Страница 145, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.106 Выполните действия:

а) 4 • 7³ - 5 • 3³;

б) (6² - 5²)³;

в) 7! : 40;

г) 3! + 3³;

д) 5! - 5².

а) $4 \cdot 7^3 - 5 \cdot 3^3$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце вычитание.

1. Возведем числа в степень:
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$

2. Выполним умножение:
$4 \cdot 343 = 1372$
$5 \cdot 27 = 135$

3. Выполним вычитание:
$1372 - 135 = 1237$

Таким образом, $4 \cdot 7^3 - 5 \cdot 3^3 = 1372 - 135 = 1237$.

Ответ: 1237.

б) $(6^2 - 5^2)^3$

Сначала выполним действия в скобках, а затем возведем результат в степень.

1. Вычислим значения квадратов в скобках:
$6^2 = 36$
$5^2 = 25$

2. Найдем разность в скобках:
$36 - 25 = 11$

3. Возведем полученный результат в куб:
$11^3 = 11 \cdot 11 \cdot 11 = 121 \cdot 11 = 1331$

Таким образом, $(6^2 - 5^2)^3 = (36 - 25)^3 = 11^3 = 1331$.

Ответ: 1331.

в) $7! : 40$

Сначала вычислим значение факториала. Факториал числа $n$ (обозначается как $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.

1. Вычислим $7!$ (семь факториал):
$7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040$

2. Выполним деление:
$5040 : 40 = 504 : 4 = 126$

Таким образом, $7! : 40 = 5040 : 40 = 126$.

Ответ: 126.

г) $3! + 3^3$

Сначала вычислим значение факториала и возведем число в степень, а затем сложим результаты.

1. Вычислим $3!$ (три факториал):
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

2. Вычислим $3^3$ (три в кубе):
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

3. Сложим полученные значения:
$6 + 27 = 33$

Таким образом, $3! + 3^3 = 6 + 27 = 33$.

Ответ: 33.

д) $5! - 5^2$

Сначала вычислим значение факториала и возведем число в степень, а затем найдем их разность.

1. Вычислим $5!$ (пять факториал):
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

2. Вычислим $5^2$ (пять в квадрате):
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

3. Найдем разность:
$120 - 25 = 95$

Таким образом, $5! - 5^2 = 120 - 25 = 95$.

Ответ: 95.

4.107 Купили 100 плиток размером 15 × 30 см для ремонта пола в ванной комнате размером три с половиной метра на два.

а) Хватит ли этих плиток для ремонта?

б) Сколько целых плиток будет использовано при укладке пола?

в) Какое количество плиток надо докупить, чтобы настелить весь пол?

Для решения задачи сначала приведем все размеры к единой единице измерения — сантиметрам.

Размеры пола в ванной комнате:
Длина: $3.5$ метра $= 350$ см.
Ширина: $2$ метра $= 200$ см.

Размеры одной плитки: $15$ см $\times$ $30$ см.

а) Хватит ли этих плиток для ремонта?

Чтобы определить, хватит ли плиток, нужно рассчитать, какое их количество необходимо для покрытия всего пола. Расчет зависит от способа укладки. Рассмотрим два возможных варианта ориентации плитки.

Вариант 1: Сторона плитки 30 см укладывается вдоль длинной стороны комнаты (350 см).
Количество плиток в одном ряду по длине: $\lceil \frac{350}{30} \rceil = \lceil 11.66... \rceil = 12$ плиток.
Количество рядов по ширине: $\lceil \frac{200}{15} \rceil = \lceil 13.33... \rceil = 14$ рядов.
Общее необходимое количество плиток: $12 \times 14 = 168$ плиток.

Вариант 2: Сторона плитки 15 см укладывается вдоль длинной стороны комнаты (350 см).
Количество плиток в одном ряду по длине: $\lceil \frac{350}{15} \rceil = \lceil 23.33... \rceil = 24$ плитки.
Количество рядов по ширине: $\lceil \frac{200}{30} \rceil = \lceil 6.66... \rceil = 7$ рядов.
Общее необходимое количество плиток: $24 \times 7 = 168$ плиток.

