Страница 88, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.74 От одной станции одновременно в противоположных направлениях отошли два поезда. Скорость одного из них равна 58 км/ч, а другого — 42 км/ч. Через какое время расстояние между поездами будет 1400 км?

1) 528 +42 = 100 (км/ч) - скорость удаления

2) 1400 : 100 = 14 (ч)

Ответ: через 14 ч.

3.74

Для решения этой задачи необходимо определить, с какой скоростью поезда удаляются друг от друга. Так как они движутся от одной станции в противоположных направлениях, их общая скорость удаления будет равна сумме их индивидуальных скоростей.

1. Найдем скорость удаления поездов ($v_{уд}$).
Скорость первого поезда $v_1 = 58$ км/ч.
Скорость второго поезда $v_2 = 42$ км/ч.
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 58 + 42 = 100$ км/ч.
Это значит, что за каждый час расстояние между поездами увеличивается на 100 км.

2. Найдем время ($t$), через которое расстояние ($S$) между поездами достигнет 1400 км. Для этого нужно разделить общее расстояние на скорость удаления, используя формулу $t = S / v$.
$S = 1400$ км.
$v_{уд} = 100$ км/ч.
$t = \frac{S}{v_{уд}} = \frac{1400}{100} = 14$ часов.

Ответ: расстояние между поездами будет 1400 км через 14 часов.

3.75 Первый лесовоз перевёз 532 т леса за неделю, что в 4 раза больше, чем перевёз третий лесовоз, а второй - в 2 раза меньше, чем первый. Сколько тонн леса перевезли три лесовоза за неделю?

1) 532 : 4 = 133 (т) - перевёз III лесовоз

2) 532 : 2 = 266 (т) - перевёз II лесовоз

3) 532 + 266 + 133 = 931 (т)

Ответ: 931 т.

3.76 Пассажирский самолёт пролетел 2550 км за 3 ч полёта, а реактивный самолёт - 13 600 км за 4 ч. Во сколько раз скорость реактивного самолёта больше скорости пассажирского?

1) 2550 : 3 = 850 (км/ч) - скорость пассажирского самолёта

2) 13600 : 4 = 3400 (км/ч) - скорость реактивного самолёта

3) 3400 : 850 = 4 (р.)

Ответ: в 4 раза.

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сначала найти скорость каждого самолёта, а затем сравнить их.

1. Найдём скорость пассажирского самолёта.

Скорость находится по формуле $v = S / t$, где $S$ — это расстояние, а $t$ — время.
Для пассажирского самолёта расстояние $S_1 = 2550$ км, а время $t_1 = 3$ ч.
$v_1 = 2550 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 850 \text{ км/ч}$.

2. Найдём скорость реактивного самолёта.

Для реактивного самолёта расстояние $S_2 = 13600$ км, а время $t_2 = 4$ ч.
$v_2 = 13600 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 3400 \text{ км/ч}$.

3. Определим, во сколько раз скорость реактивного самолёта больше скорости пассажирского.

Для этого разделим скорость реактивного самолёта на скорость пассажирского.
$v_2 / v_1 = 3400 / 850 = 4$.

Ответ: скорость реактивного самолёта больше скорости пассажирского в 4 раза.

3.77 Предприниматель планировал продать в интернет-магазине 1800 батареек за 25 дней. Однако он сразу объявил скидку и стал продавать ежедневно на 18 батареек больше. За сколько дней предприниматель продал все батарейки?

1) 1800 : 25 = 72 (бат.) в день планировал продать

2) 72 + 18 = 90 (бат.) - продавал в день со скидкой

3) 1800 : 90 = 20 (дн.)

Ответ: за 20 дней.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем, сколько батареек предприниматель планировал продавать ежедневно.

Для этого общее количество батареек разделим на количество дней, за которые он планировал их продать:

$1800 \text{ батареек} \div 25 \text{ дней} = 72 \text{ батарейки/день}$

Итак, по плану предприниматель должен был продавать 72 батарейки в день.

2. Определим, сколько батареек предприниматель продавал ежедневно по факту.

Из условия известно, что он стал продавать на 18 батареек больше, чем планировал. Прибавим 18 к плановому количеству:

$72 + 18 = 90 \text{ батареек/день}$

Следовательно, фактические продажи составили 90 батареек в день.

3. Рассчитаем, за сколько дней были проданы все батарейки.

Чтобы найти итоговое количество дней, разделим общее количество батареек на фактическое количество продаваемых в день батареек:

$1800 \text{ батареек} \div 90 \text{ батареек/день} = 20 \text{ дней}$

Ответ: предприниматель продал все батарейки за 20 дней.

3.78 Заполните таблицу.

1000 : 125 = 8

Для заполнения таблицы необходимо выполнить вычисления для каждой пустой ячейки, используя взаимосвязь между делимым, делителем и частным.

Основная формула: Делимое / Делитель = Частное.

Из нее следуют правила для нахождения неизвестных компонентов:

• Делимое = Делитель * Частное
• Делитель = Делимое / Частное

Применим эти правила для каждого столбца.

Первый столбец

Дано: Делимое = 196, Делитель = 7. Необходимо найти частное.

Выполняем деление делимого на делитель:

$196 / 7 = 28$

Ответ: 28.

