Страница 133, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.1 Вычислите по формуле s = vt путь, пройденный:

а) за 7 ч со скоростью 12 км/ч;

б) за 15 мин со скоростью 84 м/мип.

 x 84 15 ---- + 420 84 ---- 1260

а) Для вычисления пройденного пути воспользуемся основной формулой $s = vt$, где $s$ — это путь, $v$ — скорость, а $t$ — время движения.

По условию задачи даны:

• Скорость $v = 12$ км/ч
• Время $t = 7$ ч

Единицы измерения (часы и км/ч) согласованы, поэтому можно сразу подставить значения в формулу:

$s = 12 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \times 7 \text{ ч} = 84 \text{ км}$

Ответ: 84 км.

б) Аналогично пункту а), используем формулу $s = vt$.

Из условия задачи известны:

• Скорость $v = 84$ м/мин
• Время $t = 15$ мин

Единицы измерения (минуты и м/мин) также согласованы. Подставляем значения в формулу и вычисляем путь:

$s = 84 \frac{\text{м}}{\text{мин}} \times 15 \text{ мин} = 1260 \text{ м}$

Ответ: 1260 м.

4.2 Вычислите по формуле пути скорость, если:

а) s = 260 км, t = 13 ч;

б) s = 360 м, t = 24 с.

а) $s = 260мм,t = 13с$

$s = vt$

$260 = v · 13$

$v = 260:13$

$v = 20$

Ответ: 20 км/ч

б) $s = 360м,t = 24с$

$s = vt$

$360 = v · 24$

$v = 360:24$

$\begin{array}{llll}& 360& |& 24\\ -& \underset{}{24}& |& 15\\ & 120& & \\ -& \underset{}{120}& & \\ & 0& & \end{array}$

$v = 15$

Ответ: 15 м/с

Для вычисления скорости воспользуемся основной формулой пути: $s = v \cdot t$, где $s$ — это пройденный путь, $v$ — скорость, а $t$ — время. Чтобы найти скорость, необходимо выразить её из этой формулы. Для этого разделим обе части уравнения на время $t$:

$v = \frac{s}{t}$

Теперь подставим данные из условия задачи в эту формулу.

а)
Даны путь $s = 260$ км и время $t = 13$ ч.
Вычисляем скорость:
$v = \frac{260 \text{ км}}{13 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч}$
Ответ: 20 км/ч.

б)
Даны путь $s = 360$ м и время $t = 24$ с.
Вычисляем скорость:
$v = \frac{360 \text{ м}}{24 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$
Ответ: 15 м/с.

4.3 Вычислите по формуле пути время, если:

а) v = 9 км/с, s = 81 км;

б) v = 18 км/ч, s = 198 км.

а) $v = 9\text{ км/с}$, $s = 81\text{ км}$

$s = vt$

$81 = 9 · t$

$t = 81 : 9$

$t = 9$

Ответ: 9с

б) $v = 18\text{ км/ч}$, $s = 198\text{ км}$

$s = vt$

$198 = 18 · t$

$t = 198 : 18$

$t = 11$

Ответ: 11ч

Для решения задачи воспользуемся основной формулой пути, которая связывает расстояние $s$, скорость $v$ и время $t$: $s = v \cdot t$.

Чтобы найти время $t$, необходимо выразить его из этой формулы. Для этого разделим обе части уравнения на скорость $v$:

$t = \frac{s}{v}$

Теперь применим эту формулу к данным в задаче.

а) Даны скорость $v = 9$ км/с и расстояние $s = 81$ км.

Подставляем значения в формулу для вычисления времени:

$t = \frac{81 \text{ км}}{9 \text{ км/с}} = 9 \text{ с}$

Время, за которое будет пройден путь, составляет 9 секунд.

Ответ: $9$ с.

б) Даны скорость $v = 18$ км/ч и расстояние $s = 198$ км.

Подставляем значения в формулу для вычисления времени:

$t = \frac{198 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = 11 \text{ ч}$

Время, за которое будет пройден путь, составляет 11 часов.

Ответ: $11$ ч.

4.4 Напишите формулу для вычисления периметра Р прямоугольника, где стороны обозначены буквами a и b. Вычислите по этой формуле:

а) периметр прямоугольника со сторонами 7 мм и 8 мм;

б) сторону а прямоугольника, если P = 34 дм, а b = 6 дм.

Формула для вычисления периметра $P$ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ представляет собой сумму длин всех его четырех сторон. Так как противоположные стороны прямоугольника равны, формула имеет вид:

$P = 2 \cdot a + 2 \cdot b$

Эту формулу также можно записать, вынеся общий множитель 2 за скобки:

$P = 2 \cdot (a + b)$

а) Вычислим периметр прямоугольника со сторонами 7 мм и 8 мм.

Дано: $a = 7$ мм, $b = 8$ мм.

Подставим значения сторон в формулу:

$P = 2 \cdot (7 + 8)$

Сначала выполним действие в скобках:

$7 + 8 = 15$

Теперь умножим результат на 2:

$P = 2 \cdot 15 = 30$ мм

Ответ: 30 мм

б) Вычислим сторону $a$ прямоугольника, если $P = 34$ дм, а $b = 6$ дм.

