Страница 135, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.24 Коля начал догонять Алёшу, когда тот отплыл на 18 м. Догонит ли Коля Алёшу через 4 мин, если будет плыть со скоростью 20 м/мин, а Алёша плывёт со скоростью 15 м/мин?

20 м/мин

15 м/мин

K A

18 м

1) $20 - 15 = 5\left(\text{м/мин}\right)$ - скорость сближения

2) $5 · 4 = 20\left(\text{м}\right)$ - на такое расстояние Коля приблизится к Алёше за 4 мин

А так как $20\text{м}>18\text{м}$, то Коля не только догонит Алёшу, но и перегонит его.

Ответ: догонит.

Чтобы решить эту задачу, можно определить, какое расстояние Коля сможет наверстать за 4 минуты, или рассчитать точное время, которое потребуется Коле, чтобы догнать Алёшу. Рассмотрим оба подхода.

Способ 1: Расчёт через расстояние

1. Находим скорость сближения.

Скорость сближения показывает, на сколько метров сокращается расстояние между объектами за единицу времени. Поскольку Коля догоняет Алёшу, их скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сближения} = v_{Коли} - v_{Алёши} = 20 \text{ м/мин} - 15 \text{ м/мин} = 5$ м/мин.

Это означает, что каждую минуту Коля приближается к Алёше на 5 метров.

2. Находим расстояние, которое Коля наверстает за 4 минуты.

Чтобы найти это расстояние, умножим скорость сближения на указанное время:

$S_{сближения} = v_{сближения} \times t = 5 \text{ м/мин} \times 4 \text{ мин} = 20$ м.

3. Сравниваем наверстанное расстояние с начальным.

Изначально расстояние между мальчиками было 18 метров. За 4 минуты Коля сократит расстояние на 20 метров. Так как расстояние, которое Коля сможет наверстать ($20$ м), больше, чем первоначальное расстояние между ними ($18$ м), он успеет догнать Алёшу.

$20 \text{ м} > 18 \text{ м}$

Способ 2: Расчёт через время

1. Находим скорость сближения.

Как и в первом способе, скорость сближения составляет:

$v_{сближения} = 20 \text{ м/мин} - 15 \text{ м/мин} = 5$ м/мин.

2. Находим время, необходимое Коле, чтобы догнать Алёшу.

Чтобы догнать Алёшу, Коле нужно полностью сократить начальный разрыв в 18 метров. Для этого разделим начальное расстояние на скорость сближения:

$t_{встречи} = \frac{S_{начальное}}{v_{сближения}} = \frac{18 \text{ м}}{5 \text{ м/мин}} = 3,6$ мин.

3. Сравниваем необходимое время с заданным в условии.

Коле потребуется 3,6 минуты, чтобы догнать Алёшу. В задаче спрашивается, догонит ли он его за 4 минуты. Поскольку время, нужное для погони ($3,6$ мин), меньше, чем предложенное время ($4$ мин), Коля успеет догнать Алёшу.

$3,6 \text{ мин} < 4 \text{ мин}$

Оба способа показывают, что Коля догонит Алёшу.

Ответ: да, Коля догонит Алёшу, так как для этого ему потребуется 3,6 минуты, что меньше, чем 4 минуты.

4.25 На координатной прямой отметьте точки P(4), Q(6), R(0) и T(9). Найдите длину (в единичных отрезках) отрезков PQ, RT, QT.

Первым шагом является нанесение точек на координатную прямую. Координатная прямая представляет собой линию с начальной точкой (0), заданным направлением (обычно вправо для положительных чисел) и единичным отрезком. Точки $P(4)$, $Q(6)$, $R(0)$ и $T(9)$ располагаются на этой прямой в соответствии с их числовыми значениями.

Далее, для нахождения длины каждого отрезка, мы используем правило: длина отрезка на координатной прямой равна модулю разности координат его концов. Для двух точек с координатами $x_1$ и $x_2$ длина отрезка между ними вычисляется по формуле $|x_2 - x_1|$.

PQ

Для нахождения длины отрезка $PQ$, используем координаты точек $P(4)$ и $Q(6)$.
Расчет: $PQ = |6 - 4| = |2| = 2$.
Ответ: 2.

RT

Для нахождения длины отрезка $RT$, используем координаты точек $R(0)$ и $T(9)$.
Расчет: $RT = |9 - 0| = |9| = 9$.
Ответ: 9.

QT

Для нахождения длины отрезка $QT$, используем координаты точек $Q(6)$ и $T(9)$.
Расчет: $QT = |9 - 6| = |3| = 3$.
Ответ: 3.

4.26 Проведите прямую через точки A и B и отметьте точки М м N так, чтобы точка М лежала между A и B, а точка A - между M и N. Какие точки лежат на отрезке AB; на луче NM и на отрезке NM?

