Страница 142, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Сколько квадратных метров содержит 1 а; 1 га?
Единица площади ар (а) представляет собой площадь квадрата со стороной 10 метров. Чтобы найти эту площадь, нужно перемножить длины сторон: $10 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 100 \text{ м}^2$. Таким образом, 1 ар равен 100 квадратным метрам. В быту ар часто называют "соткой".
Единица площади гектар (га) представляет собой площадь квадрата со стороной 100 метров. Его площадь равна $100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10 000 \text{ м}^2$. Таким образом, 1 гектар равен 10 000 квадратных метров.
Ответ: 1 а содержит 100 м?, 1 га содержит 10 000 м?.

Сколько гектаров содержит квадратный километр?
Квадратный километр ($1 \text{ км}^2$) — это площадь квадрата со стороной 1 километр. Поскольку $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, площадь одного квадратного километра в квадратных метрах составляет $1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1 000 000 \text{ м}^2$.
Как мы выяснили ранее, $1 \text{ га} = 10 000 \text{ м}^2$.
Чтобы определить, сколько гектаров в одном квадратном километре, разделим его площадь в метрах на площадь одного гектара: $\frac{1 000 000 \text{ м}^2}{10 000 \text{ м}^2} = 100$.
Ответ: Квадратный километр содержит 100 гектаров.

Объясните, почему 1 м? = 100 дм? = 10 000 см?.
Это соотношение вытекает из связи между линейными единицами измерения. Мы знаем, что в одном метре содержится 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$) и 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
Квадратный метр ($1 \text{ м}^2$) — это площадь квадрата со стороной 1 м.
Если измерить сторону этого квадрата в дециметрах, она будет равна 10 дм. Тогда его площадь будет $10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$.
Если измерить сторону в сантиметрах, она будет равна 100 см. Тогда его площадь будет $100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10 000 \text{ см}^2$.
Таким образом, площадь одного и того же квадрата может быть выражена по-разному: $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2 = 10 000 \text{ см}^2$.
Ответ: Равенство справедливо, так как при переходе к единицам площади коэффициент перевода линейных единиц возводится в квадрат: $1 \text{ м}^2 = (10 \text{ дм})^2 = 100 \text{ дм}^2$ и $1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 10 000 \text{ см}^2$.

Попробуйте объяснить значение слова сотка.
Слово "сотка" — это общепринятое бытовое название для единицы измерения площади, которая официально называется ар. Своё название "сотка" получила от слова "сто", потому что она равна ста квадратным метрам ($100 \text{ м}^2$). Это площадь квадрата со сторонами 10 на 10 метров. Сотка очень удобна для измерения небольших земельных участков, таких как дачи или огороды. Например, участок в "шесть соток" имеет площадь $6 \times 100 \text{ м}^2 = 600 \text{ м}^2$.
Ответ: Сотка — это единица площади, равная 100 квадратным метрам, то же самое, что и 1 ар.

Во сколько раз каждая последующая единица площади больше предыдущей?
Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо упорядочить единицы площади по возрастанию. Общепринятый ряд выглядит так: квадратный миллиметр ($мм^2$), квадратный сантиметр ($см^2$), квадратный дециметр ($дм^2$), квадратный метр ($м^2$), ар (а), гектар (га), квадратный километр ($км^2$).
Теперь рассмотрим соотношения между соседними (последующей и предыдущей) единицами в этом ряду:

• $1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$ (в 100 раз больше)
• $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$ (в 100 раз больше)
• $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$ (в 100 раз больше)
• $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$ (в 100 раз больше)
• $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$ (в 100 раз больше)
• $1 \text{ км}^2 = 100 \text{ га}$ (в 100 раз больше)

Каждый шаг в этом ряду увеличивает площадь в 100 раз. Это происходит потому, что линейные размеры на каждом шаге (кроме перехода м? -> а -> га -> км?) отличаются в 10 раз, а при возведении в квадрат ($10^2$) получается 100. Для аров и гектаров соотношение также равно 100.
Ответ: В ряду $мм^2, см^2, дм^2, м^2, а, га, км^2$ каждая последующая единица площади в 100 раз больше предыдущей.

Расположите в порядке убывания площади: 1 см?, 1 км?, 1 мм?, 1 а, 1 м?, 1 дм?, 1 га.
Чтобы сравнить эти величины, переведём их все в одну единицу измерения, например, в квадратные метры ($м^2$).

• $1 \text{ км}^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$
• $1 \text{ га} = 10 000 \text{ м}^2$
• $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$
• $1 \text{ м}^2 = 1 \text{ м}^2$
• $1 \text{ дм}^2 = 0.01 \text{ м}^2$
• $1 \text{ см}^2 = 0.0001 \text{ м}^2$
• $1 \text{ мм}^2 = 0.000001 \text{ м}^2$

Теперь расположим их в порядке убывания (от наибольшей к наименьшей): $1 \text{ км}^2$ (самая большая), затем $1 \text{ га}$, $1 \text{ а}$, $1 \text{ м}^2$, $1 \text{ дм}^2$, $1 \text{ см}^2$ и, наконец, $1 \text{ мм}^2$ (самая маленькая).
Ответ: $1 \text{ км}^2, 1 \text{ га}, 1 \text{ а}, 1 \text{ м}^2, 1 \text{ дм}^2, 1 \text{ см}^2, 1 \text{ мм}^2$.

