Страница 148, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.126 Из одинаковых блоков длиной 120мм, шириной 90мм и высотой 60мм сложили фигуру, изображённую на рисунке 4.23. Найдите площадь поверхности этой фигуры.

120 мм = 12 см, 90 мм = 9см,

60 мм = 6 см

1) $12 · 6 · 2 + 12 · 9 · 2 + 6 · 9 · 2 =$

$(12 · 6 + 12 · 9 + 6 · 9) · 2 = (72 + 108 + 54) · 2 =$

$(180 + 54) · 2 = 468\text{(}{\text{см}}^2\text{)}$ - S поверхности одного блока

+

180

54

---

234

x

234

2

---

468

2) $468 · 4 = 1872\text{(}{\text{см}}^2\text{)}$ - S поверхности 4-х блоков

x

468

4

---

1872

3) Площадь заштрихованных граней не входит в площадь поверхности фигур. Найдем площади этих граней и вычтем их сумму из площади поверхности 4-х блоков, учитывая, что каждая грань является гранью двух соприкасающихся блоков.

$12 · 9 · 2 + 6 · 9 · 2 + 6 · 9 · 2 + 6 · 9 · 2 =$

$(12 · 9 + 6 · 9 + 6 · 9 + 6 · 9) · 2 =$

$(108 + 54 + 54 + 54) · 2 =$

$(108 + 54 · 3) · 2 = 540\text{(}{\text{см}}^2\text{)}$

x

54

3

---

162

+

108

162

---

270

x

270

2

---

540

4) $1872 - 540 = 1332\text{(}{\text{см}}^2\text{)}$

-

1872

540

----

1332

Ответ: 1332 см²

Для решения задачи необходимо найти площадь полной поверхности фигуры, составленной из трех одинаковых блоков. Размеры каждого блока: длина $a = 120$ мм, ширина $b = 90$ мм и высота $c = 60$ мм.

Будем использовать следующий метод: сначала вычислим суммарную площадь поверхности трех отдельных блоков, а затем вычтем из этого значения удвоенные площади тех граней, по которым блоки соприкасаются друг с другом. Мы вычитаем удвоенную площадь, так как при соединении двух блоков скрываются две поверхности (по одной у каждого блока).

1. Вычисление площади поверхности одного блока

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S_{блок}$) находится по формуле:

$S_{блок} = 2(ab + ac + bc)$

Подставим значения размеров блока:

$S_{блок} = 2 \cdot (120 \cdot 90 + 120 \cdot 60 + 90 \cdot 60) = 2 \cdot (10800 + 7200 + 5400) = 2 \cdot 23400 = 46800 \text{ мм}^2$.

2. Вычисление суммарной площади поверхности трех отдельных блоков

Общая площадь поверхности трех независимых блоков ($S_{общая}$) равна:

$S_{общая} = 3 \cdot S_{блок} = 3 \cdot 46800 = 140400 \text{ мм}^2$.

3. Определение площадей соприкосновения (стыков)

Из рисунка видно, что высокая часть фигуры состоит из двух блоков, поставленных друг на друга, а низкая часть — из одного. Высота низкой части равна высоте одного блока, а высота высокой части — высоте двух. Это означает, что все три блока ориентированы так, что их высота равна $60$ мм. При этом блоки в высокой части (справа) повернуты: их длина (лицевая сторона) равна $90$ мм, а глубина (ширина) — $120$ мм. Блок в низкой части (слева) имеет длину $120$ мм и ширину $90$ мм.

Таким образом, в фигуре существует два вида соприкосновения:

Стык 1: Между двумя блоками в высокой башне (один стоит на другом). Площадь этого стыка равна площади основания этих блоков.

$S_{стык1} = 90 \cdot 120 = 10800 \text{ мм}^2$.

Стык 2: Между нижним блоком башни и левым блоком. Они соприкасаются боковыми гранями. Площадь этого стыка равна площади боковой грани левого блока.

$S_{стык2} = 90 \cdot 60 = 5400 \text{ мм}^2$.

4. Расчет итоговой площади поверхности фигуры

Теперь вычтем удвоенные площади стыков из общей площади трех блоков:

$S_{фигуры} = S_{общая} - 2 \cdot S_{стык1} - 2 \cdot S_{стык2}$

$S_{фигуры} = 140400 - 2 \cdot 10800 - 2 \cdot 5400 = 140400 - 21600 - 10800 = 108000 \text{ мм}^2$.

Ответ: $108000 \text{ мм}^2$.

4.127 Необходимо оклеить снаружи подарочную коробку без крышки. Длина коробки 35 см, ширина 20 см и высота 18 см. Какое наименьшее количество листов размером 30 × 21 см понадобится для этого?

Для решения данной задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов: рассчитать площадь поверхности коробки, которую нужно оклеить, найти площадь одного листа бумаги и затем определить минимальное количество листов.

1. Вычисление площади поверхности коробки для оклейки

Подарочная коробка представляет собой прямоугольный параллелепипед без крышки. Это означает, что для оклейки доступны её дно и четыре боковые стенки. Размеры коробки заданы: длина $l = 35$ см, ширина $w = 20$ см и высота $h = 18$ см.