В обоих случаях для полного покрытия пола требуется 168 плиток. Поскольку было куплено только 100 плиток, их не хватит.

Ответ: Нет, не хватит.

б) Сколько целых плиток будет использовано при укладке пола?

Количество целых (неразрезанных) плиток — это количество плиток, которые полностью помещаются на площади пола без подрезки. Оно также зависит от ориентации укладки.

Вариант 1 (сторона 30 см вдоль 350 см):
Количество целых плиток по длине: $\lfloor \frac{350}{30} \rfloor = \lfloor 11.66... \rfloor = 11$ плиток.
Количество целых плиток по ширине: $\lfloor \frac{200}{15} \rfloor = \lfloor 13.33... \rfloor = 13$ плиток.
Общее количество целых плиток: $11 \times 13 = 143$ плитки.

Вариант 2 (сторона 15 см вдоль 350 см):
Количество целых плиток по длине: $\lfloor \frac{350}{15} \rfloor = \lfloor 23.33... \rfloor = 23$ плитки.
Количество целых плиток по ширине: $\lfloor \frac{200}{30} \rfloor = \lfloor 6.66... \rfloor = 6$ плиток.
Общее количество целых плиток: $23 \times 6 = 138$ плиток.

Обычно выбирают способ укладки, который позволяет использовать максимальное количество целых плиток. В данном случае это 143 плитки.

Ответ: Будет использовано 143 целые плитки.

в) Какое количество плиток надо докупить, чтобы настелить весь пол?

Как было рассчитано в пункте а), для укладки всего пола требуется 168 плиток. В наличии имеется 100 плиток. Найдем разницу:

$168 - 100 = 68$ плиток.

Ответ: Надо докупить 68 плиток.

4.108 По схеме на рисунке 4.18 составьте выражение и вычислите его значение.

$2580\stackrel{+}{ }\left(\left(5017,\stackrel{+}{ },89\right),\stackrel{:}{ },\left(643,\stackrel{-}{ },574\right)\right)\stackrel{-}{ }56 = 2598$

1) $\begin{array}{cc}& \stackrel{1}{5017}\\ + & 89\\ \text{———}\\ & 5106\end{array}$

2) $\begin{array}{cc}& 643\\ - & 574\\ \text{———}\\ & 69\end{array}$

3) $\begin{array}{ccc}\overline{5106}& |& 69\\ 483& & \text{——}\\ \text{———}& & 74\\ - 276& & \\ 276& & \\ \text{———}& & \\ 0& & \end{array}$

4) $\begin{array}{cc}& \stackrel{1}{2580}\\ + & 74\\ \text{———}\\ & 2654\end{array}$

5) $\begin{array}{cc}& 2654\\ - & 56\\ \text{———}\\ & 2598\end{array}$

Для решения задачи необходимо сначала составить числовое выражение, отражающее последовательность действий, указанную на схеме, а затем вычислить его значение.

1. Составление выражения

Схема показывает следующий порядок действий:

• Сначала вычисляется сумма чисел $5017$ и $89$.
• Параллельно вычисляется разность чисел $643$ и $574$.
• Затем результат первого действия (сумма) делится на результат второго действия (разность).
• К полученному результату деления прибавляется число $2580$.
• Наконец, из полученной суммы вычитается число $56$.

Запишем эти действия в виде одного выражения. Действия, которые нужно выполнить в первую очередь (сложение и вычитание в верхней строке), заключаем в скобки.

Итоговое выражение выглядит так: $2580 + (5017 + 89) : (643 - 574) - 56$

2. Вычисление значения выражения

Вычислим значение составленного выражения по действиям, соблюдая порядок операций:

1) Первое действие в скобках (сложение):

$5017 + 89 = 5106$

2) Второе действие в скобках (вычитание):

$643 - 574 = 69$

3) Деление результатов первых двух действий:

$5106 : 69 = 74$

4) Сложение:

$2580 + 74 = 2654$

5) Вычитание:

$2654 - 56 = 2598$

Таким образом, значение всего выражения равно $2598$.

Ответ: 2598

4.109 1) За три дня Дима прочитал 54 страницы книги. В первый день он прочитал в 2 раза больше, чем во второй, а в третий - на 6 страниц меньше, чем в первый. Сколько страниц читал Дима в каждый из этих дней?