4.79 Площадь каждой клетки на рисунке 4.12 равна 16 мм². Найдите площади фигур.

Для решения задачи нам дано, что площадь одной клетки на рисунке составляет $16 \text{ мм}^2$. Чтобы найти площади фигур, мы посчитаем, сколько клеток занимает каждая фигура, а затем умножим это количество на площадь одной клетки.

Площадь фиолетовой фигуры

Фиолетовая фигура представляет собой сложный многоугольник с прямоугольным отверстием внутри. Наиболее простой способ найти её площадь — это посчитать количество клеток, которые она занимает. Мы можем сделать это, посчитав площадь внешней contorno фигуры и вычтя из неё площадь отверстия.

1. Найдем площадь внешнего контура фигуры (без учета отверстия), суммируя клетки по столбцам:

• Первый столбец слева состоит из одного целого квадрата и двух треугольников, каждый из которых равен половине квадрата. Его площадь: $1 + 2 \times 0.5 = 2$ клетки.
• Второй столбец: 5 целых клеток.
• Третий столбец: 5 целых клеток.
• Четвертый столбец: 5 целых клеток.
• Пятый столбец: 4 целые клетки.

Площадь внешнего контура: $S_{внеш} = 2 + 5 + 5 + 5 + 4 = 21$ клетка.

2. Найдем площадь внутреннего прямоугольного отверстия.

Отверстие имеет размеры 1 клетка в ширину и 3 клетки в высоту. Его площадь: $S_{отв} = 1 \times 3 = 3$ клетки.

3. Вычислим итоговую площадь фигуры в клетках.

Площадь фиолетовой фигуры равна разности площади внешнего контура и площади отверстия: $S_{фигуры} = S_{внеш} - S_{отв} = 21 - 3 = 18$ клеток.

4. Переведем площадь в мм?.

Умножим количество клеток на площадь одной клетки: $S = 18 \times 16 \text{ мм}^2 = 288 \text{ мм}^2$.

Ответ: Площадь фиолетовой фигуры равна $288 \text{ мм}^2$.

Площадь желтой фигуры

Желтая фигура имеет криволинейные границы. В таких задачах часто используется принцип компенсации: площадь добавленных частей равна площади удаленных частей. Проверим эту гипотезу.

1. Рассмотрим фигуру как комбинацию частей.

Фигуру можно представить как основной прямоугольник размером $3 \times 3$ клетки, к которому слева добавлены два выступа, а справа из него вырезано круглое отверстие.

2. Найдем площади добавленных и удаленных частей.

• Два выступа слева представляют собой два полукруга. Радиус каждого из них равен 1 стороне клетки ($r=1$). Суммарная площадь двух таких полукругов равна площади целого круга с тем же радиусом: $S_{добавлено} = 2 \times (\frac{1}{2}\pi r^2) = \pi r^2 = \pi \times 1^2 = \pi$ клеток.
• Отверстие справа — это круг, радиус которого также равен 1 стороне клетки ($r=1$). Его площадь: $S_{удалено} = \pi r^2 = \pi \times 1^2 = \pi$ клеток.

3. Применим принцип компенсации.

Поскольку площадь добавленных выступов ($ \pi $ клеток) равна площади удаленного отверстия ($ \pi $ клеток), они компенсируют друг друга. Это означает, что общая площадь фигуры будет равна площади оставшейся прямолинейной части.

Оставшаяся часть — это прямоугольник размером $3 \times 3$ клетки. Его площадь $S_{фигуры} = 3 \times 3 = 9$ клеток.

4. Переведем площадь в мм?.

Умножим количество клеток на площадь одной клетки: $S = 9 \times 16 \text{ мм}^2 = 144 \text{ мм}^2$.

Ответ: Площадь желтой фигуры равна $144 \text{ мм}^2$.

4.80 Вычислите площадь квадрата, сторона которого равна 1 дм 5 см.

Для того чтобы вычислить площадь квадрата, необходимо сначала выразить длину его стороны в одной единице измерения. Длина стороны квадрата равна 1 дм 5 см.

Проще всего перевести все в сантиметры. Мы знаем, что в одном дециметре содержится 10 сантиметров:

$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

Следовательно, длина стороны $a$ в сантиметрах будет равна:

$a = 1 \text{ дм } 5 \text{ см} = 1 \times 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле:

$S = a^2$

Подставим значение длины стороны в формулу:

$S = (15 \text{ см})^2 = 15 \times 15 = 225 \text{ см}^2$

Также можно было выполнить вычисления в дециметрах. Для этого переведем 5 см в дециметры ($5 \text{ см} = 0.5 \text{ дм}$) и получим длину стороны $a = 1.5 \text{ дм}$. Тогда площадь будет $S = (1.5 \text{ дм})^2 = 2.25 \text{ дм}^2$. Оба результата эквивалентны.

Ответ: $225 \text{ см}^2$.

4.81 Ширина прямоугольника 10 см 3 мм, а длина в 7 раз больше. Вычислите его площадь.