Площадь поверхности для оклейки ($S_{общая}$) складывается из площади дна ($S_{дна}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

• Площадь дна вычисляется как произведение длины на ширину:

  $S_{дна} = l \times w = 35 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 700 \text{ см}^2$

• Площадь боковой поверхности состоит из двух пар прямоугольных стенок: двух длинных (длина ? высота) и двух коротких (ширина ? высота).

  $S_{бок} = 2 \times (l \times h) + 2 \times (w \times h) = 2 \times (35 \times 18) + 2 \times (20 \times 18)$

  $S_{бок} = 2 \times 630 + 2 \times 360 = 1260 + 720 = 1980 \text{ см}^2$

Теперь найдем общую площадь, которую необходимо оклеить:

$S_{общая} = S_{дна} + S_{бок} = 700 \text{ см}^2 + 1980 \text{ см}^2 = 2680 \text{ см}^2$

2. Вычисление площади одного листа бумаги

Размеры одного листа бумаги составляют 30 см ? 21 см. Его площадь ($S_{листа}$) равна:

$S_{листа} = 30 \text{ см} \times 21 \text{ см} = 630 \text{ см}^2$

3. Определение наименьшего количества листов

Чтобы найти минимальное количество листов, необходимое для оклейки, разделим общую площадь поверхности коробки на площадь одного листа. Это даст нам теоретический минимум, при условии, что бумага может быть использована без потерь.

Количество листов = $\frac{S_{общая}}{S_{листа}} = \frac{2680}{630} \approx 4.254$

Так как количество листов не может быть дробным, мы должны округлить это число в большую сторону. Проверим, хватит ли 4 листов:

Общая площадь 4 листов: $4 \times 630 \text{ см}^2 = 2520 \text{ см}^2$.

Поскольку $2520 \text{ см}^2 < 2680 \text{ см}^2$, четырех листов бумаги недостаточно.

Следовательно, минимально необходимое количество листов — 5. Их общая площадь составит:

Общая площадь 5 листов: $5 \times 630 \text{ см}^2 = 3150 \text{ см}^2$.

Эта площадь ($3150 \text{ см}^2$) превышает требуемую ($2680 \text{ см}^2$), что подтверждает, что 5 листов по площади достаточно. Учитывая, что стороны коробки длиной 35 см больше любой из сторон листа, для оклейки дна и длинных боковых граней потребуется разрезать бумагу на части, но 5 листов позволяют это сделать.

Ответ: Наименьшее количество листов, которое понадобится для этого, равно 5.

4.128 Найдите площадь поверхности куба с ребром 6 дм.

4.128

Площадь полной поверхности куба — это сумма площадей всех его граней. Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых представляет собой квадрат.

Пусть $a$ — это длина ребра куба. Согласно условию задачи, $a = 6 \text{ дм}$.

1. Сначала вычислим площадь одной грани ($S_{грани}$). Так как грань является квадратом, её площадь находится по формуле:
$S_{грани} = a^2$
Подставим значение длины ребра:
$S_{грани} = 6^2 = 36 \text{ дм}^2$.

2. Теперь найдем площадь всей поверхности куба ($S_{полная}$), умножив площадь одной грани на количество граней, то есть на 6:
$S_{полная} = 6 \times S_{грани}$
$S_{полная} = 6 \times 36 = 216 \text{ дм}^2$.

Ответ: $216 \text{ дм}^2$.

4.129 Комнату длиной 5 м, шириной 4 м и высотой 3 м требуется оклеить обоями. Рулон обоев имеет размеры 1м в ширину и 10 м в длину. Какое наименьшее количество рулонов нужно закупить для оклейки комнаты, если в комнате есть окно площадью 3 м² и дверь площадью 2 м²²?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала рассчитать общую площадь стен, затем вычесть из нее площадь окна и двери, чтобы получить площадь для оклейки, и, наконец, разделить эту площадь на площадь одного рулона обоев.

1. Расчет общей площади стен.

Площадь стен комнаты (боковая поверхность) вычисляется по формуле $S_{стен} = P \times h$, где $P$ — это периметр основания (пола), а $h$ — высота комнаты.

Сначала находим периметр комнаты:

$P = 2 \times (длина + ширина) = 2 \times (5 \text{ м} + 4 \text{ м}) = 2 \times 9 \text{ м} = 18 \text{ м}$.

Теперь вычисляем общую площадь стен, умножая периметр на высоту:

$S_{стен} = 18 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 54 \text{ м}^2$.

2. Расчет площади для оклейки.

Из общей площади стен нужно вычесть площади окна и двери, так как эти участки не оклеиваются.

$S_{оклейки} = S_{стен} - S_{окна} - S_{двери}$

$S_{оклейки} = 54 \text{ м}^2 - 3 \text{ м}^2 - 2 \text{ м}^2 = 49 \text{ м}^2$.

3. Расчет площади одного рулона обоев.

Площадь одного рулона равна произведению его длины на ширину.

$S_{рулона} = 10 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 10 \text{ м}^2$.

4. Расчет необходимого количества рулонов.

