Страница 99, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно вычитания. Запишите равенство, выражающее это свойство.

Распределительное свойство умножения формулируется для двух арифметических действий: сложения и вычитания.

Относительно сложения: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Это свойство выражается следующим равенством: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Относительно вычитания: чтобы умножить число на разность, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе. Это свойство выражается следующим равенством: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Ответ: Распределительное свойство умножения относительно сложения: $a(b + c) = ab + ac$. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a(b - c) = ab - ac$.

Как изученные свойства умножения помогают упрощать выражения вида 7x + 3x; 17t - 8t; 5b + 15b?

Для упрощения подобных выражений используется распределительное свойство умножения, примененное в обратном порядке — вынесение общего множителя за скобки. Этот процесс также называют приведением подобных слагаемых. Во всех этих выражениях есть общий буквенный множитель, который можно вынести за скобки, а затем выполнить арифметическое действие с числовыми коэффициентами.

• В выражении $7x + 3x$ общий множитель — это $x$. Выносим его за скобки: $7x + 3x = (7 + 3)x$. Сложив числа в скобках, получаем: $10x$.

• В выражении $17t - 8t$ общий множитель — это $t$. Выносим его за скобки: $17t - 8t = (17 - 8)t$. Выполнив вычитание, получаем: $9t$.

• В выражении $5b + 15b$ общий множитель — это $b$. Выносим его за скобки: $5b + 15b = (5 + 15)b$. Сложив коэффициенты, получаем: $20b$.

Таким образом, распределительное свойство позволяет сгруппировать коэффициенты при одинаковых переменных и упростить выражение.

Ответ: Распределительное свойство позволяет вынести общий буквенный множитель за скобки, после чего сложить или вычесть числовые коэффициенты, что упрощает выражение: $7x + 3x = (7+3)x = 10x$; $17t - 8t = (17-8)t = 9t$; $5b + 15b = (5+15)b = 20b$.

Как найти значение выражения 5a + 5b, зная, что a + b = 100?

Для нахождения значения данного выражения необходимо использовать распределительное свойство умножения. В выражении $5a + 5b$ есть общий числовой множитель — 5.

1. Вынесем общий множитель 5 за скобки. На основе распределительного свойства $ab + ac = a(b+c)$ получаем: $5a + 5b = 5(a + b)$

2. По условию задачи нам известно, что сумма $a + b$ равна 100. Подставим это значение в полученное выражение:

$5(a + b) = 5 \cdot 100$

3. Выполним умножение:

$5 \cdot 100 = 500$

Следовательно, значение выражения $5a + 5b$ равно 500.

Ответ: 500.

6.33 Запишите дробь с наименьшим числом знаков после запятой:

а) 4,6000;

б) 5,05000;

в) 30,040;

г) 7,007000.

Чтобы записать десятичную дробь с наименьшим числом знаков после запятой, нужно отбросить все нули, стоящие в конце дробной части числа. Эти нули не изменяют величину дроби.

а)

В дроби $4,6000$ дробная часть равна $6000$ десятитысячных. Последние три нуля можно отбросить без изменения значения дроби:

$4,6000 = 4,600 = 4,60 = 4,6$

Наименьшее число знаков после запятой — один.

Ответ: $4,6$

б)

В дроби $5,05000$ дробная часть равна $05000$ стотысячных. Три нуля в конце дробной части являются конечными, и их можно отбросить. Нуль, стоящий после запятой перед цифрой $5$, является значащим, так как он указывает на разряд (десятые), и его отбрасывать нельзя.

$5,05000 = 5,0500 = 5,050 = 5,05$

Наименьшее число знаков после запятой — два.

Ответ: $5,05$

в)

В дроби $30,040$ в дробной части есть один конечный нуль, который можно отбросить. Нуль между запятой и цифрой $4$ является значащим и должен быть сохранен.

$30,040 = 30,04$

Наименьшее число знаков после запятой — два.

Ответ: $30,04$

г)

В дроби $7,007000$ в дробной части есть три конечных нуля. Их можно отбросить. Два нуля между запятой и цифрой $7$ являются значащими, они показывают, что цифра $7$ находится в разряде тысячных.

$7,007000 = 7,00700 = 7,0070 = 7,007$

Наименьшее число знаков после запятой — три.

