Страница 128, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.414 Найдите корень уравнения:

1) 18n - 12n - 3n = 186;

2) 25a - 7a - 8a = 400;

3) 2x + 8x - x = 243;

4) 6y - y + 4y = 234.

1)
$\mathrm{18n} - \mathrm{12n} - \mathrm{3n} = 186$
$(18 - 12 - 3)n = 186$
$\mathrm{3n} = 186$
$n = 186 : 3$

$n = 62$
Ответ: 62.

2)
$\mathrm{25a} - \mathrm{7a} - \mathrm{8a} = 400$
$(25 - 7 - 8)a = 400$
$\mathrm{10a} = 400$
$a = 400 : 10$
$a = 40$
Ответ: 40.

3)
$\mathrm{2x} + \mathrm{8x} - x = 243$
$(2 + 8 - 1)x = 243$
$\mathrm{9x} = 243$
$x = 243 : 9$

$x = 27$
Ответ: 27.

4)
$\mathrm{6y} - y + \mathrm{4y} = 234$
$(6 - 1 + 4)y = 234$
$\mathrm{9y} = 234$
$y = 234 : 9$

$y = 26$
Ответ: 26.

1) В уравнении $18n - 12n - 3n = 186$ все слагаемые в левой части содержат переменную $n$, поэтому они являются подобными. Чтобы упростить выражение, нужно сложить их коэффициенты и умножить на общую переменную.
Вынесем переменную $n$ за скобки:
$(18 - 12 - 3)n = 186$
Выполним действия в скобках:
$18 - 12 = 6$
$6 - 3 = 3$
Уравнение принимает вид:
$3n = 186$
Чтобы найти неизвестный множитель $n$, разделим произведение $186$ на известный множитель $3$:
$n = 186 / 3$
$n = 62$
Ответ: 62

2) В уравнении $25a - 7a - 8a = 400$ упростим левую часть, приведя подобные слагаемые.
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$(25 - 7 - 8)a = 400$
Выполним вычитание в скобках:
$25 - 7 = 18$
$18 - 8 = 10$
Получаем упрощенное уравнение:
$10a = 400$
Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на $10$:
$a = 400 / 10$
$a = 40$
Ответ: 40

3) В уравнении $2x + 8x - x = 243$ приведем подобные слагаемые в левой части. Следует помнить, что $-x$ — это то же самое, что и $-1x$.
Вынесем переменную $x$ за скобки:
$(2 + 8 - 1)x = 243$
Выполним действия в скобках:
$2 + 8 = 10$
$10 - 1 = 9$
Уравнение примет вид:
$9x = 243$
Найдем корень уравнения, разделив произведение $243$ на известный множитель $9$:
$x = 243 / 9$
$x = 27$
Ответ: 27

4) В уравнении $6y - y + 4y = 234$ упростим левую часть, приведя подобные слагаемые. Помним, что $-y$ — это $-1y$.
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$(6 - 1 + 4)y = 234$
Выполним действия в скобках в нужной последовательности:
$6 - 1 = 5$
$5 + 4 = 9$
Получаем упрощенное уравнение:
$9y = 234$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $9$:
$y = 234 / 9$
$y = 26$
Ответ: 26

3.415 Выполните действия: 7091 + 9663 - (243 916 + 75 446) : 527 : 3

$7091 \stackrel{4}{+} 9663 \stackrel{5}{-} (243916 \stackrel{1}{+} 75446) \stackrel{2}{:} 527 \stackrel{3}{:} 3= 16552$

1)
2)
3)	4)
5)

Для решения данного примера необходимо соблюдать правильный порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем деление и умножение (слева направо), и в последнюю очередь — сложение и вычитание (слева направо).

Исходное выражение: $7091 + 9663 - (243 916 + 75 446) : 527 : 3$.

1. Выполняем действие в скобках

Первым действием необходимо вычислить сумму в скобках:

$243 916 + 75 446 = 319 362$

После этого выражение принимает вид: $7091 + 9663 - 319 362 : 527 : 3$.

2. Выполняем деление

Далее выполняем деление последовательно, слева направо. Сначала делим результат, полученный в скобках, на $527$:

$319 362 : 527 = 606$

Теперь делим полученный результат на $3$:

$606 : 3 = 202$

3. Выполняем сложение и вычитание

Теперь выражение упростилось до $7091 + 9663 - 202$. Выполняем оставшиеся действия слева направо. Сначала сложение:

$7091 + 9663 = 16 754$

И в завершение выполняем вычитание:

$16 754 - 202 = 16 552$

Ответ: $16 552$

3.416 Найдите среди чисел 168, 173, 196, 198, 201, 215, 320, 333, 455, 575 числа:

а) кратные 2;

б) нечётные;

в) чётные;

г) не кратные 5;

д) кратные 10.

а) 168; 196; 198; 320.

б) 173; 201; 215; 333; 455; 575;

в) 168; 196; 198; 320;

г) 168; 173; 198; 201; 333; 196;

д) 320.

Проанализируем данный ряд чисел: 168, 173, 196, 198, 201, 215, 320, 333, 455, 575 и выберем из него числа в соответствии с каждым из условий.

а) кратные 2;

Число кратно 2, если оно является чётным, то есть его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Из данного списка выберем числа, которые заканчиваются на одну из этих цифр.

Подходящие числа: 168 (оканчивается на 8), 196 (оканчивается на 6), 198 (оканчивается на 8) и 320 (оканчивается на 0).

Ответ: 168, 196, 198, 320.

б) нечётные;

Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2 без остатка. Последняя цифра нечётного числа — 1, 3, 5, 7 или 9.

Выбираем из списка числа, удовлетворяющие этому условию: 173 (оканчивается на 3), 201 (оканчивается на 1), 215 (оканчивается на 5), 333 (оканчивается на 3), 455 (оканчивается на 5) и 575 (оканчивается на 5).

Ответ: 173, 201, 215, 333, 455, 575.

в) чётные;

Чётные числа — это числа, которые делятся на 2 без остатка. Это то же самое, что и числа, кратные 2. Условие полностью совпадает с пунктом «а». Их последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8.

Такими числами в списке являются: 168, 196, 198, 320.

Ответ: 168, 196, 198, 320.

г) не кратные 5;

Число кратно 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Соответственно, чтобы число не было кратно 5, его последняя цифра не должна быть ни 0, ни 5.

Выбираем из списка числа, которые не оканчиваются на 0 или 5: 168, 173, 196, 198, 201, 333.

Ответ: 168, 173, 196, 198, 201, 333.

д) кратные 10.

Число кратно 10, если оно оканчивается на 0.

В данном списке только одно число удовлетворяет этому условию: 320.

Ответ: 320.

3.417 Обозначьте верное утверждение буквой «И» (истинно), неверное утверждение буквой «Л» (ложно).

А-И; Б-Л; ($55$ делится на $5$, но Не делится на $10$)

В-Л; ($10$ не оканчивается цифрой $5$, но делится на $5$)

Г-И.

