Страница 98, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1 Выполните деление с остатком:

а) 100 на 3;

б) 10 000 на 6;

в) 100 000 на 7

г) 805 на 100;

д) 10 300 на 1 300;

е) 1 000 000 на 9 000.

а) $100 : 3 = 33 (\mathrm{ост}. 1)$

б) $10000 : 6 = 1666 (\mathrm{ост}. 4)$

в) $100000 : 7 = 14285 (\mathrm{ост}. 5)$

г) $805 : 100 = 8 (\mathrm{ост}. 5)$

д) $10300 : 1300 = 7 (\mathrm{ост}. 1200)$

е) $1000000 : 9000 = 111 (\mathrm{ост}. 1000)$

а) Чтобы разделить 100 на 3 с остатком, найдем наибольшее число до 100, которое делится на 3 без остатка. Это число 99.
Делим 99 на 3: $99 : 3 = 33$. Это неполное частное.
Теперь найдем остаток, вычтя из делимого (100) произведение делителя (3) и неполного частного (33):
$100 - 3 \times 33 = 100 - 99 = 1$.
Проверка: $33 \times 3 + 1 = 99 + 1 = 100$.
Ответ: $100 : 3 = 33 \text{ (ост. 1)}$.

б) Чтобы разделить 10 000 на 6 с остатком, выполним деление в столбик:
Находим неполное частное: $10000 \div 6 \approx 1666$.
Умножаем неполное частное на делитель: $1666 \times 6 = 9996$.
Находим остаток: $10000 - 9996 = 4$.
Проверка: $1666 \times 6 + 4 = 9996 + 4 = 10000$.
Ответ: $10000 : 6 = 1666 \text{ (ост. 4)}$.

в) Чтобы разделить 100 000 на 7 с остатком, выполним деление в столбик:
Находим неполное частное: $100000 \div 7 \approx 14285$.
Умножаем неполное частное на делитель: $14285 \times 7 = 99995$.
Находим остаток: $100000 - 99995 = 5$.
Проверка: $14285 \times 7 + 5 = 99995 + 5 = 100000$.
Ответ: $100000 : 7 = 14285 \text{ (ост. 5)}$.

г) При делении числа на 100, неполное частное — это число, показывающее, сколько сотен в делимом, а остаток — это число, образованное двумя последними цифрами делимого.
В числе 805 содержится 8 полных сотен. Значит, неполное частное равно 8.
Оставшиеся цифры образуют число 05, то есть 5. Это остаток.
Проверка: $8 \times 100 + 5 = 800 + 5 = 805$.
Ответ: $805 : 100 = 8 \text{ (ост. 5)}$.

д) Чтобы разделить 10 300 на 1 300, подберем, сколько раз 1 300 помещается в 10 300.
$1300 \times 7 = 9100$.
$1300 \times 8 = 10400$ (это больше, чем 10 300).
Значит, неполное частное равно 7.
Находим остаток: $10300 - 9100 = 1200$.
Проверка: $7 \times 1300 + 1200 = 9100 + 1200 = 10300$. Остаток 1200 меньше делителя 1300.
Ответ: $10300 : 1300 = 7 \text{ (ост. 1200)}$.

е) Чтобы разделить 1 000 000 на 9 000, можно сначала разделить оба числа на 1000, что равносильно делению 1000 на 9.
$1000 : 9$. Неполное частное равно 111 ($111 \times 9 = 999$), остаток равен $1000 - 999 = 1$.
Неполное частное от деления 1 000 000 на 9 000 будет таким же, то есть 111.
Чтобы найти остаток от исходного деления, нужно остаток от деления 1000 на 9 (то есть 1) умножить на 1000:
$1 \times 1000 = 1000$.
Проверка: $111 \times 9000 + 1000 = 999000 + 1000 = 1000000$.
Ответ: $1000000 : 9000 = 111 \text{ (ост. 1000)}$.

2 Заполните таблицу.

1) $56 : 13 = 4 (\mathrm{ост}. 4)$

2) $12 · 4 + 5 = 48 + 5 = 53$

3) $(81-4) : 7 = 77 : 7 = 11$

Для решения задачи воспользуемся основной формулой деления с остатком, которая связывает все четыре величины:

$ \text{Делимое} = \text{Делитель} \times \text{Частное} + \text{Остаток} $

Рассмотрим каждую строку таблицы отдельно.