На отрезке АВ лежит точка М.

На луче NM лежат точки А и В.

На отрезке NM лежит точка А.

Для решения задачи необходимо правильно расположить точки на прямой, исходя из заданных условий. Сначала проведем прямую и разместим на ней точки $A$ и $B$.

1. Условие "точка $M$ лежала между $A$ и $B$" означает, что точка $M$ принадлежит отрезку $AB$. Возможны два порядка расположения этих трех точек: $A$, $M$, $B$ или $B$, $M$, $A$.

2. Условие "точка $A$ — между $M$ и $N$" означает, что точка $A$ принадлежит отрезку $MN$. Возможны два порядка расположения этих трех точек: $M$, $A$, $N$ или $N$, $A$, $M$.

Теперь нужно совместить эти условия. Предположим, что точки расположены в порядке $A$, $M$, $B$. Чтобы точка $A$ находилась между $M$ и $N$, точка $N$ должна быть расположена с другой стороны от $A$, нежели $M$. Это приводит нас к следующему взаимному расположению всех четырех точек на прямой: $N$, $A$, $M$, $B$.

Давайте проверим, выполняются ли оба условия при таком порядке:

• Лежит ли $M$ между $A$ и $B$? Да, в последовательности $N-A-M-B$ точка $M$ находится между $A$ и $B$.
• Лежит ли $A$ между $M$ и $N$? Да, в последовательности $N-A-M-B$ точка $A$ находится между $N$ и $M$.

Оба условия выполняются. Теперь, зная точный порядок точек на прямой ($N - A - M - B$), мы можем ответить на поставленные вопросы.

Какие точки лежат на отрезке AB?
Отрезок $AB$ — это часть прямой, ограниченная точками $A$ и $B$, включая сами эти точки. Исходя из нашего расположения ($N-A-M-B$), между точками $A$ и $B$ находится точка $M$. Таким образом, на отрезке $AB$ лежат три точки: $A$, $M$ и $B$.
Ответ: точки $A$, $M$ и $B$.

Какие точки лежат на луче NM?
Луч $NM$ начинается в точке $N$, проходит через точку $M$ и продолжается бесконечно в том же направлении. В нашей последовательности ($N-A-M-B$) луч, начинающийся в $N$ и идущий вправо, содержит все остальные отмеченные точки: $A$, $M$ и $B$. Таким образом, на луче $NM$ лежат все четыре точки.
Ответ: точки $N$, $A$, $M$ и $B$.

Какие точки лежат на отрезке NM?
Отрезок $NM$ — это часть прямой, ограниченная точками $N$ и $M$, включая сами эти точки. В нашей последовательности ($N-A-M-B$) между точками $N$ и $M$ расположена точка $A$. Следовательно, на отрезке $NM$ лежат три точки: $N$, $A$ и $M$.
Ответ: точки $N$, $A$ и $M$.

4.27 Докажите, что:

а) 800 < 25 • 43 < 1500;

б) 2100 < 36 • 78 < 3200.

а) Для доказательства двойного неравенства $800 < 25 \cdot 43 < 1500$ вычислим значение произведения в его средней части.

Используем распределительный закон умножения:

$25 \cdot 43 = 25 \cdot (40 + 3) = 25 \cdot 40 + 25 \cdot 3 = 1000 + 75 = 1075$.

Теперь подставим вычисленное значение в исходное неравенство:

$800 < 1075 < 1500$.

Данное двойное неравенство является верным, так как верны оба составляющих его неравенства: $800 < 1075$ и $1075 < 1500$.

Следовательно, исходное неравенство $800 < 25 \cdot 43 < 1500$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как $25 \cdot 43 = 1075$ и $800 < 1075 < 1500$.

б) Для доказательства двойного неравенства $2100 < 36 \cdot 78 < 3200$ воспользуемся методом оценки, доказав каждую его часть по отдельности.

1. Докажем левую часть: $2100 < 36 \cdot 78$.

Оценим произведение снизу, округлив множители в меньшую сторону до удобных для устного счета чисел:

Поскольку $36 > 30$ и $78 > 70$, то их произведение будет больше произведения меньших чисел:

$36 \cdot 78 > 30 \cdot 70 = 2100$.

Таким образом, $36 \cdot 78 > 2100$. Левая часть неравенства верна.

2. Докажем правую часть: $36 \cdot 78 < 3200$.

Оценим произведение сверху, округлив множители в большую сторону:

Поскольку $36 < 40$ и $78 < 80$, то их произведение будет меньше произведения больших чисел:

$36 \cdot 78 < 40 \cdot 80 = 3200$.