Второй столбец

Дано: Делимое = 216, Частное = 6. Необходимо найти делитель.

Выполняем деление делимого на частное:

$216 / 6 = 36$

Ответ: 36.

Третий столбец

Дано: Делитель = 12, Частное = 14. Необходимо найти делимое.

Выполняем умножение делителя на частное:

$12 * 14 = 168$

Ответ: 168.

Четвертый столбец

Дано: Делимое = 1000, Делитель = 125. Необходимо найти частное.

Выполняем деление делимого на делитель:

$1000 / 125 = 8$

Ответ: 8.

Пятый столбец

Дано: Делимое = 375, Частное = 25. Необходимо найти делитель.

Выполняем деление делимого на частное:

$375 / 25 = 15$

Ответ: 15.

Шестой столбец

Дано: Делитель = 105, Частное = 90. Необходимо найти делимое.

Выполняем умножение делителя на частное:

$105 * 90 = 9450$

Ответ: 9450.

3.79 Проверьте с помощью умножения и с помощью деления, правильно ли выполнено деление:

а) 10 008 : 36 = 278;

б) 46 990 : 635 = 74.

$\mathrm{а}) 10008 : 36=278$

$\mathrm{б}) 46990 : 635=74$

3.80 Выполните деление:

а) 91 : 7;

б) 216 : 18;

в) 6817 : 17;

г) 240 824 : 8.

3.81 Найдите частное:

а) 21 700 : 10;

б) 6 123 000 : 100;

в) 290 000 : 1000;

г) 204 400 : 200.

а) 21700 : 10 = 2170

б) 6123000 : 100 = 61230

в) 290000 : 1000 = 290

г) 204400 : 200 = 1022

а) Чтобы найти частное от деления числа 21 700 на 10, нужно убрать один ноль в конце числа 21 700, так как мы делим на 10 (которое имеет один ноль).
$21 700 : 10 = 2 170$
Ответ: 2170.

б) Чтобы найти частное от деления числа 6 123 000 на 100, нужно убрать два ноля в конце числа 6 123 000, так как мы делим на 100 (которое имеет два ноля).
$6 123 000 : 100 = 61 230$
Ответ: 61 230.

в) Чтобы найти частное от деления числа 290 000 на 1000, нужно убрать три ноля в конце числа 290 000, так как мы делим на 1000 (которое имеет три ноля).
$290 000 : 1000 = 290$
Ответ: 290.

г) Чтобы найти частное от деления 204 400 на 200, можно сначала разделить оба числа на 100, убрав по два ноля у каждого. Затем выполнить оставшееся деление.
$204 400 : 200 = 2044 : 2$
Теперь разделим 2044 на 2:
$2044 : 2 = 1022$
Ответ: 1022.

3.82 Выполните деление:

а) 86 250: 125;

б) 15 435 : 147;

в) 4 150 089 : 7587;

г) 19 266 000 : 5070.

3.83 Запишите частное:

а) 126 и 9;

б) 21 и x;

в) a + 21 и 45;

г) 26 и 2a + b;

д) 152 и x + 2y;

е) a + b и a - b.

а) 126 : 9;

б) 21 : х;

в) (а + 21) : 45;

г) 26 : (2а + b);

д) 152 : (х + 2у);

е) (а + b) : (а - b).

3.84 Прочитайте выражение:

а) 22 : c;

б) (x + z) : 241;

в) (а - 2b) : (x - z);

г) (x + Зz) : c.

а) 22 : с – частное 22 и с;

б) (х - z) : 241 – частное суммы х и z и числа 241;

в) (a - 2b) : (x - z) – частное разности a и 2b и разности x и z;

г) (x + 3z) : c – частное суммы x и 3z и числа с.

а) Выражение $22 : c$ является частным. Делимое — число 22, делитель — переменная $c$. Таким образом, выражение читается как частное числа 22 и переменной $c$.

Ответ: Частное числа 22 и переменной $c$.

б) Выражение $(x + z) : 241$ является частным. Делимое — это сумма переменных $x$ и $z$, а делитель — число 241. Таким образом, выражение читается как частное суммы переменных $x$ и $z$ и числа 241.

Ответ: Частное суммы переменных $x$ и $z$ и числа 241.

в) Выражение $(a - 2b) : (x - z)$ является частным. Делимое — это разность переменной $a$ и произведения $2b$ (удвоенной переменной $b$), а делитель — это разность переменных $x$ и $z$. Таким образом, выражение читается как частное разности переменной $a$ и удвоенной переменной $b$ и разности переменных $x$ и $z$.

Ответ: Частное разности переменной $a$ и удвоенной переменной $b$ и разности переменных $x$ и $z$.

г) Выражение $(x + 8z) : c$ является частным. Делимое — это сумма переменной $x$ и произведения числа 8 на переменную $z$, а делитель — переменная $c$. Таким образом, выражение читается как частное суммы переменной $x$ и произведения числа 8 на переменную $z$, и переменной $c$.

Ответ: Частное суммы переменной $x$ и произведения числа 8 на переменную $z$ и переменной $c$.

3.85 Запишите выражение:

а) частное 96 и a разделить на 6;

б) произведение x и 18 уменьшить в 9 раз;

в) разность a и 1 уменьшить в 5 раз;

г) сумму 10 и x разделить на a.