Дано: $P = 34$ дм, $b = 6$ дм.

Подставим известные значения в формулу $P = 2(a + b)$:

$34 = 2 \cdot (a + 6)$

Для нахождения неизвестной стороны $a$, решим полученное уравнение. Сначала найдем полупериметр (сумму сторон $a$ и $b$), разделив периметр на 2:

$a + 6 = 34 : 2$

$a + 6 = 17$

Теперь найдем сторону $a$, вычтя из полупериметра длину известной стороны $b$:

$a = 17 - 6$

$a = 11$ дм

Ответ: 11 дм

4.5 Напишите формулу для вычисления периметра Р квадрата со стороной а. Вычислите по этой формуле:

а) периметр квадрата, если его сторона равна 11 м;

б) сторону квадрата, если его периметр равен 100 дм.

Периметр $P$ квадрата — это сумма длин всех его четырех сторон. Так как все стороны квадрата равны, обозначим длину одной стороны как $a$. Тогда формула для вычисления периметра будет: $P = a + a + a + a = 4a$.

Итак, формула для вычисления периметра: $P = 4a$.

а) Чтобы вычислить периметр квадрата, если его сторона $a = 11$ м, подставим это значение в формулу:

$P = 4 \cdot 11 = 44$ м.

Ответ: 44 м.

б) Чтобы найти сторону квадрата, если его периметр $P = 100$ дм, выразим сторону $a$ из формулы периметра: $a = P / 4$.

Подставим известное значение периметра в эту формулу:

$a = 100 / 4 = 25$ дм.

Ответ: 25 дм.

4.6 Запишите формулу для вычисления периметра Р равностороннего треугольника, стороны которого равны а.

а) Вычислите по этой формуле периметр треугольника, если а = 6 см.

б) Вычислите сторону треугольника, если периметр равен 48 см.

Периметр $P$ любого многоугольника равен сумме длин всех его сторон. Равносторонний треугольник имеет три одинаковые стороны. Если длина одной стороны равна $a$, то периметр такого треугольника вычисляется как сумма длин трех его сторон:

$P = a + a + a$

Следовательно, формула для вычисления периметра равностороннего треугольника:

$P = 3a$

а) Вычислите по этой формуле периметр треугольника, если $a = 6$ см.

Подставляем известное значение стороны $a = 6$ см в формулу периметра:

$P = 3 \times 6 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

б) Вычислите сторону треугольника, если периметр равен 48 см.

Для нахождения стороны треугольника $a$ при известном периметре $P$ выразим $a$ из формулы $P = 3a$:

$a = \frac{P}{3}$

Теперь подставим значение периметра $P = 48$ см в полученную формулу:

$a = \frac{48}{3} = 16$ см.

Ответ: 16 см.

4.7 Напишите формулу для вычисления периметра P равнобедренного треугольника, основание которого равно a, а боковая сторона - b.

а) Вычислите по этой формуле периметр треугольника, если a = 5 см, b = 6 см.

б) Вычислите основание треугольника, если P = 24 см, b = 7 см.

в) Вычислите боковую сторону треугольника, если P = 30 см, a = 12 см.

Периметр $P$ равнобедренного треугольника равен сумме длины его основания $a$ и удвоенной длины боковой стороны $b$. Формула для вычисления периметра имеет вид:
$P = a + 2b$

а) Для вычисления периметра подставим в формулу значения основания $a = 5$ см и боковой стороны $b = 6$ см:
$P = 5 + 2 \cdot 6 = 5 + 12 = 17$ см.
Ответ: 17 см.

б) Для вычисления основания $a$ выразим его из формулы периметра: $a = P - 2b$. Подставим известные значения $P = 24$ см и $b = 7$ см:
$a = 24 - 2 \cdot 7 = 24 - 14 = 10$ см.
Ответ: 10 см.

в) Для вычисления боковой стороны $b$ выразим ее из формулы периметра: $2b = P - a$, следовательно, $b = \frac{P - a}{2}$. Подставим известные значения $P = 30$ см и $a = 12$ см:
$b = \frac{30 - 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.
Ответ: 9 см.

4.8 Напишите формулой правило нахождения делимого a по делителю b, неполному частному q и остатку r. Используя эту формулу, найдите:

а) делимое a, если b = 8, q = 14 и r = 6;

б) неполное частное q, если a = 547, b = 11, r = 8;

в) делитель b, если a = 254, q = 31, r = 6.

Правило нахождения делимого a по делителю b, неполному частному q и остатку r выражается следующей формулой:

$a = b \cdot q + r$

При этом остаток r всегда должен быть меньше делителя b, то есть должно выполняться условие $0 \le r < b$.

а) найти делимое а, если b = 8, q = 14 и r = 6;
Для нахождения делимого а подставим известные значения в основную формулу:
$a = b \cdot q + r$
$a = 8 \cdot 14 + 6$
Выполняем вычисления:
$8 \cdot 14 = 112$
$112 + 6 = 118$
Таким образом, $a = 118$.
Ответ: 118.