А

Утверждение: "Все числа, которые делятся на 10, делятся и на 2, и на 5."
Для того чтобы число делилось на 10, оно должно быть кратно 10. Любое такое число можно представить в виде $N = 10k$, где $k$ — целое число.
Поскольку $10 = 2 \times 5$, то $N = (2 \times 5)k$.
Это означает, что $N$ можно представить как $N = 2 \times (5k)$, что доказывает делимость на 2.
Также $N$ можно представить как $N = 5 \times (2k)$, что доказывает делимость на 5.
Таким образом, любое число, которое делится на 10, обязательно делится и на 2, и на 5. Утверждение истинно.
Ответ: И

Б

Утверждение: "Все числа, которые делятся на 5, делятся и на 10."
Признак делимости на 5 — число оканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 10 — число оканчивается на 0.
Найдем контрпример — число, которое делится на 5, но не на 10. Например, число 15.
$15 \div 5 = 3$ (делится на 5).
$15 \div 10 = 1.5$ (не делится на 10).
Поскольку существует хотя бы одно число, которое удовлетворяет первому условию (делится на 5), но не удовлетворяет второму (не делится на 10), утверждение ложно.
Ответ: Л

В

Утверждение: "Все числа, которые не оканчиваются цифрой 5, не делятся на 5."
Согласно признаку делимости на 5, число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
Утверждение игнорирует случай, когда число оканчивается на 0.
Рассмотрим контрпример: число 20. Оно не оканчивается на 5.
Однако $20 \div 5 = 4$, то есть 20 делится на 5.
Следовательно, утверждение ложно.
Ответ: Л

Г

Утверждение: "Все числа, которые не делятся на 2, — нечётные."
По определению, чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, то есть не делится на 2 нацело.
Данное утверждение является точным определением нечётного числа. Если число не делится на 2, оно является нечётным.
Следовательно, утверждение истинно.
Ответ: И

3.418 Запишите:

а) все чётные числа, большие 18 и меньшие 30;

б) все нечётные числа, меньшие 132, но большие 121.

a) 20; 22; 24; 26; 28;

б) 123; 125; 127; 129; 131.

а) Нам необходимо найти все чётные числа, которые находятся в промежутке от $18$ до $30$, не включая сами эти числа. Чётные числа — это те, которые делятся на $2$ без остатка. Начнём перечислять целые числа после $18$: $19$ (нечётное), $20$ (чётное). Это первое число в нашем списке. Далее будем прибавлять $2$, чтобы находить следующие чётные числа, пока не достигнем $30$.
Первое число: $20$.
Второе число: $20 + 2 = 22$.
Третье число: $22 + 2 = 24$.
Четвертое число: $24 + 2 = 26$.
Пятое число: $26 + 2 = 28$.
Следующее чётное число будет $28 + 2 = 30$, но по условию нам нужны числа строго меньше $30$. Поэтому $30$ не входит в ответ.
Ответ: 20, 22, 24, 26, 28.

б) Нам необходимо найти все нечётные числа, которые меньше $132$, но больше $121$. Нечётные числа — это те, которые при делении на $2$ дают в остатке $1$. Начнём перечислять целые числа после $121$: $122$ (чётное), $123$ (нечётное). Это первое искомое число. Далее будем прибавлять $2$, чтобы находить следующие нечётные числа, пока они остаются меньше $132$.
Первое число: $123$.
Второе число: $123 + 2 = 125$.
Третье число: $125 + 2 = 127$.
Четвертое число: $127 + 2 = 129$.
Пятое число: $129 + 2 = 131$.
Следующее нечётное число будет $131 + 2 = 133$, но оно больше $132$, что не удовлетворяет условию. Таким образом, мы нашли все числа.
Ответ: 123, 125, 127, 129, 131.

3.419 Запишите три пятизначных числа, кратные 10.

37210; 87200; 91010.

Чтобы записать три пятизначных числа, кратных 10, необходимо понимать два ключевых свойства, которыми они должны обладать.

Во-первых, число должно быть пятизначным. Это означает, что оно является целым числом в диапазоне от $10\,000$ до $99\,999$. Такое число состоит ровно из пяти цифр, и первая цифра не равна нулю.

Во-вторых, число должно быть кратным 10. Согласно признаку делимости, число делится на 10 без остатка тогда и только тогда, когда его последняя цифра — это 0.

Следовательно, нам нужно найти любые три числа из диапазона от $10\,000$ до $99\,999$, которые заканчиваются на 0. Существует множество таких чисел, и мы можем выбрать любые из них.

Приведем три примера:

1. Самое маленькое пятизначное число, которое кратно 10, — это $10\,000$. Оно удовлетворяет обоим условиям.

2. Возьмем любое другое пятизначное число, оканчивающееся на 0, например, $48\,120$.

3. Самое большое пятизначное число, которое делится на 10, — это $99\,990$.

Все выбранные числа являются пятизначными и кратными 10.

Ответ: $10\,000$, $48\,120$, $99\,990$.

3.420 Найдите корень уравнения:

а) (61 - x) : 13 = 4;

б) 26 • (x - 2) = 208.

а)
$(61 - x) : 13 = 4$
$61 - x = 4 ·13$

$61 - x = 52$
$x = 61 - 52$
$x = 9$
Ответ: 9.

б)
$26 · (x - 2) = 208$
$x - 2 = 208 : 26$

$x - 2 = 8$
$x = 8 + 2$
$x = 10$
Ответ: 10.

а)

Исходное уравнение: $(61 - x) : 13 = 4$.

В данном уравнении выражение в скобках $(61 - x)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное (4) умножить на делитель (13).

$61 - x = 4 \cdot 13$

Выполним умножение:

$61 - x = 52$

Теперь у нас есть более простое уравнение, в котором $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (61) вычесть разность (52).

$x = 61 - 52$

$x = 9$

Проверим полученный корень, подставив его в исходное уравнение:

$(61 - 9) : 13 = 52 : 13 = 4$

$4 = 4$

Равенство верно, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: 9

б)

Исходное уравнение: $26 \cdot (x - 2) = 208$.

В данном уравнении выражение в скобках $(x - 2)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (208) разделить на известный множитель (26).

$x - 2 = 208 : 26$

Выполним деление:

$x - 2 = 8$

Теперь у нас есть более простое уравнение, в котором $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (8) прибавить вычитаемое (2).