Ширина - 10 см 3 мм

Длина - в 7 раз больше

$S - ?$

1) 10 см 3 мм = 103 мм

$103·7 = 721\text{(мм)}$ - длина

2) $103·721 = 74263{\text{(мм}}^2\text{)}$

$\begin{array}{rr}\text{x}& 721\\ & 103\\ & \overline{2163}\\ + & 721\\ & \overline{74263}\end{array}$

Ответ: $74263{\text{мм}}^2$

Для вычисления площади прямоугольника ($S$) необходимо умножить его длину ($l$) на ширину ($w$). Формула площади: $S = l \times w$.

1. Найдём размеры сторон в одной единице измерения.
Удобнее всего перевести все размеры в миллиметры (мм). Мы знаем, что в 1 сантиметре (см) содержится 10 миллиметров.
Ширина прямоугольника $w = 10 \text{ см } 3 \text{ мм}$.
$w = (10 \times 10) \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 100 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 103 \text{ мм}$.

2. Вычислим длину прямоугольника.
По условию задачи, длина в 7 раз больше ширины:
$l = w \times 7 = 103 \text{ мм} \times 7 = 721 \text{ мм}$.

3. Вычислим площадь прямоугольника.
Теперь, зная длину и ширину, можем найти площадь:
$S = l \times w = 721 \text{ мм} \times 103 \text{ мм} = 74263 \text{ мм}^2$.

4. Переведём результат в более крупные единицы.
Площадь можно выразить в квадратных сантиметрах (см?). Так как $1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$, то:
$S = 74263 \text{ мм}^2 = \frac{74263}{100} \text{ см}^2 = 742,63 \text{ см}^2$.
Это значение также можно записать как 742 см? 63 мм?.

Ответ: $742,63 \text{ см}^2$ (или $74263 \text{ мм}^2$).

4.82 Вычислите площадь прямоугольника, если у него одна сторона равна 8 м 14 см, а другая в 2 раза меньше.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти длины обеих сторон прямоугольника в одинаковых единицах измерения, а затем вычислить их произведение. Удобнее всего перевести все размеры в сантиметры.

1. Найдем длину первой стороны ($a$) в сантиметрах. Так как в 1 метре 100 сантиметров, то:
$a = 8 \text{ м } 14 \text{ см} = 8 \times 100 \text{ см} + 14 \text{ см} = 814 \text{ см}$.

2. Найдем длину второй стороны ($b$). По условию, она в 2 раза меньше первой:
$b = 814 \text{ см} \div 2 = 407 \text{ см}$.

3. Вычислим площадь прямоугольника ($S$) по формуле $S = a \times b$:
$S = 814 \text{ см} \times 407 \text{ см} = 331298 \text{ см}^2$.

Полученный результат можно также выразить в квадратных метрах. Учитывая, что $1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$:
$S = 331298 \text{ см}^2 = 33.1298 \text{ м}^2$.

Ответ: площадь прямоугольника равна $331298 \text{ см}^2$ (или $33.1298 \text{ м}^2$).

4.83 Найдите длину картофельной гряды, если её ширина 60 см, а площадь 12 м².

Для решения этой задачи необходимо найти длину прямоугольной грядки, зная её площадь и ширину. Предположим, что грядка имеет форму прямоугольника. Формула для вычисления площади прямоугольника выглядит следующим образом:

$S = a \cdot b$

где $S$ — это площадь, $a$ — длина, а $b$ — ширина.

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:

• Площадь $S = 12 \, \text{м}^2$
• Ширина $b = 60 \, \text{см}$

Для того чтобы произвести расчеты, необходимо, чтобы все величины были в одних и тех же единицах измерения. В данном случае площадь указана в квадратных метрах, а ширина — в сантиметрах. Переведём ширину из сантиметров в метры.

Мы знаем, что в одном метре 100 сантиметров ($1 \, \text{м} = 100 \, \text{см}$). Следовательно:

$b = 60 \, \text{см} = \frac{60}{100} \, \text{м} = 0,6 \, \text{м}$

Теперь, когда все данные приведены к единой системе измерений, мы можем найти длину грядки. Для этого выразим длину $a$ из формулы площади:

$a = \frac{S}{b}$

Подставим известные нам значения в эту формулу:

$a = \frac{12 \, \text{м}^2}{0,6 \, \text{м}} = 20 \, \text{м}$

Ответ: 20 м.

4.84 Найдите ширину прямоугольного склада, если длина склада равна 79 м, а его площадь - 3634 м².

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле произведения его длины ($a$) на ширину ($b$): $S = a \cdot b$.

Согласно условию задачи, нам известны следующие величины:
Длина склада $a = 79$ м.
Площадь склада $S = 3634$ м?.

Для того чтобы найти ширину склада ($b$), необходимо выразить ее из формулы площади. Для этого нужно площадь разделить на известную длину:
$b = \frac{S}{a}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:
$b = \frac{3634}{79}$

Выполним деление:
$b = 46$ м.
Таким образом, ширина прямоугольного склада составляет 46 метров.
Ответ: 46 м.

4.85 Чему равна площадь прямоугольного парка, если его ширина 2 км, а длина на 1 км больше? Выразите эту площадь в гектарах.

Ширина - 2км,

Длина - на 1км больше

S-?