а) (96 : а) : 6;

б) 18х : 9:

в) (а - 1) : 5;

г) (10 + х) : а.

а) Чтобы записать выражение «частное 96 и a разделить на 6», необходимо выполнить действия по порядку. Сначала находим частное чисел 96 и $a$. Частное — это результат деления, поэтому записываем это как $96 : a$. Затем полученное выражение нужно разделить на 6. Таким образом, полное выражение будет выглядеть как $(96 : a) : 6$. Скобки указывают на порядок действий: сначала деление 96 на $a$, а затем результат делится на 6.
Ответ: $(96 : a) : 6$

б) Чтобы записать выражение «произведение x и 18 уменьшить в 9 раз», сначала найдём произведение $x$ и 18. Произведение — это результат умножения, что записывается как $x \cdot 18$ или $18x$. Фраза «уменьшить в 9 раз» означает, что полученный результат нужно разделить на 9. Следовательно, мы получаем выражение $(x \cdot 18) : 9$.
Ответ: $(x \cdot 18) : 9$

в) Чтобы записать выражение «разность a и 1 уменьшить в 5 раз», мы сначала находим разность $a$ и 1. Разность — это результат вычитания, поэтому записываем $a - 1$. Затем эту разность нужно «уменьшить в 5 раз», то есть разделить на 5. Таким образом, итоговое выражение будет $(a - 1) : 5$. Скобки необходимы, чтобы показать, что на 5 делится вся разность, а не только число 1.
Ответ: $(a - 1) : 5$

г) Чтобы записать выражение «сумму 10 и x разделить на a», сначала найдём сумму 10 и $x$. Сумма — это результат сложения, что записывается как $10 + x$. Затем эту сумму необходимо разделить на $a$. В результате мы получаем выражение $(10 + x) : a$. Как и в предыдущем пункте, скобки показывают, что на $a$ делится вся сумма целиком.
Ответ: $(10 + x) : a$

3.86 Назовите делимое и делитель в частном:

а) (524 + 231) : (86 - 81);

б) (4 - 3a) : m;

в) (x + 2y) : (z + 3);

г) c : (3y - 9).

а) В частном $(524 + 231) : (86 - 81)$ делимым является выражение, стоящее слева от знака деления, а делителем — выражение, стоящее справа.

Делимое: $(524 + 231)$.

Делитель: $(86 - 81)$.

Ответ: делимое — $(524 + 231)$, делитель — $(86 - 81)$.

б) В частном $(4 - 3a) : m$ делимым является выражение в скобках, а делителем — переменная $m$.

Делимое: $(4 - 3a)$.

Делитель: $m$.

Ответ: делимое — $(4 - 3a)$, делитель — $m$.

в) В частном $(x + 2y) : (z + 3)$ делимым является выражение $(x + 2y)$, а делителем — выражение $(z + 3)$.

Делимое: $(x + 2y)$.

Делитель: $(z + 3)$.

Ответ: делимое — $(x + 2y)$, делитель — $(z + 3)$.

г) В частном $c : (3y - 9)$ делимым является переменная $c$, а делителем — выражение в скобках.

Делимое: $c$.

Делитель: $(3y - 9)$.

Ответ: делимое — $c$, делитель — $(3y - 9)$.

3.87 Цена учебника x р., а цена рабочей тетради y р. Что означает выражение:

а) x : y;

б) 8y : x;

в) 2x + 4y?

a) x : y

Во сколько раз цена учебника больше, чем цена рабочей тетради.

б) 8y : x

Во сколько раз учебник дешевле,чем 8 рабочих тетрадей

в) 2x + 4y

Какая общая стоимость 2 учебников и 4 рабочих тетрадей.

а) x : y

Дано, что $x$ — это цена одного учебника, а $y$ — цена одной рабочей тетради. Деление одной величины на другую означает нахождение их отношения. В данном случае выражение $x : y$ (или $x/y$) показывает, во сколько раз цена учебника больше (или меньше) цены рабочей тетради.

Ответ: Выражение $x : y$ показывает, во сколько раз учебник дороже рабочей тетради.

б) 8y : x

Выражение $8y$ представляет собой стоимость восьми рабочих тетрадей (цена одной тетради $y$, умноженная на количество 8). Выражение $x$ — это стоимость одного учебника. Соответственно, отношение $8y : x$ показывает, во сколько раз общая стоимость восьми рабочих тетрадей больше (или меньше) стоимости одного учебника.

Ответ: Выражение $8y : x$ показывает, во сколько раз восемь рабочих тетрадей дороже одного учебника.

в) 2x + 4y

Выражение $2x$ — это стоимость двух учебников (цена одного учебника $x$, умноженная на количество 2). Выражение $4y$ — это стоимость четырех рабочих тетрадей (цена одной тетради $y$, умноженная на количество 4). Знак сложения указывает на нахождение общей суммы. Таким образом, выражение $2x + 4y$ — это общая стоимость покупки, состоящей из двух учебников и четырех рабочих тетрадей.

Ответ: Выражение $2x + 4y$ означает общую стоимость двух учебников и четырех рабочих тетрадей.

3.88 Цена 1 кг конфет x р., а стоимость с кг таких же конфет y р. Что означает выражение:

а) y : x;

б) y : c;

в) x • c?