б) найти неполное частное q, если а = 547, b = 11, r = 8;
Для нахождения неполного частного q выразим его из основной формулы:
$a = b \cdot q + r$
$b \cdot q = a - r$
$q = (a - r) \div b$
Подставляем известные значения:
$q = (547 - 8) \div 11$
$q = 539 \div 11$
$q = 49$
Ответ: 49.

в) найти делитель b, если а = 254, q = 31, r = 6.
Для нахождения делителя b выразим его из основной формулы:
$a = b \cdot q + r$
$b \cdot q = a - r$
$b = (a - r) \div q$
Подставляем известные значения:
$b = (254 - 6) \div 31$
$b = 248 \div 31$
$b = 8$
Проверим, выполняется ли условие $r < b$:
$6 < 8$. Условие выполняется.
Ответ: 8.

4.9 Два теплохода одновременно отошли от пристани в противоположных направлениях. Найдите расстояние между ними через t ч после начала движения, если их скорости равны 30 км/ч и 40 км/ч. Составьте формулу для решения задачи и упростите её. Что означает число 70 в получившейся формуле?

Составьте формулу для решения задачи и упростите её.

Для того чтобы найти расстояние между двумя теплоходами, движущимися в противоположных направлениях, нужно найти расстояние, которое прошел каждый из них, и сложить эти расстояния.

Пусть $v_1$ — скорость первого теплохода, а $v_2$ — скорость второго теплохода. По условию, $v_1 = 30$ км/ч и $v_2 = 40$ км/ч. Время движения — $t$ ч.

Расстояние ($S$) вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

1. Расстояние, пройденное первым теплоходом за время $t$:
$S_1 = v_1 \cdot t = 30t$ (км)

2. Расстояние, пройденное вторым теплоходом за время $t$:
$S_2 = v_2 \cdot t = 40t$ (км)

3. Общее расстояние ($S_{общ}$) между теплоходами равно сумме расстояний $S_1$ и $S_2$, так как они движутся в противоположных направлениях от одной точки.

Формула для решения задачи: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 30t + 40t$

Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель $t$ за скобки или сложив подобные слагаемые: $S_{общ} = (30 + 40)t$ $S_{общ} = 70t$

Ответ: Упрощенная формула для нахождения расстояния между теплоходами: $S = 70t$.

Что означает число 70 в получившейся формуле?

В формуле $S = 70t$ число 70 является результатом сложения скоростей двух теплоходов: $30 \text{ км/ч} + 40 \text{ км/ч} = 70 \text{ км/ч}$.

Это значение называется скоростью удаления. Скорость удаления показывает, на какое расстояние объекты удаляются друг от друга за единицу времени. В данном случае, каждый час расстояние между теплоходами увеличивается на 70 километров.

Ответ: Число 70 означает скорость удаления теплоходов друг от друга, равную 70 км/ч.

4.10 Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два автобуса. Один со скоростью 55 км/ч, а другой со скоростью 45 км/ч. Найдите расстояние между ними через t ч после выезда, если расстояние между двумя городами 400 км. Составьте формулу для решения задачи и упростите её. Какой смысл имеет число 100 в получившейся формуле?

55 км/ч

s-? через t ч

45 км/ч

400 км

(55 + 45) км/ч – скорость сближения

((55 + 45)t) км – расстояние, которое проедут автобусы за t ч

$S = 400 - (55 + 45)t = 400 - 100t$

100 км/ч – скорость сближения автобусов

Найдите расстояние между ними через t ч после выезда, если расстояние между двумя городами 400 км. Составьте формулу для решения задачи и упростите её.

Пусть $S(t)$ — это искомое расстояние между автобусами через $t$ часов после начала движения.
Дано:

• Начальное расстояние между городами: $S_0 = 400$ км.
• Скорость первого автобуса: $v_1 = 55$ км/ч.
• Скорость второго автобуса: $v_2 = 45$ км/ч.

За время $t$ первый автобус проедет расстояние $S_1 = v_1 \cdot t = 55t$.
За это же время $t$ второй автобус проедет расстояние $S_2 = v_2 \cdot t = 45t$.

Поскольку автобусы движутся навстречу друг другу, расстояние между ними уменьшается. Чтобы найти расстояние $S(t)$ через время $t$, нужно из начального расстояния $S_0$ вычесть общее расстояние, которое проехали оба автобуса.

Составим общую формулу для решения задачи:
$S(t) = S_0 - (S_1 + S_2) = S_0 - (v_1 \cdot t + v_2 \cdot t)$

Подставим в нее наши значения:
$S(t) = 400 - (55t + 45t)$

Теперь упростим полученное выражение, вынеся общий множитель $t$ за скобки:
$S(t) = 400 - (55 + 45)t$
Выполним сложение в скобках:
$S(t) = 400 - 100t$

Ответ: Упрощенная формула для нахождения расстояния между автобусами через $t$ часов: $S(t) = 400 - 100t$.

Какой смысл имеет число 100 в получившейся формуле?