$S = ab$, где a - длина, в-ширина

1) $2 + 1 = 3\text{(км)}$ - длина парка

2) $2 · 3 = 6\left({\text{км}}^2\right)$ - площадь парка

$1{\text{км}}^2 = 1000\text{м} · 1000\text{м} =$

$= \text{1000 000}{\text{м}}^2$

$6{\text{км}}^2 = \text{6 000 000}{\text{м}}^2 = 600\text{га}$

Ответ: 600 га

Для того чтобы найти площадь прямоугольного парка и выразить ее в гектарах, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти длину парка.
Из условия задачи известно, что ширина парка равна $2$ км, а его длина на $1$ км больше. Таким образом, длина парка составляет:
$2 \text{ км} + 1 \text{ км} = 3 \text{ км}$

2. Вычислить площадь парка в квадратных километрах.
Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле произведения его длины ($a$) на ширину ($b$):
$S = a \cdot b$
Подставим найденные значения длины и ширины:
$S = 3 \text{ км} \cdot 2 \text{ км} = 6 \text{ км}^2$

3. Выразить площадь в гектарах.
Чтобы перевести квадратные километры в гектары (га), нужно знать, что $1 \text{ км}^2$ равен $100$ гектарам.
$1 \text{ км}^2 = 100 \text{ га}$
Следовательно, площадь парка в гектарах равна:
$6 \text{ км}^2 = 6 \cdot 100 \text{ га} = 600 \text{ га}$

Ответ: площадь прямоугольного парка равна $6 \text{ км}^2$, что составляет $600$ гектаров.

6.369 В пузырьке содержится 0,25 л лекарства. Сколько доз лекарства содержится в пузырьке, если доза составляет 4 мл (0,004 л) лекарства?

$4\text{ мл} = \mathrm{0,004}\text{ л}$

$\mathrm{0,25} : \mathrm{0,004} = \mathrm{0,250} : \mathrm{0,004} =$

$= 250 : 4 = \mathrm{250,0} : 4 = \mathrm{62,5}\text{ (доз)}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{250,0}& 4\\ \text{−}24& \mathrm{62,5}\\ \text{——}& \\ \text{−}10& \\ 8& \\ \text{——}& \\ \text{−}20& \\ 20& \\ \text{——}& \\ 0& \end{array}$

Ответ: $\mathrm{62,5}\text{доз}$

Для того чтобы найти, сколько доз лекарства содержится в пузырьке, необходимо общий объем лекарства разделить на объем одной дозы. В условии задачи оба объема даны в литрах, поэтому можно сразу приступать к вычислениям.

Общий объем лекарства в пузырьке: $V_{общий} = 0,25$ л.
Объем одной дозы: $V_{доза} = 0,004$ л.

Найдем количество доз $N$, разделив общий объем на объем одной дозы:
$N = \frac{V_{общий}}{V_{доза}} = \frac{0,25}{0,004}$

Чтобы упростить деление, можно избавиться от десятичных дробей, умножив и числитель, и знаменатель на 1000:
$N = \frac{0,25 \times 1000}{0,004 \times 1000} = \frac{250}{4}$

Теперь выполним деление:
$N = 62,5$

Таким образом, в пузырьке содержится 62,5 дозы лекарства.

Ответ: 62,5 дозы.

6.370 В коробке было 10,5 кг конфет. Продавец расфасовал 35 всех конфет. Сколько килограммов конфет ему осталось расфасовать? Решите задачу двумя способами.

Способ 1

В этом способе мы сначала вычислим, сколько килограммов конфет продавец расфасовал, а затем вычтем это значение из общего веса.

1. Найдем массу конфет, которую продавец расфасовал. Это составляет $\frac{3}{5}$ от общего количества. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

$10.5 \cdot \frac{3}{5} = \frac{105}{10} \cdot \frac{3}{5} = \frac{21}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{63}{10} = 6.3$ кг.

Итак, продавец расфасовал 6,3 кг конфет.

2. Теперь найдем, сколько килограммов конфет осталось расфасовать. Для этого из общего веса конфет вычтем вес уже расфасованных.

$10.5 - 6.3 = 4.2$ кг.

Ответ: осталось расфасовать 4,2 кг конфет.

Способ 2

В этом способе мы сначала определим, какая часть конфет осталась нерасфасованной, а затем найдем, сколько это составляет в килограммах.

1. Примем все конфеты за единицу (1). Продавец расфасовал $\frac{3}{5}$ всех конфет. Найдем, какая часть конфет осталась.

$1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.

Следовательно, осталось расфасовать $\frac{2}{5}$ всех конфет.

2. Теперь найдем массу этой части. Для этого умножим общий вес конфет на оставшуюся часть.

$10.5 \cdot \frac{2}{5} = \frac{105}{10} \cdot \frac{2}{5} = \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{21}{5} = 4.2$ кг.

Ответ: осталось расфасовать 4,2 кг конфет.

6.371 Со склада в торговый зал магазина было отправлено 90,6 кг картофеля, что составило 58 всего картофеля, имеющегося на складе. Сколько картофеля осталось на складе?

Для решения этой задачи необходимо определить, какая масса картофеля осталась на складе.

Шаг 1: Находим массу одной части картофеля.