$x = 8 + 2$

$x = 10$

Проверим полученный корень, подставив его в исходное уравнение:

$26 \cdot (10 - 2) = 26 \cdot 8 = 208$

$208 = 208$

Равенство верно, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: 10

3.421 Выполните действия:

a) $(98 \stackrel{1}{·} 6 \stackrel{2}{+} 105) \stackrel{3}{:} 63 = 11$

1)	2)
3)

б) $4 \stackrel{3}{·} (356 \stackrel{2}{-} 456 \stackrel{1}{:} 8) = 1196$

1)	2)
3)

в) $5632 \stackrel{3}{:} 512 \stackrel{5}{+} 4256 \stackrel{4}{:} 38 \stackrel{6}{-} (32 \stackrel{2}{-} 390 \stackrel{1}{:} 15) = 117$1

1)	2)
3)	4)
5)	6)

г) $3124 \stackrel{4}{:} (3 \stackrel{1}{·} 504 \stackrel{3}{-} 4 \stackrel{2}{·}2 307) \stackrel{6}{+} 10403 \stackrel{5}{:} 101 = 114$

1)	2)
3)	4)
5)	6)

а) $(98 \cdot 6 + 105) : 63$
Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках (умножение, затем сложение), а после этого — деление.
1) Выполним умножение в скобках: $98 \cdot 6 = 588$.
2) Выполним сложение в скобках: $588 + 105 = 693$.
3) Выполним деление: $693 : 63 = 11$.
Ответ: 11

б) $4 \cdot (356 - 456 : 8)$
Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок деление выполняется перед вычитанием. Последним действием будет умножение.
1) Выполним деление в скобках: $456 : 8 = 57$.
2) Выполним вычитание в скобках: $356 - 57 = 299$.
3) Выполним умножение: $4 \cdot 299 = 1196$.
Ответ: 1196

в) $5632 : 512 + 4256 : 38 - (32 - 390 : 15)$
Порядок действий следующий: сначала вычисления в скобках (сначала деление, потом вычитание), затем выполняются деления слева направо, и в конце — сложение и вычитание слева направо.
1) Выполним деление в скобках: $390 : 15 = 26$.
2) Выполним вычитание в скобках: $32 - 26 = 6$.
3) Выполним первое деление в выражении: $5632 : 512 = 11$.
4) Выполним второе деление в выражении: $4256 : 38 = 112$.
5) Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $11 + 112 - 6$.
6) Выполним сложение: $11 + 112 = 123$.
7) Выполним вычитание: $123 - 6 = 117$.
Ответ: 117

г) $3124 : (3 \cdot 504 - 4 \cdot 307) + 10403 : 101$
Сначала выполняются действия в скобках (сначала умножения, потом вычитание). Затем выполняются деления слева направо, и в конце — сложение.
1) Первое умножение в скобках: $3 \cdot 504 = 1512$.
2) Второе умножение в скобках: $4 \cdot 307 = 1228$.
3) Вычитание в скобках: $1512 - 1228 = 284$.
4) Первое деление в выражении: $3124 : 284 = 11$.
5) Второе деление в выражении: $10403 : 101 = 103$.
6) Подставляем полученные значения и выполняем сложение: $11 + 103 = 114$.
Ответ: 114

3.422 Какие из чисел 420, 422, 424, 426, 428, 430, 432 делятся на 3? Какие из них кратны 9?

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

420; 426; 432.

Кратно 9 – значит сумма цифр делится на 9.

432

Какие из чисел делятся на 3

Чтобы определить, какие из чисел делятся на 3, воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Проверим каждое число из списка: 420, 422, 424, 426, 428, 430, 432.

- Для числа 420: сумма цифр $4 + 2 + 0 = 6$. Так как $6 : 3 = 2$, число 420 делится на 3.
- Для числа 422: сумма цифр $4 + 2 + 2 = 8$. Число 8 не делится на 3.
- Для числа 424: сумма цифр $4 + 2 + 4 = 10$. Число 10 не делится на 3.
- Для числа 426: сумма цифр $4 + 2 + 6 = 12$. Так как $12 : 3 = 4$, число 426 делится на 3.
- Для числа 428: сумма цифр $4 + 2 + 8 = 14$. Число 14 не делится на 3.
- Для числа 430: сумма цифр $4 + 3 + 0 = 7$. Число 7 не делится на 3.
- Для числа 432: сумма цифр $4 + 3 + 2 = 9$. Так как $9 : 3 = 3$, число 432 делится на 3.

Ответ: 420, 426, 432.

Какие из них кратны 9

Чтобы определить, какие из чисел кратны 9, воспользуемся признаком делимости на 9: число кратно 9 (то есть делится на 9 без остатка), если сумма его цифр делится на 9. Проверим те же числа, используя уже вычисленные суммы цифр.

- Для 420: сумма цифр 6. Число 6 не делится на 9.
- Для 422: сумма цифр 8. Число 8 не делится на 9.
- Для 424: сумма цифр 10. Число 10 не делится на 9.
- Для 426: сумма цифр 12. Число 12 не делится на 9.
- Для 428: сумма цифр 14. Число 14 не делится на 9.
- Для 430: сумма цифр 7. Число 7 не делится на 9.
- Для 432: сумма цифр 9. Так как $9 : 9 = 1$, число 432 кратно 9.

Ответ: 432.

3.423 Запишите вместо знака вопроса такие цифры, чтобы числа делились на 9:

а) 2327;

б) 4246;

в) 2222.

а) 6327;

б) 4446;

в) 2223.

а) ?327;

Для того чтобы число делилось на 9, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Это следует из признака делимости на 9. Обозначим неизвестную цифру, стоящую на месте знака вопроса, через $x$. Тогда число можно записать как $x327$. Сумма цифр этого числа равна $S = x + 3 + 2 + 7 = x + 12$. Эта сумма $S$ должна быть кратна 9. Поскольку $x$ является первой цифрой в записи числа, она не может быть равна нулю, то есть $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Нам нужно найти такое значение $x$, при котором $x+12$ делится на 9 без остатка. Рассмотрим числа, кратные 9, которые близки к 12. Ближайшее такое число, которое больше 12, это 18. Приравняем сумму цифр к 18: $x + 12 = 18$ $x = 18 - 12$ $x = 6$ Цифра 6 удовлетворяет условию ($1 \le 6 \le 9$). Если бы мы взяли следующее кратное девяти число (27), то $x$ был бы равен $27 - 12 = 15$, что не является цифрой. Таким образом, искомая цифра — 6. Получаем число 6327. Проверка: $6 + 3 + 2 + 7 = 18$, а 18 делится на 9.
Ответ: 6.

б) 4?46;

Используем тот же признак делимости на 9. Сумма цифр числа $4?46$ должна быть кратна 9. Пусть неизвестная цифра — это $x$. Число имеет вид $4x46$. Найдем сумму его цифр: $S = 4 + x + 4 + 6 = x + 14$. Сумма $S$ должна делиться на 9. Неизвестная цифра $x$ может принимать значения от 0 до 9, то есть $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Найдем такое значение $x$, чтобы $x+14$ делилось на 9. Ближайшее к 14 (и большее его) число, кратное 9, — это 18. $x + 14 = 18$ $x = 18 - 14$ $x = 4$ Значение $x=4$ является допустимой цифрой. Следующее кратное девяти число (27) даст $x=13$, что не является цифрой. Значит, неизвестная цифра — это 4. Искомое число — 4446. Проверка: $4 + 4 + 4 + 6 = 18$, а 18 делится на 9.
Ответ: 4.