а) (y : x) кг – масса конфет;

б) (y : c) р. – цена 1 кг конфет;

в) (x · c) р. – стоимость конфет

Для того чтобы понять смысл выражений, давайте определим, что означает каждая переменная и как они связаны между собой.
$x$ — это цена 1 кг конфет, измеряется в рублях за килограмм (руб/кг).
$c$ — это масса (количество) конфет, измеряется в килограммах (кг).
$y$ — это общая стоимость $c$ кг конфет, измеряется в рублях (руб).

Основная формула, связывающая эти три величины, выглядит так:
Стоимость = Цена ? Количество
$y = x \cdot c$

Используя эту информацию, разберем каждое выражение.

а) y : x
Это выражение представляет собой деление общей стоимости ($y$) на цену за один килограмм ($x$).
Математически это выглядит как $y / x$. Если мы разделим общую стоимость покупки в рублях на цену одного килограмма в рублях/кг, мы узнаем, сколько килограммов конфет было куплено.
Из основной формулы $y = x \cdot c$ можно выразить массу $c$:
$c = y / x$
Следовательно, выражение $y : x$ означает массу купленных конфет.
Ответ: масса купленных конфет в килограммах.

б) y : c
Это выражение представляет собой деление общей стоимости ($y$) на массу купленных конфет ($c$).
Математически это выглядит как $y / c$. Если мы разделим общую стоимость покупки в рублях на количество килограммов, мы получим цену одного килограмма конфет.
Из основной формулы $y = x \cdot c$ можно выразить цену $x$:
$x = y / c$
Следовательно, выражение $y : c$ означает цену 1 кг конфет.
Ответ: цена 1 кг конфет.

в) x · c
Это выражение представляет собой произведение цены за один килограмм ($x$) на массу купленных конфет ($c$).
Это и есть формула для расчета общей стоимости покупки. Если мы умножим цену одного килограмма на количество купленных килограммов, мы получим общую стоимость.
$y = x \cdot c$
Следовательно, выражение $x \cdot c$ означает общую стоимость $c$ кг конфет.
Ответ: стоимость $c$ кг конфет.

5.553 Бригада железнодорожников в первый день отремонтировала 29 всего участка пути, во второй день — 47 оставшегося участка пути, а в третий — остальные 6 км. Сколько километров пути отремонтировала бригада за три дня?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ км — это общая длина всего участка пути, который отремонтировала бригада за три дня.

1. Рассчитаем длину участка, отремонтированного в первый день, и остаток.
В первый день бригада отремонтировала $\frac{2}{9}$ всего пути. В километрах это будет: $\frac{2}{9}x$ км. После первого дня осталось отремонтировать: $x - \frac{2}{9}x = \frac{9}{9}x - \frac{2}{9}x = \frac{7}{9}x$ км.

2. Рассчитаем длину участка, отремонтированного во второй день.
Во второй день бригада отремонтировала $\frac{4}{7}$ от оставшегося участка. Остаток после первого дня составлял $\frac{7}{9}x$ км. Значит, во второй день было отремонтировано: $\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{9}x = \frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 9}x = \frac{4}{9}x$ км.

3. Составим уравнение на основе данных за все три дня.
Общая длина пути $x$ равна сумме участков, отремонтированных в первый, второй и третий дни.

• Длина участка за первый день: $\frac{2}{9}x$ км.
• Длина участка за второй день: $\frac{4}{9}x$ км.
• Длина участка за третий день: 6 км (по условию).

Сложим все части, чтобы получить целое: $\frac{2}{9}x + \frac{4}{9}x + 6 = x$

4. Решим полученное уравнение.
Сначала сложим дроби с $x$: $\frac{2+4}{9}x + 6 = x$ $\frac{6}{9}x + 6 = x$ Сократим дробь $\frac{6}{9}$ на 3: $\frac{2}{3}x + 6 = x$ Теперь перенесем слагаемые с $x$ в правую часть уравнения, чтобы найти, какую часть от $x$ составляют 6 км: $6 = x - \frac{2}{3}x$ $6 = \frac{3}{3}x - \frac{2}{3}x$ $6 = \frac{1}{3}x$ Отсюда находим $x$: $x = 6 \cdot 3$ $x = 18$ Таким образом, общая длина пути, отремонтированного за три дня, составляет 18 км.

Ответ: 18 км.

5.554 Мотоциклист в первый час проехал 621 всего пути, во второй час — 712 остав-шегося пути, а в третий час — остальной путь, причём во второй час он проехал на 40 км больше, чем в третий. Найдите расстояние, которое проехал мотоциклист за эти три часа.

Для решения задачи обозначим всё расстояние, которое проехал мотоциклист, через $S$ км.

1. Расстояние, пройденное за первый час.

В первый час мотоциклист проехал $\frac{6}{21}$ всего пути. Сократим эту дробь: $\frac{6}{21} = \frac{6:3}{21:3} = \frac{2}{7}$.
Таким образом, расстояние, пройденное за первый час, составляет $\frac{2}{7} S$.

2. Оставшийся путь после первого часа.

После первого часа ему осталось проехать: $S - \frac{2}{7} S = (1 - \frac{2}{7}) S = \frac{5}{7} S$.