Из условия известно, что 90,6 кг составляют $\frac{5}{8}$ всего картофеля. Это означает, что все запасы картофеля были условно разделены на 8 равных частей, и 5 из этих частей весят 90,6 кг. Чтобы найти массу одной такой части ($\frac{1}{8}$), разделим известный вес на количество частей, которое он составляет: $90,6 \div 5 = 18,12$ кг.

Шаг 2: Находим, какая часть картофеля осталась на складе.

Если весь картофель на складе принять за 1 (или $\frac{8}{8}$), а в торговый зал отправили $\frac{5}{8}$, то на складе осталась следующая часть: $1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

Шаг 3: Находим массу оставшегося картофеля.

На складе осталось $\frac{3}{8}$ картофеля. Поскольку мы уже знаем, что одна часть ($\frac{1}{8}$) весит 18,12 кг, то для нахождения массы трех таких частей нужно умножить вес одной части на 3: $18,12 \cdot 3 = 54,36$ кг.

Альтернативный способ:

Можно сначала найти общую массу картофеля на складе. Так как $\frac{1}{8}$ весит 18,12 кг, то весь картофель ($\frac{8}{8}$) будет весить: $18,12 \cdot 8 = 144,96$ кг. Теперь из общей массы вычтем массу картофеля, отправленного в торговый зал: $144,96 - 90,6 = 54,36$ кг. Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 54,36 кг.

6.372 Найдите значение выражения:

а) Решим выражение по действиям. Сначала выполним действие в скобках, затем деление и сложение.

1. Преобразуем компоненты в скобках к одному виду, например, к десятичным дробям. $4\frac{3}{4}$ это $4,75$.
$4\frac{3}{4} - 0,25 = 4,75 - 0,25 = 4,5$

2. Выполним деление.
$9,45 : 4,5 = 2,1$

3. Выполним сложение.
$2,1 + 2,9 = 5$

Таким образом, $9,45 : (4\frac{3}{4} - 0,25) + 2,9 = 9,45 : 4,5 + 2,9 = 2,1 + 2,9 = 5$.
Ответ: 5

б) Сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя, и в конце разделим первое на второе.

1. Вычислим числитель. Преобразуем $1\frac{1}{5}$ в десятичную дробь: $1\frac{1}{5} = 1,2$.
$2 \cdot 2,3 + 1\frac{1}{5} = 4,6 + 1,2 = 5,8$

2. Вычислим знаменатель.
$1,5 \cdot 2,3 - 0,55 = 3,45 - 0,55 = 2,9$

3. Разделим числитель на знаменатель.
$\frac{5,8}{2,9} = 2$

Таким образом, $\frac{2 \cdot 2,3 + 1\frac{1}{5}}{1,5 \cdot 2,3 - 0,55} = \frac{5,8}{2,9} = 2$.
Ответ: 2

в) Решим выражение по действиям, соблюдая порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение.

1. Выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 42.
$\frac{3}{14} + \frac{4}{21} = \frac{3 \cdot 3}{42} + \frac{4 \cdot 2}{42} = \frac{9+8}{42} = \frac{17}{42}$

2. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$2\frac{8}{17} = \frac{2 \cdot 17 + 8}{17} = \frac{34 + 8}{17} = \frac{42}{17}$

3. Выполним умножение результата первого действия на результат второго.
$\frac{17}{42} \cdot \frac{42}{17} = 1$

4. Выполним деление в левой части выражения.
$3,328 : 5,2 = 0,64$

5. Выполним сложение результатов.
$0,64 + 1 = 1,64$

Таким образом, $3,328 : 5,2 + (\frac{3}{14} + \frac{4}{21}) \cdot 2\frac{8}{17} = 0,64 + 1 = 1,64$.
Ответ: 1,64

1 Выполните деление:

а) 3,6 : 0,1;

б) 36,82 : 0,01;

в) 3,682 : 0,0001;

г) 3 : 0,00001.

Для выполнения деления на десятичную дробь используется следующее правило: в делимом и делителе необходимо перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе. После этого выполняется деление на получившееся натуральное число. Эта операция эквивалентна умножению делимого на 10, 100, 1000 и т.д., в зависимости от количества знаков в делителе.

а) Чтобы разделить $3,6$ на $0,1$, нужно перенести запятую в делимом и делителе на один знак вправо, так как в делителе $0,1$ один знак после запятой.

$3,6 : 0,1 = 36 : 1 = 36$

Ответ: $36$

б) Чтобы разделить $36,82$ на $0,01$, нужно перенести запятую в обоих числах на два знака вправо, так как в делителе $0,01$ два знака после запятой.

$36,82 : 0,01 = 3682 : 1 = 3682$

Ответ: $3682$

в) Чтобы разделить $3,682$ на $0,0001$, нужно перенести запятую в обоих числах на четыре знака вправо, так как в делителе $0,0001$ четыре знака после запятой. Поскольку в делимом $3,682$ только три знака после запятой, мы дописываем недостающий знак нулем.

$3,682 : 0,0001 = 3,6820 : 0,0001 = 36820 : 1 = 36820$

Ответ: $36820$

г) Чтобы разделить $3$ на $0,00001$, нужно перенести запятую в обоих числах на пять знаков вправо. Целое число $3$ можно представить в виде десятичной дроби $3,00000$, добавив необходимое количество нулей.

