Страница 144, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.103 а) Сколько квадратов на рисунке 4.16? Запишите равные квадраты.

б) Разделите прямоугольник AEZV на две равные фигуры, состоящие из квадратов, тремя способами.

а) На рисунке 11 квадратов.

$\mathrm{ABLK} = \mathrm{BCML} = \mathrm{CDNM} = \mathrm{DEON} = \mathrm{KLWV} = \mathrm{LMXW} = \mathrm{MNYX} = \mathrm{NOZY}$

$\mathrm{HCXV} = \mathrm{BDYW} = \mathrm{CEZX}$

б) Способ 1: A

E

V

Z

Способ 2: A

E

V

Z

Способ 3: A

E

V

Z

а)

На рисунке изображены квадраты двух разных размеров.

1. Маленькие квадраты, со стороной, равной длине отрезка AB. Таких квадратов 8 штук:
Верхний ряд: ABLK, BCLM, CDNM, DENO.
Нижний ряд: KVWL, LMXW, MNYX, NOZY.

2. Большие квадраты, каждый из которых состоит из четырех маленьких. Их сторона равна длине отрезка AC. Таких квадратов 3 штуки:
ACXV (включает квадраты ABLK, BCLM, KVWL, LMXW).
BDYW (включает квадраты BCLM, CDNM, LMXW, MNYX).
CEXZ (включает квадраты CDNM, DENO, MNYX, NOZY).

Таким образом, общее количество квадратов на рисунке: $8 + 3 = 11$.

Равными между собой являются квадраты одного размера.
- Группа равных малых квадратов: ABLK, BCLM, CDNM, DENO, KVWL, LMXW, MNYX, NOZY.
- Группа равных больших квадратов: ACXV, BDYW, CEXZ.

Ответ: Всего на рисунке 11 квадратов. Группы равных квадратов: 1) ABLK, BCLM, CDNM, DENO, KVWL, LMXW, MNYX, NOZY; 2) ACXV, BDYW, CEXZ.

б)

Прямоугольник AEZV состоит из 8 маленьких квадратов. Чтобы разделить его на две равные фигуры, каждая из них должна состоять из 4 маленьких квадратов. Ниже представлены три способа такого разделения.

Первый способ:
Разделить прямоугольник горизонтальной линией KO. В результате получатся два равных прямоугольника AEKO и KVZO размером 4x1.
- Фигура 1 (прямоугольник AEKO): состоит из квадратов ABLK, BCLM, CDNM, DENO.
- Фигура 2 (прямоугольник KVZO): состоит из квадратов KVWL, LMXW, MNYX, NOZY.

Второй способ:
Разделить прямоугольник вертикальной линией CX. В результате получатся два равных квадрата ACXV и CEXZ размером 2x2.
- Фигура 1 (квадрат ACXV): состоит из квадратов ABLK, BCLM, KVWL, LMXW.
- Фигура 2 (квадрат CEXZ): состоит из квадратов CDNM, DENO, MNYX, NOZY.

Третий способ:
Разделить прямоугольник на две равные L-образные фигуры.
- Фигура 1: состоит из квадратов ABLK, KVWL, LMXW, MNYX.
- Фигура 2: состоит из квадратов BCLM, CDNM, DENO, NOZY.

Ответ: Три способа разделения на две равные фигуры:
1. На два прямоугольника 4x1 по линии KO.
2. На два квадрата 2x2 по линии CX.
3. На две L-образные фигуры, одна из которых состоит из квадратов {ABLK, KVWL, LMXW, MNYX}, а вторая — из {BCLM, CDNM, DENO, NOZY}.

4.104 На рисунке 4.17 изображены фигуры. Найдите их площади.

Первая фигура (треугольник ABC)

Для нахождения площади треугольника ABC воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В качестве основания $a$ возьмем сторону AB. Ее длина складывается из двух отрезков: $a = AB = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Высота $h$, проведенная к основанию AB из вершины C, согласно рисунку, равна $6 \text{ см}$.

Теперь вычислим площадь: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 4 \cdot 6 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: 24 см².

Вторая фигура

Закрашенную фигуру можно разбить на более простые части — прямоугольник и прямоугольный треугольник. Для этого мысленно проведем вертикальную линию из точки на верхнем отрезке DE, разделяющей его на части 2 см и 3 см, вниз к нижнему основанию.

В результате мы получим:
1. Прямоугольник со сторонами 3 см (длина отрезка KF) и 4 см (высота EF).
2. Прямоугольный треугольник с катетами 4 см (высота) и $5 \text{ см} - 3 \text{ см} = 2 \text{ см}$ (основание).