в) 222?;

Снова применяем признак делимости на 9. Сумма цифр числа $222?$ должна быть кратна 9. Обозначим последнюю цифру через $x$. Число имеет вид $222x$. Сумма его цифр равна: $S = 2 + 2 + 2 + x = x + 6$. Сумма $S$ должна делиться на 9. Цифра $x$ может быть любой от 0 до 9 ($x \in \{0, 1, ..., 9\}$). Найдем такое $x$, чтобы $x+6$ было кратно 9. Ближайшее к 6 (и большее или равное ему) число, кратное 9, — это 9. $x + 6 = 9$ $x = 9 - 6$ $x = 3$ Значение $x=3$ является допустимой цифрой. Следующее кратное девяти (18) даст $x=12$, что не является цифрой. Следовательно, искомая цифра — 3. Получаем число 2223. Проверка: $2 + 2 + 2 + 3 = 9$, а 9 делится на 9.
Ответ: 3.

3.424 Обозначьте верное утверждение буквой «И» (истинно), неверное утверждение буквой «Л» (ложно).

А-И; Б-И; В-Л (423 делится на 3); Г-И.

А. Все чётные числа, которые делятся на 3, делятся и на 6.

Согласно признаку делимости, число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2 (то есть является чётным), и на 3. В утверждении сказано, что мы рассматриваем чётные числа (которые делятся на 2) и которые при этом делятся на 3. Если число одновременно делится на 2 и на 3, то оно по определению делится на 6. Таким образом, утверждение истинно.
Ответ: И

Б. Все числа, которые делятся на 9, делятся и на 3.

Если число делится на 9, то его можно представить в виде произведения $N = 9 \cdot k$, где $k$ — целое число. Поскольку $9 = 3 \cdot 3$, мы можем записать $N = 3 \cdot (3k)$. Это выражение показывает, что любое число $N$, кратное 9, также является кратным 3, а значит, делится на 3. Утверждение истинно.
Ответ: И

В. Все числа, которые оканчиваются цифрой 3, не делятся на 3.

Данное утверждение можно опровергнуть, приведя контрпример. Возьмем число 33. Оно оканчивается на цифру 3. Проверим его делимость на 3 с помощью признака делимости: сумма цифр числа 33 равна $3+3=6$. Так как 6 делится на 3, то и само число 33 делится на 3. Поскольку существует хотя бы одно число, оканчивающееся на 3 и делящееся на 3, исходное утверждение ложно.
Ответ: Л

Г. Все числа, которые не делятся на 3, не делятся и на 9.

Это утверждение является контрапозицией (логически эквивалентным утверждением) для утверждения Б ("Все числа, которые делятся на 9, делятся и на 3."). Так как утверждение Б истинно, то и данное утверждение истинно. Можно рассуждать от противного: предположим, что существует число, которое не делится на 3, но делится на 9. Но если число делится на 9, оно обязательно делится и на 3 (как показано в пункте Б). Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно, а утверждение истинно.
Ответ: И

3.425 В некотором царстве, тридевятом государстве жил-был царь, и было у него три сына. Повадился в то царство Змей Горыныч многоголовый прилетать, мирных жителей пугать. Отправил царь своих сыновей со Змеем Горынычем сражаться. Долго бились братья, прежде чем все его головы одолели. Сколько голов было у Змея Горыныча, если каждая голова погибала после третьего удара мечом и больше всех ударов нанёс младший брат - 14, меньше всех - старший - 10, а остальные удары нанёс средний брат?

Младший брат - 14 ударов
Средний брат - ?
Старший брат - 10 ударов

Так как каждая голова Змея Горыныча погибала после третьего удара, то общее количество ударов должно быть кратно 3.$14 + 10 = 24 (\mathrm{уд}.)$ нанесли младшийи старший брат вместе 24 кратно 3. Значит, и количество ударов, нанесённых средним братом должно быть кратно 3. Известно, что количество ударов, нанесённых средним братом больше 10, меньше 14 и кратно 3. Значит, это число 12.

$10 + 12 + 14 = 36 (\mathrm{уд}.)$ - всего нанесли братья

$36 : 3 = 12 (\mathrm{г}.)$

Ответ: 12 голов.

Для того чтобы узнать, сколько голов было у Змея Горыныча, необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Определение количества ударов, нанесенных средним братом

Из условия задачи мы знаем, что младший брат нанес больше всех ударов (14), а старший — меньше всех (10). Следовательно, количество ударов, нанесенных средним братом, должно быть числом, которое больше 10, но меньше 14. Обозначим количество ударов среднего брата как $У_{ср}$. Тогда справедливо неравенство:
$10 < У_{ср} < 14$
Таким образом, средний брат мог нанести 11, 12 или 13 ударов.

2. Определение общего количества ударов

Общее количество ударов ($У_{общ}$) — это сумма ударов всех трех братьев.
$У_{общ} = У_{младший} + У_{старший} + У_{ср}$
$У_{общ} = 14 + 10 + У_{ср} = 24 + У_{ср}$

3. Вычисление количества голов Змея Горыныча

По условию, каждая голова погибала после третьего удара мечом. Это означает, что общее количество ударов должно быть кратно трем (то есть делиться на 3 без остатка), так как каждая голова "забирала" ровно 3 удара.
Теперь проверим, какое из возможных значений $У_{ср}$ (11, 12 или 13) приведет к тому, что общее количество ударов будет кратно 3.
• Если $У_{ср} = 11$, то $У_{общ} = 24 + 11 = 35$. Число 35 не делится на 3.
• Если $У_{ср} = 12$, то $У_{общ} = 24 + 12 = 36$. Число 36 делится на 3 ($36 : 3 = 12$). Этот вариант нам подходит.
• Если $У_{ср} = 13$, то $У_{общ} = 24 + 13 = 37$. Число 37 не делится на 3.
Единственный подходящий вариант — это когда средний брат нанес 12 ударов. В этом случае общее количество ударов равно 36.
Чтобы найти количество голов у Змея, разделим общее количество ударов на количество ударов, необходимых для уничтожения одной головы:
Количество голов = $У_{общ} / 3 = 36 / 3 = 12$

Ответ: у Змея Горыныча было 12 голов.

6.254 С первого и третьего полей собрали свёклы поровну, а со второго — на 7,2 т меньше, чем с первого поля. Сколько свёклы собрали с каждого поля, если с трёх полей собрали 119,7 т свёклы?

Для решения этой задачи составим уравнение. Обозначим количество свёклы, собранной с первого поля, как $x$ тонн.

Согласно условию, с первого и третьего полей собрали свёклы поровну, значит, с третьего поля также собрали $x$ тонн свёклы.

Со второго поля собрали на 7,2 т меньше, чем с первого, следовательно, количество свёклы со второго поля составляет $(x - 7,2)$ тонн.

Общий урожай с трёх полей равен 119,7 т. Можем составить уравнение, сложив урожай с каждого поля:

$x + (x - 7,2) + x = 119,7$

Теперь решим это уравнение:

1. Сложим все $x$ в левой части уравнения:

$3x - 7,2 = 119,7$

2. Перенесём 7,2 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$3x = 119,7 + 7,2$

$3x = 126,9$

3. Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = 126,9 : 3$

$x = 42,3$

Мы нашли, что с первого поля собрали 42,3 т свёклы.