$3 : 0,00001 = 3,00000 : 0,00001 = 300000 : 1 = 300000$

Ответ: $300000$

2 Найдите частное:

а) 6,405 : 3,05;

б) 42,436 : 41,2.

a) Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.
В выражении $6,405 : 3,05$ делитель $3,05$ имеет два знака после запятой. Перенесем запятую на два знака вправо в обоих числах. Это равносильно умножению и делимого, и делителя на 100:
$6,405 \times 100 = 640,5$
$3,05 \times 100 = 305$
Теперь задача сводится к делению $640,5$ на $305$. Выполним деление в столбик:
1. Делим целую часть $640$ на $305$. Ближайшее произведение, не превышающее $640$, это $305 \times 2 = 610$. Записываем $2$ в целую часть частного.
$640 - 610 = 30$. Остаток $30$.
2. Целая часть делимого закончилась, поэтому в частном ставим запятую.
3. Сносим следующую цифру из дробной части делимого – $5$. Получаем число $305$.
4. Делим $305$ на $305$. Получаем $1$. Записываем $1$ в дробную часть частного.
$305 - 305 = 0$. Остаток $0$. Деление завершено.
Таким образом, $6,405 : 3,05 = 2,1$.
Ответ: 2,1.

б) Аналогично первому пункту, преобразуем делитель в целое число.
В выражении $42,436 : 41,2$ в делителе $41,2$ один знак после запятой. Перенесем запятую на один знак вправо в обоих числах, умножив их на 10:
$42,436 \times 10 = 424,36$
$41,2 \times 10 = 412$
Теперь выполним деление $424,36$ на $412$ столбиком.
1. Делим целую часть $424$ на $412$. Получаем $1$. Записываем $1$ в целую часть частного.
$424 - 412 = 12$. Остаток $12$.
2. В частном ставим запятую, так как целая часть делимого закончилась.
3. Сносим следующую цифру из дробной части – $3$. Получаем число $123$.
4. $123$ меньше, чем $412$, поэтому в частное после запятой пишем $0$.
5. Сносим следующую цифру – $6$. Получаем число $1236$.
6. Делим $1236$ на $412$. Подбираем множитель: $412 \times 3 = 1236$. Получаем $3$. Записываем $3$ в частное.
$1236 - 1236 = 0$. Остаток $0$. Деление завершено.
Таким образом, $42,436 : 41,2 = 1,03$.
Ответ: 1,03.

3 Запишите выражение и найдите его значение:

а) частное 32,3 и 0,17;

б) разность частного чисел 135 и 0,9 и числа 100,01;

в) сумма частного чисел 2,835 и 4,5 и произведения чисел 1,2 и 0,3.

а) частное 32,3 и 0,17;

Запишем выражение для нахождения частного чисел 32,3 и 0,17:

$32,3 : 0,17$

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь, избавимся от запятой в делителе. Для этого умножим и делимое (32,3), и делитель (0,17) на 100:

$32,3 : 0,17 = (32,3 \cdot 100) : (0,17 \cdot 100) = 3230 : 17$

Теперь выполним деление целых чисел:

$3230 : 17 = 190$

Ответ: 190.

б) разность частного чисел 135 и 0,9 и числа 100,01;

Запишем выражение. Сначала найдем частное чисел 135 и 0,9, а затем из полученного результата вычтем число 100,01:

$(135 : 0,9) - 100,01$

Выполним действия по порядку:

1. Находим частное. Умножим делимое и делитель на 10:

$135 : 0,9 = (135 \cdot 10) : (0,9 \cdot 10) = 1350 : 9 = 150$

2. Находим разность:

$150 - 100,01 = 49,99$

Ответ: 49,99.

в) сумма частного чисел 2,835 и 4,5 и произведения чисел 1,2 и 0,3.

Запишем выражение. Оно представляет собой сумму двух слагаемых: первое — это частное чисел 2,835 и 4,5, а второе — произведение чисел 1,2 и 0,3:

$(2,835 : 4,5) + (1,2 \cdot 0,3)$

Выполним действия по порядку:

1. Находим частное. Умножим делимое и делитель на 10:

$2,835 : 4,5 = (2,835 \cdot 10) : (4,5 \cdot 10) = 28,35 : 45 = 0,63$

2. Находим произведение:

$1,2 \cdot 0,3 = 0,36$

3. Находим сумму полученных результатов:

$0,63 + 0,36 = 0,99$

Ответ: 0,99.

4 Найдите значение буквенного выражения при а = 0,7;

6,57 : (а + 0,2) + 7,56 : (а - 0,2).

N4

$6,57 : (a + 0,2) + 7,56 : (a - 0,2)$

при $a = 0,7$

$6,57 : (0,7 + 0,2) + 7,56 : (0,7 - 0,2) =$

$= 6,57 : 0,9 + 7,56 : 0,5 = 22,42$

1) $6,57 : 0,9 = 65,7 : 9 = 7,3$

$- 65,763 - 27270|\begin{array}{l}9\\ 7,3\end{array}$

2) $7,56 : 0,5 = 75,6 : 5 = 15,12$

$- 75,605 - 2525 - 65 - 10100|\begin{array}{l}5\\ 15,12\end{array}$

3) $+ 15,127,3022,42$

Чтобы найти значение данного буквенного выражения, необходимо подставить значение $a = 0,7$ в выражение $6,57 : (a + 0,2) + 7,56 : (a - 0,2)$.