Найдем площади этих частей:
Площадь прямоугольника: $S_{прямоуг.} = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
Площадь треугольника: $S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей ее частей: $S_{общая} = S_{прямоуг.} + S_{треуг.} = 12 \text{ см}^2 + 4 \text{ см}^2 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ: 16 см².

Третья фигура (трапеция LMNK)

Фигура LMNK является трапецией. Для нахождения ее площади используем формулу площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Верхнее основание $a = LM$. Судя по разметке, его длина равна центральной части нижнего основания: $a = 3 \text{ см}$.

Нижнее основание $b = KN$. Его длина равна сумме длин трех отрезков: $b = KN = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} + 4 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

Высота трапеции $h$ равна $4 \text{ см}$.

Вычислим площадь трапеции: $S_{LMNK} = \frac{3 \text{ см} + 9 \text{ см}}{2} \cdot 4 \text{ см} = \frac{12}{2} \cdot 4 \text{ см}^2 = 6 \cdot 4 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: 24 см².

4.105 Одновременно навстречу друг другу выползли две улитки. Одна ползёт со скоростью 7 см/мин, а другая - 5 см/мин. Через сколько минут улитки встретятся, если расстояние между ними 192 см? Придумайте и решите похожую задачу:

а) про два станка, которые должны изготовить 192 детали, если один штампует в минуту 7 деталей, а другой - 5 деталей;

б) про двух братьев, которые должны покрасить 192 м забора;

в) про двух комбайнёров, которые должны убрать пшеницу на 192 га.

Это задача на встречное движение. Чтобы найти время, через которое улитки встретятся, нужно найти их скорость сближения и разделить на неё общее расстояние.

1. Найдём скорость сближения улиток. Так как они ползут навстречу друг другу, их скорости складываются:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 7 \text{ см/мин} + 5 \text{ см/мин} = 12 \text{ см/мин}$

2. Теперь найдём время до встречи, разделив расстояние на скорость сближения:
$t = S / v_{сбл} = 192 \text{ см} / 12 \text{ см/мин} = 16 \text{ мин}$

Ответ: улитки встретятся через 16 минут.

а) Задача: Два станка, работая одновременно, должны изготовить 192 детали. Производительность первого станка — 7 деталей в минуту, а второго — 5 деталей в минуту. Через сколько минут будет выполнен весь заказ?

Решение: Эта задача решается аналогично, только вместо скорости используется производительность, а вместо расстояния — объём работы.

1. Найдём совместную производительность двух станков. Так как они работают вместе, их производительности складываются:
$P_{совм} = P_1 + P_2 = 7 \text{ дет/мин} + 5 \text{ дет/мин} = 12 \text{ дет/мин}$

2. Найдём время, необходимое для изготовления 192 деталей, разделив общий объём работы на совместную производительность:
$t = W / P_{совм} = 192 \text{ детали} / 12 \text{ дет/мин} = 16 \text{ мин}$

Ответ: весь заказ будет выполнен через 16 минут.

б) Задача: Два брата решили покрасить забор длиной 192 метра, начав работу с противоположных концов. Старший брат красит 7 метров в час, а младший — 5 метров в час. Через сколько часов они встретятся и покрасят весь забор?

Решение: Задача снова на "встречное движение", где "движутся" границы окрашенных участков.

1. Найдём общую скорость покраски забора (аналог скорости сближения):
$v_{общ} = v_1 + v_2 = 7 \text{ м/ч} + 5 \text{ м/ч} = 12 \text{ м/ч}$

2. Найдём время, за которое будет покрашен весь забор:
$t = S / v_{общ} = 192 \text{ м} / 12 \text{ м/ч} = 16 \text{ часов}$

Ответ: они покрасят весь забор за 16 часов.

в) Задача: Два комбайнёра убирают урожай пшеницы с поля площадью 192 га. Работая одновременно, первый комбайнёр убирает 7 га в день, а второй — 5 га в день. За сколько дней они уберут урожай со всего поля?

Решение: Это задача на совместную работу.

1. Найдём совместную производительность двух комбайнёров:
$P_{совм} = P_1 + P_2 = 7 \text{ га/день} + 5 \text{ га/день} = 12 \text{ га/день}$

2. Найдём, сколько дней потребуется для уборки всего поля:
$t = A / P_{совм} = 192 \text{ га} / 12 \text{ га/день} = 16 \text{ дней}$

Ответ: они уберут урожай со всего поля за 16 дней.

9. Рассчитайте стоимость ремонта стен и потолка комнаты, изображённой на рисунке 6.27 (все размеры указаны в метрах).