2) Три садовых участка занимают площадь 36 соток. Первый участок в 3 раза меньше третьего, а второй участок на 1 сотку больше третьего. Сколько соток занимает каждый участок?

1) Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть количество страниц, прочитанных Димой во второй день, равно $x$.

Согласно условию, в первый день он прочитал в 2 раза больше, чем во второй, то есть $2x$ страниц.

В третий день он прочитал на 6 страниц меньше, чем в первый, то есть $(2x - 6)$ страниц.

Сумма страниц, прочитанных за три дня, равна 54. Запишем это в виде уравнения:

$ \underbrace{2x}_{\text{1-й день}} + \underbrace{x}_{\text{2-й день}} + \underbrace{(2x - 6)}_{\text{3-й день}} = 54 $

Теперь решим это уравнение:

$5x - 6 = 54$

$5x = 54 + 6$

$5x = 60$

$x = 60 \div 5$

$x = 12$

Мы нашли, что во второй день Дима прочитал 12 страниц.

Теперь вычислим количество страниц для остальных дней:

• Первый день: $2x = 2 \cdot 12 = 24$ страницы.
• Третий день: $2x - 6 = 24 - 6 = 18$ страниц.

Проверка: $24 + 12 + 18 = 36 + 18 = 54$ страницы. Решение верное.

Ответ: в первый день Дима прочитал 24 страницы, во второй — 12 страниц, в третий — 18 страниц.

2) Для решения этой задачи также составим уравнение. Удобнее всего обозначить за неизвестную величину площадь третьего участка, так как с ней сравниваются площади двух других. Пусть площадь третьего участка равна $y$ соток.

По условию, первый участок в 3 раза меньше третьего, значит, его площадь составляет $\frac{y}{3}$ соток.

Второй участок на 1 сотку больше третьего, следовательно, его площадь равна $(y + 1)$ соток.

Общая площадь всех трех участков — 36 соток. Составим уравнение:

$ \underbrace{\frac{y}{3}}_{\text{1-й участок}} + \underbrace{(y + 1)}_{\text{2-й участок}} + \underbrace{y}_{\text{3-й участок}} = 36 $

Решим это уравнение:

$\frac{y}{3} + 2y + 1 = 36$

$\frac{y}{3} + \frac{6y}{3} = 36 - 1$

$\frac{7y}{3} = 35$

$7y = 35 \cdot 3$

$7y = 105$

$y = 105 \div 7$

$y = 15$

Таким образом, площадь третьего участка равна 15 соток.

Теперь найдем площади первого и второго участков:

• Первый участок: $\frac{y}{3} = \frac{15}{3} = 5$ соток.
• Второй участок: $y + 1 = 15 + 1 = 16$ соток.

Проверка: $5 + 16 + 15 = 21 + 15 = 36$ соток. Решение верное.

Ответ: площадь первого участка — 5 соток, второго — 16 соток, третьего — 15 соток.

4.110 Выполните действия:

1) 34 560 : 12 : 8 : 24;

2) 116 424 : 56 : 21 : 9;

3) 81 • 5520 : 27 : 18;

4) 296 192 : 89 : 64 • 35

1) $34560 : 12 : 8 : 24 = 15$

1) $\begin{array}{ll}\overline{34560}& |12\hfill \\ \underset{\_}{24}& 2880\hfill \\ \text{−}105\\ \underset{\_}{96}\\ \text{−}96\\ \underset{\_}{96}\\ 0\end{array}$

2) $\begin{array}{ll}\overline{2880}& |8\hfill \\ \underset{\_}{24}& 360\hfill \\ \text{−}48\\ \underset{\_}{48}\\ 0\end{array}$

3) $\begin{array}{ll}\overline{360}& |24\hfill \\ \underset{\_}{24}& 15\hfill \\ \text{−}120\\ \underset{\_}{120}\\ 0\end{array}$

2) $116424 : 56 : 21 : 9 = 11$

1) $\begin{array}{ll}\overline{116424}& |56\hfill \\ \underset{\_}{112}& 2079\hfill \\ \text{−}442\\ \underset{\_}{392}\\ \text{−}504\\ \underset{\_}{504}\\ 0\end{array}$