Число 100 в формуле $S(t) = 400 - 100t$ было получено путем сложения скоростей двух автобусов:
$55 \text{ км/ч} + 45 \text{ км/ч} = 100 \text{ км/ч}$

Эта величина в физике и математике называется скоростью сближения. Она показывает, на какое расстояние автобусы становятся ближе друг к другу за единицу времени (в данном случае, за 1 час). То есть, каждый час общее расстояние между автобусами сокращается на 100 км.

Ответ: Число 100 — это скорость сближения автобусов в км/ч.

4.11 Расстояние между Авдеево и Макеево равно 19 км. Из Авдеево в Макеево вышел турист со скоростью 5 км/ч. Составьте формулу для вычисления расстояния s до Макеево, на котором окажется турист через t ч после своего выхода.

Для решения задачи введем переменные:
Пусть $S$ - общее расстояние между Авдеево и Макеево, которое по условию равно 19 км.
Пусть $v$ - скорость туриста, которая равна 5 км/ч.
Пусть $t$ - время, которое турист находится в пути, в часах.
Пусть $s$ - искомое расстояние от туриста до Макеево через $t$ часов.

Сначала определим расстояние, которое турист пройдет от Авдеево за время $t$. Это расстояние ($S_{пройденное}$) равно произведению скорости на время:
$S_{пройденное} = v \cdot t = 5t$ (км).

Искомое расстояние $s$ до Макеево будет равно разности между общим расстоянием $S$ и расстоянием, которое турист уже прошел $S_{пройденное}$.
$s = S - S_{пройденное}$

Подставив известные значения, получим искомую формулу:
$s = 19 - 5t$
Эта формула выражает зависимость расстояния до Макеево ($s$ в км) от времени в пути ($t$ в часах).
Ответ: $s = 19 - 5t$.

6.292 Почему приписывание справа нулей к натуральному числу увеличивает его значение, а приписывание к десятичной дроби не меняет её значения?

Этот эффект объясняется принципами позиционной десятичной системы счисления, в которой значение каждой цифры определяется её положением (разрядом) в числе.

Приписывание нулей к натуральному числу

В натуральных числах разряды считаются справа налево: единицы, десятки, сотни и так далее. Каждый следующий разряд в 10 раз больше предыдущего. Например, число 45 можно представить как сумму разрядных слагаемых: $4 \cdot 10 + 5 \cdot 1$.

Когда мы приписываем справа ноль, например, к числу 45, мы получаем 450. В новом числе все предыдущие цифры сдвигаются на один разряд влево. Цифра 5, которая была в разряде единиц, теперь находится в разряде десятков. Цифра 4, бывшая в разряде десятков, теперь в разряде сотен. Новый ноль занимает разряд единиц.

Новое число 450 можно представить так: $4 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 0 \cdot 1$. Сравнивая с исходным числом, мы видим, что значение каждой цифры (кроме нового нуля) увеличилось в 10 раз, и, следовательно, всё число увеличилось в 10 раз: $450 = 45 \cdot 10$.

Приписывание двух нулей увеличит число в 100 раз ($4500 = 45 \cdot 100$), и так далее.

Ответ: Приписывание нуля справа к натуральному числу сдвигает все его цифры на один разряд влево, увеличивая их весовое значение в 10 раз, что равносильно умножению всего числа на 10.

Приписывание нулей к десятичной дроби

В десятичных дробях разряды после запятой (десятичной точки) называются десятые, сотые, тысячные и так далее. Их значение определяется положением относительно запятой. Например, в дроби 0,75 цифра 7 стоит в разряде десятых ($\frac{7}{10}$), а цифра 5 — в разряде сотых ($\frac{5}{100}$). Значение дроби: $0,75 = \frac{7}{10} + \frac{5}{100}$.

Когда мы приписываем ноль справа к десятичной дроби, например, к 0,75, мы получаем 0,750. Положение исходных цифр 7 и 5 относительно запятой не меняется. Они по-прежнему находятся в разрядах десятых и сотых. Добавленный ноль занимает следующий, более мелкий разряд — тысячных.

Значение новой дроби 0,750 будет: $0,750 = \frac{7}{10} + \frac{5}{100} + \frac{0}{1000}$. Так как последнее слагаемое равно нулю, сумма не изменяется.

Это также можно увидеть, представив дроби в виде обыкновенных:
$0,75 = \frac{75}{100}$
$0,750 = \frac{750}{1000}$
Если сократить дробь $\frac{750}{1000}$, разделив числитель и знаменатель на 10, мы получим $\frac{75}{100}$. Таким образом, $0,75 = 0,750$.

Ответ: Приписывание нуля справа к десятичной дроби не меняет её значения, так как это не изменяет положения и, соответственно, разрядных значений существующих цифр. Это равносильно добавлению слагаемого, равного нулю, или умножению числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на 10, что не меняет величину дроби.

6.293 Выполните деление:

а) 73,5; 2,39; 4 на 10;

б) 632,2; 40,5; 50 на 100.

а)

Чтобы разделить число на 10, необходимо перенести в нем запятую на один знак влево. Для целого числа, такого как 4, можно представить его в виде десятичной дроби $4,0$ и применить то же правило.

