Страница 136, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.33 Раствор состоит из 3 частей соли и 22 частей воды (по массе). Чему равна масса всего раствора, если воды в нём на 380 г больше, чем соли?

Решение
Для решения задачи введем понятие "часть". Пусть масса одной части составляет $x$ граммов.

Согласно условию, раствор состоит из 3 частей соли и 22 частей воды. Значит, масса соли в растворе равна $3x$ граммов, а масса воды — $22x$ граммов.

В задаче сказано, что масса воды на 380 г больше массы соли. На основании этого мы можем составить уравнение:
$Масса\ воды - Масса\ соли = 380$
$22x - 3x = 380$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти массу одной части ($x$):
$19x = 380$
$x = \frac{380}{19}$
$x = 20$
Следовательно, масса одной части составляет 20 г.

Чтобы найти массу всего раствора, нужно сначала определить общее количество частей, из которых он состоит:
$Общее\ количество\ частей = 3\ (соль) + 22\ (вода) = 25\ частей$

Зная массу одной части, мы можем вычислить общую массу раствора:
$Масса\ всего\ раствора = Общее\ количество\ частей \times Масса\ одной\ части$
$Масса\ всего\ раствора = 25 \times 20 = 500\ г$

Ответ: 500 г.

4.34 У Павлика и Ромы была удачная рыбалка. Они поймали 12 окуней, 18 плотвичек и 10 подлещиков. Сколько рыб поймал каждый, если улов Павлика оказался в 4 раза меньше улова Ромы?

1. Найдем общее количество пойманной рыбы.

Для этого нужно сложить количество всех видов рыб, которые поймали мальчики:

$12 \text{ (окуней)} + 18 \text{ (плотвичек)} + 10 \text{ (подлещиков)} = 40 \text{ (рыб)}$

Всего Павлик и Рома поймали 40 рыб.

2. Определим, сколько рыб поймал каждый.

Пусть $x$ — это количество рыб, которое поймал Павлик. По условию задачи, его улов в 4 раза меньше улова Ромы. Следовательно, Рома поймал в 4 раза больше рыб, то есть $4x$.

Вместе они поймали 40 рыб. Можем составить уравнение:

$x + 4x = 40$

Решим это уравнение:

$5x = 40$

$x = 40 / 5$

$x = 8$

Таким образом, Павлик поймал 8 рыб.

Теперь найдем, сколько рыб поймал Рома:

$4x = 4 \cdot 8 = 32$

Рома поймал 32 рыбы.

Проверка: $8 + 32 = 40$. Общее количество сходится.

Ответ: Павлик поймал 8 рыб, Рома поймал 32 рыбы.

4.35 Внучка моложе бабушки на 48 лет, а бабушка старше внучки в 5 раз. Сколько лет бабушке и сколько лет внучке?

Внучка - на 48 лет моложе

Бабушка, в 5 раз старше

Способ 1:

1) $5 - 1 = 4\left(\text{ч}\right)$ внучка моложе бабушки и они составляют 48 лет

2) $48 : 4 = 12\left(\text{лет}\right)$ - 1 часть

3) $1 · 12 = 12\left(\text{лет}\right)$ - внучке

4) $12 · 5 = (10 + 2) · 5 = 10 · 5 + 2 · 5 = 50 + 10 = 60\left(\text{лет}\right)$ - бабушке

Способ 2: (с помощью уравнения)

Пусть $x$ - возраст внучки, тогда

$5x$ - возраст бабушки. Внучка моложе бабушки на 48 лет.

$5x - x = 48$

$(5 - 1)x = 48$

$4x = 48$

$x = 48 : 4$

$x = 12$

12 лет внучке

$12 · 5 = 60(\text{л}.)$ - бабушке

Ответ: 60 лет бабушке и 12 лет внучке

4.35

Для решения этой задачи можно использовать один неизвестный. Пусть возраст внучки равен $x$ лет.

Из условия известно, что бабушка старше внучки в 5 раз. Следовательно, возраст бабушки можно выразить как $5x$ лет.

Также в условии сказано, что внучка моложе бабушки на 48 лет. Это означает, что разница между возрастом бабушки и возрастом внучки составляет 48 лет. Составим и решим уравнение на основе этой информации:

$5x - x = 48$

Выполним вычитание в левой части уравнения:

$4x = 48$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{48}{4}$

$x = 12$

Таким образом, возраст внучки составляет 12 лет.