Таким образом, $36 \cdot 78 < 3200$. Правая часть неравенства верна.

Так как обе части ($2100 < 36 \cdot 78$ и $36 \cdot 78 < 3200$) верны, то исходное двойное неравенство $2100 < 36 \cdot 78 < 3200$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как $36 \cdot 78 > 30 \cdot 70 = 2100$ и $36 \cdot 78 < 40 \cdot 80 = 3200$.

4.28 1) Бетон содержит (по массе) 5 частей цемента, 8 частей песка и 16 частей щебня. Чему равна масса бетона, если в нём щебня больше, чем цемента, на 143 кг?

2) Сплав Вуда, применяемый в системах пожарной сигнализации, состоит из 4 частей висмута, 2 частей свинца, 1 части олова и 1 части кадмия (по массе). Чему равна масса сплава, если в нём висмута на 147 г больше, чем кадмия?

1) Цемент – 5 ч

Песок – 8 ч

Щебень – 16 ч, на 143 кг больше ?

Способ 1:

Ц –––– Щ ––––

143 кг

1) $16 - 5 = 11\left(\mathrm{ч}\right)$ щебня больше, чем цемента и они составляют 143 кг

2) $143 : 11 = 13\left(\mathrm{кг}\right)$ - 1 часть

3) $16 + 8 + 5 = 29\left(\mathrm{ч}\right)$ - всего

$13 · 29 = 377\left(\mathrm{кг}\right)$ - масса бетона

Способ 2: (с помощью уравнения)

Пусть X кг - масса 1 части, тогда

5x кг - масса цемента

8x кг - масса песка

16x кг - масса щебня

Щебня на 143 кг больше, чем песка.

1) $16х - 5х = 143$

$(16 - 5)х = 143$

$11х = 143$

$х = 143 : 11$

$х = 13$

2) $13 · 5 = (10 + 3) · 5 = 10 · 5 + 3 · 5 =$ $= 50 + 15 = 65\left(\mathrm{кг}\right)$ - масса цемента

3) $13 · 8 = (10 + 3) · 8 = 10 · 8 + 3 · 8 =$ $= 80 + 24 = 104\left(\mathrm{кг}\right)$ - масса песка

4) $13 · 16 = 208\left(\mathrm{кг}\right)$ - масса щебня

5) $65 + 104 + 208 = 377\left(\mathrm{кг}\right)$ - масса бетона

Ответ: 377 кг

2) Висмут – 4 ч, на 147 г больше

Свинец – 2 ч

Олово – 1 ч

Кадмий – 1 ч ?

Способ 1:

В –––– К ––––

147 г

1) $4 - 1 = 3\left(\mathrm{ч}\right)$ висмута больше, чем кадмия и они составляют 147 г

2) $147 : 3 = 49\left(\mathrm{г}\right)$ - 1 часть

3) $4 + 2 + 1 + 1 = 8\left(\mathrm{ч}\right)$ - всего

4) $49 · 8 = 392\left(\mathrm{г}\right)$ - масса сплава

Способ 2: (с помощью уравнения)

Пусть X г - масса 1 части, тогда

4x г - масса висмута

2x г - масса свинца

X г - масса олова

X г - масса кадмия

Висмута на 147 г больше, чем кадмия

1) $4х - х = 147$; $(4 - 1)х = 147$

$3х = 147$

$х = 147 : 3$

$х = 49$

2) $49 · 4 = 196\left(\mathrm{г}\right)$ - масса висмута

3) $49 · 2 = 98\left(\mathrm{г}\right)$ - масса свинца

4) $1 · 49 = 49\left(\mathrm{г}\right)$ - масса олова и такая же масса кадмия

5) $196 + 98 + 49 + 49 = 392\left(\mathrm{г}\right)$ - масса сплава

Ответ: 392 г

1) Пусть масса одной части составляет $x$ кг. Тогда, согласно условию, масса цемента в бетоне равна $5x$ кг, масса песка — $8x$ кг, а масса щебня — $16x$ кг.

Известно, что масса щебня больше массы цемента на 143 кг. Можем составить уравнение:

$16x - 5x = 143$

Решим это уравнение:

$11x = 143$

$x = \frac{143}{11}$

$x = 13$

Таким образом, масса одной части составляет 13 кг.

Теперь найдем общее количество частей в бетоне:

$5 \text{ (цемент)} + 8 \text{ (песок)} + 16 \text{ (щебень)} = 29$ частей.

Чтобы найти общую массу бетона, умножим общее количество частей на массу одной части:

$29 \times 13 = 377$ кг.

Ответ: масса бетона равна 377 кг.