Ответ: $7,007$

6.34 Сравните числа:

а) 76,07 и 87,88;

б) 38,9 и 38,9000;

в) 0,5 и 0,637;

г) 0,834 и 0,843;

д) 8,6442 и 8,6433;

е) 0,0057 и 0,00567.

а) Чтобы сравнить две десятичные дроби, в первую очередь сравнивают их целые части. Целая часть числа 76,07 равна 76. Целая часть числа 87,88 равна 87. Поскольку целая часть первого числа меньше целой части второго числа ($76 < 87$), то и само число 76,07 меньше числа 87,88.
Ответ: $76,07 < 87,88$

б) Целые части данных чисел равны: 38. Чтобы сравнить дробные части, необходимо уравнять количество знаков после запятой. Значение десятичной дроби не изменится, если в конце её дробной части приписать нули. Дополним число 38,9 нулями до четырёх знаков после запятой: $38,9 = 38,9000$. Теперь сравниваем числа 38,9000 и 38,9000. Они равны.
Ответ: $38,9 = 38,9000$

в) Целые части этих дробей равны 0. Сравнение начинаем с дробной части, двигаясь по разрядам слева направо. В разряде десятых у числа 0,5 стоит цифра 5, а у числа 0,637 — цифра 6. Так как $5 < 6$, то первая дробь меньше второй.
Ответ: $0,5 < 0,637$

г) Целые части дробей равны 0. Начинаем поразрядное сравнение дробных частей. Цифры в разряде десятых равны (8). Переходим к следующему разряду — сотым. В разряде сотых у числа 0,834 стоит цифра 3, а у числа 0,843 — цифра 4. Так как $3 < 4$, то первая дробь меньше второй.
Ответ: $0,834 < 0,843$

д) Целые части дробей равны 8. Сравниваем дробные части поразрядно. Цифры в разрядах десятых и сотых совпадают (6 и 4 соответственно). Переходим к разряду тысячных. В разряде тысячных у числа 8,6442 стоит цифра 4, а у числа 8,6433 — цифра 3. Так как $4 > 3$, то первая дробь больше второй.
Ответ: $8,6442 > 8,6433$

е) Целые части дробей равны 0. Сравниваем дробные части поразрядно. Цифры в разрядах десятых, сотых и тысячных совпадают (0, 0 и 5). Переходим к разряду десятитысячных. У числа 0,0057 в этом разряде стоит цифра 7. У числа 0,00567 в этом разряде стоит цифра 6. Так как $7 > 6$, то первая дробь больше второй.
Ответ: $0,0057 > 0,00567$

6.35 а) Запишите в порядке убывания числа 5,478; 5,487; 8,175; 8,057; 1,321.

б) Запишите в порядке возрастания числа 0,0055; 0,073; 0,0023; 0,09; 0,0081.

а) Чтобы записать числа в порядке убывания, необходимо сравнить их между собой и расположить от наибольшего к наименьшему. Сравнение десятичных дробей выполняется поразрядно слева направо, начиная с целой части.

Рассмотрим числа: $5,478$; $5,487$; $8,175$; $8,057$; $1,321$.

1. Сравним целые части чисел (цифры до запятой): $5$, $5$, $8$, $8$, $1$. Наибольшая целая часть – $8$. У нас есть два числа с такой целой частью: $8,175$ и $8,057$.
2. Сравним $8,175$ и $8,057$. Их целые части равны. Сравним цифры в разряде десятых: у $8,175$ это $1$, а у $8,057$ это $0$. Так как $1 > 0$, то $8,175 > 8,057$. Это первые два числа в нашей последовательности.
3. Следующая по величине целая часть – $5$. Есть два числа с такой целой частью: $5,478$ и $5,487$.
4. Сравним $5,478$ и $5,487$. Целые части и разряды десятых у них равны ($5$ и $4$). Сравним разряды сотых: у $5,478$ это $7$, а у $5,487$ это $8$. Так как $8 > 7$, то $5,487 > 5,478$.
5. Самая маленькая целая часть – $1$, следовательно, число $1,321$ является наименьшим в данном наборе.

Собирая все вместе, получаем ряд чисел в порядке убывания.

Ответ: $8,175$; $8,057$; $5,487$; $5,478$; $1,321$.

б) Чтобы записать числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их между собой и расположить от наименьшего к наибольшему. Сравнение также выполняется поразрядно слева направо.

Рассмотрим числа: $0,0055$; $0,073$; $0,0023$; $0,09$; $0,0081$.