Теперь, зная возраст внучки, мы можем найти возраст бабушки:

$5x = 5 \cdot 12 = 60$

Возраст бабушки — 60 лет.

Проверка:
1. Бабушка старше внучки на $60 - 12 = 48$ лет. Условие выполнено.
2. Бабушка старше внучки в $60 / 12 = 5$ раз. Условие выполнено.

Ответ: бабушке 60 лет, а внучке 12 лет.

4.36 Найдите корень уравнения:

а) (6x + 2x) • 17 = 136;

б) (9y - 4y) : 17 = 10;

в) (9a + a) : 13 = 20;

г) 132 : (12b - b) = 4.

а) $(6x + 2x) \cdot 17 = 136$

Сначала упростим выражение в скобках, сложив подобные слагаемые:

$6x + 2x = 8x$

Уравнение принимает вид:

$8x \cdot 17 = 136$

Чтобы найти неизвестный множитель $8x$, нужно произведение $136$ разделить на известный множитель $17$:

$8x = 136 : 17$

$8x = 8$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно произведение $8$ разделить на известный множитель $8$:

$x = 8 : 8$

$x = 1$

Ответ: $1$

б) $(9y - 4y) : 17 = 10$

Сначала упростим выражение в скобках, выполнив вычитание:

$9y - 4y = 5y$

Уравнение принимает вид:

$5y : 17 = 10$

В этом уравнении $5y$ является неизвестным делимым. Чтобы его найти, нужно частное $10$ умножить на делитель $17$:

$5y = 10 \cdot 17$

$5y = 170$

Теперь найдем $y$, разделив $170$ на $5$:

$y = 170 : 5$

$y = 34$

Ответ: $34$

в) $(9a + a) : 13 = 20$

Упростим выражение в скобках (помним, что $a$ это то же самое, что и $1a$):

$9a + a = 10a$

Уравнение принимает вид:

$10a : 13 = 20$

Здесь $10a$ — неизвестное делимое. Чтобы его найти, умножим частное $20$ на делитель $13$:

$10a = 20 \cdot 13$

$10a = 260$

Теперь найдем $a$, разделив $260$ на $10$:

$a = 260 : 10$

$a = 26$

Ответ: $26$

г) $132 : (12b - b) = 4$

Упростим выражение в скобках:

$12b - b = 11b$

Уравнение принимает вид:

$132 : (11b) = 4$

В данном случае выражение $11b$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое $132$ разделить на частное $4$:

$11b = 132 : 4$

$11b = 33$

Теперь найдем $b$, разделив $33$ на $11$:

$b = 33 : 11$

$b = 3$

Ответ: $3$

4.37 Найдите значение выражения:

а) 161 460 : 78 • 106;

б) 106 920 : 99 • 202.

а) $161460 : 78·106 = 219420$

$\text{1)}\begin{array}{lr}\stackrel{\_}{161460}& \text{|}78\hfill \\ - 156& \text{|}2070\hfill \\ \text{ ————}& \text{|}\hfill \\ 546& \\ - 546& \\ \text{ ————}& \\ 0& \end{array}$

$\text{2)}\begin{array}{r}\times 106\\ 2070\\ \text{————}\\ 742\\ + 212\\ \text{————}\\ 219420\end{array}$

б) $106920 : 99·202 = 218160$

$\text{1)}\begin{array}{lr}\stackrel{\_}{106920}& \text{|}99\hfill \\ - 99& \text{|}1080\hfill \\ \text{ ——}& \text{|}\hfill \\ 792& \\ - 792& \\ \text{ ————}& \\ 0& \end{array}$

$\text{2)}\begin{array}{r}\times 202\\ 1080\\ \text{————}\\ 1616\\ + 202\\ \text{————}\\ 218160\end{array}$

а) Для нахождения значения выражения $161\;460 : 78 \cdot 106$ необходимо выполнить действия в правильном порядке. В выражениях без скобок, содержащих только умножение и деление, действия выполняются по порядку слева направо.

1. Первое действие – деление:

$161\;460 : 78 = 2070$

2. Второе действие – умножение результата на $106$:

$2070 \cdot 106 = 219\;420$

Таким образом, итоговое значение выражения равно $219\;420$.