2) $\begin{array}{ll}\overline{2079}& |21\hfill \\ \underset{\_}{189}& 99\hfill \\ \text{−}189\\ \underset{\_}{189}\\ 0\end{array}$

3) $99 : 9 = 11$

3) $81·5520 : 27 : 18 = 920$

1) $\begin{array}{r}5520\\ \text{×}81\\ \underset{\_}{}\\ \text{+}5520\\ 4416\\ \underset{\_}{}\\ 447120\end{array}$

2) $\begin{array}{ll}\overline{447120}& |27\hfill \\ \underset{\_}{27}& 16560\hfill \\ \text{−}177\\ \underset{\_}{162}\\ \text{−}151\\ \underset{\_}{135}\\ \text{−}162\\ \underset{\_}{162}\\ 0\end{array}$

3) $\begin{array}{ll}\overline{16560}& |18\hfill \\ \underset{\_}{162}& 920\hfill \\ \text{−}36\\ \underset{\_}{36}\\ 0\end{array}$

4) $296192 : 89 : 64·35 = 1820$

1) $\begin{array}{ll}\overline{296192}& |89\hfill \\ \underset{\_}{267}& 3328\hfill \\ \text{−}291\\ \underset{\_}{267}\\ \text{−}249\\ \underset{\_}{178}\\ \text{−}712\\ \underset{\_}{712}\\ 0\end{array}$

2) $\begin{array}{ll}\overline{3328}& |64\hfill \\ \underset{\_}{320}& 52\hfill \\ \text{−}128\\ \underset{\_}{128}\\ 0\end{array}$

3) $\begin{array}{r}52\\ \text{×}35\\ \underset{\_}{}\\ \text{+}260\\ 156\\ \underset{\_}{}\\ 1820\end{array}$

1) В выражении $34560 : 12 : 8 : 24$ все действия — деление. Выполним их по порядку слева направо.
1. Сначала разделим 34 560 на 12:
$34560 : 12 = 2880$
2. Затем полученный результат разделим на 8:
$2880 : 8 = 360$
3. И наконец, разделим 360 на 24:
$360 : 24 = 15$
Ответ: 15

2) В выражении $116424 : 56 : 21 : 9$ все действия — деление. Выполним их последовательно слева направо.
1. Первое действие:
$116424 : 56 = 2079$
2. Второе действие:
$2079 : 21 = 99$
3. Третье действие:
$99 : 9 = 11$
Ответ: 11

3) В выражении $81 \cdot 5520 : 27 : 18$ присутствуют действия умножения и деления. Для удобства вычислений можно изменить порядок действий.
1. Удобнее сначала разделить 81 на 27:
$81 : 27 = 3$
2. Теперь выражение примет вид $3 \cdot 5520 : 18$. Выполним умножение:
$3 \cdot 5520 = 16560$
3. Осталось выполнить деление:
$16560 : 18 = 920$
Ответ: 920

4) В выражении $296192 : 89 : 64 \cdot 35$ действия выполняются по порядку слева направо.
1. Первое действие — деление:
$296192 : 89 = 3328$
2. Второе действие — деление:
$3328 : 64 = 52$
3. Третье действие — умножение:
$52 \cdot 35 = 1820$
Ответ: 1820

4.111 Ширина прямоугольного участка 53 м, а его длина на 17 м больше ширины. Вычислите периметр и площадь участка.

Сначала определим длину прямоугольного участка. По условию задачи, ширина участка $(w)$ равна 53 м, а его длина $(l)$ на 17 м больше ширины. Вычислим длину:

$l = 53 \text{ м} + 17 \text{ м} = 70 \text{ м}$

Теперь, зная длину и ширину участка, мы можем вычислить его периметр и площадь.

Периметр

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \times (l + w)$. Подставим в нее значения длины и ширины:

$P = 2 \times (70 \text{ м} + 53 \text{ м}) = 2 \times 123 \text{ м} = 246 \text{ м}$

Площадь

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = l \times w$. Подставим в нее значения длины и ширины:

$S = 70 \text{ м} \times 53 \text{ м} = 3710 \text{ м}^2$

Ответ: периметр участка 246 м, площадь участка 3710 м?.