1. Целые части всех чисел равны $0$. Переходим к сравнению дробных частей.
2. Сравним цифры в разряде десятых (первая цифра после запятой): $0, 7, 0, 9, 0$. Наименьшие числа те, у которых в этом разряде стоит $0$. Это $0,0055$; $0,0023$; $0,0081$.
3. Сравним эту группу чисел между собой. Переходим к разряду сотых (вторая цифра после запятой). У всех трех чисел в этом разряде стоит $0$.
4. Переходим к разряду тысячных (третья цифра после запятой). У $0,0055$ это $5$, у $0,0023$ это $2$, у $0,0081$ это $8$. В порядке возрастания цифр ($2 < 5 < 8$) получаем порядок чисел: $0,0023 < 0,0055 < 0,0081$.
5. Теперь сравним оставшиеся два числа: $0,073$ и $0,09$. Сравниваем их десятые доли: $7$ и $9$. Так как $7 < 9$, то $0,073 < 0,09$.

Объединяем обе группы в одну последовательность по возрастанию.

Ответ: $0,0023$; $0,0055$; $0,0081$; $0,073$; $0,09$.

6.36 Отметьте на координатной прямой точки M(0,1), N(0,4), K(0,7), P(1,3), L(2,2), если единичный отрезок равен десяти клеткам тетради.

Для того чтобы отметить указанные точки на координатной прямой, необходимо сначала понять заданный масштаб. Условие гласит, что единичный отрезок равен десяти клеткам тетради. Это означает, что расстояние на прямой между двумя целыми числами (например, между 0 и 1, или между 1 и 2) составляет 10 клеток. Следовательно, одна клетка соответствует $1 \div 10 = 0,1$ единицы длины на координатной прямой.

Теперь мы можем вычислить точное положение каждой точки в клетках от начала отсчета (точки 0). Для этого координату каждой точки нужно умножить на 10.

Точка M(0,1)
Координата точки M равна $0,1$. Чтобы найти её положение на прямой, умножаем координату на 10: $0,1 \times 10 = 1$.
Значит, точка M находится на расстоянии 1 клетки вправо от начала отсчета.

Точка N(0,4)
Координата точки N равна $0,4$. Её положение в клетках: $0,4 \times 10 = 4$.
Точка N находится на расстоянии 4 клеток вправо от начала отсчета.

Точка K(0,7)
Координата точки K равна $0,7$. Её положение в клетках: $0,7 \times 10 = 7$.
Точка K находится на расстоянии 7 клеток вправо от начала отсчета.

Точка P(1,8)
Координата точки P равна $1,8$. Её положение в клетках: $1,8 \times 10 = 18$.
Точка P находится на расстоянии 18 клеток вправо от начала отсчета. Её также можно найти, отсчитав 8 клеток вправо от отметки 1 (которая сама находится в 10 клетках от 0).

Точка L(2,2)
Координата точки L равна $2,2$. Её положение в клетках: $2,2 \times 10 = 22$.
Точка L находится на расстоянии 22 клеток вправо от начала отсчета. Её также можно найти, отсчитав 2 клетки вправо от отметки 2 (которая находится в 20 клетках от 0).

Ответ:
Для разметки координатной прямой необходимо начертить луч, отметить на нем начало отсчета 0. Отметка 1 будет находиться на расстоянии 10 клеток вправо от 0, отметка 2 — на расстоянии 20 клеток от 0, и так далее. Заданные точки будут располагаться на этой прямой следующим образом:
- точка M(0,1) — на 1 клетку правее 0;
- точка N(0,4) — на 4 клетки правее 0;
- точка K(0,7) — на 7 клеток правее 0;
- точка P(1,8) — на 18 клеток правее 0 (или на 8 клеток правее 1);
- точка L(2,2) — на 22 клетки правее 0 (или на 2 клетки правее 2).

6.37 Найдите, какая из точек лежит правее на координатной прямой:

а) M(1,3) или N(1,5);

б) K(0,51) или P(0,55);

в) L(5,5) или Z(5,55).

а) M(1,3) или N(1,5);

На координатной прямой правее находится та точка, координата которой больше. Чтобы определить, какая из точек M(1,3) или N(1,5) лежит правее, необходимо сравнить их координаты. Координата точки M равна 1,3. Координата точки N равна 1,5. Сравниваем числа 1,3 и 1,5. Так как $1.5 > 1.3$, точка N лежит правее точки M.