 × 5,4 3,5 ----- 270 + 162 ----- 18,90 = 18,9

 × 3,5 2,6 ----- 210 + 70 ---- 9,10 = 9,1

 × 5,4 2,6 ----- 324 + 108 ---- 14,04

 3,5- 1,8----- 1,7

 × 1,7 1,5 ----- 85 + 17 ---- 2,55

 9,10- 2,55----- 6,55

 14,04- 1,60----- 12,44

 18,9 28,00 42,04 48,59+ 9,1 + 14,04 + 6,55 + 12,44----- ------- ------- ------- 28,0 42,04 48,59 61,03

 61,03× 0,9-----54,927

54,927 | 20- 40 |----------- | 2,746... 149- 140----- 92 - 80 ---- 127 - 120 ----- 7

 61,03× 0,35----- 30515+ 18309-------21,3605

21,3605 | 5- 20 |----------- | 4,2721 13 - 10 ---- 36 - 35 ---- 10 - 10 ---- 5 - 5 --- 0

× 835,36 4--------3341,44

610,3 | 11- 55 |------------ | 55,4818... 60- 55---- 53 - 44 ---- 90 - 88 ---- 20 - 11 ---- 90 - 88 ---- 2

 × 872 56 ---- 5232 + 4360 ------ 48832

17,8 | 2- 16 |--------- | 8,9 18 - 18 ---- 0

 48× 9---- 432

№23

$\mathrm{18,9} · 250 = 4725$ (р.) - стоимость подготовки потолков под покраску. Шпатлёвка.

 × 18,9 250 ------ 9450 + 378 ------ 47250 = 4725

$\mathrm{18,9} · 70 = 1323$ (р.) - стоимость грунтовки потолков

 × 18,9 70 ------ 13230 = 1323

$\mathrm{18,9} · 200 = 3780$ (р.) - стоимость покраски потолков

 × 18,9 200 ------ 37800 = 3780

$\mathrm{61,03} - \mathrm{18,9} = \mathrm{42,13}$ (м²) - площадь стен

 61,03- 18,90------- 42,13

 × 42,13 250 ------- 21065 + 8426 ------- 1053250 = 10532,5

$\mathrm{42,13} · 70 = \mathrm{2949,1}$ (р.) - стоимость грунтовки стен

 × 42,13 70 ------- 294910 = 2949,1

$\mathrm{42,13} · 200 = 8426$ (р.) - стоимость покраски стен

 × 42,13 200 ------- 842600 = 8426

$\mathrm{17,8} · 30 = 534$ (р.) - стоимость установки потолочного плинтуса

 × 17,8 30 ------ 5340 = 534

$960 + \mathrm{3341,44} + 48832 + 432 + 410 = \mathrm{53975,44}$ (р.) - стоимость материалов

 3341,44 4301,44 48832,00 432+ 960,00 + 48832,00 + 432,00 + 410---------- ---------- ---------- ----- 4301,44 53133,44 49264,00 842 53133,44+ 842,00---------- 53975,44

$4725 + 1323 + 3780 + \mathrm{10532,5} + \mathrm{2949,1} + 8426 + 534 = \mathrm{32269,6}$ (р.) - стоимость отделочных работ

 4725 6048 10532,5 20360,5 23309,6 31735,6+ 1323 + 3780 + 9828,0 + 2949,1 + 8426,0 + 534,0------- ------- --------- --------- --------- --------- 6048 9828 20360,5 23309,6 31735,6 32269,6

$\mathrm{53975,44} + \mathrm{32269,6} = \mathrm{86245,04}$ (р.) - стоимость ремонта

 53975,44+ 32269,60---------- 86245,04

Ответ: $\mathrm{86245,04}$ рублей.

Для расчета общей стоимости ремонта необходимо последовательно выполнить несколько шагов: рассчитать площади ремонтируемых поверхностей, определить необходимое количество материалов и их стоимость, рассчитать стоимость работ и, наконец, сложить все затраты.

1. Расчет основных геометрических параметров помещения

Сначала найдем площадь потолка, площадь стен (за вычетом оконного и дверного проемов) и периметр потолка.

• Площадь потолка ($S_{потолка}$):
  Потолок представляет собой прямоугольник со сторонами $3,5$ м и $5,4$ м. $S_{потолка} = 3,5 \text{ м} \times 5,4 \text{ м} = 18,9 \text{ м}^2$.