Чтобы найти минимальное количество рулонов, нужно разделить площадь для оклейки на площадь одного рулона.

Количество рулонов = $\frac{S_{оклейки}}{S_{рулона}} = \frac{49 \text{ м}^2}{10 \text{ м}^2} = 4.9$.

Поскольку рулоны обоев продаются только целиком, необходимо округлить полученное значение в большую сторону до ближайшего целого числа. Таким образом, 4.9 округляется до 5.

Ответ: 5 рулонов.

4.130 Составьте формулу площади S поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого:

а) длина равна 8, ширина - 7, высота - h;

б) длина равна 13, ширина - m, высота - h;

в) длина равна n, ширина - m, высота - h;

г) длина равна n, ширина и высота равны m

д) длина, ширина и высота равны n.

Площадь поверхности $S$ прямоугольного параллелепипеда с измерениями (длиной, шириной и высотой) $a, b, c$ вычисляется как сумма площадей всех его шести граней. Поскольку противоположные грани равны, формула имеет вид:
$S = 2(ab + ac + bc)$
Применим эту общую формулу для каждого из указанных случаев.

а) Длина равна 8, ширина — 7, высота — $h$.
Пусть $a = 8$, $b = 7$, $c = h$. Подставим эти значения в формулу:
$S = 2(8 \cdot 7 + 8 \cdot h + 7 \cdot h)$
Выполним вычисления и упростим выражение:
$S = 2(56 + 15h)$
$S = 112 + 30h$
Ответ: $S = 112 + 30h$

б) Длина равна 13, ширина — $m$, высота — $h$.
Пусть $a = 13$, $b = m$, $c = h$. Подставим эти значения в формулу:
$S = 2(13 \cdot m + 13 \cdot h + m \cdot h)$
В данном случае дальнейшее упрощение выражения в скобках невозможно.
Ответ: $S = 2(13m + 13h + mh)$

в) Длина равна $n$, ширина — $m$, высота — $h$.
Пусть $a = n$, $b = m$, $c = h$. Это самый общий случай.
Подставляем значения в формулу:
$S = 2(n \cdot m + n \cdot h + m \cdot h)$
Ответ: $S = 2(nm + nh + mh)$

г) Длина равна $n$, ширина и высота равны $m$.
Пусть $a = n$, $b = m$, $c = m$. Подставим эти значения в формулу:
$S = 2(n \cdot m + n \cdot m + m \cdot m)$
Упростим выражение в скобках:
$S = 2(2nm + m^2)$
Можно также раскрыть скобки:
$S = 4nm + 2m^2$
Ответ: $S = 4nm + 2m^2$

д) Длина, ширина и высота равны $n$.
В этом случае параллелепипед является кубом со стороной $n$.
Пусть $a = n$, $b = n$, $c = n$. Подставим эти значения в формулу:
$S = 2(n \cdot n + n \cdot n + n \cdot n)$
Упростим выражение:
$S = 2(n^2 + n^2 + n^2) = 2(3n^2)$
$S = 6n^2$
Это известная формула площади поверхности куба.
Ответ: $S = 6n^2$

4.131 Вычислите.

а) Выполним последовательно все арифметические операции, указанные в примере:

1. Умножение: $4 \cdot 16 = 64$
2. Сложение: $64 + 11 = 75$
3. Деление: $75 : 15 = 5$
4. Умножение: $5 \cdot 2 = 10$
5. Деление: $10 : 2 = 5$

Ответ: 5

б) Выполним последовательно все арифметические операции, указанные в примере:

1. Умножение: $19 \cdot 3 = 57$
2. Вычитание: $57 - 9 = 48$
3. Деление: $48 : 12 = 4$
4. Умножение: $4 \cdot 25 = 100$
5. Деление: $100 : 50 = 2$

Ответ: 2

в) Выполним последовательно все арифметические операции, указанные в примере:

1. Умножение: $32 \cdot 3 = 96$
2. Деление: $96 : 48 = 2$
3. Умножение: $2 \cdot 15 = 30$
4. Умножение: $30 \cdot 3 = 90$
5. Деление: $90 : 45 = 2$

Ответ: 2

г) Выполним последовательно все арифметические операции, указанные в примере:

1. Умножение: $4 \cdot 14 = 56$
2. Сложение: $56 + 40 = 96$
3. Деление: $96 : 48 = 2$
4. Умножение: $2 \cdot 35 = 70$
5. Деление: $70 : 5 = 14$

Ответ: 14

д) Выполним последовательно все арифметические операции, указанные в примере:

1. Умножение: $2 \cdot 26 = 52$
2. Вычитание: $52 - 7 = 45$
3. Деление: $45 : 3 = 15$
4. Умножение: $15 \cdot 6 = 90$
5. Деление: $90 : 5 = 18$

Ответ: 18

4.132 Выполните действие деления:

а) 5418 : 18;

б) 3939 : 13;

в) 6075 : 15;

г) 3248 : 16;

д) 2392 : 8.

