Номер 6.21, страница 95, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

41. Десятичная запись дробей. § 6. Десятичные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 6.21, страница 95.

6.21 Развивай мышление. Схематический план квартала города показан на рисунке 6.3. Предложите кратчайший маршрут от точки М до входа: а) в детский сад; б) в школу; в) на почту; г) в дом 9; д) в дом 2, корпус 2. Вычислите длину этого маршрута, если расстояние между домами равно 30м, а у каждого дома ширина 20м и длина 60м. Сколько вариантов кратчайших маршрутов существует в каждом случае?

а) Кратчайший путь от точки М до входа в детский сад.

20 + 30 + 20 + 30 + 20 + 60 + 30 + 60 : 2 = 240 (м)

60 + 30 + 20 + 30 + 20 + 30 + 20 + 60 : 2 = 240 (м)

20 + 60 + 30 + 30 + 20 + 30 + 20 + 60 : 2 = 240 (м)

20 + 30 + 20 + 60 + 30 + 20 + 30 + 60 : 2 = 240 (м)

Ответ: 4 варианта.

б) Кратчайший путь от точки М до входа в школу.

20 + 30 + 20 + 30 + 20 + 60 + 30 + 60 + 30 + 60 + 30 + 60 : 2 = 420 (м)

60 + 30 + 60 + 30 + 60 + 30 + 20 + 30 + 20 + 30 + 20 + 60 : 2 = 420 (м)

20 + 60 + 30 + 30 + 20 + 30 + 60 + 30 + 60 + 20 + 30 + 60 : 2 = 420 (м)

Ответ: 17 вариантов.

в) Кратчайший путь от точки М до входа на почту.

60 + 30 + 60 + 30 + 60 + 30 + 20 + 30 + 60 : 2 = 350 (м)

Ответ: 10 вариантов.

г) Кратчайший путь от точки М до входа в дом 9.

20 + 30 + 20 + 30 + 20 + 60 : 2 = 150 (м)

Ответ: 1 вариант.

д) Кратчайший путь от точки М до входа в дом 2, корпус 2.

60 + 30 + 60 + 30 + 60 + 30 + 60 + 30 + 20 + 60 : 2 = 410 (м)

Ответ: 5 вариантов.

Для решения задачи представим квартал города в виде сетки (графа), где узлы — это перекрестки, а ребра — это улицы. Движение возможно только по улицам. Кратчайший путь в такой сетке находится с помощью манхэттенского расстояния.

Исходные данные:

• Длина дома (горизонтальный размер): $L = 60$ м.
• Ширина дома (вертикальный размер): $W = 20$ м.
• Расстояние между домами (зазор): $G = 30$ м.

Модель квартала:

Квартал состоит из 5 столбцов и 3 рядов зданий. Это создает сетку из 6 вертикальных и 4 горизонтальных улиц. Введем систему координат, где узлы-перекрестки нумеруются от 0 до 5 по горизонтали (слева направо) и от 0 до 3 по вертикали (сверху вниз).

• Стартовая точка M находится в правом нижнем углу квартала, что соответствует узлу с координатами $(5, 3)$.
• Длина одного горизонтального "шага" по сетке (от одной вертикальной улицы до следующей) составляет: $d_x = L + G = 60 + 30 = 90$ м.
• Длина одного вертикального "шага" (от одной горизонтальной улицы до следующей): $d_y = W + G = 20 + 30 = 50$ м.

Методика расчета:

1. Определяем, на какой улице находится вход в здание. Улица представляет собой отрезок между двумя узлами-перекрестками.
2. Находим расстояние от точки M до каждого из этих двух узлов. Кратчайший путь ко входу будет проходить через ближайший к M узел.
3. Вычисляем длину кратчайшего маршрута. Она равна сумме расстояния от M до ближайшего узла и расстояния от этого узла до входа (которое равно половине длины или ширины дома).
4. Вычисляем количество вариантов кратчайших маршрутов. Оно равно числу способов добраться из M в ближайший узел, что рассчитывается по формуле сочетаний: $C_{n+k}^k = \frac{(n+k)!}{n!k!}$, где $n$ и $k$ — число шагов по горизонтали и вертикали.

a) в детский сад

Детский сад находится в блоке (3, 0) (четвертый слева, в верхнем ряду). Вход расположен с нижней стороны, на горизонтальной улице H1, между вертикальными улицами V3 и V4. Ближайшие узлы — (3, 1) и (4, 1).

Расстояние от M(5, 3) до узла (3, 1): $|5-3| \times 90 + |3-1| \times 50 = 2 \times 90 + 2 \times 50 = 180 + 100 = 280$ м.

Расстояние от M(5, 3) до узла (4, 1): $|5-4| \times 90 + |3-1| \times 50 = 1 \times 90 + 2 \times 50 = 90 + 100 = 190$ м.

Ближайший узел — (4, 1). Кратчайший маршрут до него требует 1 шаг влево и 2 шага вверх. Расстояние от узла (4, 1) до входа равно половине длины дома: $60 / 2 = 30$ м.

Общая длина маршрута: $190 + 30 = 220$ м.

Количество вариантов кратчайших маршрутов до узла (4, 1): $C_{1+2}^1 = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3$.

Ответ: Длина кратчайшего маршрута — 220 м. Существует 3 варианта такого маршрута.

б) в школу

Школа находится в блоке (1, 0). Вход расположен с правой стороны, на вертикальной улице V2, между горизонтальными улицами H0 и H1. Ближайшие узлы — (2, 0) и (2, 1).

Расстояние от M(5, 3) до узла (2, 0): $|5-2| \times 90 + |3-0| \times 50 = 3 \times 90 + 3 \times 50 = 270 + 150 = 420$ м.

Расстояние от M(5, 3) до узла (2, 1): $|5-2| \times 90 + |3-1| \times 50 = 3 \times 90 + 2 \times 50 = 270 + 100 = 370$ м.

Ближайший узел — (2, 1). Маршрут: 3 шага влево, 2 шага вверх. Расстояние от узла (2, 1) до входа равно половине ширины дома: $20 / 2 = 10$ м.

Общая длина маршрута: $370 + 10 = 380$ м.

Количество вариантов кратчайших маршрутов до узла (2, 1): $C_{3+2}^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$.

Ответ: Длина кратчайшего маршрута — 380 м. Существует 10 вариантов такого маршрута.

в) на почту

Почта находится в блоке (1, 1). Вход расположен с нижней стороны, на улице H2, между узлами (1, 2) и (2, 2).

Расстояние от M(5, 3) до узла (1, 2): $|5-1| \times 90 + |3-2| \times 50 = 4 \times 90 + 1 \times 50 = 360 + 50 = 410$ м.

Расстояние от M(5, 3) до узла (2, 2): $|5-2| \times 90 + |3-2| \times 50 = 3 \times 90 + 1 \times 50 = 270 + 50 = 320$ м.

Ближайший узел — (2, 2). Маршрут: 3 шага влево, 1 шаг вверх. Расстояние от узла до входа: $60 / 2 = 30$ м.

Общая длина маршрута: $320 + 30 = 350$ м.

Количество вариантов кратчайших маршрутов до узла (2, 2): $C_{3+1}^1 = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = 4$.

Ответ: Длина кратчайшего маршрута — 350 м. Существует 4 варианта такого маршрута.

г) в дом 9

Дом 9 находится в блоке (4, 0). Вход расположен с нижней стороны, на улице H1, между узлами (4, 1) и (5, 1).

Расстояние от M(5, 3) до узла (4, 1): $|5-4| \times 90 + |3-1| \times 50 = 1 \times 90 + 2 \times 50 = 190$ м.

Расстояние от M(5, 3) до узла (5, 1): $|5-5| \times 90 + |3-1| \times 50 = 0 \times 90 + 2 \times 50 = 100$ м.

Ближайший узел — (5, 1). Маршрут: 0 шагов влево, 2 шага вверх. Расстояние от узла до входа: $60 / 2 = 30$ м.

Общая длина маршрута: $100 + 30 = 130$ м.

Количество вариантов кратчайших маршрутов до узла (5, 1): $C_{0+2}^0 = \frac{2!}{0! \cdot 2!} = 1$.

Ответ: Длина кратчайшего маршрута — 130 м. Существует 1 вариант такого маршрута.

д) в дом 2, корпус 2

Дом 2, корпус 2 находится в блоке (0, 2). Вход расположен с верхней стороны, на улице H2, между узлами (0, 2) и (1, 2).

Расстояние от M(5, 3) до узла (0, 2): $|5-0| \times 90 + |3-2| \times 50 = 5 \times 90 + 1 \times 50 = 450 + 50 = 500$ м.

Расстояние от M(5, 3) до узла (1, 2): $|5-1| \times 90 + |3-2| \times 50 = 4 \times 90 + 1 \times 50 = 360 + 50 = 410$ м.

Ближайший узел — (1, 2). Маршрут: 4 шага влево, 1 шаг вверх. Расстояние от узла до входа: $60 / 2 = 30$ м.

Общая длина маршрута: $410 + 30 = 440$ м.

Количество вариантов кратчайших маршрутов до узла (1, 2): $C_{4+1}^1 = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5$.

Ответ: Длина кратчайшего маршрута — 440 м. Существует 5 вариантов такого маршрута.