$73,5 : 10 = 7,35$

$2,39 : 10 = 0,239$

$4 : 10 = 0,4$

Ответ: $7,35$; $0,239$; $0,4$.

б)

Чтобы разделить число на 100, необходимо перенести в нем запятую на два знака влево. Если знаков для переноса не хватает, слева от числа дописываются нули.

$632,2 : 100 = 6,322$

$40,5 : 100 = 0,405$

$50 : 100 = 0,5$

Ответ: $6,322$; $0,405$; $0,5$.

6.294 Найдите частное:

а) 60,918 : 156;

б) 74,052 : 264;

в) 1,51515 : 15;

г) 1,919 : 19.

а) Чтобы найти частное от деления $60,918$ на $156$, выполним деление столбиком.

1. Делим целую часть $60$ на $156$. Так как $60 < 156$, целая часть частного равна $0$. Ставим $0$ и запятую в результате.

2. Теперь делим $609$ (используя первую цифру после запятой) на $156$. Ближайшее произведение, не превышающее $609$, это $156 \times 3 = 468$. Записываем $3$ после запятой в частном. Находим остаток: $609 - 468 = 141$.

3. Сносим следующую цифру $1$, получаем число $1411$. Делим $1411$ на $156$. Ближайшее произведение, не превышающее $1411$, это $156 \times 9 = 1404$. Записываем $9$ в частное. Находим остаток: $1411 - 1404 = 7$.

4. Сносим следующую цифру $8$, получаем число $78$. Делим $78$ на $156$. Так как $78 < 156$, в частное записываем $0$. Остаток $78$.

5. Поскольку цифры в делимом закончились, дописываем к остатку $0$, получаем $780$. Делим $780$ на $156$. Получаем ровно $5$, так как $156 \times 5 = 780$. Записываем $5$ в частное. Остаток $0$.

Таким образом, $60,918 : 156 = 0,3905$.
Ответ: $0,3905$

б) Найдем частное от деления $74,052$ на $264$.

1. Делим целую часть $74$ на $264$. Так как $74 < 264$, целая часть частного равна $0$. Ставим $0$ и запятую в результате.

2. Делим $740$ на $264$. Ближайшее произведение: $264 \times 2 = 528$. Записываем $2$ в частное. Остаток: $740 - 528 = 212$.

3. Сносим цифру $5$, получаем $2125$. Делим $2125$ на $264$. Ближайшее произведение: $264 \times 8 = 2112$. Записываем $8$ в частное. Остаток: $2125 - 2112 = 13$.

4. Сносим цифру $2$, получаем $132$. Делим $132$ на $264$. Так как $132 < 264$, записываем в частное $0$. Остаток $132$.

5. Дописываем к остатку $0$, получаем $1320$. Делим $1320$ на $264$. Получаем ровно $5$, так как $264 \times 5 = 1320$. Записываем $5$ в частное. Остаток $0$.

Таким образом, $74,052 : 264 = 0,2805$.
Ответ: $0,2805$

в) Найдем частное от деления $1,51515$ на $15$.

1. Делим целую часть $1$ на $15$. Получаем $0$. Ставим $0$ и запятую в результате.

2. Делим $15$ на $15$. Получаем $1$. Записываем $1$ в частное. Остаток $0$.

3. Сносим $1$. Делим $1$ на $15$. Получаем $0$. Записываем $0$ в частное. Остаток $1$.

4. Сносим $5$, получаем $15$. Делим $15$ на $15$. Получаем $1$. Записываем $1$ в частное. Остаток $0$.

5. Сносим $1$. Делим $1$ на $15$. Получаем $0$. Записываем $0$ в частное. Остаток $1$.

6. Сносим $5$, получаем $15$. Делим $15$ на $15$. Получаем $1$. Записываем $1$ в частное. Остаток $0$.

Таким образом, $1,51515 : 15 = 0,10101$.
Ответ: $0,10101$

г) Найдем частное от деления $1,919$ на $19$.

1. Делим целую часть $1$ на $19$. Получаем $0$. Ставим $0$ и запятую в результате.

2. Делим $19$ на $19$. Получаем $1$. Записываем $1$ в частное. Остаток $0$.

3. Сносим $1$. Делим $1$ на $19$. Получаем $0$. Записываем $0$ в частное. Остаток $1$.

4. Сносим $9$, получаем $19$. Делим $19$ на $19$. Получаем $1$. Записываем $1$ в частное. Остаток $0$.

Таким образом, $1,919 : 19 = 0,101$.
Ответ: $0,101$

6.295 а) Движение крыльев самой маленькой птицы на Земле колибри такое быстрое, что очертания их совершенно сливаются. Колибри делает около 5400 взмахов в минуту, во время полёта её сердце бьётся с частотой 1200 ударов в минуту. Когда колибри пьёт, она опускает язык в цветок 1200 раз в минуту. Рассчитайте эти данные для одной секунды.

б) Ленивец — одно из самых медленных животных. По земле он передвигается со скоростью около 180 м/ч. Выразите его скорость в метрах в секунду.

а) Чтобы пересчитать данные из минут в секунды, нужно учесть, что в одной минуте содержится 60 секунд. Поэтому для нахождения частоты события в секунду, необходимо его частоту в минуту разделить на 60.