б) $3939 : 13 = 303$

в) $6075 : 15 = 405$

г) $3248 : 16 = 203$

д) $2392 : 8 = 299$

а) 5418 : 18

Для решения выполним деление столбиком.
1. Находим первое неполное делимое. 5 на 18 не делится, берем 54. Делим 54 на 18, получаем 3. Записываем 3 в частное. Умножаем $3 \times 18 = 54$. Вычитаем 54 из 54, получаем 0.
2. Сносим следующую цифру делимого — 1. 1 меньше 18, поэтому в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру — 8. Получаем число 18. Делим 18 на 18, получаем 1. Записываем 1 в частное. Умножаем $1 \times 18 = 18$. Вычитаем 18 из 18, получаем 0. Деление завершено.
В результате получаем: $5418 : 18 = 301$.

Ответ: 301

б) 3939 : 13

Выполним деление столбиком.
1. Находим первое неполное делимое. 3 на 13 не делится, берем 39. Делим 39 на 13, получаем 3. Записываем 3 в частное. Умножаем $3 \times 13 = 39$. Вычитаем 39 из 39, получаем 0.
2. Сносим следующую цифру — 3. 3 меньше 13, поэтому в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру — 9. Получаем число 39. Делим 39 на 13, получаем 3. Записываем 3 в частное. Умножаем $3 \times 13 = 39$. Вычитаем 39 из 39, получаем 0. Деление завершено.
В результате получаем: $3939 : 13 = 303$.

Ответ: 303

в) 6075 : 15

Выполним деление столбиком.
1. Находим первое неполное делимое. 6 на 15 не делится, берем 60. Делим 60 на 15, получаем 4. Записываем 4 в частное. Умножаем $4 \times 15 = 60$. Вычитаем 60 из 60, получаем 0.
2. Сносим следующую цифру — 7. 7 меньше 15, поэтому в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру — 5. Получаем число 75. Делим 75 на 15, получаем 5. Записываем 5 в частное. Умножаем $5 \times 15 = 75$. Вычитаем 75 из 75, получаем 0. Деление завершено.
В результате получаем: $6075 : 15 = 405$.

Ответ: 405

г) 3248 : 16

Выполним деление столбиком.
1. Находим первое неполное делимое. 3 на 16 не делится, берем 32. Делим 32 на 16, получаем 2. Записываем 2 в частное. Умножаем $2 \times 16 = 32$. Вычитаем 32 из 32, получаем 0.
2. Сносим следующую цифру — 4. 4 меньше 16, поэтому в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру — 8. Получаем число 48. Делим 48 на 16, получаем 3. Записываем 3 в частное. Умножаем $3 \times 16 = 48$. Вычитаем 48 из 48, получаем 0. Деление завершено.
В результате получаем: $3248 : 16 = 203$.

Ответ: 203

д) 2392 : 8

Выполним деление столбиком.
1. Находим первое неполное делимое. 2 на 8 не делится, берем 23. Делим 23 на 8, получаем 2 (остаток 7). Записываем 2 в частное. Умножаем $2 \times 8 = 16$. Вычитаем 16 из 23, получаем 7.
2. Сносим следующую цифру — 9. Получаем число 79. Делим 79 на 8, получаем 9 (остаток 7). Записываем 9 в частное. Умножаем $9 \times 8 = 72$. Вычитаем 72 из 79, получаем 7.
3. Сносим следующую цифру — 2. Получаем число 72. Делим 72 на 8, получаем 9. Записываем 9 в частное. Умножаем $9 \times 8 = 72$. Вычитаем 72 из 72, получаем 0. Деление завершено.
В результате получаем: $2392 : 8 = 299$.

Ответ: 299

4.133 Сравните площади:

а) 11 см² и 1 дм²;

б) 40 м² и 4 а;

в) 6 м2 и 600 дм²;

г) 3 км² и 2 га.

а) Чтобы сравнить площади $11 \text{ см}^2$ и $1 \text{ дм}^2$, необходимо привести их к одинаковым единицам измерения. Мы знаем, что в 1 дециметре содержится 10 сантиметров. Следовательно, в 1 квадратном дециметре содержится $10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$.
Теперь сравним $11 \text{ см}^2$ и $100 \text{ см}^2$.
Так как $11 < 100$, то $11 \text{ см}^2 < 100 \text{ см}^2$, а это значит, что $11 \text{ см}^2 < 1 \text{ дм}^2$.
Ответ: $11 \text{ см}^2 < 1 \text{ дм}^2$.

б) Чтобы сравнить площади $40 \text{ м}^2$ и $4 \text{ а}$, приведем их к квадратным метрам. 1 ар (сотка) равен площади квадрата со стороной 10 метров, то есть $1 \text{ а} = 10 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 100 \text{ м}^2$.
Тогда 4 ара равны $4 \times 100 \text{ м}^2 = 400 \text{ м}^2$.
Теперь сравним $40 \text{ м}^2$ и $400 \text{ м}^2$.
Так как $40 < 400$, то $40 \text{ м}^2 < 400 \text{ м}^2$, а это значит, что $40 \text{ м}^2 < 4 \text{ а}$.
Ответ: $40 \text{ м}^2 < 4 \text{ а}$.