Ответ: точка N(1,5).

б) K(0,51) или P(0,55);

Сравниваем координаты точек K(0,51) и P(0,55). Координата точки K равна 0,51. Координата точки P равна 0,55. При сравнении десятичных дробей $0.55 > 0.51$. Следовательно, точка P лежит правее точки K.

Ответ: точка P(0,55).

в) L(5,5) или Z(5,55);

Сравниваем координаты точек L(5,5) и Z(5,55). Координата точки L равна 5,5. Координата точки Z равна 5,55. Чтобы сравнить эти два числа, можно уравнять количество знаков после запятой, дописав в конце десятичной дроби 5,5 один ноль: $5,5 = 5,50$. Теперь сравним числа 5,50 и 5,55. Так как $5.55 > 5.50$, точка Z лежит правее точки L.

Ответ: точка Z(5,55).

6.38 Найдите, какая из точек лежит левее на координатной прямой:

а) M(3,8) или N(3,5);

б) K(0,651) или P(0,75);

в) L(9,83) или Z(9,9).

а) M(3,8) или N(3,5);

На координатной прямой из двух точек левее находится та, координата которой меньше. Сравним координаты точек M(3,8) и N(3,5). Координата точки M равна 3,8, а координата точки N равна 3,5. Для сравнения десятичных дробей 3,8 и 3,5 сначала сравним их целые части. Они равны 3. Теперь сравним их дробные части, начиная с разряда десятых. У числа 3,8 в разряде десятых стоит цифра 8, а у числа 3,5 — цифра 5. Так как $5 < 8$, то и число $3,5 < 3,8$. Следовательно, точка N(3,5) лежит левее точки M(3,8).

Ответ: N(3,5).

б) K(0,651) или P(0,75);

Сравним координаты точек K(0,651) и P(0,75). Координата точки K — это 0,651, а координата точки P — это 0,75. Сравниваем числа 0,651 и 0,75 поразрядно. Целые части у них равны 0. Сравниваем цифры в разряде десятых: у числа 0,651 это 6, у числа 0,75 это 7. Так как $6 < 7$, то $0,651 < 0,75$. Дальнейшее сравнение разрядов не требуется. Таким образом, точка K(0,651) лежит на координатной прямой левее точки P(0,75).

Ответ: K(0,651).

в) L(9,83) или Z(9,9);

Сравним координаты точек L(9,83) и Z(9,9). Координата точки L равна 9,83, а координата точки Z равна 9,9. Сначала сравниваем целые части чисел: они одинаковы и равны 9. Затем сравниваем десятые доли: у числа 9,83 это 8, а у числа 9,9 это 9. Так как $8 < 9$, то $9,83 < 9,9$. Это означает, что точка L(9,83) расположена на координатной прямой левее, чем точка Z(9,9).

Ответ: L(9,83).

6.39 Какое из чисел больше:

а) 42 или 36,81;

б) 9,005 или 10,0004;

в) 4,3 или 4,3003;

г) 7,008 или 7,888?

a) $42>\text{36,81}$ Ответ: 42

б) $\text{9,005}<\text{10,004}$ Ответ: 10,004

в) Уравняем число знаков после запятой в десятичных дробях 4,3 и 4,3003:

$\text{4,3003};\text{4,3000}\text{и}\text{4,3003}.$

Сравним натуральные числа

$43000\text{и}43003.$

Так как $43000<43003\text{,}\text{то}$

$\text{4,3}<\text{4,3003}$

Ответ: 4,3003

г) Так как $7008<7888\text{,}\text{то}$

$\text{7,008}<\text{7,888}$

Ответ: 7,888

а) Чтобы сравнить два числа, в первую очередь сравнивают их целые части. Целая часть числа 42 — это 42. Целая часть десятичной дроби 36,81 — это 36. Поскольку $42 > 36$, то и число 42 больше, чем 36,81. Ответ: 42.

б) Сравниваем целые части чисел 9,005 и 10,0004. Целая часть первого числа равна 9, а второго — 10. Так как $10 > 9$, то число 10,0004 больше, чем 9,005. Ответ: 10,0004.

