Страница 134, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

4.12 Ахиллес догоняет черепаху. Скорость Ахиллеса 4 м/с, а скорость черепахи 1 м/с. Сейчас расстояние между ними 126 м. Чему будет равно расстояние между Ахиллесом и черепахой через t с? Запишите ответ в виде формулы и упростите её. Какой смысл имеет число 3 в этой формуле? Через сколько секунд Ахиллес догонит черепаху?

Чему будет равно расстояние между Ахиллесом и черепахой через t c? Запишите ответ в виде формулы и упростите её.

Чтобы найти расстояние между Ахиллесом и черепахой через время $t$, воспользуемся понятием скорости сближения. Скорость Ахиллеса ($v_А$) равна 4 м/с, а скорость черепахи ($v_Ч$) — 1 м/с. Поскольку они движутся в одном направлении и Ахиллес догоняет черепаху, их скорость сближения ($v_{сбл}$) равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_А - v_Ч = 4 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с} = 3 \text{ м/с}$.
Это означает, что каждую секунду расстояние между ними сокращается на 3 метра.
Изначальное расстояние ($S_0$) между ними составляет 126 м. За время $t$ секунд расстояние между ними уменьшится на величину $v_{сбл} \cdot t = 3t$.
Следовательно, расстояние $S(t)$ между Ахиллесом и черепахой через $t$ секунд можно найти, вычтя из начального расстояния то расстояние, на которое они сблизились:
$S(t) = S_0 - v_{сбл} \cdot t$
Подставив известные значения, получаем искомую формулу:
$S(t) = 126 - 3t$.

Ответ: $S(t) = 126 - 3t$.

Какой смысл имеет число 3 в этой формуле?

В формуле $S(t) = 126 - 3t$ число 3 — это коэффициент при переменной времени $t$. Этот коэффициент показывает, на сколько метров уменьшается расстояние между Ахиллесом и черепахой за одну секунду. Эта величина называется скоростью сближения. Она вычисляется как разность скоростей Ахиллеса и черепахи:
$v_{сбл} = 4 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с} = 3 \text{ м/с}$.
Таким образом, число 3 означает, что Ахиллес приближается к черепахе со скоростью 3 м/с.

Ответ: Число 3 — это скорость сближения Ахиллеса и черепахи, измеряемая в метрах в секунду (м/с). Она показывает, что каждую секунду расстояние между ними сокращается на 3 метра.

Через сколько секунд Ахиллес догонит черепаху?

Ахиллес догонит черепаху в тот момент, когда расстояние между ними станет равным нулю, то есть когда $S(t) = 0$. Для нахождения этого времени $t$ воспользуемся выведенной ранее формулой.
$126 - 3t = 0$
Решим это линейное уравнение относительно $t$:
$3t = 126$
$t = \frac{126}{3}$
$t = 42$
Следовательно, Ахиллес догонит черепаху через 42 секунды.

Ответ: 42 секунды.

4.13 Вычислите.

a) $72:8 = 9$

$9 + 51 = 60$

$60:15 = 4$

$4 · 9 = 36$

$36 + 14 = 50$

б) $56:7 = 8$

$8 · 5 = 40$

$40-13 = 27$

$27:9 = 3$

$3 + 17 = 20$

б) $63:9 = 7$

$7 + 33 = 40$

$40:8 = 5$

$5 · 13 = 5 · (10 + 3) = 5 · 10 + 5 · 3 =$

$= 50 + 15 = 65$

$65-25 = 40$

2) $54:6 = 9$

$9 · 7 = 63$

$63 + 17 = 80$

$80:10 = 8$

$8-8 = 0$

g) $81:9 = 9$

$9 + 41 = 50$

$50:5 = 10$

$10 · 7 = 70$

$70-17 = 70-(10 + 7) = (70-10)-7 =$

$= 60-7 = 53$

а)

Для решения этого примера необходимо выполнить последовательно все указанные арифметические действия:

1. Первое действие – деление: $72 : 8 = 9$.

2. Второе действие – сложение: $9 + 51 = 60$.

3. Третье действие – деление: $60 : 15 = 4$.

4. Четвертое действие – умножение: $4 \cdot 9 = 36$.

5. Пятое действие – сложение: $36 + 14 = 50$.

Ответ: 50

б)

Выполним вычисления по порядку сверху вниз:

1. Деление: $56 : 7 = 8$.

2. Умножение: $8 \cdot 5 = 40$.

3. Вычитание: $40 - 13 = 27$.

4. Деление: $27 : 9 = 3$.