1. Рассчитаем количество взмахов крыльев колибри в секунду:

$v_{крыльев} = 5400 \frac{\text{взмахов}}{\text{мин}} = \frac{5400 \text{ взмахов}}{60 \text{ с}} = 90 \frac{\text{взмахов}}{\text{с}}$

2. Рассчитаем частоту сердцебиения колибри в секунду:

$v_{сердца} = 1200 \frac{\text{ударов}}{\text{мин}} = \frac{1200 \text{ ударов}}{60 \text{ с}} = 20 \frac{\text{ударов}}{\text{с}}$

3. Рассчитаем, сколько раз в секунду колибри опускает язык в цветок:

$v_{языка} = 1200 \frac{\text{раз}}{\text{мин}} = \frac{1200 \text{ раз}}{60 \text{ с}} = 20 \frac{\text{раз}}{\text{с}}$

Ответ: Колибри совершает 90 взмахов крыльями в секунду, её сердце делает 20 ударов в секунду, и она опускает язык в цветок 20 раз в секунду.

б) Чтобы выразить скорость из метров в час (м/ч) в метрах в секунду (м/с), нужно знать, сколько секунд в одном часе. В одном часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд.

$1 \text{ час} = 60 \text{ минут} \times 60 \frac{\text{секунд}}{\text{минуту}} = 3600 \text{ секунд}$

Теперь переведём скорость ленивца 180 м/ч в м/с, разделив расстояние на время в секундах:

$v = 180 \frac{\text{м}}{\text{ч}} = \frac{180 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{18}{360} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{1}{20} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 0,05 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Скорость ленивца составляет 0,05 м/с.

6.296 Катамаран плыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Сколько километров проплыл катамаран, если его собственная скорость 17,6 км/ч, а скорость течения 3,4 км/с?

1) $17,6 + 3,4 = 21$ (км/ч) - скорость по течению

2) $17,6 - 3,4 = 14,2$ (км/ч) - скорость против течения

3) $21 · 2 = 42$ (км) - расстояние по течению

4) $14,2 · 3 = 42,6$ (км) - расстояние против течения

5) $42 + 42,6 = 84,6$ (км)

Ответ: 84,6 км

Для того чтобы найти общее расстояние, которое проплыл катамаран, необходимо вычислить расстояние, пройденное по течению, и расстояние, пройденное против течения, а затем сложить их.

1. Сначала найдем скорость катамарана по течению реки. Скорость по течению равна сумме собственной скорости катамарана и скорости течения реки.

$v_{по\;течению} = v_{собственная} + v_{течения} = 17,6\;км/ч + 3,4\;км/ч = 21\;км/ч$

2. Теперь вычислим расстояние, которое катамаран проплыл по течению за 2 часа. Расстояние равно произведению скорости на время.

$S_{по\;течению} = v_{по\;течению} \times t_{по\;течению} = 21\;км/ч \times 2\;ч = 42\;км$

3. Далее найдем скорость катамарана против течения реки. Скорость против течения равна разности собственной скорости катамарана и скорости течения реки.

$v_{против\;течения} = v_{собственная} - v_{течения} = 17,6\;км/ч - 3,4\;км/ч = 14,2\;км/ч$

4. Вычислим расстояние, которое катамаран проплыл против течения за 3 часа.

$S_{против\;течения} = v_{против\;течения} \times t_{против\;течения} = 14,2\;км/ч \times 3\;ч = 42,6\;км$

5. Наконец, найдем общее расстояние, сложив расстояние, пройденное по течению, и расстояние, пройденное против течения.

$S_{общий} = S_{по\;течению} + S_{против\;течения} = 42\;км + 42,6\;км = 84,6\;км$

Ответ: 84,6 км.

6.297 Развивай внимание. На рисунке 6.24 изображены попугаи, кошки и собаки. Сосчитайте их, считая всех подряд по порядку: первый попугай, первая кошка, второй попугай, первая собака, третий попугай и т. д. Если не получится сосчитать с первого раза, пробуйте выполнить это задание несколько раз.

Задача состоит в том, чтобы посчитать количество попугаев, кошек и собак, тренируя внимание. Для этого нужно считать их в строгой последовательности: найти первого попугая, затем первую кошку, первую собаку, потом второго попугая, вторую кошку, вторую собаку и так далее, пока все животные не будут посчитаны.

Результатом выполнения этого упражнения будет общее количество животных каждого вида.

Попугаи

Следуя предложенному методу поочередного счета, мы находим всех попугаев. Чтобы проверить результат, можно посчитать их общее количество по рядам:

• В верхнем ряду: 3 попугая.
• В среднем ряду: 2 попугая.
• В нижнем ряду: 2 попугая.

Суммируем количество: $3 + 2 + 2 = 7$.

Ответ: Всего на рисунке 7 попугаев.

Кошки

Используя тот же метод последовательного поиска, мы считаем всех кошек. Проверим итоговое число простым подсчетом:

• В верхнем ряду: 1 кошка.
• В среднем ряду: 2 кошки.
• В нижнем ряду: 2 кошки.