в) Сравним числа 4,3 и 4,3003. Их целые части равны 4. Чтобы сравнить дробные части, уравняем количество знаков после запятой, приписав нули справа к числу 4,3, что не изменит его величины: $4,3 = 4,3000$. Теперь сравним поразрядно числа $4,3000$ и $4,3003$. Разряды десятых, сотых и тысячных у них совпадают. Однако в разряде десятитысячных у первого числа стоит 0, а у второго 3. Так как $0 < 3$, то $4,3 < 4,3003$. Ответ: 4,3003.

г) Сравним числа 7,008 и 7,888. Их целые части равны 7. Начнем поразрядное сравнение дробных частей слева направо, с разряда десятых. У числа 7,008 в разряде десятых стоит 0, а у числа 7,888 — 8. Поскольку $0 < 8$, дальнейшее сравнение не требуется. Следовательно, $7,008 < 7,888$. Ответ: 7,888.

6.40 Поставьте цифру вместо знака вопроса так, чтобы неравенство было верным:

а) 15,?3 > 15,03;

б) 8,45 < 8,4?.

а) $15,13>15,03$

$15,23>15,03$

$15,33>15,03$

$15,43>15,03$

$15,53>15,03$

$15,63>15,03$

$15,73>15,03$

$15,83>15,03$

$15,93>15,03$

б) $8,45<8,46$

$8,45<8,47$

$8,45<8,48$

$8,45<8,49$

а) Чтобы неравенство $15,?3 > 15,03$ было верным, необходимо сравнить эти два десятичных числа. Сравнение производится поразрядно, слева направо.
1. Сравниваем целые части: $15 = 15$. Так как они равны, переходим к сравнению дробных частей.
2. Сравниваем разряд десятых (первая цифра после запятой). В левом числе на этом месте стоит неизвестная цифра `?`, а в правом — `0`. Чтобы левое число было больше правого, его цифра в разряде десятых должна быть больше, чем у правого. Если $? > 0$, то неравенство $15,?3 > 15,03$ будет верным независимо от следующих цифр (например, $15,13 > 15,03$).
3. Если бы мы взяли $? = 0$, то неравенство стало бы $15,03 > 15,03$, что неверно, так как числа равны.
Следовательно, на место знака вопроса можно поставить любую цифру, большую нуля.
Ответ: любая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

б) Чтобы неравенство $8,45 < 8,4?$ было верным, сравним числа поразрядно слева направо.
1. Сравниваем целые части: $8 = 8$. Они равны.
2. Сравниваем разряд десятых: $4 = 4$. Они также равны.
3. Переходим к сравнению разряда сотых (вторая цифра после запятой). В левом числе это цифра `5`, а в правом — неизвестная цифра `?`. Чтобы левое число было меньше правого, его цифра в разряде сотых должна быть меньше цифры в разряде сотых правого числа. То есть, должно выполняться условие $5 < ?$.
Этому условию удовлетворяют цифры, которые больше 5.
Ответ: любая из цифр 6, 7, 8, 9.

6.41 Запишите соседние натуральные числа, между которыми находится дробь:

а) 3,3;

б) 15,51;

в) 8,848;

г) 22,222.

а) Чтобы найти соседние натуральные числа, между которыми находится дробь $3,3$, нужно определить ее целую часть. Целая часть числа $3,3$ равна $3$. Это будет меньшее из искомых натуральных чисел. Следующее за ним натуральное число (его "сосед") равно $3 + 1 = 4$. Таким образом, дробь $3,3$ находится между натуральными числами $3$ и $4$, что можно записать в виде двойного неравенства: $3 < 3,3 < 4$.
Ответ: 3 и 4.

б) Для дроби $15,51$ ее целая часть равна $15$. Это меньшее из искомых натуральных чисел. Чтобы найти следующее натуральное число, прибавляем к $15$ единицу: $15 + 1 = 16$. Таким образом, дробь $15,51$ расположена на числовой прямой между натуральными числами $15$ и $16$. Это можно записать в виде неравенства: $15 < 15,51 < 16$.
Ответ: 15 и 16.

в) Целая часть дроби $8,848$ равна $8$. Это будет меньшее натуральное число. Большее соседнее натуральное число находим, прибавив единицу к целой части: $8 + 1 = 9$. Убедимся, что наша дробь находится между этими числами, проверив неравенство: $8 < 8,848 < 9$. Неравенство выполняется.
Ответ: 8 и 9.