Теперь вычислим, сколько свёклы собрали с каждого поля:

С первого поля собрали $x = 42,3$ т свёклы.

С третьего поля собрали столько же, сколько и с первого, то есть $42,3$ т свёклы.

Со второго поля собрали $x - 7,2 = 42,3 - 7,2 = 35,1$ т свёклы.

Проверим решение: $42,3 + 42,3 + 35,1 = 84,6 + 35,1 = 119,7$ т. Всё верно.

Ответ: с первого поля собрали 42,3 т свёклы, со второго — 35,1 т, с третьего — 42,3 т.

6.255 Малое предприятие по производству подсолнечного масла за 3 ч работы на новом оборудовании переработало 6,9 ц семян подсолнечника. При этом во второй час было переработано 2,1 ц семян, а в третий — в 2 раза больше, чем в первый. Сколько тонн семян подсолнечника было переработано в первый час?

I - ?

II - 2,1 ц

III - в 2 р. больше

6,9 ц

Пусть х ц семян подсолнечника было переработано в первый час, тогда (2х) ц семян подсолнечника было переработано в третий час Зная, что за Зч работы было переработано 6,9 ц семян, составим и решим уравнение

$x + \mathrm{2,1} + 2x = \mathrm{6,9}$ $1\text{Т} = 10\text{ц};$

$(x + 2x) + \mathrm{2,1} = \mathrm{6,9}$ $1\text{ц} = \frac{1}{10}\text{ т}$

$(1 + 2)x + \mathrm{2,1} = \mathrm{6,9}$ $\mathrm{1,6}\text{ц} = (\mathrm{1,6}·\frac{1}{10})\text{Т} = (\frac{16}{10}·\frac{1}{10})\text{Т} = \left(\frac{16·1}{10·10}\right)\text{Т} = \frac{16}{100}\text{ Т} = \mathrm{0,16}\text{Т}$

$3x = \mathrm{6,9} - \mathrm{2,1}$

$3x = \mathrm{4,8}$

$x = \mathrm{4,8} : 3$

$x = \mathrm{1,6}$

4,8 | 3
-3 -----
--- 1,6
18
-18
---
0

Ответ: 0,16 т

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество семян подсолнечника в центнерах, которое было переработано в первый час.

Согласно условию задачи, во второй час было переработано 2,1 ц семян, а в третий час было переработано в 2 раза больше, чем в первый, то есть $2x$ ц семян.

Общее количество семян, переработанное за 3 часа, равно 6,9 ц. Сумма семян, переработанных за каждый из трех часов, должна быть равна общему количеству. Составим уравнение:

$x + 2,1 + 2x = 6,9$

Теперь решим это уравнение для нахождения $x$. Сначала скомбинируем подобные слагаемые:

$3x + 2,1 = 6,9$

Далее, вычтем 2,1 из обеих частей уравнения, чтобы изолировать член с $x$:

$3x = 6,9 - 2,1$

$3x = 4,8$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти значение $x$:

$x = \frac{4,8}{3}$

$x = 1,6$

Таким образом, в первый час было переработано 1,6 центнера семян.

В вопросе требуется дать ответ в тоннах. Необходимо перевести центнеры в тонны. Мы знаем, что 1 тонна равна 10 центнерам ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$).

Чтобы перевести 1,6 центнера в тонны, нужно разделить это значение на 10:

$1,6 \text{ ц} = \frac{1,6}{10} \text{ т} = 0,16 \text{ т}$

Ответ: 0,16 тонн.

6.256 Самолёт пролетел всего 2681 км. Первый участок маршрута он пролетел за 3 ч, а второй — за 2 ч. Найдите скорость самолёта на каждом из двух участков, если скорость на первом участке была на 70,5 км/ч меньше, чем на втором.

Пусть x км/ч - скорость самолёта на первом участке маршрута, тогда

(x + 70,5) км/ч - скорость самолёта на втором участке маршрута.

(3x) км - длина первого участка;

2 (x + 70,5) км - длина второго участка.

Зная, что самолёт пролетел всего 2681 км, составим и решим уравнение

1) $3x + 2(x + 70,5) = 2681$

$3x + 2x + 141 = 2681$

$(3 + 2)x = 2681-141$

$5x = 2540$

$x = 2540 : 5$

$x = 508$

$\begin{array}{rcl}& \times 70,5& \\ & \underset{\_}{2}& \\ & 141,0 = 141& \\ & & \\ & - 2681& \\ & \underset{\_}{141}& \\ & 2540& \\ & & \\ & 2540\mid 5& \\ & \underset{\_}{25}\mid 508& \\ & 4& \\ & \underset{\_}{0}& \\ & 40& \\ & \underset{\_}{40}& \\ & 0& \end{array}$

508 км/ч - скорость самолёта на первом участке пути

2) $508 + 70,5 = 578,5(\text{км}/\text{ч})$ - скорость самолёта на втором участке пути

Ответ: 508 км/ч; 578,5 км/ч

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — это скорость самолёта на первом участке маршрута. По условию, скорость на первом участке была на 70,5 км/ч меньше, чем на втором. Следовательно, скорость на втором участке можно выразить как $(x + 70,5)$ км/ч.

Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.
Расстояние, которое самолёт пролетел на первом участке за 3 часа, равно $3x$ км.
Расстояние, которое он пролетел на втором участке за 2 часа, равно $2 \cdot (x + 70,5)$ км.

Общее расстояние, по условию, составляет 2681 км. Оно равно сумме расстояний, пройденных на двух участках. Составим и решим уравнение:

$3x + 2(x + 70,5) = 2681$

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$3x + 2x + 141 = 2681$

2. Приведём подобные слагаемые:

$5x + 141 = 2681$

3. Перенесём 141 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$5x = 2681 - 141$

$5x = 2540$

4. Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = \frac{2540}{5}$

$x = 508$

Таким образом, скорость самолёта на первом участке маршрута составляет 508 км/ч.

Теперь найдём скорость на втором участке. Она на 70,5 км/ч больше:

$508 + 70,5 = 578,5$ км/ч.

Ответ: скорость самолёта на первом участке — 508 км/ч, на втором — 578,5 км/ч.

6.257 Представьте в виде десятичной дроби:

а) $\frac{7}{20} = \mathrm{0,35}$

б) $\frac{9}{80} = \mathrm{0,1125}$

в) $\frac{13}{800} = \mathrm{0,01625}$

г) $\frac{24}{192} = \mathrm{0,125}$

д) $\frac{28}{224} = \mathrm{0,125}$

е) $\frac{49}{392} = \mathrm{0,125}$

а) Чтобы представить обыкновенную дробь $ \frac{7}{20} $ в виде десятичной, необходимо привести ее знаменатель к числу, равному степени 10 (10, 100, 1000 и т.д.). Знаменатель 20 можно привести к 100, умножив его на 5. Чтобы значение дроби не изменилось, нужно умножить на 5 и ее числитель.

$ \frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0,35 $

Другой способ — это разделить числитель на знаменатель: $ 7 \div 20 = 0,35 $.