в) Чтобы сравнить площади $6 \text{ м}^2$ и $600 \text{ дм}^2$, приведем их к одинаковым единицам измерения. Мы знаем, что в 1 метре содержится 10 дециметров. Следовательно, в 1 квадратном метре содержится $10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$.
Тогда 6 квадратных метров равны $6 \times 100 \text{ дм}^2 = 600 \text{ дм}^2$.
Теперь сравним $600 \text{ дм}^2$ и $600 \text{ дм}^2$.
Эти величины равны.
Ответ: $6 \text{ м}^2 = 600 \text{ дм}^2$.

г) Чтобы сравнить площади $3 \text{ км}^2$ и $2 \text{ га}$, приведем их к одинаковым единицам измерения. Мы знаем, что 1 гектар (га) равен $10000 \text{ м}^2$, а 1 квадратный километр (км?) равен $1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1000000 \text{ м}^2$.
Соотношение между квадратными километрами и гектарами: $1 \text{ км}^2 = 1000000 \text{ м}^2 / 10000 \text{ м}^2 = 100 \text{ га}$.
Тогда 3 квадратных километра равны $3 \times 100 \text{ га} = 300 \text{ га}$.
Теперь сравним $300 \text{ га}$ и $2 \text{ га}$.
Так как $300 > 2$, то $300 \text{ га} > 2 \text{ га}$, а это значит, что $3 \text{ км}^2 > 2 \text{ га}$.
Ответ: $3 \text{ км}^2 > 2 \text{ га}$.

4.134 Чему равна сторона квадрата, если его площадь:

а) 9 м²;

б) 36 см²;

в) 64 дм²;

г) 1600 см²?

а) $9{м}^2 = 3м · 3м$

Ответ: 3м

б) $36{\mathrm{см}}^2 = 6\mathrm{см} · 6\mathrm{см}$

Ответ: 6см

в) $64{\mathrm{дм}}^2 = 8\mathrm{дм} · 8\mathrm{дм}$

Ответ: 8дм

г) $1600{\mathrm{см}}^2 = 40\mathrm{см} · 40\mathrm{см}$

Ответ: 40см

Чтобы найти сторону квадрата, зная его площадь, необходимо воспользоваться формулой площади квадрата: $S = a^2$, где $S$ – это площадь, а $a$ – это сторона квадрата. Выразив из этой формулы сторону, получаем: $a = \sqrt{S}$. Таким образом, для решения задачи нужно извлечь квадратный корень из заданных значений площади.

а) Дана площадь квадрата $S = 9 \text{ м}^2$.
Находим сторону квадрата:
$a = \sqrt{9 \text{ м}^2} = 3 \text{ м}$, так как $3^2 = 9$.
Ответ: 3 м.

б) Дана площадь квадрата $S = 36 \text{ см}^2$.
Находим сторону квадрата:
$a = \sqrt{36 \text{ см}^2} = 6 \text{ см}$, так как $6^2 = 36$.
Ответ: 6 см.

в) Дана площадь квадрата $S = 64 \text{ дм}^2$.
Находим сторону квадрата:
$a = \sqrt{64 \text{ дм}^2} = 8 \text{ дм}$, так как $8^2 = 64$.
Ответ: 8 дм.

г) Дана площадь квадрата $S = 1600 \text{ см}^2$.
Находим сторону квадрата:
$a = \sqrt{1600 \text{ см}^2} = 40 \text{ см}$, так как $40^2 = 1600$.
Ответ: 40 см.

4.135 Какими могут быть длина и ширина прямоугольного участка, если его площадь равна 1 км²? Приведите два примера.

Ответ: 100 м и 10 000 м или 500 м и 2 000 м

Площадь прямоугольного участка ($S$) вычисляется как произведение его длины ($a$) на ширину ($b$). Формула площади: $S = a \cdot b$.

По условию задачи, площадь участка равна 1 км?, то есть $a \cdot b = 1 \text{ км}^2$.

Нам нужно найти пары чисел, произведение которых равно 1. Таких пар бесконечно много. Приведем два примера.

Пример 1

Рассмотрим случай, когда участок является квадратом. У квадрата длина равна ширине ($a = b$).

Тогда $a \cdot a = 1 \text{ км}^2$, или $a^2 = 1 \text{ км}^2$.

Отсюда следует, что длина $a = 1 \text{ км}$ и ширина $b = 1 \text{ км}$.

Проверка: $1 \text{ км} \cdot 1 \text{ км} = 1 \text{ км}^2$.

Ответ: длина — 1 км, ширина — 1 км.

Пример 2

Выберем для длины другое значение, например, $a = 2 \text{ км}$.

Подставим это значение в формулу площади, чтобы найти ширину $b$:

$2 \text{ км} \cdot b = 1 \text{ км}^2$

Чтобы найти $b$, разделим площадь на известную длину:

$b = \frac{1 \text{ км}^2}{2 \text{ км}} = 0.5 \text{ км}$.

Таким образом, участок может иметь длину 2 км и ширину 0,5 км.

Проверка: $2 \text{ км} \cdot 0.5 \text{ км} = 1 \text{ км}^2$.