3. Расстояние, пройденное за второй час.

Во второй час он проехал $\frac{7}{12}$ оставшегося пути. Выразим это расстояние как долю от всего пути $S$:
$\frac{7}{12} \cdot (\frac{5}{7} S) = \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 7} S = \frac{5}{12} S$.

4. Расстояние, пройденное за третий час.

В третий час мотоциклист проехал остальной путь. После второго часа осталась часть пути, равная $1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$ от того, что было после первого часа. Выразим это как долю от всего пути $S$:
$\frac{5}{12} \cdot (\frac{5}{7} S) = \frac{25}{84} S$.

5. Составление и решение уравнения.

По условию, во второй час он проехал на 40 км больше, чем в третий. Составим уравнение:

Расстояние за 2-й час = Расстояние за 3-й час + 40

$\frac{5}{12} S = \frac{25}{84} S + 40$

Перенесём слагаемые с $S$ в левую часть уравнения:

$\frac{5}{12} S - \frac{25}{84} S = 40$

Приведём дроби к общему знаменателю 84, домножив первую дробь на 7:

$\frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 7} S - \frac{25}{84} S = 40$

$\frac{35}{84} S - \frac{25}{84} S = 40$

$\frac{10}{84} S = 40$

Сократим дробь $\frac{10}{84}$ на 2:

$\frac{5}{42} S = 40$

Теперь найдём $S$:

$S = 40 : \frac{5}{42} = 40 \cdot \frac{42}{5} = \frac{40 \cdot 42}{5} = 8 \cdot 42 = 336$

Таким образом, общее расстояние, которое проехал мотоциклист за три часа, составляет 336 км.

Ответ: 336 км.

5.555 Вычислите.

Для решения данного примера необходимо выполнить последовательно четыре арифметических действия. Результат каждого предыдущего действия используется в следующем.

1. Выполним вычитание: $270 - 214 = 56$
2. Полученный результат разделим на 28: $56 : 28 = 2$
3. Теперь умножим результат на 37: $2 \cdot 37 = 74$
4. И в последнем действии прибавим 26: $74 + 26 = 100$

Ответ: 100

Решим пример по действиям, выполняя операции в указанном порядке:

1. Первое действие — деление: $100 : 25 = 4$
2. Результат умножаем на 15: $4 \cdot 15 = 60$
3. Далее делим полученное число на 12: $60 : 12 = 5$
4. Последним шагом умножаем на 180: $5 \cdot 180 = 900$

Ответ: 900

Выполним вычисления по порядку, как указано в задании:

1. Сначала вычитание: $60 - 12 = 48$
2. Затем деление результата на 8: $48 : 8 = 6$
3. Следующий шаг — умножение на 10: $6 \cdot 10 = 60$
4. И, наконец, деление на 5: $60 : 5 = 12$

Ответ: 12

Произведем вычисления в указанной последовательности:

1. Первое действие — вычитание: $140 - 63 = 77$
2. Результат этого действия делим на 7: $77 : 7 = 11$
3. К полученному числу прибавляем 4: $11 + 4 = 15$
4. В завершение умножаем результат на 4: $15 \cdot 4 = 60$

Ответ: 60

5.556 Не выполняя деления, сравните:

Чтобы сравнить 7 и $7 \div \frac{2}{9}$, проанализируем операцию деления. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь. Таким образом, $7 \div \frac{2}{9} = 7 \times \frac{9}{2}$.
Дробь $\frac{2}{9}$ является правильной (числитель 2 меньше знаменателя 9), а значит $\frac{2}{9} < 1$. Обратная ей дробь $\frac{9}{2}$ будет больше 1. Умножение положительного числа 7 на число, большее 1 (в данном случае на $\frac{9}{2}$), даёт результат, который больше 7. Следовательно, $7 \div \frac{2}{9} > 7$.
Ответ: $7 < 7 \div \frac{2}{9}$.

Сравниваем $8 \div \frac{5}{8}$ и 8. Операция деления на дробь $\frac{5}{8}$ равносильна умножению на обратную дробь $\frac{8}{5}$, то есть $8 \div \frac{5}{8} = 8 \times \frac{8}{5}$.
Делитель $\frac{5}{8}$ — это правильная дробь, так как $5 < 8$, поэтому $\frac{5}{8} < 1$. Обратная дробь $\frac{8}{5}$ будет больше 1. При умножении положительного числа 8 на число, большее 1, результат будет больше 8. Значит, $8 \div \frac{5}{8} > 8$.
Ответ: $8 \div \frac{5}{8} > 8$.

Для сравнения $\frac{10}{13}$ и $\frac{10}{13} \div \frac{6}{23}$ рассмотрим делитель $\frac{6}{23}$. Это правильная дробь ($6 < 23$), поэтому она меньше 1. Деление на число, меньшее 1, равносильно умножению на обратное ему число, которое будет больше 1.
То есть, $\frac{10}{13} \div \frac{6}{23} = \frac{10}{13} \times \frac{23}{6}$. Так как множитель $\frac{23}{6}$ больше 1, то произведение будет больше, чем $\frac{10}{13}$. Таким образом, $\frac{10}{13} \div \frac{6}{23} > \frac{10}{13}$.
Ответ: $\frac{10}{13} < \frac{10}{13} \div \frac{6}{23}$.