5. Сложение: $3 + 17 = 20$.

Ответ: 20

в)

Решим пример, выполняя действия по шагам:

1. Первое действие: $63 : 9 = 7$.

2. Второе действие: $7 + 33 = 40$.

3. Третье действие: $40 : 8 = 5$.

4. Четвертое действие: $5 \cdot 13 = 65$.

5. Пятое действие: $65 - 25 = 40$.

Ответ: 40

г)

Вычислим значение выражения, следуя порядку действий:

1. $54 : 6 = 9$.

2. $9 \cdot 7 = 63$.

3. $63 + 17 = 80$.

4. $80 : 10 = 8$.

5. $8 - 8 = 0$.

Ответ: 0

д)

Выполним последовательно все указанные операции:

1. $81 : 9 = 9$.

2. $9 + 41 = 50$.

3. $50 : 5 = 10$.

4. $10 \cdot 7 = 70$.

5. $70 - 17 = 53$.

Ответ: 53

4.14 Вместо звёздочек назовите такие числа, чтобы цепочка вычислений была верной.

а) Чтобы найти числа, которые нужно вставить вместо звездочек, необходимо последовательно решить уравнения для каждого шага цепочки.

1. На первом шаге число 15 умножается на неизвестное число, чтобы получить 90. Составим уравнение: $15 \cdot x = 90$. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение на известный множитель:
$x = 90 : 15 = 6$.

2. На втором шаге число 90 делится на неизвестное число, чтобы получить 18. Составим уравнение: $90 : y = 18$. Чтобы найти неизвестный делитель $y$, разделим делимое на частное:
$y = 90 : 18 = 5$.

3. На третьем шаге число 18 умножается на неизвестное число, чтобы получить 72. Составим уравнение: $18 \cdot z = 72$. Чтобы найти неизвестный множитель $z$, разделим произведение на известный множитель:
$z = 72 : 18 = 4$.

4. На четвертом шаге к числу 72 прибавляется неизвестное число, чтобы получить 90. Составим уравнение: $72 + w = 90$. Чтобы найти неизвестное слагаемое $w$, вычтем из суммы известное слагаемое:
$w = 90 - 72 = 18$.

Ответ: 6, 5, 4, 18.

б) Аналогично найдем пропущенные числа для второй цепочки вычислений.

1. На первом шаге из числа 70 вычитается неизвестное число, чтобы получить 49. Составим уравнение: $70 - a = 49$. Чтобы найти неизвестное вычитаемое $a$, вычтем разность из уменьшаемого:
$a = 70 - 49 = 21$.

2. На втором шаге число 49 делится на неизвестное число, чтобы получить 7. Составим уравнение: $49 : b = 7$. Чтобы найти неизвестный делитель $b$, разделим делимое на частное:
$b = 49 : 7 = 7$.

3. На третьем шаге число 7 умножается на неизвестное число, чтобы получить 98. Составим уравнение: $7 \cdot c = 98$. Чтобы найти неизвестный множитель $c$, разделим произведение на известный множитель:
$c = 98 : 7 = 14$.

4. На четвертом шаге к числу 98 прибавляется неизвестное число, чтобы получить 110. Составим уравнение: $98 + d = 110$. Чтобы найти неизвестное слагаемое $d$, вычтем из суммы известное слагаемое:
$d = 110 - 98 = 12$.

Ответ: 21, 7, 14, 12.

4.15 Вычислите квадраты и кубы чисел: 3; 6; 11; 12; 30.

NЧ. 15

$3^2 = 3 · 3 = 9$

$3^3 = 3 · 3 · 3 = 9 · 3 = 27$

$6^2 = 6 · 6 = 36$

$6^3 = 6 · 6 · 6 = 36 · 6 = 216$

х 36
6
----
216

${11}^2 = 11 · 11 = 121$

х 11
11
----
11
+ 11
----
121

${11}^3 = 11 · 11 · 11 = 121 · 11 = 1331$

х 121
11
-----
121
+121
-----
1331

${12}^2 = 12 · 12 = 144$

х 12
12
----
24
+ 12
----
144

${12}^3 = 12 · 12 · 12 = 144 · 12 = 1728$

х 144
12
-----
288
+144
-----
1728

${30}^2 = 30 · 30 = 900$

${30}^3 = 30 · 30 · 30 = 900 · 30 = 27000$

Для решения этой задачи необходимо вычислить квадрат (число во второй степени) и куб (число в третьей степени) для каждого из заданных чисел. Квадрат числа $a$ — это $a^2 = a \cdot a$. Куб числа $a$ — это $a^3 = a \cdot a \cdot a$.