4.112 Длина сада прямоугольной формы 400 м, а ширина 300 м. Найдите площадь сада и выразите её в арах; в гектарах.

Для решения задачи сначала найдём площадь сада в квадратных метрах. Поскольку сад имеет прямоугольную форму, его площадь вычисляется как произведение длины на ширину.

Длина сада $a = 400$ м.

Ширина сада $b = 300$ м.

Площадь сада $S$ в квадратных метрах:

$S = a \times b = 400 \text{ м} \times 300 \text{ м} = 120000 \text{ м}^2$.

Теперь переведем полученную площадь в ары и гектары.

в арах

Один ар (также называемый соткой) равен 100 квадратным метрам ($1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$). Чтобы выразить площадь в арах, разделим площадь в квадратных метрах на 100.

$S_{\text{а}} = \frac{120000 \text{ м}^2}{100 \text{ м}^2/\text{а}} = 1200 \text{ а}$.

Ответ: 1200 а.

в гектарах

Один гектар равен 10 000 квадратным метрам ($1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$). Чтобы выразить площадь в гектарах, разделим площадь в квадратных метрах на 10 000.

$S_{\text{га}} = \frac{120000 \text{ м}^2}{10000 \text{ м}^2/\text{га}} = 12 \text{ га}$.

Также можно выполнить перевод из аров в гектары, зная, что 1 гектар равен 100 арам ($1 \text{ га} = 100 \text{ а}$).

$S_{\text{га}} = \frac{1200 \text{ а}}{100 \text{ а}/\text{га}} = 12 \text{ га}$.

Ответ: 12 га.

4.113 Выразите:

а) $8{\mathrm{дм}}^{2}26{\mathrm{см}}^2 = 800{\mathrm{см}}^2 + 26{\mathrm{см}}^2 = 826{\mathrm{см}}^2$

$4{м}^{2}6{\mathrm{см}}^2 = 40000{\mathrm{см}}^2 + 6{\mathrm{см}}^2 = 40006{\mathrm{см}}^2$

б) $52а72{м}^2 = 500а72{м}^2$

$3{\mathrm{км}}^{2}24а = 3000000{м}^2 + 2400а = 30000а + 2400а = 32400а$

$33{\mathrm{км}}^{2}81а7{м}^2 = 33000000{м}^2 + 8100а + 7{м}^2 = 330000а + 8100а + 7{м}^2 = 338100а7{м}^2$

$8{\mathrm{км}}^{2}21{м}^2 = 8000000{м}^2 + 21{м}^2 = 80000а + 21{м}^2 = 80000а21{м}^2$

а) Выразим значения в квадратных сантиметрах.

Для перевода воспользуемся следующими соотношениями единиц площади: $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$ и $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2 = 100 \times 100 \text{ см}^2 = 10000 \text{ см}^2$.

1. Переведем $8 \text{ дм}^2 26 \text{ см}^2$ в квадратные сантиметры:
$8 \text{ дм}^2 26 \text{ см}^2 = 8 \times 100 \text{ см}^2 + 26 \text{ см}^2 = 800 \text{ см}^2 + 26 \text{ см}^2 = 826 \text{ см}^2$.
Ответ: 826 см?.

2. Переведем $4 \text{ м}^2 6 \text{ см}^2$ в квадратные сантиметры:
$4 \text{ м}^2 6 \text{ см}^2 = 4 \times 10000 \text{ см}^2 + 6 \text{ см}^2 = 40000 \text{ см}^2 + 6 \text{ см}^2 = 40006 \text{ см}^2$.
Ответ: 40006 см?.

б) Выразим значения в арах (сотках).

Для перевода воспользуемся следующими соотношениями единиц площади: $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$, $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$, $1 \text{ км}^2 = 100 \text{ га} = 100 \times 100 \text{ а} = 10000 \text{ а}$.