г) Целая часть десятичной дроби $22,222$ равна $22$. Это первое искомое натуральное число. Второе, соседнее с ним, натуральное число будет $22 + 1 = 23$. Дробь $22,222$ больше, чем $22$, и меньше, чем $23$, что подтверждается верным неравенством: $22 < 22,222 < 23$.
Ответ: 22 и 23.

6.42 Назовите два значения z, при которых верно двойное неравенство:

a) 5,42 < z < 9,76;

6) 0,3 < z < 0,4;

в) 3,6 < z < 3,7;

г) 14,99 < z < 15;

д) 8 < z < 8,01;

е) 1,123 < z < 1,124.

Для того чтобы найти значения $z$, которые удовлетворяют двойному неравенству, необходимо выбрать числа, которые находятся строго между левой и правой границами. Между любыми двумя различными числами всегда можно найти бесконечное множество других чисел. Простой способ найти такое число — это добавить десятичные разряды к меньшему из чисел так, чтобы оно осталось меньше большего числа.

а) В неравенстве $5,42 < z < 9,76$ переменная $z$ должна быть больше 5,42 и меньше 9,76. В этом интервале есть несколько целых чисел: 6, 7, 8 и 9. Мы можем выбрать любые два из них.
Например, выберем 6 и 8.
Проверка: $5,42 < 6 < 9,76$ (верно) и $5,42 < 8 < 9,76$ (верно).
Ответ: 6 и 8.

б) В неравенстве $0,3 < z < 0,4$ нужно найти числа между 0,3 и 0,4. Чтобы было проще их увидеть, можно представить границы с большим количеством знаков после запятой: $0,30 < z < 0,40$. Теперь очевидно, что подойдут числа от 0,31 до 0,39.
Например, выберем 0,31 и 0,35.
Проверка: $0,3 < 0,31 < 0,4$ (верно) и $0,3 < 0,35 < 0,4$ (верно).
Ответ: 0,31 и 0,35.

в) В неравенстве $3,6 < z < 3,7$ действуем аналогично предыдущему пункту. Представим неравенство в виде $3,60 < z < 3,70$. Теперь можно выбрать любые числа в этом диапазоне.
Например, выберем 3,62 и 3,69.
Проверка: $3,6 < 3,62 < 3,7$ (верно) и $3,6 < 3,69 < 3,7$ (верно).
Ответ: 3,62 и 3,69.

г) В неравенстве $14,99 < z < 15$ нужно найти число между 14,99 и 15. Представим 15 как 15,00. Неравенство будет выглядеть так: $14,99 < z < 15,00$. Чтобы найти число между ними, нужно добавить еще один десятичный разряд, получив неравенство $14,990 < z < 15,000$.
Например, выберем 14,991 и 14,995.
Проверка: $14,99 < 14,991 < 15$ (верно) и $14,99 < 14,995 < 15$ (верно).
Ответ: 14,991 и 14,995.

д) В неравенстве $8 < z < 8,01$ ищем числа между 8 и 8,01. Представим 8 как 8,00. Неравенство примет вид $8,00 < z < 8,01$. Для нахождения подходящих значений $z$ добавим еще один разряд: $8,000 < z < 8,010$.
Например, выберем 8,001 и 8,005.
Проверка: $8 < 8,001 < 8,01$ (верно) и $8 < 8,005 < 8,01$ (верно).
Ответ: 8,001 и 8,005.

е) В неравенстве $1,123 < z < 1,124$ нужно найти числа между 1,123 и 1,124. Добавим еще один десятичный разряд, чтобы было легче выбрать числа: $1,1230 < z < 1,1240$.
Например, выберем 1,1232 и 1,1237.
Проверка: $1,123 < 1,1232 < 1,124$ (верно) и $1,123 < 1,1237 < 1,124$ (верно).
Ответ: 1,1232 и 1,1237.

6.43 Сравните величины:

а) 239,57 кг и 240,68 кг;

б) 89,61 дм³ и 79,32 дм³;

в) 9,837 ч и 9,873 ч;

г) 4,83 °C и 4,51 °C;

д) 0,712 кг и 721,5 г;

е) 3,234 га и 323,5 а;

ж) 6,543 м и 6543,3 мм;

з) 8,632 л и 8649 см³.

Можно ли сравнить 2,6 см² и 2,7 см? Приведите примеры величин, которые нельзя сравнивать.