Суммируем количество: $1 + 2 + 2 = 5$.

Ответ: Всего на рисунке 5 кошек.

Собаки

Аналогично предыдущим шагам, считаем собак. Поочередный счет позволяет определить их общее количество. Проверим результат, посчитав их по рядам:

• В верхнем ряду: 2 собаки.
• В среднем ряду: 2 собаки.
• В нижнем ряду: 2 собаки.

Суммируем количество: $2 + 2 + 2 = 6$.

Ответ: Всего на рисунке 6 собак.

6.298 Два пловца находятся на расстоянии 13,6 км и плывут по реке навстречу друг другу. Через какое время они встретятся, если скорость течения 2,4 км/ч и собственная скорость пловца, плывущего по течению, равна 3,6 км/ч, а собственная скорость другого пловца — 4,4 км/ч?

$(\mathrm{3,6} + \mathrm{2,4})$км/ч$(\mathrm{4,4} - \mathrm{1,4})$км/ч

$\mathrm{13,6}$ км

1)$\mathrm{3,6} + \mathrm{2,4} = 6$(км/ч) - скорость плота,

плывущего по течению

2)$\mathrm{4,4} - \mathrm{1,4} = 2$(км/ч) - скорость плота,

плывущего против течения

3)$6 + 2 = 8$(км/ч) - скорость сближения

4)$\mathrm{13,6} : 8 = \mathrm{1,7}$(ч)

$$\begin{array}{rl}\mathrm{13,6}& \overline{)8}\\ \overline{8}& \mathrm{1,7}\\ 56& \\ \overline{56}& \\ 0& \end{array}$$

Ответ: через$\mathrm{1,72}$

Для решения задачи необходимо найти скорость сближения пловцов. Так как они плывут навстречу друг другу по реке, один из них плывет по течению, а другой — против течения.

1. Определим скорость первого пловца относительно берега.
Пловец, плывущий по течению, имеет скорость, равную сумме его собственной скорости ($3,6$ км/ч) и скорости течения реки ($2,4$ км/ч).
$V_1 = 3,6 \text{ км/ч} + 2,4 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч}$.

2. Определим скорость второго пловца относительно берега.
Второй пловец движется навстречу первому, следовательно, он плывет против течения. Его скорость равна разности его собственной скорости ($4,4$ км/ч) и скорости течения.
$V_2 = 4,4 \text{ км/ч} - 2,4 \text{ км/ч} = 2 \text{ км/ч}$.

3. Найдем скорость сближения пловцов.
Скорость сближения — это сумма скоростей объектов, движущихся навстречу друг другу.
$V_{сбл} = V_1 + V_2 = 6 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$.

4. Рассчитаем время до встречи.
Чтобы найти время, нужно разделить начальное расстояние ($13,6$ км) на скорость сближения.
$t = \frac{S}{V_{сбл}} = \frac{13,6 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 1,7 \text{ ч}$.

Ответ: пловцы встретятся через 1,7 часа.

6.299 Найдите скорость течения реки, если катер плыл по течению со скоростью 17,7 км/ч, против течения со скоростью 9,9 км/ч, а собственная скорость катера была постоянной.

$V\text{по mer} = 17.7\text{км/ч}$

$V\text{против mer} = 9.9\text{км/ч}$

1) $V\text{по mer} = V_{\text{собств.}} + V_{\text{mer}} = 17.7\text{км/ч}$

$V_{\text{собств.}} = 17.7 - V_{\text{mer}}$

2) $V\text{против mer} = V_{\text{собств.}} - V_{\text{mer}} = 9.9\text{км/ч}$

$17.7 - V_{\text{mer}} - V_{\text{mer}} = 9.9\text{км/ч}$

$17.7 - (V_{\text{mer}} + V_{\text{mer}}) = 9.9\text{км/ч}$

$17.7 - 2·V_{\text{mer}} = 9.9\text{км/ч}$

$2·V_{\text{mer}} = (17.7 - 9.9)\text{км/ч}$

$2·V_{\text{mer}} = 7.8\text{км/ч}$

$V_{\text{mer}} = (7.8 : 2)\text{км/ч}$

$V_{\text{mer}} = 3.9\text{км/ч}$

Ответ: $3.9\text{км/ч}$

$\begin{array}{r}17.7\\ - 9.9\\ \text{——}\\ 7.8\end{array} \begin{array}{l}7.8 \overline{)2}\\ - 6 3.9\\ \text{——}\\ \phantom{0}18\\ - 18\\ \text{——}\\ \phantom{0}0\end{array}$

Пусть $v_{к}$ – собственная скорость катера (в км/ч), а $v_{т}$ – скорость течения реки (в км/ч).