Ответ: $219\;420$.

б) Для нахождения значения выражения $106\;920 : 99 \cdot 202$ также выполняем действия по порядку слева направо.

1. Первое действие – деление:

$106\;920 : 99 = 1080$

2. Второе действие – умножение результата на $202$:

$1080 \cdot 202 = 218\;160$

Таким образом, итоговое значение выражения равно $218\;160$.

Ответ: $218\;160$.

Из одного города одновременно выехали два автомобиля. Скорость одного v₁ км/ч, другого - v₂ км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через t ч?

1 Составьте формулу для нахождения расстояния s_п между автомобилями, если автомобили движутся в противоположных направлениях.

v₁ км/ч <

v₂ км/ч >

$S_{п}$ -? через $t_2$

$S_{п} = \left(v_1 + v_2\right) · t$

1

Для того чтобы составить формулу для нахождения расстояния между автомобилями, рассмотрим движение каждого из них.

Обозначим:

• $v_1$ (км/ч) — скорость первого автомобиля.
• $v_2$ (км/ч) — скорость второго автомобиля.
• $t$ (ч) — время в пути.
• $s_п$ (км) — расстояние между автомобилями через время $t$.

Расстояние, которое проедет первый автомобиль за время $t$, равно $s_1 = v_1 \cdot t$.

Расстояние, которое проедет второй автомобиль за то же время $t$, равно $s_2 = v_2 \cdot t$.

Поскольку автомобили выехали из одной точки и движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними будет равно сумме расстояний, пройденных каждым автомобилем от точки старта.

То есть, искомое расстояние $s_п$ можно найти по формуле:
$s_п = s_1 + s_2$

Подставив выражения для $s_1$ и $s_2$, получим:
$s_п = (v_1 \cdot t) + (v_2 \cdot t)$

В этом выражении можно вынести общий множитель $t$ за скобки, получив окончательную формулу:
$s_п = (v_1 + v_2) \cdot t$

Величина $(v_1 + v_2)$ называется скоростью удаления. Она показывает, на сколько километров увеличивается расстояние между автомобилями за один час.

Ответ: $s_п = (v_1 + v_2) \cdot t$

2 Составьте формулу для нахождения расстояния s_од между автомобилями, если автомобили будут двигаться в одном направлении и v₁ < v₂.

$v_1\text{ км}/\text{ч}$ $S_1$ $S_{OA}$ - ? через $t_2$

$v_2\text{ км}/\text{ч}$ $S_2$

$v_1<v_2$

$S_{OA} = \frac{v_2 - v_1}{t}$

2

Чтобы составить формулу для нахождения расстояния $s_{од}$ между двумя автомобилями, которые движутся в одном направлении, необходимо рассмотреть их скорости, время движения и начальное расстояние между ними.

Введем обозначения:
$v_1$ — скорость первого автомобиля;
$v_2$ — скорость второго автомобиля;
$t$ — время движения;
$s_0$ — начальное расстояние между автомобилями.
По условию, автомобили движутся в одном направлении и $v_1 < v_2$.

Так как автомобили движутся в одном направлении, а скорость второго автомобиля больше, он будет либо догонять первый автомобиль, либо удаляться от него. Скорость, с которой изменяется расстояние между ними (относительная скорость), равна разности их скоростей:

$v_{отн} = v_2 - v_1$

Изменение расстояния за время $t$ составит $\Delta s = v_{отн} \cdot t = (v_2 - v_1)t$.

В зависимости от того, какой автомобиль изначально находится впереди, возможны два основных сценария:

1. Движение с удалением

Если более быстрый автомобиль (второй) изначально находится впереди более медленного (первого), то расстояние между ними будет постоянно увеличиваться. Итоговое расстояние $s_{од}$ будет равно сумме начального расстояния $s_0$ и расстояния, на которое они дополнительно удалились друг от друга за время $t$.

Формула для этого случая:
$s_{од} = s_0 + (v_2 - v_1)t$

2. Движение вдогонку

Если более медленный автомобиль (первый) изначально находится впереди, а более быстрый (второй) — позади на расстоянии $s_0$, то второй автомобиль будет догонять первый. Расстояние между ними будет сокращаться. Итоговое расстояние $s_{од}$ будет равно разности начального расстояния и расстояния, на которое они сблизились за время $t$.