• Площадь стен ($S_{стен}$):
  Сначала рассчитаем общую площадь всех стен без вычетов. Для этого найдем периметр комнаты ($P$) и умножим его на высоту ($h=2,6$ м).
  $P = 2 \times (3,5 \text{ м} + 5,4 \text{ м}) = 2 \times 8,9 \text{ м} = 17,8 \text{ м}$.
  Общая площадь стен: $S_{стен\_общая} = P \times h = 17,8 \text{ м} \times 2,6 \text{ м} = 46,28 \text{ м}^2$.
  Теперь вычтем площадь окна и двери.
  Площадь окна ($S_{окна}$): ширина $0,9+0,2+0,9 = 2,0$ м, высота $0,9$ м. $S_{окна} = 2,0 \text{ м} \times 0,9 \text{ м} = 1,8 \text{ м}^2$.
  Площадь двери ($S_{двери}$): ширина $0,8$ м, высота $2,0$ м. $S_{двери} = 0,8 \text{ м} \times 2,0 \text{ м} = 1,6 \text{ м}^2$.
  Итоговая площадь стен для ремонта: $S_{стен} = S_{стен\_общая} - S_{окна} - S_{двери} = 46,28 - 1,8 - 1,6 = 42,88 \text{ м}^2$.

• Периметр потолка ($P_{потолка}$):
  Периметр необходим для расчета длины потолочного плинтуса. Он равен периметру комнаты. $P_{потолка} = 17,8 \text{ м}$.

Ответ: Площадь потолка для ремонта составляет $18,9 \text{ м}^2$, площадь стен — $42,88 \text{ м}^2$, а периметр потолка — $17,8 \text{ м}$.

2. Расчет и заполнение сметы стоимости используемых материалов

Рассчитаем необходимое количество и стоимость каждого материала. Общая площадь для отделки (шпатлёвка, грунтовка, покраска) составляет $S_{общая} = S_{потолка} + S_{стен} = 18,9 + 42,88 = 61,78 \text{ м}^2$.

• Шпатлёвка:
  Расход: $0,9$ кг/м?. Всего нужно: $61,78 \text{ м}^2 \times 0,9 \text{ кг/м}^2 = 55,602$ кг.
  Упаковка: мешок 20 кг. Количество мешков: $55,602 / 20 = 2,78$. Округляем до целого в большую сторону: $3$ мешка.
  Сумма: $3 \text{ шт.} \times 320 \text{ р.} = 960$ р.

• Грунтовка:
  Расход: $0,2 - 0,35$ кг/м?. Возьмем максимальное значение для надежности: $0,35$ кг/м?.
  Всего нужно: $61,78 \text{ м}^2 \times 0,35 \text{ кг/м}^2 = 21,623$ кг.
  Упаковка: ведро 5 кг. Количество ведер: $21,623 / 5 = 4,32$. Округляем до целого: $5$ ведер.
  Сумма: $5 \text{ шт.} \times 835,36 \text{ р.} = 4176,8$ р.

• Краска для стен и потолка:
  Расход: $10$ м?/кг, что эквивалентно $0,1$ кг/м?.
  Всего нужно: $61,78 \text{ м}^2 \times 0,1 \text{ кг/м}^2 = 6,178$ кг.
  Упаковка: ведро 11 кг. Количество ведер: $6,178 / 11 = 0,56$. Округляем до целого: $1$ ведро.
  Сумма: $1 \text{ шт.} \times 872 \text{ р.} = 872$ р.

• Плинтус потолочный:
  Требуемая длина: $P_{потолка} = 17,8$ м.
  Упаковка: шт. по 2 м. Количество штук: $17,8 / 2 = 8,9$. Округляем до целого: $9$ шт.
  Сумма: $9 \text{ шт.} \times 48 \text{ р.} = 432$ р.

• Клей для плинтуса:
  Расход: 1 туба на 10 м. Требуемая длина: $17,8$ м.
  Количество туб: $17,8 / 10 = 1,78$. Округляем до целого: $2$ тубы.
  Сумма: $2 \text{ шт.} \times 205 \text{ р.} = 410$ р.

Заполненная смета материалов:

Ответ: Общая стоимость материалов составляет $6850,80$ р.

3. Расчет и заполнение сметы стоимости отделочных работ

Рассчитаем стоимость работ, используя найденные площади и периметр.

Ответ: Общая стоимость отделочных работ составляет $32659,60$ р.

4. Общая стоимость ремонта

Суммируем стоимость материалов и стоимость работ, чтобы получить итоговую стоимость ремонта.

Общая стоимость = Стоимость материалов + Стоимость работ

$6850,80 \text{ р.} + 32659,60 \text{ р.} = 39510,40 \text{ р.}$

Ответ: Общая стоимость ремонта стен и потолка комнаты составляет $39510,40$ рублей.