Ответ: длина — 2 км, ширина — 0,5 км.

4.136 Куб числа равен:

а) 64;

б) 1;

в) 125. Найдите число, которое возвели в куб.

Чтобы найти число, которое возвели в куб, необходимо выполнить операцию, обратную возведению в куб, то есть найти кубический корень из заданного числа. Задача состоит в том, чтобы для каждого заданного значения $y$ найти такое число $x$, что $x^3 = y$.

а)

Нам дано, что куб некоторого числа равен 64. Обозначим искомое число через $x$. Тогда должно выполняться равенство $x^3 = 64$. Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из 64: $x = \sqrt[3]{64}$. Путем подбора можно проверить несколько целых чисел: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$, $3^3 = 27$. Проверим число 4: $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$. Это соответствует условию. Значит, искомое число — 4.

Ответ: 4.

б)

В данном случае куб числа равен 1. Мы ищем такое число $x$, что $x^3 = 1$. Извлекая кубический корень, получаем $x = \sqrt[3]{1}$. Единственное действительное число, которое при возведении в куб дает 1, это само число 1, так как $1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$. Следовательно, искомое число — 1.

Ответ: 1.

в)

Здесь куб некоторого числа равен 125. Ищем такое число $x$, для которого $x^3 = 125$. Для этого извлечем кубический корень из 125: $x = \sqrt[3]{125}$. Проверим число 5, так как оно следует за 4, куб которого равен 64. $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$. Условие выполняется. Значит, искомое число — 5.

Ответ: 5.

4.137 В Великобритании, США, Канаде, Австралии применяется земельная мера акр, которая равна 4047 м². Сравните 1 а и 1 акр.

Для того чтобы сравнить 1 ар и 1 акр, необходимо привести обе величины к одной единице измерения. Удобнее всего выразить их в квадратных метрах (м?).

Из условия задачи нам известно, что 1 акр равен 4047 м?:

$1 \text{ акр} = 4047 \text{ м}^2$

Теперь вспомним, чему равен 1 ар. Ар (или сотка) — это единица измерения площади, равная площади квадрата со стороной 10 метров. Таким образом, 1 ар равен $10 \times 10 = 100$ квадратных метров.

$1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$

Теперь мы можем сравнить две величины в квадратных метрах:

$100 \text{ м}^2$ (1 ар) и $4047 \text{ м}^2$ (1 акр).

Так как $100 < 4047$, то $100 \text{ м}^2 < 4047 \text{ м}^2$.

Следовательно, 1 ар меньше, чем 1 акр.

Ответ: $1 \text{ а} < 1 \text{ акр}$.

4.138 Найдите площадь рамы окна на рисунке 4.24.

4.138

Чтобы найти площадь рамы окна, необходимо найти разность площадей двух прямоугольников: внешнего (все окно) и внутреннего (стекло).

1. Сначала найдем площадь внешнего прямоугольника. Его длина равна 96 см, а ширина — 76 см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — его стороны.

Площадь внешнего прямоугольника ($S_{внеш}$) равна:

$S_{внеш} = 96 \text{ см} \cdot 76 \text{ см} = 7296 \text{ см}^2$

2. Теперь найдем площадь внутреннего прямоугольника. Его длина равна 86 см, а ширина — 60 см.

Площадь внутреннего прямоугольника ($S_{внутр}$) равна:

$S_{внутр} = 86 \text{ см} \cdot 60 \text{ см} = 5160 \text{ см}^2$

3. Наконец, вычтем из площади внешнего прямоугольника площадь внутреннего, чтобы найти площадь самой рамы ($S_{рамы}$).

$S_{рамы} = S_{внеш} - S_{внутр}$

$S_{рамы} = 7296 \text{ см}^2 - 5160 \text{ см}^2 = 2136 \text{ см}^2$

Ответ: $2136 \text{ см}^2$.

4.139 Оля, Лена, Даша, Полина и Зоя готовятся к прыжкам в длину. Сколькими способами они могут встать в очередь на выполнение прыжка?

Данная задача относится к разделу комбинаторики и представляет собой нахождение числа перестановок. Нам нужно определить, сколькими способами можно упорядочить группу из 5 человек.

В соревнованиях участвуют 5 девочек: Оля, Лена, Даша, Полина и Зоя.

Рассмотрим, как формируется очередь:

• На первое место в очереди может встать любая из 5 девочек (5 вариантов).
• Когда первое место занято, на второе место может встать любая из оставшихся 4 девочек (4 варианта).
• На третье место остаётся 3 претендентки (3 варианта).
• На четвёртое — 2 претендентки (2 варианта).
• На последнее, пятое место, встанет оставшаяся девочка (1 вариант).

Чтобы найти общее количество возможных очередей, нужно перемножить число вариантов для каждой позиции. Это число равно числу перестановок из 5 элементов, которое вычисляется как факториал числа 5.

Формула для числа перестановок из $n$ элементов:
$P_n = n!$

В нашем случае $n=5$. Вычисляем:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Следовательно, существует 120 способов, которыми девочки могут выстроиться в очередь для выполнения прыжка.

Ответ: 120.

