Номер 6.292, страница 133, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

47. Умножение на десятичную дробь. § 6. Десятичные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 6.292, страница 133.

6.292 Почему приписывание справа нулей к натуральному числу увеличивает его значение, а приписывание к десятичной дроби не меняет её значения?

Этот эффект объясняется принципами позиционной десятичной системы счисления, в которой значение каждой цифры определяется её положением (разрядом) в числе.

Приписывание нулей к натуральному числу

В натуральных числах разряды считаются справа налево: единицы, десятки, сотни и так далее. Каждый следующий разряд в 10 раз больше предыдущего. Например, число 45 можно представить как сумму разрядных слагаемых: $4 \cdot 10 + 5 \cdot 1$.

Когда мы приписываем справа ноль, например, к числу 45, мы получаем 450. В новом числе все предыдущие цифры сдвигаются на один разряд влево. Цифра 5, которая была в разряде единиц, теперь находится в разряде десятков. Цифра 4, бывшая в разряде десятков, теперь в разряде сотен. Новый ноль занимает разряд единиц.

Новое число 450 можно представить так: $4 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 0 \cdot 1$. Сравнивая с исходным числом, мы видим, что значение каждой цифры (кроме нового нуля) увеличилось в 10 раз, и, следовательно, всё число увеличилось в 10 раз: $450 = 45 \cdot 10$.

Приписывание двух нулей увеличит число в 100 раз ($4500 = 45 \cdot 100$), и так далее.

Ответ: Приписывание нуля справа к натуральному числу сдвигает все его цифры на один разряд влево, увеличивая их весовое значение в 10 раз, что равносильно умножению всего числа на 10.

Приписывание нулей к десятичной дроби

В десятичных дробях разряды после запятой (десятичной точки) называются десятые, сотые, тысячные и так далее. Их значение определяется положением относительно запятой. Например, в дроби 0,75 цифра 7 стоит в разряде десятых ($\frac{7}{10}$), а цифра 5 — в разряде сотых ($\frac{5}{100}$). Значение дроби: $0,75 = \frac{7}{10} + \frac{5}{100}$.

Когда мы приписываем ноль справа к десятичной дроби, например, к 0,75, мы получаем 0,750. Положение исходных цифр 7 и 5 относительно запятой не меняется. Они по-прежнему находятся в разрядах десятых и сотых. Добавленный ноль занимает следующий, более мелкий разряд — тысячных.

Значение новой дроби 0,750 будет: $0,750 = \frac{7}{10} + \frac{5}{100} + \frac{0}{1000}$. Так как последнее слагаемое равно нулю, сумма не изменяется.

Это также можно увидеть, представив дроби в виде обыкновенных:
$0,75 = \frac{75}{100}$
$0,750 = \frac{750}{1000}$
Если сократить дробь $\frac{750}{1000}$, разделив числитель и знаменатель на 10, мы получим $\frac{75}{100}$. Таким образом, $0,75 = 0,750$.

Ответ: Приписывание нуля справа к десятичной дроби не меняет её значения, так как это не изменяет положения и, соответственно, разрядных значений существующих цифр. Это равносильно добавлению слагаемого, равного нулю, или умножению числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на 10, что не меняет величину дроби.