2. К полученному результату (117) прибавим числитель (1): $117 + 1 = 118$.

3. Полученное число (118) будет числителем неправильной дроби, а знаменатель (13) останется без изменений.

Таким образом: $9\frac{1}{13} = \frac{9 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{118}{13}$.

Ответ: $\frac{118}{13}$

$5$

Чтобы представить целое число в виде неправильной дроби, нужно записать это число в числитель, а в знаменатель поставить единицу.

Таким образом: $5 = \frac{5}{1}$.

Ответ: $\frac{5}{1}$

5.534 Развивай мышление. На рисунке 5.65 изображена схема маршрута игры по ориентированию на местности. Старт игры находится в точке А. Участники должны пройти по каждому этапу маршрута (на схеме это отрезки АВ, AC, AR, СВ, CD, CR, DR) только один раз и отметиться в контрольных точках В, С, D и R. Приведите пример прохождения маршрута для команды. Возможны ли другие варианты прохождения маршрута?

Для решения этой задачи представим схему маршрута в виде графа, где контрольные точки (A, B, C, D, R) являются вершинами, а этапы маршрута (AB, AC, AR, CB, CD, CR, DR) — рёбрами графа. Задача состоит в том, чтобы найти эйлеров путь — путь, проходящий по всем рёбрам графа ровно один раз.

Согласно теореме Эйлера, эйлеров путь существует в связном графе тогда и только тогда, когда в нём не более двух вершин нечётной степени. Если в графе ровно две вершины нечётной степени, то эйлеров путь должен начинаться в одной из этих вершин и заканчиваться в другой.

Определим степени вершин нашего графа (степень вершины — это количество рёбер, которые к ней примыкают):

• Вершина A: к ней подходят 3 ребра (AB, AC, AR), значит, её степень $deg(A) = 3$.
• Вершина B: к ней подходят 2 ребра (AB, CB), значит, её степень $deg(B) = 2$.
• Вершина C: к ней подходят 4 ребра (AC, CB, CD, CR), значит, её степень $deg(C) = 4$.
• Вершина D: к ней подходят 2 ребра (CD, DR), значит, её степень $deg(D) = 2$.
• Вершина R: к ней подходят 3 ребра (AR, CR, DR), значит, её степень $deg(R) = 3$.

В графе есть ровно две вершины нечётной степени: A и R. По условию, старт находится в точке A. Следовательно, маршрут должен существовать, и он должен заканчиваться в точке R.

Приведите пример прохождения маршрута для команды.

Один из возможных вариантов прохождения маршрута, который начинается в точке А, проходит по всем отрезкам по одному разу и заканчивается в точке R, выглядит следующим образом:

A > B > C > D > R > C > A > R

Проверим этот маршрут, перечислив пройденные отрезки (рёбра): AB, BC, CD, DR, RC, CA, AR. Все 7 отрезков маршрута пройдены ровно один раз. Маршрут начинается в A и заканчивается в R, как и предсказывает теория.

Ответ: Один из возможных маршрутов: A > B > C > D > R > C > A > R.

Возможны ли другие варианты прохождения маршрута?

Да, другие варианты прохождения маршрута возможны. Существование нескольких вариантов обусловлено наличием в графе вершин со степенью больше двух (в данном случае это вершины A, C и R). Прибывая в такую вершину, у команды есть выбор, по какому из ещё не пройденных рёбер продолжить путь. Каждый такой выбор может привести к новому, уникальному маршруту.

Например, из начальной точки A можно было пойти не в B, а в C. Это привело бы к другому маршруту. Вот ещё один пример корректного маршрута, отличного от предыдущего:

A > C > B > A > R > D > C > R

Здесь пройдены рёбра: AC, CB, BA, AR, RD, DC, CR. Снова все 7 рёбер пройдены по одному разу, старт в A, а финиш в R.

Ответ: Да, другие варианты возможны, так как в точках A, C и R существуют развилки, позволяющие выбирать продолжение пути.

5.535 Выполните действия:

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть перевернуть вторую дробь).

$\frac{1}{3} : \frac{3}{7} = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{3} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 3} = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

б)

Выполняем деление дробей, умножая делимое на дробь, обратную делителю.