4.140 Иван Петрович и Пётр Иванович находятся на расстоянии 2 км 400 м и идут навстречу друг другу. Через сколько минут они встретятся, если скорость Ивана Петровича равна 85 м/мин, а Петра Ивановича - 75 м/мин?

85 м/мин

75 м/мин

ИТ

2 км 400 м

Тии

1) $85 + 75 = 160(\text{м}/\text{мин})$ - скорость сближения

2) $2\text{км}400\text{м} = 2400\text{м}$

$2400 : 160 = 15\left(\text{мин}\right)$

Ответ: через 15 мин

Чтобы найти время, через которое встретятся Иван Петрович и Пётр Иванович, нужно выполнить три действия: перевести расстояние в единую единицу измерения, найти скорость сближения и рассчитать время.

1. Перевод расстояния в метры
Начальное расстояние между пешеходами составляет $S = 2 \text{ км } 400 \text{ м}$. Поскольку скорости даны в метрах в минуту, для удобства вычислений переведем всё расстояние в метры. В 1 километре 1000 метров, поэтому:
$S = 2 \times 1000 \text{ м} + 400 \text{ м} = 2000 \text{ м} + 400 \text{ м} = 2400 \text{ м}$.

2. Нахождение скорости сближения
Пешеходы движутся навстречу друг другу. В таком случае, чтобы найти скорость, с которой они сближаются, нужно сложить их скорости. Эта величина называется скоростью сближения ($v_{сбл}$).
Скорость Ивана Петровича $v_1 = 85 \text{ м/мин}$.
Скорость Петра Ивановича $v_2 = 75 \text{ м/мин}$.
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 85 \text{ м/мин} + 75 \text{ м/мин} = 160 \text{ м/мин}$.

3. Расчет времени до встречи
Время до встречи ($t$) находится путем деления общего расстояния ($S$) на скорость сближения ($v_{сбл}$).
$t = \frac{S}{v_{сбл}}$
Подставляем найденные значения в формулу:
$t = \frac{2400 \text{ м}}{160 \text{ м/мин}} = 15 \text{ мин}$.

Ответ: они встретятся через 15 минут.

7.18 Используя калькулятор, найдите значение выражения:

а) 56,034 + 4,967;

б) 643,27 - 382,79;

в) 14,27 • 58,34;

г) 92,41 : 8,123;

д) 407,4 + 9342,528 : 24,7;

е) 84,5 • 13,6 - 659,45.

а) Выполним сложение десятичных дробей с помощью калькулятора:

$56,034 + 4,967 = 61,001$

Ответ: $61,001$

б) Выполним вычитание десятичных дробей с помощью калькулятора:

$643,27 - 382,79 = 260,48$

Ответ: $260,48$

в) Выполним умножение десятичных дробей с помощью калькулятора:

$14,27 \cdot 58,34 = 832,1878$

Ответ: $832,1878$

г) Выполним деление десятичных дробей с помощью калькулятора:

$92,41 : 8,123 = 11,37633879...$

Результат является бесконечной десятичной дробью. Округлим его до четырех знаков после запятой:

$11,37633879... \approx 11,3763$

Ответ: $\approx 11,3763$

д) Для вычисления значения выражения $407,4 + 9342,528 : 24,7$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняется деление, а затем сложение.

1. Выполним деление: $9342,528 : 24,7 = 378,24$

2. Выполним сложение: $407,4 + 378,24 = 785,64$

Ответ: $785,64$

е) Для вычисления значения выражения $84,5 \cdot 13,6 - 659,45$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

1. Выполним умножение: $84,5 \cdot 13,6 = 1149,2$

2. Выполним вычитание: $1149,2 - 659,45 = 489,75$

Ответ: $489,75$

7.19 Вычислите на калькуляторе объём прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3,62 дм, 2,54 дм и 5,5 дм. Ответ округлите до сотых.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его трёх измерений: длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$). Формула для расчёта объёма выглядит следующим образом:

$V = a \cdot b \cdot c$

В данной задаче измерения параллелепипеда равны:

$a = 3,62$ дм

$b = 2,54$ дм

$c = 5,5$ дм

Подставим эти значения в формулу и произведём вычисления:

$V = 3,62 \cdot 2,54 \cdot 5,5$

Выполняя умножение на калькуляторе, получаем:

$V = 50,5714$ дм?

Согласно условию, ответ необходимо округлить до сотых. Сотый разряд — это вторая цифра после запятой. В нашем случае это цифра 7.

Чтобы округлить число $50,5714$ до сотых, нужно посмотреть на следующую цифру (в разряде тысячных). Это цифра 1.

Так как $1 < 5$, то цифру в разряде сотых мы оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.

$V \approx 50,57$ дм?

Ответ: $50,57$ дм?.

7.20 Два автобуса отошли одновременно от одной автостанции в противоположных направлениях, и через 3 ч расстояние между ними было 456 км. С какой скоростью двигался каждый автобус, если скорость одного из них была на 8 км/ч меньше скорости другого?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть скорость одного автобуса, которая меньше, равна $x$ км/ч.