а) Сравниваем $239,57 \text{ кг}$ и $240,68 \text{ кг}$. Обе величины выражены в килограммах. Для сравнения десятичных дробей сначала сравниваем их целые части. Целая часть числа 239,57 равна 239, а целая часть числа 240,68 равна 240. Поскольку $239 < 240$, то и $239,57 < 240,68$.
Ответ: $239,57 \text{ кг} < 240,68 \text{ кг}$.

б) Сравниваем $89,61 \text{ дм}^3$ и $79,32 \text{ дм}^3$. Обе величины выражены в кубических дециметрах. Сравниваем целые части чисел: 89 и 79. Поскольку $89 > 79$, то $89,61 > 79,32$.
Ответ: $89,61 \text{ дм}^3 > 79,32 \text{ дм}^3$.

в) Сравниваем $9,837 \text{ ч}$ и $9,873 \text{ ч}$. Обе величины выражены в часах. Целые части чисел равны (9). Сравниваем дробные части поразрядно, начиная со старшего разряда (десятых). Цифры в разряде десятых равны (8). Переходим к разряду сотых: у первого числа цифра 3, а у второго 7. Поскольку $3 < 7$, то $9,837 < 9,873$.
Ответ: $9,837 \text{ ч} < 9,873 \text{ ч}$.

г) Сравниваем $4,83 \text{ °C}$ и $4,51 \text{ °C}$. Обе величины выражены в градусах Цельсия. Целые части чисел равны (4). Сравниваем цифры в разряде десятых: у первого числа 8, у второго 5. Поскольку $8 > 5$, то $4,83 > 4,51$.
Ответ: $4,83 \text{ °C} > 4,51 \text{ °C}$.

д) Сравниваем $0,712 \text{ кг}$ и $721,5 \text{ г}$. Величины выражены в разных единицах массы. Приведем их к одной единице измерения — граммам. В одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).
$0,712 \text{ кг} = 0,712 \times 1000 \text{ г} = 712 \text{ г}$.
Теперь сравниваем $712 \text{ г}$ и $721,5 \text{ г}$. Поскольку $712 < 721,5$, то $0,712 \text{ кг} < 721,5 \text{ г}$.
Ответ: $0,712 \text{ кг} < 721,5 \text{ г}$.

е) Сравниваем $3,234 \text{ га}$ и $323,5 \text{ а}$. Величины выражены в разных единицах площади. Приведем их к арам. В одном гектаре 100 аров ($1 \text{ га} = 100 \text{ а}$).
$3,234 \text{ га} = 3,234 \times 100 \text{ а} = 323,4 \text{ а}$.
Теперь сравниваем $323,4 \text{ а}$ и $323,5 \text{ а}$. Поскольку $323,4 < 323,5$, то $3,234 \text{ га} < 323,5 \text{ а}$.
Ответ: $3,234 \text{ га} < 323,5 \text{ а}$.

ж) Сравниваем $6,543 \text{ м}$ и $6543,3 \text{ мм}$. Величины выражены в разных единицах длины. Приведем их к миллиметрам. В одном метре 1000 миллиметров ($1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$).
$6,543 \text{ м} = 6,543 \times 1000 \text{ мм} = 6543 \text{ мм}$.
Теперь сравниваем $6543 \text{ мм}$ и $6543,3 \text{ мм}$. Поскольку $6543 < 6543,3$, то $6,543 \text{ м} < 6543,3 \text{ мм}$.
Ответ: $6,543 \text{ м} < 6543,3 \text{ мм}$.

з) Сравниваем $8,632 \text{ л}$ и $8649 \text{ см}^3$. Величины выражены в разных единицах объема. Приведем их к кубическим сантиметрам. Один литр равен 1000 кубических сантиметров ($1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$).
$8,632 \text{ л} = 8,632 \times 1000 \text{ см}^3 = 8632 \text{ см}^3$.
Теперь сравниваем $8632 \text{ см}^3$ и $8649 \text{ см}^3$. Поскольку $8632 < 8649$, то $8,632 \text{ л} < 8649 \text{ см}^3$.
Ответ: $8,632 \text{ л} < 8649 \text{ см}^3$.

Сравнивать можно только однородные величины, то есть те, которые измеряют одну и ту же физическую характеристику (например, две длины или две массы). Величина $2,6 \text{ см}^2$ является мерой площади, а величина $2,7 \text{ см}$ — мерой длины. Это разнородные величины, поэтому их сравнение не имеет физического смысла. Нельзя сказать, что больше — площадь или длина.