Когда катер плывет по течению, его скорость является суммой собственной скорости и скорости течения. По условию, эта скорость равна 17,7 км/ч. Математически это записывается так: $$ v_{к} + v_{т} = 17,7 $$

Когда катер плывет против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения. По условию, эта скорость равна 9,9 км/ч. Математически это записывается так: $$ v_{к} - v_{т} = 9,9 $$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} v_{к} + v_{т} = 17,7 \\ v_{к} - v_{т} = 9,9 \end{cases} $$

Чтобы найти скорость течения реки ($v_{т}$), мы можем вычесть второе уравнение из первого. Это позволит нам исключить переменную $v_{к}$ (собственную скорость катера). $$ (v_{к} + v_{т}) - (v_{к} - v_{т}) = 17,7 - 9,9 $$

Раскроем скобки и упростим выражение: $$ v_{к} + v_{т} - v_{к} + v_{т} = 7,8 $$ $$ 2v_{т} = 7,8 $$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $v_{т}$: $$ v_{т} = \frac{7,8}{2} $$ $$ v_{т} = 3,9 $$

Следовательно, скорость течения реки составляет 3,9 км/ч.

Для проверки можно найти собственную скорость катера, сложив два уравнения системы: $$ (v_{к} + v_{т}) + (v_{к} - v_{т}) = 17,7 + 9,9 $$ $$ 2v_{к} = 27,6 $$ $$ v_{к} = 13,8 \text{ км/ч} $$ Подставим найденные значения в исходные условия:

• Скорость по течению: $v_{к} + v_{т} = 13,8 + 3,9 = 17,7$ км/ч. (Совпадает с условием)
• Скорость против течения: $v_{к} - v_{т} = 13,8 - 3,9 = 9,9$ км/ч. (Совпадает с условием)

Решение верное.

Ответ: 3,9 км/ч.

6.300 Два пловца находятся на расстоянии 10,8 км и плывут по реке навстречу друг другу. Через какое время они встретятся, если собственная скорость каждого пловца равна 3,6 км/ч, а скорость течения: а) 2,4 км/ч; б) 3,2 км/ч? Есть ли лишние данные в условии задачи?

Для решения этой задачи необходимо найти время, через которое пловцы встретятся. Они плывут навстречу друг другу по реке, значит, один пловец будет плыть по течению, а другой — против течения.

Обозначим:

• $S$ — начальное расстояние между пловцами ($10,8$ км).
• $V_{соб}$ — собственная скорость каждого пловца ($3,6$ км/ч).
• $V_{теч}$ — скорость течения реки.
• $V_{по\ теч}$ — скорость пловца, плывущего по течению.
• $V_{против\ теч}$ — скорость пловца, плывущего против течения.
• $V_{сбл}$ — скорость сближения пловцов.
• $t$ — время до встречи.

Скорость пловца по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $V_{по\ теч} = V_{соб} + V_{теч}$.

Скорость пловца против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $V_{против\ теч} = V_{соб} - V_{теч}$.

Поскольку пловцы движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей относительно берега:

$V_{сбл} = V_{по\ теч} + V_{против\ теч} = (V_{соб} + V_{теч}) + (V_{соб} - V_{теч}) = 2 \times V_{соб}$

Как видно из формулы, скорость сближения пловцов не зависит от скорости течения реки. Она равна удвоенной собственной скорости пловцов.

Рассчитаем скорость сближения:

$V_{сбл} = 2 \times 3,6 \text{ км/ч} = 7,2 \text{ км/ч}$

Теперь можем найти время до встречи по формуле $t = \frac{S}{V_{сбл}}$:

$t = \frac{10,8 \text{ км}}{7,2 \text{ км/ч}} = 1,5 \text{ ч}$

Результат не зависит от скорости течения, поэтому ответы для пунктов а) и б) будут одинаковыми. Проверим это, решив каждый пункт отдельно.

а)

Если скорость течения $V_{теч} = 2,4$ км/ч:

1. Скорость пловца по течению: $V_{по\ теч} = 3,6 + 2,4 = 6,0$ км/ч.

2. Скорость пловца против течения: $V_{против\ теч} = 3,6 - 2,4 = 1,2$ км/ч.

3. Скорость сближения: $V_{сбл} = 6,0 + 1,2 = 7,2$ км/ч.

4. Время до встречи: $t = \frac{S}{V_{сбл}} = \frac{10,8}{7,2} = 1,5$ ч.

Ответ: 1,5 ч.

б)

Если скорость течения $V_{теч} = 3,2$ км/ч:

1. Скорость пловца по течению: $V_{по\ теч} = 3,6 + 3,2 = 6,8$ км/ч.

2. Скорость пловца против течения: $V_{против\ теч} = 3,6 - 3,2 = 0,4$ км/ч.

3. Скорость сближения: $V_{сбл} = 6,8 + 0,4 = 7,2$ км/ч.

4. Время до встречи: $t = \frac{S}{V_{сбл}} = \frac{10,8}{7,2} = 1,5$ ч.

Ответ: 1,5 ч.

Есть ли лишние данные в условии задачи?

Да, есть. Лишними данными является скорость течения реки ($2,4$ км/ч и $3,2$ км/ч). Как было показано в общем решении, при движении двух тел навстречу друг другу в среде (в данном случае, в реке), скорость среды (течения) не влияет на время их встречи. Увеличение скорости одного пловца за счет течения компенсируется уменьшением скорости другого на ту же величину, поэтому их суммарная скорость сближения остается постоянной и равной $2 \times V_{соб}$.