Формула для этого случая:
$s_{од} = s_0 - (v_2 - v_1)t$

Эта формула верна только до момента встречи автомобилей. Чтобы учесть также и движение после обгона, когда расстояние снова начнет увеличиваться, можно использовать знак модуля. Такая формула будет универсальной для случая, когда быстрый автомобиль находится сзади:

$s_{од} = |s_0 - (v_2 - v_1)t|$

Поскольку в условии задачи не уточнено начальное положение автомобилей, в ответе следует указать формулы для обоих основных случаев.

Ответ: Формула для нахождения расстояния между автомобилями зависит от их начального расположения. Пусть $s_0$ — начальное расстояние между ними.
1. Если более быстрый автомобиль (со скоростью $v_2$) находится впереди (движение с удалением), формула: $s_{од} = s_0 + (v_2 - v_1)t$.
2. Если более быстрый автомобиль (со скоростью $v_2$) находится позади (движение вдогонку), универсальная формула: $s_{од} = |s_0 - (v_2 - v_1)t|$.

3 Составьте формулу для нахождения расстояния s_од между автомобилями, если автомобили будут двигаться в одном направлении и v₂ < v₁.

$v_1$ км/ч $S_1$ $S_{OA}$ - ? через $t$ч

$v_2$ км/ч $S_2$

$v_2<v_1$

$S_{OA} = \left(v_1 - v_2\right)t$

Для того чтобы составить формулу для нахождения расстояния $s_{од}$ между двумя автомобилями, движущимися в одном направлении, введем обозначения. Пусть $v_1$ — скорость первого автомобиля, $v_2$ — скорость второго автомобиля, и $t$ — время движения. Согласно условию, $v_2 < v_1$, то есть первый автомобиль движется быстрее второго.

Когда два объекта движутся в одном направлении, скорость, с которой изменяется расстояние между ними (относительная скорость), равна модулю разности их скоростей. Поскольку по условию $v_1 > v_2$, эта относительная скорость будет равна:
$v_{отн} = v_1 - v_2$

Эта величина показывает, на сколько единиц длины (например, километров) расстояние между автомобилями изменяется за единицу времени. Так как $v_1 > v_2$, более быстрый автомобиль либо догоняет более медленного (если находится позади), либо удаляется от него (если находится впереди).

Итоговая формула для расстояния $s_{од}$ зависит от начальных условий. Однако, если в задаче не указано начальное расстояние между объектами ($s_0$), обычно подразумевается самый простой случай: автомобили начинают движение одновременно из одной точки.

Примем, что в начальный момент времени ($t=0$) оба автомобиля находились в одной точке. За время $t$ первый (более быстрый) автомобиль проедет расстояние $s_1 = v_1 t$. Второй (более медленный) автомобиль за то же время проедет расстояние $s_2 = v_2 t$.

Так как они движутся по одной прямой в одном направлении, расстояние $s_{од}$ между ними в любой момент времени $t$ будет равно разности пройденных ими путей:
$s_{од} = s_1 - s_2$

Подставим выражения для $s_1$ и $s_2$ в эту формулу:
$s_{од} = v_1 t - v_2 t$

Вынося общий множитель $t$ за скобки, получаем искомую формулу. Эта формула показывает, как со временем увеличивается расстояние между автомобилями, если они стартовали из одной точки.

Ответ: $s_{од} = (v_1 - v_2)t$

4 Заполните таблицу.

1) $S_{\text{П}} = (60 + 55)·3 = 60·3 + 55·3 = 180 + (50 + 5)·3 = 180 + 50·3 + 5·3 = 180 + 150 + 15 = 330 + 15 = 345\left(\text{км}\right)$

$S_{\text{ДА}} = (60 - 55)·3 = 5·3 = 15\left(\text{км}\right)$

2) $S_{\text{П}} = (70 + 70)·2 = 70·2 + 70·2 = 140 + 140 = 280\left(\text{км}\right)$

$S_{\text{ДА}} = (70 - 70)·2 = 0·2 = 0\left(\text{км}\right)$

3) $S_{\text{П}} = (75 + 65)·4 = 140·4 = (100 + 40)·4 = 100·4 + 40·4 = 400 + 160 = 560\left(\text{км}\right)$