Тогда, согласно условию, скорость второго автобуса на 8 км/ч больше, то есть равна $(x + 8)$ км/ч.

Автобусы отправились от одной станции в противоположных направлениях. Это значит, что расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей. Эта скорость называется скоростью удаления.

Скорость удаления автобусов равна: $v_{уд} = x + (x + 8) = 2x + 8$ км/ч.

Известно, что через 3 часа ($t = 3$ ч) расстояние между автобусами ($S$) стало 456 км. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \times t$. Подставим наши значения и составим уравнение:

$(2x + 8) \times 3 = 456$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

Сначала можно разделить обе части уравнения на 3:

$2x + 8 = \frac{456}{3}$

$2x + 8 = 152$

Далее, перенесем 8 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 152 - 8$

$2x = 144$

Теперь найдем $x$, разделив 144 на 2:

$x = \frac{144}{2}$

$x = 72$

Итак, мы нашли скорость первого (более медленного) автобуса — она составляет 72 км/ч.

Теперь найдем скорость второго автобуса, которая на 8 км/ч больше:

$72 + 8 = 80$ км/ч.

Проверим правильность решения. За 3 часа первый автобус проехал $72 \times 3 = 216$ км. Второй автобус проехал $80 \times 3 = 240$ км. Расстояние между ними через 3 часа равно сумме пройденных ими расстояний: $216 + 240 = 456$ км. Это соответствует условию задачи.

Ответ: скорость одного автобуса 72 км/ч, а скорость другого автобуса 80 км/ч.

7.21 Из двух деревень, расстояние между которыми 22 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 2 ч. Чему равна скорость каждого пешехода, если скорость одного из них в 1,2 раза меньше скорости другого?

$x\text{ км/ч}$→

$1,2x\text{ км/ч}$←

$22\text{ км}$

Пусть $X$ км/ч – скорость одного пешехода, тогда $1,2x$ км/ч – скорость второго пешехода. Зная, что пешеходы встретились через 2 часа и расстояние между деревнями 22 км, составили и решили уравнение,

где $(x + 1,2x)\text{ км/ч}$ – скорость сближения

1) $(x + 1,2x)·2 = 22$

$(1 + 1,2)x·2 = 22$

$2,2·x·2 = 22$

$2,2x = 22 : 2$

$2,2x = 11$

$x = 11 : 2,2$

$x = 110 : 22$

$x = 5$

2) $5·1,2 = 6\left(\text{км/ч}\right)$

Ответ: $5\text{ км/ч},6\text{ км/ч}$

Для решения данной задачи обозначим скорость одного пешехода через переменную и составим уравнение, исходя из условий.

Пусть скорость одного пешехода, которая меньше, равна $v_1$ км/ч. Согласно условию, скорость другого пешехода $v_2$ в 1,2 раза больше. Таким образом, можно записать, что $v_2 = 1.2 \times v_1$. Для удобства расчетов обозначим $v_1 = x$ км/ч, тогда $v_2 = 1.2x$ км/ч.

Поскольку пешеходы движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = x + 1.2x = 2.2x$ (км/ч)

С другой стороны, мы знаем, что пешеходы встретились через 2 часа, преодолев общее расстояние в 22 км. Скорость сближения можно найти, разделив общее расстояние на время в пути:

$v_{сбл} = S / t = 22 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 11$ км/ч.

Теперь, приравняв два полученных выражения для скорости сближения, мы можем составить и решить уравнение:

$2.2x = 11$

Найдем $x$:

$x = 11 / 2.2$

$x = 110 / 22$

$x = 5$

Таким образом, скорость первого (более медленного) пешехода $v_1 = 5$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго пешехода:

$v_2 = 1.2x = 1.2 \times 5 = 6$ км/ч.

Ответ: скорость одного пешехода 5 км/ч, скорость другого пешехода 6 км/ч.

7.22 Найдите значение выражения и проверьте ответ на калькуляторе:

Для нахождения значения выражения выполним действия по порядку: сначала в скобках, затем деление и умножение, и в конце — сложение.

Исходное выражение: $14,1414 : (89,413 - 75,413) + 0,808 \cdot (0,9163 + 0,0837)$

1. Выполним вычитание в первых скобках.

$89,413 - 75,413 = 14$

2. Выполним сложение во вторых скобках.

$0,9163 + 0,0837 = 1,0000 = 1$

3. Подставим полученные значения в исходное выражение.

Теперь выражение имеет вид: $14,1414 : 14 + 0,808 \cdot 1$

4. Выполним деление.

$14,1414 : 14 = 1,0101$

5. Выполним умножение.

$0,808 \cdot 1 = 0,808$

6. Выполним сложение результатов.

$1,0101 + 0,808 = 1,0101 + 0,8080 = 1,8181$

Проверка на калькуляторе.

Вводим в калькулятор исходное выражение: $14,1414 / (89,413 - 75,413) + 0,808 * (0,9163 + 0,0837)$.

Вычисления калькулятора: $14,1414 / 14 + 0,808 * 1 = 1,0101 + 0,808 = 1,8181$.

Результат совпадает с полученным вручную.

Ответ: $1,8181$.