Сравниваем $1\frac{1}{9} \div \frac{4}{9}$ и $1\frac{1}{9}$. Делитель $\frac{4}{9}$ является правильной дробью ($4 < 9$), следовательно, $\frac{4}{9} < 1$. Деление положительного числа (в данном случае $1\frac{1}{9}$) на положительное число, меньшее единицы, приводит к результату, который больше исходного числа.
Это следует из того, что деление на $\frac{4}{9}$ эквивалентно умножению на обратную дробь $\frac{9}{4}$, которая больше 1. Выражение $1\frac{1}{9} \times \frac{9}{4}$ будет больше, чем $1\frac{1}{9}$. Следовательно, $1\frac{1}{9} \div \frac{4}{9} > 1\frac{1}{9}$.
Ответ: $1\frac{1}{9} \div \frac{4}{9} > 1\frac{1}{9}$.

5.557 Найдите закономерность размещения чисел в полукругах. Назовите недостающие числа (рис. 5.66).

Для решения задачи необходимо найти закономерности в каждом из двух полукругов.

Правый (фиолетовый) полукруг

Рассмотрим числа в правом полукруге, двигаясь по часовой стрелке: 1, 8, 27, ?, 125, 216.
Легко заметить, что эти числа являются кубами последовательных натуральных чисел:
$1 = 1^3$
$8 = 2^3$
$27 = 3^3$
...
$125 = 5^3$
$216 = 6^3$
Исходя из этой закономерности, недостающее число должно быть кубом числа 4.
Вычисляем: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Ответ: 64.

Левый (желтый) полукруг

Рассмотрим числа в левом полукруге, двигаясь против часовой стрелки от нижнего сектора: 0, 4, 10, 18, ?, 40.
Найдем разность между соседними членами этой последовательности:
$4 - 0 = 4$
$10 - 4 = 6$
$18 - 10 = 8$
Разности (4, 6, 8) образуют арифметическую прогрессию, где каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Следовательно, следующая разность должна быть $8 + 2 = 10$.
Чтобы найти недостающее число, нужно к предыдущему числу (18) прибавить полученную разность (10):
$18 + 10 = 28$.
Для проверки найдем следующую разность: $10 + 2 = 12$. Прибавим ее к найденному числу: $28 + 12 = 40$. Это значение совпадает с последним числом в полукруге, значит, закономерность верна.
Ответ: 28.

5.558 Найдите частное:

а) Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно делимое (первую дробь) умножить на дробь, обратную делителю (второй дроби). Дробь, обратная $\frac{7}{18}$, это $\frac{18}{7}$.

$\frac{7}{9} : \frac{7}{18} = \frac{7}{9} \cdot \frac{18}{7} = \frac{7 \cdot 18}{9 \cdot 7}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7, а также 18 и 9 на 9:

$\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 2$

Ответ: 2

б) Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Дробь, обратная $\frac{1}{3}$, это $\frac{3}{1}$.

$\frac{1}{4} : \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{1} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

в) Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Дробь, обратная $\frac{7}{9}$, это $\frac{9}{7}$.

$\frac{3}{4} : \frac{7}{9} = \frac{3}{4} \cdot \frac{9}{7} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 7} = \frac{27}{28}$

Ответ: $\frac{27}{28}$

г) Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Дробь, обратная $\frac{1}{14}$, это $\frac{14}{1}$.

$\frac{3}{7} : \frac{1}{14} = \frac{3}{7} \cdot \frac{14}{1} = \frac{3 \cdot 14}{7 \cdot 1}$

Сократим 14 и 7 на 7:

$\frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$

Ответ: 6

д) Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно представить это число в виде дроби со знаменателем 1 и выполнить деление дробей.

$\frac{6}{11} : 6 = \frac{6}{11} : \frac{6}{1} = \frac{6}{11} \cdot \frac{1}{6} = \frac{6 \cdot 1}{11 \cdot 6}$

Сократим числитель и знаменатель на 6:

$\frac{1}{11}$

Ответ: $\frac{1}{11}$

е) Представим число 3 в виде дроби $\frac{3}{1}$ и выполним деление, умножив на обратную дробь $\frac{1}{3}$.

$\frac{9}{13} : 3 = \frac{9}{13} : \frac{3}{1} = \frac{9}{13} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9 \cdot 1}{13 \cdot 3}$

Сократим 9 и 3 на 3:

$\frac{3 \cdot 1}{13 \cdot 1} = \frac{3}{13}$

Ответ: $\frac{3}{13}$

ж) Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Дробь, обратная $\frac{1}{7}$, это $\frac{7}{1}$.

$\frac{5}{7} : \frac{1}{7} = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{1} = \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 1}$

Сократим числитель и знаменатель на 7:

$\frac{5 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 5$

Ответ: 5

з) Представим число 5 в виде дроби $\frac{5}{1}$ и выполним деление, умножив на обратную дробь $\frac{1}{5}$.

