Номер 4.102, страница 144, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

22. Единицы измерения площадей. § 4. Площади и объёмы. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 4.102, страница 144.

4.102 На рисунке 4.15 изображена фигура PRSKLN.

а) Найдите площади и периметры трёх частей, на которые разбита эта фигура.

б) Найдите площадь и периметр всей фигуры.

в) Равна ли площадь фигуры сумме площадей её частей?

г) Равен ли периметр фигуры сумме периметров её частей? Объясните свой ответ.

а) Найдите площади и периметры трёх частей, на которые разбита эта фигура.

Фигура PRSKLN разделена на две прямоугольные части: квадрат RPOS и прямоугольник SKLM. Третьей частью будем считать всю фигуру PRSKLN целиком.

Часть 1: Квадрат RPOS

Стороны квадрата равны 3 см.
Площадь квадрата RPOS:
$S_1 = 3 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$
Периметр квадрата RPOS:
$P_1 = 4 \times 3 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Часть 2: Прямоугольник SKLM

Стороны прямоугольника равны 2 см и 4 см.
Площадь прямоугольника SKLM:
$S_2 = 2 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$
Периметр прямоугольника SKLM:
$P_2 = 2 \times (2 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \times 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Часть 3: Вся фигура PRSKLN

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей:
$S_{фигуры} = S_1 + S_2 = 9 \text{ см}^2 + 8 \text{ см}^2 = 17 \text{ см}^2$
Периметр всей фигуры — это сумма длин её внешних сторон: PR, RS, SK, KL, LN, NP.
$PR = 3 \text{ см}$
$RS = PO = 3 \text{ см}$
$SK = 2 \text{ см}$
$KL = 4 \text{ см}$
$LN = LM + MN = SK + RP = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$
$NP = NO + OP = KL + OP = 4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$
Периметр всей фигуры:
$P_{фигуры} = 3+3+2+4+5+7 = 24 \text{ см}$

Ответ: Площадь и периметр первой части (квадрата RPOS) — $9 \text{ см}^2$ и $12 \text{ см}$. Площадь и периметр второй части (прямоугольника SKLM) — $8 \text{ см}^2$ и $12 \text{ см}$. Площадь и периметр третьей части (всей фигуры) — $17 \text{ см}^2$ и $24 \text{ см}$.

б) Найдите площадь и периметр всей фигуры.

Как было рассчитано в пункте а), площадь всей фигуры PRSKLN равна сумме площадей её составляющих частей:
$S_{фигуры} = S_{RPOS} + S_{SKLM} = 9 \text{ см}^2 + 8 \text{ см}^2 = 17 \text{ см}^2$
Периметр всей фигуры — это сумма длин её внешних сторон (PR, RS, SK, KL, LN, NP):
$P_{фигуры} = 3 + 3 + 2 + 4 + 5 + 7 = 24 \text{ см}$

Ответ: Площадь всей фигуры равна $17 \text{ см}^2$, а периметр равен $24 \text{ см}$.

в) Равна ли площадь фигуры сумме площадей её частей?

Площадь фигуры $S_{фигуры} = 17 \text{ см}^2$.
Сумма площадей её частей (квадрата RPOS и прямоугольника SKLM) равна:
$S_1 + S_2 = 9 \text{ см}^2 + 8 \text{ см}^2 = 17 \text{ см}^2$.
$17 \text{ см}^2 = 17 \text{ см}^2$.
Да, площадь фигуры равна сумме площадей её частей, так как фигура составлена из этих частей без наложения друг на друга.

Ответ: Да, равна.

г) Равен ли периметр фигуры сумме периметров её частей? Объясните свой ответ.

Периметр фигуры $P_{фигуры} = 24 \text{ см}$.
Сумма периметров её частей (квадрата RPOS и прямоугольника SKLM) равна:
$P_1 + P_2 = 12 \text{ см} + 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$.
$24 \text{ см} = 24 \text{ см}$.
Да, в данном конкретном случае периметр фигуры оказался равен сумме периметров её частей.
Объяснение:
Сумма периметров частей $P_{сумма} = P_{RPOS} + P_{SKLM} = (PR + RS + SO + OP) + (SK + KL + LM + MS)$.
Периметр всей фигуры $P_{фигуры} = PR + RS + SK + KL + LN + NP$.
Мы знаем, что $LN = LM + RP$ и $NP = MS + OP$. Подставим это в формулу периметра фигуры:
$P_{фигуры} = PR + RS + SK + KL + (LM + RP) + (MS + OP)$.
Сравним выражения для $P_{сумма}$ и $P_{фигуры}$. Они отличаются одним слагаемым: в $P_{сумма}$ входит $SO$, а в $P_{фигуры}$ входит $RP$.
Так как RPOS — это прямоугольник (в данном случае квадрат), его противоположные стороны равны: $SO = RP = 3 \text{ см}$.
Поскольку $SO = RP$, то и $P_{сумма} = P_{фигуры}$. Это равенство выполняется из-за специфических размеров фигуры, но в общем случае периметр фигуры не равен сумме периметров её частей.

Ответ: Да, равен, так как в данной фигуре длина внутреннего отрезка $SO$ равна длине внешнего отрезка $RP$.