Ответ: 0,35

б) Для дроби $ \frac{9}{80} $ приведем знаменатель к степени 10. Разложим знаменатель на простые множители: $ 80 = 8 \cdot 10 = 2^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5^1 $. Чтобы в знаменателе получилась степень десяти, степени у множителей 2 и 5 должны быть равны. Текущая степень у 2 равна 4, а у 5 равна 1. Следовательно, нужно домножить знаменатель на $ 5^{4-1} = 5^3 = 125 $. Умножим на 125 числитель и знаменатель:

$ \frac{9}{80} = \frac{9 \cdot 125}{80 \cdot 125} = \frac{1125}{10000} = 0,1125 $

Также можно просто разделить 9 на 80.

Ответ: 0,1125

в) Для дроби $ \frac{13}{800} $ поступим аналогично. Разложим знаменатель 800 на простые множители: $ 800 = 8 \cdot 100 = 2^3 \cdot 10^2 = 2^3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^5 \cdot 5^2 $. Чтобы уравнять степени множителей 2 и 5, нужно домножить на $ 5^{5-2} = 5^3 = 125 $:

$ \frac{13}{800} = \frac{13 \cdot 125}{800 \cdot 125} = \frac{1625}{100000} = 0,01625 $

Проверка умножением: $ 13 \cdot 125 = 1625 $ и $ 800 \cdot 125 = 100000 $.

Ответ: 0,01625

г) Прежде чем переводить дробь $ \frac{24}{192} $ в десятичную, ее следует сократить. Найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Заметим, что 192 делится на 24 без остатка: $ 192 \div 24 = 8 $.

$ \frac{24}{192} = \frac{24 \div 24}{192 \div 24} = \frac{1}{8} $

Теперь представим дробь $ \frac{1}{8} $ в виде десятичной. Для этого приведем знаменатель 8 к степени 10. $ 8 = 2^3 $. Нужно домножить на $ 5^3 = 125 $.

$ \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125}{1000} = 0,125 $

Ответ: 0,125

д) Сначала сократим дробь $ \frac{28}{224} $. Проверим, делится ли 224 на 28: $ 224 \div 28 = 8 $, так как $ 28 \cdot 8 = (30-2) \cdot 8 = 240 - 16 = 224 $.

$ \frac{28}{224} = \frac{28 \div 28}{224 \div 28} = \frac{1}{8} $

Эта дробь, как и в предыдущем пункте, равна $ \frac{1}{8} $. Следовательно, ее десятичное представление такое же:

$ \frac{1}{8} = 0,125 $

Ответ: 0,125

е) Упростим дробь $ \frac{49}{392} $. Числитель $ 49 = 7^2 $. Проверим, делится ли знаменатель на 49. $ 392 \div 49 = 8 $. Действительно, $ 49 \cdot 8 = 392 $.

$ \frac{49}{392} = \frac{49 \div 49}{392 \div 49} = \frac{1}{8} $

Мы снова получили дробь $ \frac{1}{8} $, которая равна 0,125.

Ответ: 0,125

6.258 Найдите площадь фигуры на рисунке 6.22, если площадь одной клетки равна 4см².

Чтобы найти площадь фигуры, необходимо сначала определить, из скольких одинаковых клеток она состоит, а затем умножить это число на площадь одной клетки.

1. Подсчет количества клеток.
Посчитаем количество закрашенных клеток на рисунке. Для удобства будем считать клетки по строкам, двигаясь сверху вниз:
- 1-я строка: 2 клетки
- 2-я строка: 2 клетки
- 3-я строка: 2 клетки
- 4-я строка: 4 клетки
- 5-я строка: 3 клетки
- 6-я строка: 2 клетки
Теперь сложим количество клеток во всех строках, чтобы найти их общее число $N$:
$N = 2 + 2 + 2 + 4 + 3 + 2 = 15$
Таким образом, фигура состоит из 15 клеток.

2. Вычисление площади фигуры.
По условию задачи, площадь одной клетки $S_{клетки}$ составляет $4 \text{ см}^2$.
Площадь всей фигуры $S_{фигуры}$ равна произведению количества клеток $N$ на площадь одной клетки:
$S_{фигуры} = N \times S_{клетки}$
Подставим известные значения в формулу:
$S_{фигуры} = 15 \times 4 = 60 \text{ см}^2$.

Ответ: 60 см?.

6.259 От пристани отошёл катамаран, скорость которого равна 12,8 км/ч. Через 3 ч в том же направлении отошёл второй катамаран со скоростью 16,8 км/ч. Через сколько часов второй катамаран догонит первый?

Для решения этой задачи выполним следующие действия:

1. Сначала найдем, какое расстояние прошел первый катамаран за 3 часа, пока второй еще не начал движение. Скорость первого катамарана $v_1 = 12,8$ км/ч. Время его начального движения $t_{форы} = 3$ ч.Расстояние $S_{форы}$, которое он прошел, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$:

$S_{форы} = 12,8 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 38,4 \text{ км}$.

Таким образом, в момент старта второго катамарана, первый уже опережал его на 38,4 км.

2. Теперь найдем скорость сближения катамаранов. Поскольку они движутся в одном направлении, скорость, с которой второй катамаран догоняет первого, равна разности их скоростей. Скорость второго катамарана $v_2 = 16,8$ км/ч.

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна:

$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 16,8 \text{ км/ч} - 12,8 \text{ км/ч} = 4 \text{ км/ч}$.

Это означает, что каждый час расстояние между катамаранами сокращается на 4 км.

3. Наконец, рассчитаем время $t$, через которое второй катамаран догонит первый. Для этого нужно разделить начальное расстояние между ними на скорость сближения:

$t = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{38,4 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 9,6 \text{ ч}$.

Ответ: второй катамаран догонит первый через 9,6 часов.

6.260 Моторная лодка шла вниз по реке 3 ч, а затем по озеру 2 ч, преодолев за всё время 69,2 км. Чему равна скорость течения реки, если собственная скорость лодки 12,4 км/ч?

1) Если моторная лодка идёт по озеру, то она имеет собственную скорость

2) $69,2 - 24,8 = 44,4\text{(км) - прошла лодка по течению}$

3) $44,4 : 3 = 14,8\text{(км/ч) - скорость по течению}$

4) $V_{\text{по теч}} = V_{\text{собств}} + V_{\text{теч}}$

Ответ: 2,4 км/ч

Для решения этой задачи необходимо определить скорость течения реки. Обозначим искомую скорость течения реки как $x$ км/ч.

1. Найдем расстояние, которое лодка прошла по озеру.

На озере нет течения, поэтому скорость лодки равна её собственной скорости.
Собственная скорость лодки: $v_{собственная} = 12,4$ км/ч.
Время движения по озеру: $t_{озеро} = 2$ ч.
Расстояние, пройденное по озеру, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$:
$S_{озеро} = 12,4 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 24,8$ км.

2. Найдем расстояние, которое лодка прошла по реке.

