Номер 5.534, страница 85, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

39. Деление дробей. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.534, страница 85.

5.534 Развивай мышление. На рисунке 5.65 изображена схема маршрута игры по ориентированию на местности. Старт игры находится в точке А. Участники должны пройти по каждому этапу маршрута (на схеме это отрезки АВ, AC, AR, СВ, CD, CR, DR) только один раз и отметиться в контрольных точках В, С, D и R. Приведите пример прохождения маршрута для команды. Возможны ли другие варианты прохождения маршрута?

Для решения этой задачи представим схему маршрута в виде графа, где контрольные точки (A, B, C, D, R) являются вершинами, а этапы маршрута (AB, AC, AR, CB, CD, CR, DR) — рёбрами графа. Задача состоит в том, чтобы найти эйлеров путь — путь, проходящий по всем рёбрам графа ровно один раз.

Согласно теореме Эйлера, эйлеров путь существует в связном графе тогда и только тогда, когда в нём не более двух вершин нечётной степени. Если в графе ровно две вершины нечётной степени, то эйлеров путь должен начинаться в одной из этих вершин и заканчиваться в другой.

Определим степени вершин нашего графа (степень вершины — это количество рёбер, которые к ней примыкают):

• Вершина A: к ней подходят 3 ребра (AB, AC, AR), значит, её степень $deg(A) = 3$.
• Вершина B: к ней подходят 2 ребра (AB, CB), значит, её степень $deg(B) = 2$.
• Вершина C: к ней подходят 4 ребра (AC, CB, CD, CR), значит, её степень $deg(C) = 4$.
• Вершина D: к ней подходят 2 ребра (CD, DR), значит, её степень $deg(D) = 2$.
• Вершина R: к ней подходят 3 ребра (AR, CR, DR), значит, её степень $deg(R) = 3$.

В графе есть ровно две вершины нечётной степени: A и R. По условию, старт находится в точке A. Следовательно, маршрут должен существовать, и он должен заканчиваться в точке R.

Приведите пример прохождения маршрута для команды.

Один из возможных вариантов прохождения маршрута, который начинается в точке А, проходит по всем отрезкам по одному разу и заканчивается в точке R, выглядит следующим образом:

A > B > C > D > R > C > A > R

Проверим этот маршрут, перечислив пройденные отрезки (рёбра): AB, BC, CD, DR, RC, CA, AR. Все 7 отрезков маршрута пройдены ровно один раз. Маршрут начинается в A и заканчивается в R, как и предсказывает теория.

Ответ: Один из возможных маршрутов: A > B > C > D > R > C > A > R.

Возможны ли другие варианты прохождения маршрута?

Да, другие варианты прохождения маршрута возможны. Существование нескольких вариантов обусловлено наличием в графе вершин со степенью больше двух (в данном случае это вершины A, C и R). Прибывая в такую вершину, у команды есть выбор, по какому из ещё не пройденных рёбер продолжить путь. Каждый такой выбор может привести к новому, уникальному маршруту.

Например, из начальной точки A можно было пойти не в B, а в C. Это привело бы к другому маршруту. Вот ещё один пример корректного маршрута, отличного от предыдущего:

A > C > B > A > R > D > C > R

Здесь пройдены рёбра: AC, CB, BA, AR, RD, DC, CR. Снова все 7 рёбер пройдены по одному разу, старт в A, а финиш в R.

Ответ: Да, другие варианты возможны, так как в точках A, C и R существуют развилки, позволяющие выбирать продолжение пути.