$\frac{1}{18} : \frac{3}{5} = \frac{1}{18} \cdot \frac{5}{3} = \frac{1 \cdot 5}{18 \cdot 3} = \frac{5}{54}$

Ответ: $\frac{5}{54}$

в)

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Перед умножением можно сократить общие множители в числителе и знаменателе.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot 4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

г)

Выполняем умножение дробей. Сократим числитель второй дроби (6) и знаменатель первой дроби (3) на их общий делитель 3.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{11} = \frac{2}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{6}^2}{11} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 11} = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$

д)

Согласно порядку действий, сначала выполним сложение в скобках, а затем умножение.

1. Сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 20 равен 20.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{20} = \frac{4}{20} + \frac{1}{20} = \frac{4+1}{20} = \frac{5}{20}$

Сократим полученную дробь: $\frac{5}{20} = \frac{5:5}{20:5} = \frac{1}{4}$.

2. Умножение результата на дробь $\frac{4}{5}$.

$(\frac{1}{5} + \frac{1}{20}) \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot \cancel{4}}{\cancel{4} \cdot 5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

е)

Сначала выполним вычитание в скобках, а затем умножение.

1. Вычитание дробей в скобках. Найдем общий знаменатель для 3 и 4. Наименьший общий знаменатель равен 12.

$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$

2. Умножение результата на 12. Представим 12 как дробь $\frac{12}{1}$.

$(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) \cdot 12 = \frac{1}{12} \cdot 12 = \frac{1}{12} \cdot \frac{12}{1} = \frac{1 \cdot \cancel{12}}{\cancel{12} \cdot 1} = 1$

Ответ: 1

5.536 Решите уравнение:

1) (3x + 5x) • 45 = 1080;

2) (9x - 4x) • 72 = 1080;

3) (10z - 4z) : 4 = 12;

4) (8z + 10z) : 9 = 16.

1) $(3x + 5x) \cdot 45 = 1080$

Сначала упростим выражение в скобках, сложив подобные слагаемые:

$3x + 5x = 8x$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$8x \cdot 45 = 1080$

Чтобы найти неизвестный множитель $8x$, нужно произведение 1080 разделить на известный множитель 45:

$8x = 1080 : 45$

$8x = 24$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно произведение 24 разделить на известный множитель 8:

$x = 24 : 8$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

2) $(9x - 4x) \cdot 72 = 1080$

Сначала упростим выражение в скобках, вычтя подобные слагаемые:

$9x - 4x = 5x$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$5x \cdot 72 = 1080$

Чтобы найти неизвестный множитель $5x$, разделим произведение 1080 на известный множитель 72:

$5x = 1080 : 72$

$5x = 15$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим произведение 15 на известный множитель 5:

$x = 15 : 5$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

3) $(10z - 4z) : 4 = 12$

Упростим выражение в скобках:

$10z - 4z = 6z$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$6z : 4 = 12$

В этом уравнении $6z$ является делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное 12 умножить на делитель 4:

$6z = 12 \cdot 4$

$6z = 48$

Теперь найдем $z$, разделив 48 на 6:

$z = 48 : 6$

$z = 8$

Ответ: $z = 8$.

4) $(8z + 10z) : 9 = 16$

Упростим выражение в скобках:

$8z + 10z = 18z$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$18z : 9 = 16$

В этом уравнении $18z$ является делимым. Чтобы найти его, нужно частное 16 умножить на делитель 9:

$18z = 16 \cdot 9$

$18z = 144$

Теперь найдем $z$, разделив 144 на 18:

$z = 144 : 18$

$z = 8$

Ответ: $z = 8$.

5.537 После сушки масса грибов уменьшилась на 910. Сколько килограммов грибов получилось после сушки, если сушили 60 кг грибов?

Для решения этой задачи, сначала определим, какая часть массы грибов осталась после сушки.

1. Первоначальную массу грибов принимаем за единицу (1). По условию, масса уменьшилась на $\frac{9}{10}$. Найдем, какая доля от первоначальной массы осталась:

$1 - \frac{9}{10} = \frac{10}{10} - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$

Таким образом, после сушки осталась $\frac{1}{10}$ часть от исходной массы грибов.

2. Теперь вычислим массу оставшихся грибов в килограммах. Изначально было 60 кг грибов. Нам нужно найти $\frac{1}{10}$ от 60 кг:

$60 \times \frac{1}{10} = \frac{60}{10} = 6$ (кг)

Ответ: после сушки получилось 6 кг грибов.