Примеры других величин, которые нельзя сравнивать:

• масса и время (например, $5 \text{ кг}$ и $10 \text{ секунд}$);
• длина и объем (например, $3 \text{ м}$ и $12 \text{ м}^3$);
• площадь и скорость (например, $15 \text{ м}^2$ и $30 \text{ км/ч}$);
• температура и сила тока (например, $20 \text{ °C}$ и $2 \text{ А}$).

Ответ: Сравнить $2,6 \text{ см}^2$ и $2,7 \text{ см}$ нельзя, так как это разнородные величины (площадь и длина). Примеры величин, которые нельзя сравнивать: масса и время, объем и температура.

6.44 Вычислите.

а)
Для решения этого примера необходимо выполнить арифметические операции в указанном порядке, сверху вниз.
1) Первое действие: умножение. $450 \cdot 2 = 900$.
2) Второе действие: вычитание. $900 - 250 = 650$.
3) Третье действие: деление. $650 : 13 = 50$.
4) Четвертое действие: умножение. $50 \cdot 7 = 350$.
Ответ: 350

б)
Выполним последовательно все указанные математические операции.
1) Первое действие: сложение. $364 + 116 = 480$.
2) Второе действие: деление. $480 : 6 = 80$.
3) Третье действие: сложение. $80 + 70 = 150$.
4) Четвертое действие: умножение. $150 \cdot 8 = 1200$.
Ответ: 1200

в)
Решим данный пример по действиям, следуя порядку, указанному в столбике.
1) Первое действие: умножение. $200 \cdot 5 = 1000$.
2) Второе действие: вычитание. $1000 - 250 = 750$.
3) Третье действие: деление. $750 : 150 = 5$.
4) Четвертое действие: умножение. $5 \cdot 12 = 60$.
Ответ: 60

г)
Выполним вычисления по шагам в заданной последовательности.
1) Первое действие: деление. $480 : 20 = 24$.
2) Второе действие: сложение. $24 + 80 = 104$.
3) Третье действие: деление. $104 : 4 = 26$.
4) Четвертое действие: умножение. $26 \cdot 20 = 520$.
Ответ: 520

д)
Произведем вычисления в столбик согласно указанному порядку операций.
1) Первое действие: вычитание. $300 - 40 = 260$.
2) Второе действие: деление. $260 : 13 = 20$.
3) Третье действие: умножение. $20 \cdot 10 = 200$.
4) Четвертое действие: деление. $200 : 20 = 10$.
Ответ: 10

6.45 Сколько цифр после запятой в записи десятичной дроби, если её название заканчивается словом:

а) сотых;

б) тысячных;

в) стотысячных;

г) миллиардных?

Количество цифр после запятой в записи десятичной дроби определяется названием её последнего разряда. Название разряда указывает на знаменатель соответствующей обыкновенной дроби, который является степенью числа 10. Количество цифр после запятой равно количеству нулей в этом знаменателе.

а) сотых;

Если название дроби заканчивается на "сотых", это означает, что её знаменатель равен 100. Число 100 — это $10^2$. Показатель степени (или количество нулей) равен 2. Следовательно, в записи такой десятичной дроби будет две цифры после запятой.
Например, "двадцать три сотых" — это $0,23$.

Ответ: 2

б) тысячных;

Если название дроби заканчивается на "тысячных", это означает, что её знаменатель равен 1000. Число 1000 — это $10^3$. Показатель степени (или количество нулей) равен 3. Следовательно, в записи такой десятичной дроби будет три цифры после запятой.
Например, "сто сорок пять тысячных" — это $0,145$.

Ответ: 3

в) стотысячных;

Если название дроби заканчивается на "стотысячных", это означает, что её знаменатель равен 100 000. Число 100 000 — это $10^5$. Показатель степени (или количество нулей) равен 5. Следовательно, в записи такой десятичной дроби будет пять цифр после запятой.
Например, "семь стотысячных" — это $0,00007$.

Ответ: 5

г) миллиардных?

Если название дроби заканчивается на "миллиардных", это означает, что её знаменатель равен 1 000 000 000 (миллиард). Число 1 000 000 000 — это $10^9$. Показатель степени (или количество нулей) равен 9. Следовательно, в записи такой десятичной дроби будет девять цифр после запятой.
Например, "одна миллиардная" — это $0,000000001$.

Ответ: 9