Подставляем значение $a$:

$6,57 : (0,7 + 0,2) + 7,56 : (0,7 - 0,2)$

Далее решаем по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем деление, затем сложение).

1. Вычисляем значения в скобках:

Первая скобка: $0,7 + 0,2 = 0,9$

Вторая скобка: $0,7 - 0,2 = 0,5$

После вычислений в скобках выражение принимает вид:

$6,57 : 0,9 + 7,56 : 0,5$

2. Выполняем деление:

Первое деление: $6,57 : 0,9$. Чтобы упростить деление, можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от дроби в делителе: $65,7 : 9 = 7,3$.

Второе деление: $7,56 : 0,5$. Деление на $0,5$ эквивалентно умножению на 2: $7,56 \cdot 2 = 15,12$.

3. Выполняем сложение:

Складываем полученные результаты: $7,3 + 15,12 = 22,42$.

Ответ: $22,42$

1 Найдите х, если:

а) (x + 8,6) • 0,4 = 4,92;

б) 110,16 : (24,6 + x) = 1,8.

N1

а) $(x + 8,6)·0,4 = 4,92$

$x + 8,6 = 4,92 : 0,4$

x + 8,6 = 49,2 : 4

$x + 8,6 = 12,3$

$x = 12,3 - 8,6$

$x = 3,7$

Ответ: 3,7

$\begin{array}{rr}49,2& 4\\ \underset{}{4}& 12,3\\ & \\ - 9& \\ \underset{}{8}& \\ & \\ - 12& \\ \underset{}{12}& \\ & \\ 0& \end{array}$

$\begin{array}{r}12,3\\ - 8,6\\ \\ 3,7\end{array}$

б) $110,16 : (24,6 + x) = 1,8$

$24,6 + x = 110,16 : 1,8$

$24,6 + x = 1101,6 : 18$

$24,6 + x = 61,2$

$x = 61,2 - 24,6$

$x = 36,6$

Ответ: 36,6

$\begin{array}{rr}1101,6& 18\\ \underset{}{108}& 61,2\\ & \\ - 21& \\ \underset{}{18}& \\ & \\ - 36& \\ \underset{}{36}& \\ & \\ 0& \end{array}$

$\begin{array}{r}61,2\\ - 24,6\\ \\ 36,6\end{array}$

а) В данном уравнении $(x + 8,6) \cdot 0,4 = 4,92$ выражение в скобках $(x + 8,6)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение $(4,92)$ разделить на известный множитель $(0,4)$.
$x + 8,6 = 4,92 : 0,4$
Выполним деление:
$4,92 : 0,4 = 49,2 : 4 = 12,3$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$x + 8,6 = 12,3$
Теперь $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти $x$, нужно из суммы $(12,3)$ вычесть известное слагаемое $(8,6)$.
$x = 12,3 - 8,6$
$x = 3,7$
Ответ: 3,7

б) В уравнении $110,16 : (24,6 + x) = 1,8$ выражение в скобках $(24,6 + x)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое $(110,16)$ разделить на частное $(1,8)$.
$24,6 + x = 110,16 : 1,8$
Выполним деление:
$110,16 : 1,8 = 1101,6 : 18 = 61,2$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$24,6 + x = 61,2$
Теперь $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти $x$, нужно из суммы $(61,2)$ вычесть известное слагаемое $(24,6)$.
$x = 61,2 - 24,6$
$x = 36,6$
Ответ: 36,6

2 Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и вычислите: $\left(2\frac{1}{2}-1,5\right):0,002-0,1.$

Для вычисления значения выражения $(2\frac{1}{2} - 1,5) : 0,002 - 0,1$ необходимо выполнить действия в определенном порядке: сначала действия в скобках, затем деление и в последнюю очередь вычитание.

1. Преобразование обыкновенной дроби и вычисление в скобках.

Согласно заданию, представим смешанную дробь $2\frac{1}{2}$ в виде десятичной. Для этого преобразуем дробную часть: $\frac{1}{2} = 1 : 2 = 0,5$.

Таким образом, $2\frac{1}{2} = 2 + 0,5 = 2,5$.

Теперь выполним действие в скобках:

$2,5 - 1,5 = 1$

2. Выполнение деления.

Результат, полученный в скобках, разделим на $0,002$:

$1 : 0,002$

Чтобы упростить деление, можно умножить делимое и делитель на $1000$:

$(1 \times 1000) : (0,002 \times 1000) = 1000 : 2 = 500$

3. Выполнение вычитания.

Из результата деления вычтем $0,1$:

$500 - 0,1 = 499,9$

Ответ: $499,9$.

3 Какую площадь можно засеять 23 кг семян гречихи при расходе 12,5 г семян на 1 м²?