1. Переведем $5 \text{ га} 72 \text{ м}^2$ в ары:
Сначала переведем все в квадратные метры: $5 \text{ га} 72 \text{ м}^2 = 5 \times 10000 \text{ м}^2 + 72 \text{ м}^2 = 50000 \text{ м}^2 + 72 \text{ м}^2 = 50072 \text{ м}^2$.
Теперь переведем в ары: $50072 \text{ м}^2 = 50072 \div 100 \text{ а} = 500,72 \text{ а}$.
Ответ: 500,72 а.

2. Переведем $3 \text{ км}^2 24 \text{ га}$ в ары:
$3 \text{ км}^2 24 \text{ га} = 3 \times 10000 \text{ а} + 24 \times 100 \text{ а} = 30000 \text{ а} + 2400 \text{ а} = 32400 \text{ а}$.
Ответ: 32400 а.

3. Переведем $33 \text{ км}^2 81 \text{ га} 7 \text{ м}^2$ в ары:
$33 \text{ км}^2 81 \text{ га} 7 \text{ м}^2 = 33 \times 10000 \text{ а} + 81 \times 100 \text{ а} + 7 \div 100 \text{ а} = 330000 \text{ а} + 8100 \text{ а} + 0,07 \text{ а} = 338100,07 \text{ а}$.
Ответ: 338100,07 а.

4. Переведем $8 \text{ км}^2 21 \text{ м}^2$ в ары:
$8 \text{ км}^2 21 \text{ м}^2 = 8 \times 10000 \text{ а} + 21 \div 100 \text{ а} = 80000 \text{ а} + 0,21 \text{ а} = 80000,21 \text{ а}$.
Ответ: 80000,21 а.

4.114 На поле площадью 3 га выращивают тюльпаны. Сколько сортов тюльпанов выращивают на поле, если на каждый сорт выделено:

а) 15 соток;

б) 25 а?

Для решения задачи необходимо сначала перевести общую площадь поля из гектаров (га) в единицы, указанные в подпунктах: сотки и ары (а). После этого нужно разделить общую площадь на площадь, выделенную для одного сорта.

Вспомним соотношения единиц площади:

1 гектар (га) = 100 ар (а).

1 ар (а) равен 1 сотке, поэтому 1 гектар (га) также равен 100 соткам.

Общая площадь поля по условию составляет 3 га. Выполним перевод этой величины в сотки и ары:

Общая площадь: $3 \text{ га} = 3 \times 100 = 300 \text{ соток}$.

Общая площадь: $3 \text{ га} = 3 \times 100 = 300 \text{ а}$.

Теперь можем найти количество сортов для каждого случая.

а)

На каждый сорт выделено 15 соток. Чтобы найти количество сортов, разделим общую площадь в сотках на площадь, выделенную для одного сорта:

$300 \text{ соток} \div 15 \text{ соток} = 20$

Ответ: 20 сортов.

б)

На каждый сорт выделено 25 а. Чтобы найти количество сортов, разделим общую площадь в арах на площадь, выделенную для одного сорта:

$300 \text{ а} \div 25 \text{ а} = 12$

Ответ: 12 сортов.

4.115 С конвейера старого поколения в час сходит 32 автомобиля, а с конвейера нового поколения - на 20 автомобилей больше. Сколько нужно времени, чтобы с конвейера старого поколения сошло столько же автомобилей, сколько их сходит за восьмичасовую смену с конвейера нового поколения?

Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производительность конвейера нового поколения

По условию, производительность конвейера старого поколения составляет 32 автомобиля в час. Конвейер нового поколения производит на 20 автомобилей в час больше. Чтобы найти его производительность, нужно к производительности старого конвейера прибавить 20:

$32 + 20 = 52$ (автомобиля в час)

Таким образом, производительность конвейера нового поколения — 52 автомобиля в час.

2. Рассчитать, сколько автомобилей сходит с конвейера нового поколения за восьмичасовую смену

Смена длится 8 часов. Чтобы найти общее количество автомобилей, произведенных за это время, необходимо умножить производительность нового конвейера на продолжительность смены:

$52 \times 8 = 416$ (автомобилей)

За 8 часов с конвейера нового поколения сходит 416 автомобилей.