Строка 1
В этой строке известны Делимое (56) и Делитель (13). Необходимо найти Частное и Остаток.
1. Выполним деление с остатком числа 56 на 13. Для этого подберем такое целое число (Частное), при умножении которого на 13 получится число, максимально близкое к 56, но не превышающее его.
$ 13 \times 4 = 52 $
$ 13 \times 5 = 65 $ (это больше 56, значит не подходит).
Следовательно, Частное равно 4.
2. Теперь найдем Остаток. Для этого из Делимого вычтем произведение Делителя на найденное Частное.
$ \text{Остаток} = 56 - 13 \times 4 = 56 - 52 = 4 $
Проверим: $ 13 \times 4 + 4 = 52 + 4 = 56 $. Все верно.
Ответ: Частное = 4, Остаток = 4.

Строка 2
Здесь известны Делитель (12), Частное (4) и Остаток (5). Необходимо найти Делимое.
1. Воспользуемся основной формулой, подставив в нее известные значения.
$ \text{Делимое} = 12 \times 4 + 5 $
2. Выполним вычисления.
$ \text{Делимое} = 48 + 5 = 53 $
Проверим: $ 53 \div 12 = 4 $ (остаток $53 - 12 \times 4 = 5$). Все верно.
Ответ: Делимое = 53.

Строка 3
В этой строке известны Делимое (81), Частное (7) и Остаток (4). Необходимо найти Делитель.
1. Выразим Делитель из основной формулы.
$ \text{Делимое} - \text{Остаток} = \text{Делитель} \times \text{Частное} $
$ \text{Делитель} = (\text{Делимое} - \text{Остаток}) \div \text{Частное} $
2. Подставим известные значения и вычислим.
$ \text{Делитель} = (81 - 4) \div 7 $
$ \text{Делитель} = 77 \div 7 = 11 $
Проверим: $ 11 \times 7 + 4 = 77 + 4 = 81 $. Все верно.
Ответ: Делитель = 11.

Итоговая заполненная таблица:

3 Какой наибольший остаток можно получить при делении на 13?

$a = bq + r$, где $r<b,$$b = 13.$ Наибольший остаток $r = 12.$

Ответ: 12.

При делении любого целого числа $a$ (делимое) на натуральное число $b$ (делитель), остаток от деления $r$ всегда должен быть неотрицательным и строго меньше самого делителя $b$. Это можно выразить с помощью формулы деления с остатком $a = b \cdot q + r$ и неравенства для остатка $0 \le r < b$, где $q$ — неполное частное.

В условии задачи делитель $b$ равен 13. Следовательно, для остатка $r$ должно выполняться условие: $0 \le r < 13$.

Это означает, что остаток $r$ может быть любым целым числом в диапазоне от 0 до 12 включительно. Множество всех возможных остатков при делении на 13 выглядит так: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.

Наибольшим значением в этом множестве является 12. Таким образом, наибольший остаток, который можно получить при делении на 13, равен 12. В общем случае, наибольший остаток всегда на единицу меньше делителя.

Ответ: 12

4 Какое наибольшее число тетрадей по 23 р. можно купить на 290 р.?

$290 : 23 = 12 (\mathrm{ост}.14)$

Ответ: 12 тетрадей.

Чтобы определить наибольшее возможное количество тетрадей, необходимо общую сумму денег разделить на цену одной тетради. Так как количество тетрадей может быть только целым числом, результатом будет целая часть от деления.

Дано:

• Общая сумма денег: 290 р.
• Цена одной тетради: 23 р.

Найдем количество тетрадей, выполнив деление:

$290 \div 23$

Выполним деление с остатком:

$290 = 23 \times 12 + 14$

Результат деления равен 12, а остаток — 14. Это означает, что на 290 рублей можно купить 12 тетрадей. После покупки останется 14 рублей. На эти деньги купить еще одну тетрадь невозможно, так как 14 р. < 23 р.

Следовательно, наибольшее число тетрадей, которое можно купить, — 12.