$S_{\text{ДА}} = (75 - 65)·4 = 10·4 = 40\left(\text{км}\right)$

4) $S_{\text{П}} = (65 + 75)·4 = 140·4 = 560\left(\text{км}\right)$

$S_{\text{ДА}} = (75 - 65)·4 = 10·4 = 40\left(\text{км}\right)$

5) $S_{\text{П}} = (48 + 56)·5 = 48·5 + 56·5 = 240 + 280 = 520\left(\text{км}\right)$

$\begin{array}{r}48\\ \times 5\\ \text{―}\\ 240\end{array}\begin{array}{r}56\\ \times 5\\ \text{―}\\ 280\end{array}\begin{array}{r}\text{①}\\ 240\\ + 280\\ \text{―}\\ 520\end{array}$

$S_{\text{ДА}} = (56 - 48)·5 = 8·5 = 40\left(\text{км}\right)$

Для заполнения таблицы необходимо рассчитать два вида расстояний для каждого столбца, которые зависят от скоростей объектов ($v_1$, $v_2$) и времени их движения ($t$). В задаче, по-видимому, рассматриваются два стандартных случая относительного движения:

• $s_у$ — это расстояние, на которое объекты удалятся друг от друга при движении в противоположных направлениях. В этом случае их скорости складываются (скорость удаления). Формула для расчета: $s_у = (v_1 + v_2) \cdot t$.
• $s_{сбл}$ — это изменение расстояния между объектами при движении в одном направлении. В этом случае их относительная скорость (скорость сближения или удаления) равна модулю разности скоростей. Формула для расчета: $s_{сбл} = |v_1 - v_2| \cdot t$.

Выполним расчеты для каждого столбца таблицы.

Расчет для первого столбца

Дано: $v_1 = 60$ км/ч, $v_2 = 55$ км/ч, $t = 3$ ч.

1. Расстояние удаления при движении в противоположных направлениях:

$s_у = (60 + 55) \cdot 3 = 115 \cdot 3 = 345$ км.

2. Изменение расстояния при движении в одном направлении:

$s_{сбл} = |60 - 55| \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$ км.

Ответ: $s_у = 345$ км, $s_{сбл} = 15$ км.

Расчет для второго столбца

Дано: $v_1 = 70$ км/ч, $v_2 = 70$ км/ч, $t = 2$ ч.

1. Расстояние удаления при движении в противоположных направлениях:

$s_у = (70 + 70) \cdot 2 = 140 \cdot 2 = 280$ км.

2. Изменение расстояния при движении в одном направлении:

$s_{сбл} = |70 - 70| \cdot 2 = 0 \cdot 2 = 0$ км.

Ответ: $s_у = 280$ км, $s_{сбл} = 0$ км.

Расчет для третьего столбца

Дано: $v_1 = 75$ км/ч, $v_2 = 65$ км/ч, $t = 4$ ч.

1. Расстояние удаления при движении в противоположных направлениях:

$s_у = (75 + 65) \cdot 4 = 140 \cdot 4 = 560$ км.

2. Изменение расстояния при движении в одном направлении:

$s_{сбл} = |75 - 65| \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$ км.

Ответ: $s_у = 560$ км, $s_{сбл} = 40$ км.

Расчет для четвертого столбца

Дано: $v_1 = 65$ км/ч, $v_2 = 75$ км/ч, $t = 4$ ч.

1. Расстояние удаления при движении в противоположных направлениях:

$s_у = (65 + 75) \cdot 4 = 140 \cdot 4 = 560$ км.

2. Изменение расстояния при движении в одном направлении:

$s_{сбл} = |65 - 75| \cdot 4 = |-10| \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$ км.

Ответ: $s_у = 560$ км, $s_{сбл} = 40$ км.

Расчет для пятого столбца

Дано: $v_1 = 48$ км/ч, $v_2 = 56$ км/ч, $t = 5$ ч.

1. Расстояние удаления при движении в противоположных направлениях:

$s_у = (48 + 56) \cdot 5 = 104 \cdot 5 = 520$ км.

2. Изменение расстояния при движении в одном направлении:

$s_{сбл} = |48 - 56| \cdot 5 = |-8| \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40$ км.

Ответ: $s_у = 520$ км, $s_{сбл} = 40$ км.

Заполненная таблица: