Номер 4.27, страница 135, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

20. Формулы. § 4. Площади и объёмы. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 4.27, страница 135.

4.27 Докажите, что:

а) 800 < 25 • 43 < 1500;

б) 2100 < 36 • 78 < 3200.

а) Для доказательства двойного неравенства $800 < 25 \cdot 43 < 1500$ вычислим значение произведения в его средней части.

Используем распределительный закон умножения:

$25 \cdot 43 = 25 \cdot (40 + 3) = 25 \cdot 40 + 25 \cdot 3 = 1000 + 75 = 1075$.

Теперь подставим вычисленное значение в исходное неравенство:

$800 < 1075 < 1500$.

Данное двойное неравенство является верным, так как верны оба составляющих его неравенства: $800 < 1075$ и $1075 < 1500$.

Следовательно, исходное неравенство $800 < 25 \cdot 43 < 1500$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как $25 \cdot 43 = 1075$ и $800 < 1075 < 1500$.

б) Для доказательства двойного неравенства $2100 < 36 \cdot 78 < 3200$ воспользуемся методом оценки, доказав каждую его часть по отдельности.

1. Докажем левую часть: $2100 < 36 \cdot 78$.

Оценим произведение снизу, округлив множители в меньшую сторону до удобных для устного счета чисел:

Поскольку $36 > 30$ и $78 > 70$, то их произведение будет больше произведения меньших чисел:

$36 \cdot 78 > 30 \cdot 70 = 2100$.

Таким образом, $36 \cdot 78 > 2100$. Левая часть неравенства верна.

2. Докажем правую часть: $36 \cdot 78 < 3200$.

Оценим произведение сверху, округлив множители в большую сторону:

Поскольку $36 < 40$ и $78 < 80$, то их произведение будет меньше произведения больших чисел:

$36 \cdot 78 < 40 \cdot 80 = 3200$.

Таким образом, $36 \cdot 78 < 3200$. Правая часть неравенства верна.

Так как обе части ($2100 < 36 \cdot 78$ и $36 \cdot 78 < 3200$) верны, то исходное двойное неравенство $2100 < 36 \cdot 78 < 3200$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как $36 \cdot 78 > 30 \cdot 70 = 2100$ и $36 \cdot 78 < 40 \cdot 80 = 3200$.