Ответ: 12

5 Яблоки расфасовали в 22 пакета по 3 кг, и ещё остался 1 кг яблок. Сколько всего килограммов яблок было?

Было - ?
Расфасовали - в 22п. по 3кг
Осталось - 1кг

1) $22·3 = 66 \left(\mathrm{кг}\right)$ - расфасовали

2) $66 + 1 = 67 \left(\mathrm{кг}\right)$ - было

Ответ: 67 кг.

Чтобы найти общее количество килограммов яблок, необходимо сложить массу яблок, которые расфасовали по пакетам, и массу яблок, которые остались.

1. Найдем массу яблок в пакетах.
Для этого умножим количество пакетов на массу яблок в одном пакете.
$22 \times 3 = 66$ (кг)

2. Найдем общую массу яблок.
Теперь к массе яблок в пакетах прибавим массу оставшихся яблок.
$66 + 1 = 67$ (кг)

Ответ: всего было 67 кг яблок.

6 Какое наименьшее число свободных мест возможно, если 78 туристов размещают в лодках, в каждой из которых 14 мест?

1) $\mathrm{78 : 14 = 5 (}\mathrm{ост}.8)$

Необходимо 5 лодок. 8 туристов остались.

Значит для них нужна лодка, но она будет заполнена не полностью.

2) $14 - 8 = 6 \left(\mathrm{м}\right)$

Осталось: 6 свободных мест.

Чтобы найти наименьшее число свободных мест, сперва нужно определить минимальное количество лодок, которое потребуется для размещения всех 78 туристов. Каждая лодка вмещает 14 человек.

Разделим общее число туристов на вместимость одной лодки, чтобы узнать, сколько лодок будет заполнено полностью:
$78 \div 14 = 5$ (остаток 8)
Это значит, что 5 лодок будут полностью заняты, и еще 8 туристов останутся. Для этих 8 туристов потребуется еще одна лодка.
Таким образом, всего необходимо $5 + 1 = 6$ лодок.

Теперь найдем общее количество посадочных мест в 6 лодках:
$6 \times 14 = 84$ места.

Чтобы вычислить количество свободных мест, вычтем число туристов из общего числа мест:
$84 - 78 = 6$ свободных мест.

Это является наименьшим возможным числом свободных мест, так как было использовано минимально необходимое количество лодок.

Ответ: 6

?

Какая дробь получится, если справа к данной десятичной дроби приписать несколько нулей?

Если к десятичной дроби справа, после всех цифр дробной части, приписать один или несколько нулей, то её величина не изменится. Получится дробь, равная исходной.
Это свойство десятичных дробей легко понять, если представить их в виде обыкновенных. Приписывание нуля в конец дробной части равносильно умножению числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на 10, что, согласно основному свойству дроби, не изменяет её значения.
Например, рассмотрим дробь $5.4$. В виде смешанного числа она записывается как $5\frac{4}{10}$.
Припишем к ней справа один ноль и получим дробь $5.40$. В виде смешанного числа это $5\frac{40}{100}$.
Дробные части $\frac{4}{10}$ и $\frac{40}{100}$ равны, так как $\frac{40}{100} = \frac{4 \times 10}{10 \times 10} = \frac{4}{10}$.
Следовательно, $5.4 = 5.40 = 5.400$ и так далее.
Ответ: Получится дробь, равная данной.

Какая из двух десятичных дробей с неравными целыми частями больше?

Из двух десятичных дробей с неравными целыми частями большей является та, у которой целая часть (число слева от запятой) больше. При этом сравнивать их дробные части (числа справа от запятой) не нужно.
Например, необходимо сравнить дроби $23.5$ и $22.879$.
Целая часть первой дроби равна $23$.
Целая часть второй дроби равна $22$.
Так как $23 > 22$, то и дробь $23.5$ больше дроби $22.879$.
Ответ: Больше та дробь, у которой целая часть больше.

Сформулируйте алгоритм сравнения десятичных дробей.

Чтобы сравнить две десятичные дроби, нужно выполнить следующие действия:
1. Сравнить целые части. Сначала сравнивают числа, стоящие слева от запятой. Та дробь больше, у которой целая часть больше. Если целые части равны, переходят к следующему шагу.
Пример: $10.1 > 9.999$, потому что $10 > 9$.