2) Пусть масса одной части сплава составляет $y$ г. Тогда, согласно условию, масса висмута в сплаве равна $4y$ г, масса свинца — $2y$ г, масса олова — $1y$ г, и масса кадмия — $1y$ г.

Известно, что масса висмута в сплаве на 147 г больше массы кадмия. Составим уравнение:

$4y - 1y = 147$

Решим это уравнение:

$3y = 147$

$y = \frac{147}{3}$

$y = 49$

Таким образом, масса одной части сплава составляет 49 г.

Теперь найдем общее количество частей в сплаве Вуда:

$4 \text{ (висмут)} + 2 \text{ (свинец)} + 1 \text{ (олово)} + 1 \text{ (кадмий)} = 8$ частей.

Чтобы найти общую массу сплава, умножим общее количество частей на массу одной части:

$8 \times 49 = 392$ г.

Ответ: масса сплава равна 392 г.

4.29 Масса М товара с упаковкой (её называют массой брутто) состоит из массы товара (нетто) и массы р упаковки (тары). Запишите это правило в виде формулы, если масса одного изделия равна m и в упаковке n изделий. Вычислите по формуле массу брутто ящика, в котором 20 кастрюль, массой 800 г каждая, а масса ящика 3 кг.

M - масса брутто (масса товара с упаковкой)

Нетто - масса товара $m·n$

p - масса упаковки (тара)

$M = mn + p$

n = 20; m = 800г; p = 3кг

$3\text{кг} = 3000\text{г}$

$M = 800·20 + 3000 = 16000 + 3000 = 19000\text{(г)}$

$19000\text{г} = 19\text{кг}$

Ответ: $M = mn + p$; 19кг

Запись правила в виде формулы

Масса брутто ($M$) — это общая масса товара с упаковкой. Она складывается из массы нетто (масса самого товара) и массы тары (масса упаковки).

Масса нетто представляет собой общую массу всех изделий в упаковке. Если масса одного изделия равна $m$, а в упаковке находится $n$ изделий, то масса нетто равна произведению количества изделий на массу одного изделия: $m \cdot n$.

Масса тары — это масса самой упаковки, которая по условию равна $p$.

Таким образом, формула для вычисления массы брутто $M$ имеет вид:

$M = m \cdot n + p$

Ответ: $M = m \cdot n + p$

Вычисление массы брутто ящика

Для расчета используем выведенную формулу $M = m \cdot n + p$.

Исходные данные из условия задачи:

• Количество кастрюль в ящике: $n = 20$.
• Масса одной кастрюли: $m = 800$ г.
• Масса ящика (тары): $p = 3$ кг.

Поскольку массы даны в разных единицах измерения (граммах и килограммах), приведем их к одной единице — килограммам (кг).

Переведем массу одной кастрюли в килограммы, зная, что 1 кг = 1000 г:

$m = 800 \text{ г} = \frac{800}{1000} \text{ кг} = 0.8 \text{ кг}$

Теперь подставим значения в формулу:

$M = 0.8 \text{ кг} \cdot 20 + 3 \text{ кг}$

Выполним вычисления по порядку. Сначала найдем общую массу кастрюль (массу нетто):

$0.8 \cdot 20 = 16 \text{ кг}$

Теперь прибавим массу ящика, чтобы найти общую массу брутто:

$M = 16 \text{ кг} + 3 \text{ кг} = 19 \text{ кг}$

Ответ: 19 кг.

4.30 а) Вычислите, используя формулу пути, расстояние s, если v = 14 км/ч, t = 4 ч.

б) Используя формулу пути, вычислите время t, если s = 385 м, v = 55 м/с.

 x 14 4 ---- 56

 _385|55 385|7 ---- 0

а)

Для вычисления расстояния $s$ используется формула пути, которая связывает расстояние, скорость и время:
$s = v \cdot t$
где $s$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время.

В условии даны следующие значения:
Скорость $v = 14$ км/ч.
Время $t = 4$ ч.

Подставим известные значения в формулу для нахождения расстояния:
$s = 14 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч}$

Выполним умножение:
$s = 56$ км.

Ответ: 56 км.

б)

Для вычисления времени $t$ воспользуемся той же формулой пути $s = v \cdot t$. Чтобы найти время, необходимо выразить $t$ из этой формулы, разделив расстояние на скорость:
$t = \frac{s}{v}$

В условии даны следующие значения:
Расстояние $s = 385$ м.
Скорость $v = 55$ м/с.

Подставим известные значения в формулу для нахождения времени:
$t = \frac{385 \text{ м}}{55 \text{ м/с}}$

Выполним деление:
$t = 7$ с.

Ответ: 7 с.

4.31 Используя формулу периметра прямоугольника, вычислите:

а) P, если a = 25 см, b = 35 см;

б) a, если P = 156 м, b = 42 м.