Общее расстояние, пройденное лодкой, составляет 69,2 км. Чтобы найти расстояние, пройденное по реке, вычтем из общего расстояния расстояние, пройденное по озеру:
$S_{река} = S_{общ} - S_{озеро} = 69,2 \text{ км} - 24,8 \text{ км} = 44,4$ км.

3. Найдем скорость лодки по течению реки.

Лодка шла вниз по реке 3 часа и прошла 44,4 км. Скорость движения вниз по реке можно найти, разделив расстояние на время:
$v_{по\_течению} = S_{река} / t_{река} = 44,4 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 14,8$ км/ч.

4. Найдем скорость течения реки.

Скорость лодки по течению реки — это сумма её собственной скорости и скорости течения реки: $v_{по\_течению} = v_{собственная} + x$.
Мы знаем $v_{по\_течению}$ и $v_{собственная}$, поэтому можем найти $x$:
$14,8 \text{ км/ч} = 12,4 \text{ км/ч} + x$
$x = 14,8 - 12,4$
$x = 2,4$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки равна 2,4 км/ч.

6.261 В аэропорту при регистрации на рейс багаж пассажиров взвешивают. Если масса одного места багажа превышает 23 кг, то за излишек взимается дополнительная плата. У пассажира два чемодана. При этом один чемодан в 3 раза тяжелее другого. Придётся ли ему платить за излишек массы багажа, если один чемодан тяжелее другого на 19,2 кг?

Для решения задачи обозначим массу более легкого чемодана через $x$ кг.

Из условия известно, что один чемодан в 3 раза тяжелее другого. Значит, масса более тяжелого чемодана составляет $3x$ кг.

Также в условии сказано, что один чемодан тяжелее другого на 19,2 кг. Это значит, что разница между их массами равна 19,2 кг. Мы можем составить уравнение, приравняв разницу масс к известному значению:

$3x - x = 19,2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти массу легкого чемодана:

$2x = 19,2$

$x = \frac{19,2}{2}$

$x = 9,6$

Таким образом, масса легкого чемодана равна 9,6 кг.

Теперь найдем массу тяжелого чемодана, умножив массу легкого на 3:

$3 \cdot 9,6 = 28,8$

Масса тяжелого чемодана составляет 28,8 кг.

Согласно правилам аэропорта, дополнительная плата взимается, если масса одного места багажа превышает 23 кг. Сравним массу каждого чемодана с этим лимитом:

• Масса легкого чемодана: $9,6$ кг. Это меньше, чем $23$ кг ($9,6 < 23$). За этот чемодан доплачивать не нужно.
• Масса тяжелого чемодана: $28,8$ кг. Это больше, чем $23$ кг ($28,8 > 23$). За этот чемодан придется доплачивать.

Поскольку масса одного из чемоданов превышает установленный лимит, пассажиру придется платить за излишек массы багажа.

Ответ: да, придётся.

6.262 Решите уравнение:

а) 31 • (m + 378) = 17 267;

б) 202 • (192 + n) = 98 980;

в) 43 966 : (z - 105) = 115 7;

г) 27 384 : (3912 - x) = 7.

a)

$m + 378 = 17267 : 31$

$\begin{array}{ll}\text{17267}& \text{|}\text{31}\\ \text{-155}& \text{|}\text{557}\\ \text{———}& \text{|}\\ \phantom{\text{0}}\text{176}& \\ \phantom{\text{0}}\text{-155}& \\ \phantom{\text{0}}\text{———}& \\ \phantom{\text{00}}\text{217}& \\ \phantom{\text{00}}\text{-217}& \\ \phantom{\text{00}}\text{———}& \\ \phantom{\text{000}}\text{0}& \end{array}$

$m + 378 = 557$

$m = 557 - 378$

$\begin{array}{r}\text{557}\\ \text{-378}\\ \text{———}\\ \text{179}\end{array}$

$m = 179$

Ответ: 179

б)

$192 + n = 98980 : 202$

$\begin{array}{ll}\text{98980}& \text{|}\text{202}\\ \text{-808}& \text{|}\text{490}\\ \text{———}& \text{|}\\ \phantom{\text{0}}\text{1818}& \\ \phantom{\text{0}}\text{-1818}& \\ \phantom{\text{0}}\text{————}& \\ \phantom{\text{000}}\text{0}& \end{array}$

$192 + n = 490$

$n = 490 - 192$

$\begin{array}{r}\text{490}\\ \text{-192}\\ \text{———}\\ \text{298}\end{array}$

$n = 298$

Ответ: 298

в)

$z - 105 = 43966 : 1157$

$\begin{array}{ll}\text{43966}& \text{|}\text{1157}\\ \text{-3471}& \text{|}\text{38}\\ \text{————}& \text{|}\\ \phantom{\text{0}}\text{9256}& \\ \phantom{\text{0}}\text{-9256}& \\ \phantom{\text{0}}\text{————}& \\ \phantom{\text{000}}\text{0}& \end{array}$

$z - 105 = 38$

$z = 38 + 105$

$\begin{array}{r}\stackrel{\text{①}}{\text{1}}\text{05}\\ \text{+ 38}\\ \text{———}\\ \text{143}\end{array}$

$z = 143$

Ответ: 143

г)

$3912 - x = 27384 : 7$

$\begin{array}{ll}\text{27384}& \text{|}\text{7}\\ \text{-21}& \text{|}\text{3912}\\ \text{——}& \text{|}\\ \phantom{\text{0}}\text{63}& \\ \phantom{\text{0}}\text{-63}& \\ \phantom{\text{0}}\text{——}& \\ \phantom{\text{00}}\text{8}& \\ \phantom{\text{00}}\text{-7}& \\ \phantom{\text{00}}\text{—}& \\ \phantom{\text{00}}\text{14}& \\ \phantom{\text{00}}\text{-14}& \\ \phantom{\text{00}}\text{——}& \\ \phantom{\text{000}}\text{0}& \end{array}$

$3912 - x = 3912$

$x = 3912 - 3912$

$x = 0$

Ответ: 0

а) $31 \cdot (m + 378) = 17267$

В данном уравнении выражение в скобках $(m + 378)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, разделим произведение $17267$ на известный множитель $31$.

$m + 378 = 17267 : 31$

$m + 378 = 557$

Теперь $m$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, вычтем из суммы $557$ известное слагаемое $378$.

$m = 557 - 378$

$m = 179$

Ответ: $179$.

б) $202 \cdot (192 + n) = 98980$

Выражение в скобках $(192 + n)$ является неизвестным множителем. Найдем его, разделив произведение $98980$ на известный множитель $202$.

$192 + n = 98980 : 202$

$192 + n = 490$

Теперь $n$ — неизвестное слагаемое. Найдем его, вычтя из суммы $490$ известное слагаемое $192$.

$n = 490 - 192$

$n = 298$

Ответ: $298$.

в) $43966 : (z - 105) = 1157$

В этом уравнении выражение в скобках $(z - 105)$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое $43966$ разделить на частное $1157$.