2. Сравнить дробные части поразрядно. Если целые части дробей равны, начинают сравнивать цифры в разрядах дробной части, двигаясь слева направо (сначала десятые, потом сотые, затем тысячные и т.д.) до тех пор, пока не встретится первая пара различных цифр.
Примечание: Если у одной из дробей количество знаков в дробной части меньше, то можно мысленно или письменно дописать справа нули, чтобы уравнять количество знаков. Например, при сравнении $0.7$ и $0.68$ мы сравниваем $0.70$ и $0.68$.

3. Сделать вывод. Та дробь будет больше, у которой в первом несовпавшем разряде цифра окажется больше. Если все цифры до конца самой длинной дробной части совпали, то дроби равны.
Пример: Сравним $42.538$ и $42.54$.
- Целые части равны: $42 = 42$.
- Сравниваем разряд десятых: $5 = 5$.
- Сравниваем разряд сотых: $3 < 4$.
- Дальнейшее сравнение не требуется. Поскольку в разряде сотых у второй дроби цифра больше, то $42.538 < 42.54$.
Ответ: Чтобы сравнить две десятичные дроби, сначала сравнивают их целые части. Если они равны, то сравнивают поразрядно их дробные части слева направо до первого несовпадения. Большей считается та дробь, у которой цифра в этом разряде больше.

6.31 Напишите десятичную дробь, равную дроби:

а) 0,31, с шестью знаками после запятой;

б) 3,456, с четырьмя знаками после запятой;

в) 2,9, с тремя знаками после запятой;

г) 9,30000, с двумя знаками после запятой.

a) $0,31 = 0,310000$

б) $3,456 = 3,4560$

в) $2,9 = 2,900$

г) $9,30000 = 9,30$

а) Чтобы записать десятичную дробь, равную данной, с определенным количеством знаков после запятой, можно дописать или отбросить нули в конце дробной части. Это не изменит значение дроби.
В дроби $0,31$ два знака после запятой. Чтобы получить шесть знаков после запятой, необходимо дописать справа $6 - 2 = 4$ нуля.
$0,31 = 0,310000$
Ответ: $0,310000$

б) В дроби $3,456$ три знака после запятой. Чтобы получить четыре знака после запятой, необходимо дописать справа $4 - 3 = 1$ ноль.
$3,456 = 3,4560$
Ответ: $3,4560$

в) В дроби $2,9$ один знак после запятой. Чтобы получить три знака после запятой, необходимо дописать справа $3 - 1 = 2$ нуля.
$2,9 = 2,900$
Ответ: $2,900$

г) В дроби $9,30000$ пять знаков после запятой. Чтобы получить два знака после запятой, необходимо отбросить лишние нули справа. Оставляем первые два знака после запятой ('3' и '0') и отбрасываем остальные три нуля.
$9,30000 = 9,30$
Ответ: $9,30$

6.32 Уравняйте число знаков после запятой в десятичных дробях 3,9; 39,46; 0,345.

Чтобы уравнять число знаков после запятой в десятичных дробях, необходимо определить дробь с наибольшим количеством знаков после запятой. Затем нужно дополнить остальные дроби справа нулями так, чтобы количество знаков после запятой у всех дробей стало одинаковым. Дописывание нулей справа в дробной части не изменяет значение десятичной дроби.

Исходные дроби: $3,9$; $39,46$; $0,345$.

1. Определим количество знаков после запятой в каждой дроби:
- В дроби $3,9$ — 1 знак после запятой.
- В дроби $39,46$ — 2 знака после запятой.
- В дроби $0,345$ — 3 знака после запятой.

2. Наибольшее количество знаков после запятой — три. Следовательно, все дроби нужно привести к виду с тремя знаками после запятой.

3. Дополним дроби нулями:
- Для дроби $3,9$ необходимо добавить два нуля, чтобы получилось три знака после запятой: $3,900$.
- Для дроби $39,46$ необходимо добавить один ноль: $39,460$.
- Дробь $0,345$ уже имеет три знака после запятой и остается без изменений.

Ответ: $3,900$; $39,460$; $0,345$.