$\frac{15}{22} : 5 = \frac{15}{22} : \frac{5}{1} = \frac{15}{22} \cdot \frac{1}{5} = \frac{15 \cdot 1}{22 \cdot 5}$

Сократим 15 и 5 на 5:

$\frac{3 \cdot 1}{22 \cdot 1} = \frac{3}{22}$

Ответ: $\frac{3}{22}$

5.559 Сократите:

1) Чтобы сократить дробь $\frac{390}{650}$, сначала разделим числитель и знаменатель на 10, так как оба числа оканчиваются на 0. Получим дробь $\frac{39}{65}$. Теперь найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 39 и 65. Для этого разложим их на простые множители: $39 = 3 \cdot 13$ и $65 = 5 \cdot 13$. Как мы видим, общий множитель равен 13. Сократим дробь $\frac{39}{65}$ на 13: $\frac{39 \div 13}{65 \div 13} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{4550}{5550}$, первым делом уберем нули, разделив числитель и знаменатель на 10: $\frac{4550}{5550} = \frac{455}{555}$. Оба числа, 455 и 555, оканчиваются на 5, следовательно, они делятся на 5. Выполним деление: $\frac{455 \div 5}{555 \div 5} = \frac{91}{111}$. Теперь нужно проверить, можно ли сократить эту дробь дальше. Разложим 91 и 111 на простые множители: $91 = 7 \cdot 13$; $111 = 3 \cdot 37$. Общих множителей у числителя и знаменателя нет, значит, дробь несократимая.
Ответ: $\frac{91}{111}$

3) Для сокращения дроби $\frac{570}{13310}$ начнем с деления числителя и знаменателя на 10: $\frac{570}{13310} = \frac{57}{1331}$. Теперь найдем простые множители для числителя и знаменателя. Для числителя 57: $57 = 3 \cdot 19$. Для знаменателя 1331: это число является третьей степенью числа 11, т.е. $1331 = 11^3 = 11 \cdot 11 \cdot 11$. Сравнив множители, мы видим, что у чисел 57 и 1331 нет общих делителей кроме 1. Следовательно, дробь $\frac{57}{1331}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{57}{1331}$

4) Сократим дробь $\frac{4200}{4550}$. Сначала разделим числитель и знаменатель на 10, получив $\frac{420}{455}$. Поскольку 420 оканчивается на 0, а 455 на 5, оба числа делятся на 5. $\frac{420 \div 5}{455 \div 5} = \frac{84}{91}$. Теперь найдем НОД для 84 и 91. Разложим их на простые множители: $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ и $91 = 7 \cdot 13$. Общий множитель - это 7. Сократим дробь $\frac{84}{91}$ на 7: $\frac{84 \div 7}{91 \div 7} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\frac{12}{13}$

5.560 Вычислите:

1)

Вычислим выражение $ \frac{1}{4} \div \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} $. В выражениях, содержащих только умножение и деление, действия выполняются по порядку слева направо.

Сначала выполним деление $ \frac{1}{4} \div \frac{1}{4} $. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь:

$ \frac{1}{4} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{1} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 1} = \frac{4}{4} = 1 $

Теперь выполним умножение:

$ 1 \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{7} $

Ответ: $ \frac{2}{7} $

2)

Вычислим выражение $ \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8} \div \frac{9}{14} $ по порядку слева направо.

Сначала выполним умножение:

$ \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 8} = \frac{7}{24} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{7}{24} \div \frac{9}{14} = \frac{7}{24} \cdot \frac{14}{9} $

Чтобы упростить вычисление, сократим дробь перед умножением. Числитель 14 и знаменатель 24 делятся на 2:

$ \frac{7}{24} \cdot \frac{14}{9} = \frac{7 \cdot 14}{24 \cdot 9} = \frac{7 \cdot (2 \cdot 7)}{(2 \cdot 12) \cdot 9} = \frac{7 \cdot 7}{12 \cdot 9} = \frac{49}{108} $

Ответ: $ \frac{49}{108} $

3)

Вычислим выражение $ \frac{1}{3} \div \frac{7}{8} \cdot \frac{9}{14} $ по порядку слева направо.

Сначала выполним деление:

$ \frac{1}{3} \div \frac{7}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 7} = \frac{8}{21} $

Теперь выполним умножение:

$ \frac{8}{21} \cdot \frac{9}{14} $

Сократим дроби перед умножением: 8 и 14 делятся на 2, а 9 и 21 делятся на 3:

$ \frac{8 \cdot 9}{21 \cdot 14} = \frac{(4 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3)}{(7 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 2)} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 7} = \frac{12}{49} $

Ответ: $ \frac{12}{49} $

4)

Вычислим выражение $ \frac{6}{7} \div \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{9} $ по порядку слева направо.

Сначала выполним деление:

$ \frac{6}{7} \div \frac{5}{7} = \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 5} $

Сократим дробь на 7:

$ \frac{6}{5} $

Теперь выполним умножение:

$ \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 9} $

Сократим дробь перед умножением: 6 и 9 делятся на 3:

$ \frac{(2 \cdot 3) \cdot 4}{5 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{8}{15} $

Ответ: $ \frac{8}{15} $

5.561 Найдите значение выражения:

1) $3\ 141\ 306 - 141\ 141 \cdot (5221 + 7084 - 9999) : 141$

Для нахождения значения выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление (в порядке их следования слева направо), и в последнюю очередь — сложение и вычитание.

1. Выполним действия в скобках: $5221 + 7084 - 9999$.
Сначала сложение: $5221 + 7084 = 12\ 305$.
Затем вычитание: $12\ 305 - 9999 = 2306$.