$23\text{кг} = 23000\text{г}$

$23000 : \mathrm{12,5} = \mathrm{23000,0} : \mathrm{12,5} =$

$= 230000 : 125 = 1840\left({\text{м}}^2\right)$

$1840$

$\overline{230000}|125$

$\text{-}125$

$\text{-----}$

$1050$

$\text{-}1000$

$\text{----}$

$500$

$\text{-}500$

$\text{----}$

$0$

Ответ: $1840{\text{м}}^2$

Для того чтобы определить, какую площадь можно засеять, необходимо сперва привести единицы измерения массы к одному виду. В задаче дано общее количество семян в килограммах (кг) и расход семян на 1 квадратный метр в граммах (г). Переведем килограммы в граммы, зная, что 1 кг = 1000 г.

Общая масса семян:$M = 23 \text{ кг} = 23 \times 1000 \text{ г} = 23000 \text{ г}$

Расход семян на 1 м? составляет:$m = 12,5 \text{ г/м}^2$

Теперь, чтобы найти общую площадь $S$, которую можно засеять, разделим общую массу имеющихся семян на расход семян на один квадратный метр:

$S = \frac{M}{m} = \frac{23000 \text{ г}}{12,5 \text{ г/м}^2}$

Выполним деление:

$S = 1840 \text{ м}^2$

Ответ: 23 кг семян гречихи можно засеять площадь в 1840 м².

4* Три сестры одновременно вышли из дома и отправились в школу. Полина шла со скоростью 4,8 км/ч. Выйдя из дома, Юля поняла, что забыла сменную обувь, и ей пришлось вернуться. Задержавшись на 0,05 ч, она шла со скоростью 6,4 км/ч. Наташа шла со скоростью 5 км/ч, но 0,1 ч разговаривала с подружкой возле подъезда. Кто из девочек пришёл в школу раньше, если расстояние до школы равно 0,96 км?

N4

1) $\mathrm{0,96} : \mathrm{4,8} = \mathrm{9,6} : 48 = \mathrm{0,2}\left(\text{ч}\right)$ - потратила на дорогу Полина

2) $\mathrm{0,96} : \mathrm{6,4} = \mathrm{9,6} : 64 = \mathrm{0,15}\left(\text{ч}\right)$ - потратила на дорогу Юля

3) $\mathrm{0,15} + \mathrm{0,05} = \mathrm{0,2}\left(\text{ч}\right)$ - за такое время Юля пришла в школу

4) $\mathrm{0,96} : 5 = \mathrm{0,192}\left(\text{ч}\right)$ - потратила на дорогу Наташа

5) $\mathrm{0,192} + \mathrm{0,1} = \mathrm{0,292}\left(\text{ч}\right)$ - за такое время Наташа пришла в школу

Полина - за $\mathrm{0,2}\text{ч}$

Юля - за $\mathrm{0,2}\text{ч}$

Наташа - за $\mathrm{0,292}\text{ч}$

$\mathrm{0,2}<\mathrm{0,292}$, так как $\mathrm{0,200}<\mathrm{0,292}$

Ответ: Полина и Юля пришли в школу одновременно и раньше, чем Наташа.

Чтобы определить, кто из сестёр пришёл в школу раньше, нужно рассчитать общее время, которое каждая из них затратила на дорогу. Общее время складывается из времени движения и времени задержек. Расстояние от дома до школы составляет $S = 0,96$ км.

Полина

Полина шла в школу без остановок. Её время в пути ($t_{Полины}$) рассчитывается по формуле $t = S/v$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — это скорость.

Скорость Полины $v_{Полины} = 4,8$ км/ч.

Время в пути: $t_{Полины} = \frac{0,96 \text{ км}}{4,8 \text{ км/ч}} = 0,2$ ч.

Ответ: Полина была в пути 0,2 часа.

Юля

Юля задержалась на 0,05 ч, прежде чем пойти в школу. Её общее время ($t_{Юли}$) равно сумме времени задержки и времени, затраченного на ходьбу.

Скорость Юли после задержки $v_{Юли} = 6,4$ км/ч.

Время в пути: $t_{пути} = \frac{0,96 \text{ км}}{6,4 \text{ км/ч}} = 0,15$ ч.

Общее время: $t_{Юли} = 0,05 \text{ ч} + 0,15 \text{ ч} = 0,2$ ч.

Ответ: Юля добралась до школы за 0,2 часа.

Наташа

Наташа разговаривала с подружкой 0,1 ч, то есть это была её задержка. Её общее время ($t_{Наташи}$) — это сумма времени разговора и времени ходьбы.

Скорость Наташи $v_{Наташи} = 5$ км/ч.

Время в пути: $t_{пути} = \frac{0,96 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 0,192$ ч.

Общее время: $t_{Наташи} = 0,1 \text{ ч} + 0,192 \text{ ч} = 0,292$ ч.

Ответ: Наташа добралась до школы за 0,292 часа.

Сравнение результатов и вывод

Теперь сравним время, которое каждая из сестёр потратила на дорогу до школы:

Время Полины: $t_{Полины} = 0,2$ ч.

Время Юли: $t_{Юли} = 0,2$ ч.

Время Наташи: $t_{Наташи} = 0,292$ ч.

Сравнивая полученные значения ($0,2 = 0,2 < 0,292$), мы видим, что Полина и Юля затратили одинаковое количество времени, и это время меньше, чем у Наташи.

Ответ: Полина и Юля пришли в школу раньше всех, причём одновременно.