3. Определить, сколько времени потребуется конвейеру старого поколения, чтобы произвести то же количество автомобилей

Теперь нам нужно найти, за какое время конвейер старого поколения с производительностью 32 автомобиля в час сможет выпустить 416 автомобилей. Для этого разделим общее количество автомобилей на производительность старого конвейера:

$416 \div 32 = 13$ (часов)

Ответ: для того чтобы с конвейера старого поколения сошло 416 автомобилей, потребуется 13 часов.

4.116 Найдите периметр треугольника, у которого длина первой стороны 5 м 4 см, второй - втрое короче, а третьей - на 1 м 16 см больше разности длин первой и второй сторон.

Для решения задачи сначала найдем длины всех сторон треугольника. Для удобства вычислений переведем все значения в сантиметры.

Длина первой стороны по условию равна 5 м 4 см. Так как в одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$), то длина первой стороны в сантиметрах составляет:$a = 5 \times 100 \text{ см} + 4 \text{ см} = 504 \text{ см}$.

Длина второй стороны втрое короче первой. Чтобы найти ее длину, разделим длину первой стороны на 3:$b = 504 \text{ см} : 3 = 168 \text{ см}$.

Длина третьей стороны на 1 м 16 см больше разности длин первой и второй сторон. Сначала найдем эту разность:$a - b = 504 \text{ см} - 168 \text{ см} = 336 \text{ см}$.Теперь к полученной разности прибавим 1 м 16 см (что равно $100 \text{ см} + 16 \text{ см} = 116 \text{ см}$), чтобы найти длину третьей стороны:$c = 336 \text{ см} + 116 \text{ см} = 452 \text{ см}$.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон ($P = a + b + c$). Сложим длины всех трех сторон:$P = 504 \text{ см} + 168 \text{ см} + 452 \text{ см} = 1124 \text{ см}$.Переведем полученный результат обратно в метры и сантиметры: $1124 \text{ см} = 11 \text{ м } 24 \text{ см}$.

Ответ: 11 м 24 см.

4.117 Составьте формулу для вычисления фигуры, изображённой на рисунке 4.19. Вычислите площадь при a=10см, b=6см, c=2см.

Составьте формулу для вычисления фигуры, изображённой на рисунке 4.19.

Площадь закрашенной фигуры $S$ можно найти как разность площади большого прямоугольника $S_{пр}$ и площади малого квадрата $S_{кв}$, который из него вырезан.

Площадь большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле: $S_{пр} = a \cdot b$.

Площадь внутреннего квадрата со стороной $c$ вычисляется по формуле: $S_{кв} = c^2$.

Таким образом, итоговая формула для вычисления площади закрашенной фигуры имеет вид: $S = S_{пр} - S_{кв} = a \cdot b - c^2$.

Ответ: $S = a \cdot b - c^2$

Вычислите площадь при a = 10 см, b = 6 см, c = 2 см.

Подставим данные значения в выведенную формулу:

$S = 10 \cdot 6 - 2^2$

$S = 60 - 4$

$S = 56$

Площадь фигуры равна 56 см².

Ответ: $56 \text{ см}^2$

4.118 Первый печатный станок печатает в час 15 тыс. листов, а второй на 3 тыс. листов меньше. Сколько времени потребуется второму станку на работу, которую выполняет первый станок за 8 ч?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Определим производительность второго печатного станка.
Производительность первого станка составляет 15 тыс. листов в час. Второй станок печатает на 3 тыс. листов в час меньше. Следовательно, его производительность равна:
$15 \text{ тыс. листов/час} - 3 \text{ тыс. листов/час} = 12 \text{ тыс. листов/час}$

2. Рассчитаем общий объём работы.
Найдём, сколько всего листов напечатает первый станок за 8 часов работы. Для этого умножим его производительность на время работы:
$15 \text{ тыс. листов/час} \cdot 8 \text{ ч} = 120 \text{ тыс. листов}$

3. Найдём время, которое потребуется второму станку.
Теперь нужно определить, за какое время второй станок напечатает 120 тыс. листов. Для этого разделим общий объём работы на производительность второго станка:
$\frac{120 \text{ тыс. листов}}{12 \text{ тыс. листов/час}} = 10 \text{ часов}$

Ответ: 10 часов.