$z - 105 = 43966 : 1157$

$z - 105 = 38$

Теперь $z$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, нужно к разности $38$ прибавить вычитаемое $105$.

$z = 38 + 105$

$z = 143$

Ответ: $143$.

г) $27384 : (3912 - x) = 7$

Здесь выражение в скобках $(3912 - x)$ является неизвестным делителем. Найдем его, разделив делимое $27384$ на частное $7$.

$3912 - x = 27384 : 7$

$3912 - x = 3912$

Теперь $x$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого $3912$ вычесть разность $3912$.

$x = 3912 - 3912$

$x = 0$

Ответ: $0$.

1 Выполните деление:

а) 2,321 : 2;

б) 23,23 : 23;

в) 23,2 : 10;

г) 232,1 : 100;

д) 0,0023 : 1000;

е) 342,1052 : 10 000.

N1

a) $\begin{array}{rl}2,3210& 2\\ 2& 1,1605\\ \text{————}& \\ 3& \\ 2& \\ \text{——}& \\ 12& \\ 12& \\ \text{——}& \\ 1& \\ 0& \\ \text{——}& \\ 10& \\ 10& \\ \text{——}& \\ 0& \end{array}$

б) $\begin{array}{rl}23,23& 23\\ 23& 1,01\\ \text{——}& \\ 2& \\ 0& \\ \text{——}& \\ 23& \\ 23& \\ \text{——}& \\ 0& \end{array}$

в) $23,2 : 10 = 2,32$

г) $232,1 : 100 = 2,321$

д) $0,0023 : 1000 = 0,0000023$

е) $342,1052 : 10000 = 0,03421052$

а) Для того чтобы разделить десятичную дробь $2,321$ на натуральное число $2$, выполним деление "уголком". Сначала делим целую часть: $2 : 2 = 1$. Записываем $1$ в частное и ставим запятую, так как деление целой части закончено. Далее последовательно делим дробную часть. Сносим $3$: $3 : 2 = 1$ (остаток $1$). Сносим $2$, получаем $12$: $12 : 2 = 6$ (остаток $0$). Сносим $1$: $1 : 2 = 0$ (остаток $1$). Дописываем к остатку $0$, получаем $10$: $10 : 2 = 5$. Собираем все цифры частного: $1,1605$.
Ответ: $1,1605$.

б) Чтобы разделить $23,23$ на $23$, также применим деление "уголком". Делим целую часть: $23 : 23 = 1$. Записываем $1$ в частное и ставим запятую. Сносим следующую цифру $2$. Так как $2$ меньше $23$, в частное записываем $0$. Сносим следующую цифру $3$, получаем $23$. Делим $23 : 23 = 1$. Записываем $1$ в частное. В результате получаем $1,01$.
Ответ: $1,01$.

в) Для деления десятичной дроби на $10$, $100$, $1000$ и т.д. необходимо перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков, сколько нулей в делителе. В числе $10$ один ноль, поэтому в числе $23,2$ переносим запятую на один знак влево. $23,2 : 10 = 2,32$.
Ответ: $2,32$.

г) В делителе $100$ два ноля. Следовательно, в числе $232,1$ необходимо перенести запятую на два знака влево. $232,1 : 100 = 2,321$.
Ответ: $2,321$.

д) В делителе $1000$ три ноля. В числе $0,0023$ переносим запятую на три знака влево. Так как знаков слева от запятой не хватает, мы добавляем нули: $0,0023$ превращается в $0,0000023$.
Ответ: $0,0000023$.

е) В делителе $10 000$ четыре ноля. В числе $342,1052$ переносим запятую на четыре знака влево. Для этого нужно добавить один ноль перед числом, так как в целой части всего три цифры. $342,1052 : 10 000 = 0,03421052$.
Ответ: $0,03421052$.

2 Представьте в виде десятичной дроби:

а) Чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{1}{10}$ в виде десятичной, нужно числитель разделить на знаменатель. Так как в знаменателе стоит 10, мы просто переносим запятую в числителе (1) на один знак влево.

$\frac{1}{10} = 0.1$

Ответ: 0.1

б) Чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{4}{100}$ в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель. Так как в знаменателе стоит 100, мы переносим запятую в числителе (4) на два знака влево, добавляя при необходимости нули.

$\frac{4}{100} = 0.04$

Ответ: 0.04

в) Чтобы представить дробь $\frac{3}{50}$ в виде десятичной, можно привести ее к знаменателю, который является степенью числа 10 (например, 10, 100, 1000). Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы получить в знаменателе 100.

$\frac{3}{50} = \frac{3 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{6}{100} = 0.06$

Ответ: 0.06

г) Смешанное число $2\frac{1}{2}$ состоит из целой части 2 и дробной части $\frac{1}{2}$. Сначала представим дробную часть в виде десятичной дроби. Для этого приведем ее к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 5.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0.5$

Теперь сложим целую часть и полученную десятичную дробь:

$2 + 0.5 = 2.5$

Ответ: 2.5

д) Чтобы представить дробь $\frac{1}{5}$ в виде десятичной, приведем ее к знаменателю 10. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} = 0.2$

Ответ: 0.2

е) Чтобы представить дробь $\frac{3}{4}$ в виде десятичной, приведем ее к знаменателю 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 25.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0.75$

Ответ: 0.75

3 Выразите в тоннах:

32 765 кг; 12 500 кг; 100 000 кг; 857 кг; 12 кг; 2 кг.

Для того чтобы выразить массу из килограммов в тонны, необходимо знать основное соотношение между этими единицами измерения: в одной тонне содержится 1000 килограммов.

$1 \text{ тонна (т)} = 1000 \text{ килограммов (кг)}$

Следовательно, для перевода килограммов в тонны, нужно разделить данное количество килограммов на 1000.

32 765 кг

Чтобы перевести 32 765 кг в тонны, разделим это число на 1000:

$32765 \text{ кг} = \frac{32765}{1000} \text{ т} = 32,765 \text{ т}$

Ответ: 32,765 т.

12 500 кг

Чтобы перевести 12 500 кг в тонны, разделим это число на 1000:

$12500 \text{ кг} = \frac{12500}{1000} \text{ т} = 12,5 \text{ т}$

Ответ: 12,5 т.

100 000 кг

Чтобы перевести 100 000 кг в тонны, разделим это число на 1000:

$100000 \text{ кг} = \frac{100000}{1000} \text{ т} = 100 \text{ т}$

Ответ: 100 т.

857 кг

Чтобы перевести 857 кг в тонны, разделим это число на 1000:

$857 \text{ кг} = \frac{857}{1000} \text{ т} = 0,857 \text{ т}$

Ответ: 0,857 т.

12 кг

Чтобы перевести 12 кг в тонны, разделим это число на 1000:

$12 \text{ кг} = \frac{12}{1000} \text{ т} = 0,012 \text{ т}$

Ответ: 0,012 т.

2 кг

Чтобы перевести 2 кг в тонны, разделим это число на 1000:

$2 \text{ кг} = \frac{2}{1000} \text{ т} = 0,002 \text{ т}$

Ответ: 0,002 т.