Номер 4.22, страница 134, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

20. Формулы. § 4. Площади и объёмы. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 4.22, страница 134.

4.22 Вычислите:

а) 3² + 2²;

б) (5² + 1)²;

в) (8² - 3²) : (8 - 3);

г) (7³ + 6³) : (7² - 6²).

а) $3^2 + 2^2$

Чтобы вычислить значение этого выражения, необходимо сначала возвести каждое число в степень, а затем сложить полученные результаты.

1. Возводим 3 в квадрат: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

2. Возводим 2 в квадрат: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$.

3. Складываем результаты: $9 + 4 = 13$.

Таким образом, $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

Ответ: 13.

---

б) $(5^2 + 1)^2$

Для вычисления значения этого выражения сначала выполним действия в скобках, а затем возведем полученный результат в квадрат.

1. Вычисляем значение в скобках. Сначала возводим 5 в квадрат: $5^2 = 25$.

2. Затем прибавляем 1: $25 + 1 = 26$.

3. Теперь возводим результат в квадрат: $26^2 = 26 \cdot 26 = 676$.

Таким образом, $(5^2 + 1)^2 = (25 + 1)^2 = 26^2 = 676$.

Ответ: 676.

---

в) $(8^2 - 3^2) : (8 - 3)$

Это выражение можно решить двумя способами: прямым вычислением или с помощью формулы разности квадратов. Использование формулы часто упрощает вычисления.

Способ 1: Использование формулы разности квадратов.

Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. Применим эту формулу к выражению в первых скобках: $8^2 - 3^2 = (8 - 3)(8 + 3)$.

2. Подставим результат в исходное выражение: $((8 - 3)(8 + 3)) : (8 - 3)$.

3. Мы видим, что можно сократить общий множитель $(8 - 3)$. Остается:

$8 + 3 = 11$.

Способ 2: Прямое вычисление.

1. Вычисляем значение в первой скобке: $8^2 - 3^2 = 64 - 9 = 55$.

2. Вычисляем значение во второй скобке: $8 - 3 = 5$.

3. Выполняем деление: $55 : 5 = 11$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 11.

---

г) $(7^3 + 6^3) : (7^2 - 6^2)$

Для решения этого примера наиболее рационально использовать формулы сокращенного умножения: сумму кубов и разность квадратов.

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. Преобразуем делимое (выражение в первой скобке) по формуле суммы кубов:

$7^3 + 6^3 = (7 + 6)(7^2 - 7 \cdot 6 + 6^2) = 13 \cdot (49 - 42 + 36)$.

2. Преобразуем делитель (выражение во второй скобке) по формуле разности квадратов:

$7^2 - 6^2 = (7 - 6)(7 + 6) = 1 \cdot 13 = 13$.

3. Теперь выполним деление преобразованных выражений:

$\frac{13 \cdot (49 - 42 + 36)}{13}$.

4. Сокращаем на 13 и вычисляем оставшееся значение:

$49 - 42 + 36 = 7 + 36 = 43$.

Проверка прямым вычислением:

1. $7^3 + 6^3 = 343 + 216 = 559$.

2. $7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$.

3. $559 : 13 = 43$.

Результаты совпадают.

Ответ: 43.