2. Теперь исходное выражение принимает вид:
$3\ 141\ 306 - 141\ 141 \cdot 2306 : 141$

3. Выполним умножение и деление слева направо. Для упрощения расчетов можно воспользоваться свойством $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b$, так как оно позволяет избежать громоздких промежуточных вычислений.
Сначала выполним деление: $141\ 141 : 141 = 1001$.
Затем выполним умножение: $1001 \cdot 2306 = 2\ 308\ 306$.

4. Выполним последнее действие — вычитание:
$3\ 141\ 306 - 2\ 308\ 306 = 833\ 000$.

Ответ: $833\ 000$.

2) $2\ 029\ 201 - 1\ 029\ 190 : (59\ 030 - 49\ 070 + 230) \cdot 101$

Решим данное выражение по действиям, соблюдая правильный порядок.

1. Вычислим значение в скобках, выполняя действия слева направо: $59\ 030 - 49\ 070 + 230$.
Сначала вычитание: $59\ 030 - 49\ 070 = 9\ 960$.
Затем сложение: $9\ 960 + 230 = 10\ 190$.

2. Теперь выражение выглядит следующим образом:
$2\ 029\ 201 - 1\ 029\ 190 : 10\ 190 \cdot 101$.

3. Выполним деление, так как оно стоит левее умножения:
$1\ 029\ 190 : 10\ 190 = 101$.

4. Теперь выполним умножение:
$101 \cdot 101 = 10\ 201$.

5. В последнюю очередь выполним вычитание:
$2\ 029\ 201 - 10\ 201 = 2\ 019\ 000$.

Ответ: $2\ 019\ 000$.

5.562 Девочка прошла на лыжах 300 м, что составило 38 всей дистанции. Чему равна длина дистанции?

Данная задача относится к типу "нахождение целого по его части". Нам известно, что некоторая часть дистанции (300 м) соответствует дроби $\frac{3}{8}$ от всей дистанции. Нам нужно найти всю дистанцию (целое).

Обозначим искомую длину всей дистанции переменной $x$ (в метрах).

Из условия задачи следует, что $\frac{3}{8}$ от $x$ равно 300. Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{3}{8} \cdot x = 300$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (300) разделить на известный множитель ($\frac{3}{8}$):
$x = 300 \div \frac{3}{8}$

Деление на обыкновенную дробь заменяется умножением на обратную ей дробь. Дробь, обратная $\frac{3}{8}$, это $\frac{8}{3}$.
$x = 300 \cdot \frac{8}{3}$

Теперь выполним вычисление. Удобнее сначала разделить 300 на знаменатель 3, а затем результат умножить на числитель 8:
$x = \frac{300}{3} \cdot 8 = 100 \cdot 8 = 800$

Таким образом, полная длина дистанции составляет 800 метров.

Ответ: 800 м.

5.563 На уроке литературы на дом было задано чтение повести В. Короленко «Дети подземелья». Эта повесть настолько интересна и трогательна, что не может оставить кого-либо равнодушным. Лёня прочитал в первый же день 39 страниц, что составило 35 всей повести. Сколько страниц в повести?

Из условия задачи известно, что 39 прочитанных страниц составляют $\frac{3}{5}$ всей повести. Чтобы найти общее количество страниц в повести, нужно найти целое число по его известной части. Для этого необходимо разделить число, выражающее часть (39 страниц), на дробь, которая соответствует этой части ($\frac{3}{5}$).

Пусть $x$ — это общее количество страниц в повести. Составим уравнение:
$x = 39 \div \frac{3}{5}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю (то есть на $\frac{5}{3}$):
$x = 39 \cdot \frac{5}{3}$

Выполним вычисление. Можно сначала 39 разделить на 3, а затем результат умножить на 5:
$x = (39 \div 3) \cdot 5$
$x = 13 \cdot 5$
$x = 65$

Таким образом, в повести 65 страниц.

Ответ: 65 страниц.

5.564 На новом комбайне убрали зерно с поля за 56 ч и затратили времени на 310 меньше, чем на старом комбайне. Сколько времени потребовалось бы для выполнения этой работы на старом комбайне?

Пусть время, которое требовалось для выполнения работы на старом комбайне, составляет $x$ часов. Это время мы принимаем за единицу (целое).

Из условия известно, что на новом комбайне затратили на $\frac{3}{10}$ времени меньше. Это означает, что время работы нового комбайна составляет долю от времени работы старого:
$1 - \frac{3}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$

Таким образом, время работы нового комбайна, равное 56 часам, составляет $\frac{7}{10}$ от времени работы старого комбайна ($x$). Мы можем составить уравнение:
$\frac{7}{10}x = 56$

Чтобы найти $x$ (полное время работы старого комбайна), нужно известную часть (56) разделить на соответствующую ей долю ($\frac{7}{10}$):
$x = 56 \div \frac{7}{10}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$x = 56 \times \frac{10}{7}$

Выполним вычисление:
$x = \frac{56 \times 10}{7} = \frac{8 \times 7 \times 10}{7} = 8 \times 10 = 80$ часов.

Следовательно, на старом комбайне для выполнения этой работы потребовалось бы 80 часов.

Ответ: 80 часов.