Для числа 3:

Квадрат числа 3: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
Куб числа 3: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.
Ответ: квадрат числа 3 равен 9, куб числа 3 равен 27.

Для числа 6:

Квадрат числа 6: $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$.
Куб числа 6: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
Ответ: квадрат числа 6 равен 36, куб числа 6 равен 216.

Для числа 11:

Квадрат числа 11: $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.
Куб числа 11: $11^3 = 11 \cdot 11 \cdot 11 = 121 \cdot 11 = 1331$.
Ответ: квадрат числа 11 равен 121, куб числа 11 равен 1331.

Для числа 12:

Квадрат числа 12: $12^2 = 12 \cdot 12 = 144$.
Куб числа 12: $12^3 = 12 \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12 = 1728$.
Ответ: квадрат числа 12 равен 144, куб числа 12 равен 1728.

Для числа 30:

Квадрат числа 30: $30^2 = 30 \cdot 30 = 900$.
Куб числа 30: $30^3 = 30 \cdot 30 \cdot 30 = 900 \cdot 30 = 27000$.
Ответ: квадрат числа 30 равен 900, куб числа 30 равен 27000.

4.16 а) Найдите число, если его квадрат равен: 1; 9; 25; 81; 4900.

б) Найдите число, если его куб равен: 1; 27; 64; 8000.

а) Чтобы найти число, зная его квадрат, необходимо извлечь арифметический квадратный корень из заданного значения. Арифметический квадратный корень из числа $n$ — это такое неотрицательное число $x$, что его квадрат $x^2$ равен $n$. Таким образом, мы ищем $x = \sqrt{n}$.

Если квадрат числа равен 1, то само число равно $\sqrt{1} = 1$.
Проверка: $1^2 = 1 \cdot 1 = 1$.

Если квадрат числа равен 9, то само число равно $\sqrt{9} = 3$.
Проверка: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Если квадрат числа равен 25, то само число равно $\sqrt{25} = 5$.
Проверка: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

Если квадрат числа равен 81, то само число равно $\sqrt{81} = 9$.
Проверка: $9^2 = 9 \cdot 9 = 81$.

Если квадрат числа равен 4900, то само число равно $\sqrt{4900} = \sqrt{49 \cdot 100} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{100} = 7 \cdot 10 = 70$.
Проверка: $70^2 = 70 \cdot 70 = 4900$.

Ответ: 1; 3; 5; 9; 70.

б) Чтобы найти число, зная его куб, необходимо извлечь кубический корень. Кубический корень из числа $m$ — это такое число $y$, что его куб $y^3$ равен $m$. Таким образом, мы ищем $y = \sqrt[3]{m}$.

Если куб числа равен 1, то само число равно $\sqrt[3]{1} = 1$.
Проверка: $1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Если куб числа равен 27, то само число равно $\sqrt[3]{27} = 3$.
Проверка: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Если куб числа равен 64, то само число равно $\sqrt[3]{64} = 4$.
Проверка: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

Если куб числа равен 8000, то само число равно $\sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{8 \cdot 1000} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{1000} = 2 \cdot 10 = 20$.
Проверка: $20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$.

Ответ: 1; 3; 4; 20.

4.17 Найдите произведение, выбирая удобный способ:

а) 25 • 17 • 4;

б) 125 • 37 • 8;

в) 8 • 45 • 250;

г) 2 • 95 • 50;

д) 125 • 64 • 16;

е) 40 • 25 • 8 • 125.

а) Чтобы найти произведение $25 \cdot 17 \cdot 4$, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения и сгруппируем множители так, чтобы получить круглое число. Удобно умножить 25 на 4, так как их произведение равно 100.

$25 \cdot 17 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700$.

Ответ: 1700

б) В выражении $125 \cdot 37 \cdot 8$ удобно сгруппировать 125 и 8, так как их произведение равно 1000.

$125 \cdot 37 \cdot 8 = (125 \cdot 8) \cdot 37 = 1000 \cdot 37 = 37000$.

Ответ: 37000

в) Для вычисления $8 \cdot 45 \cdot 250$ сгруппируем 8 и 250. Их произведение дает круглое число.

$8 \cdot 45 \cdot 250 = (8 \cdot 250) \cdot 45 = 2000 \cdot 45 = 90000$.

Ответ: 90000

г) В выражении $2 \cdot 95 \cdot 50$ удобно перемножить 2 и 50, так как их произведение равно 100.

$2 \cdot 95 \cdot 50 = (2 \cdot 50) \cdot 95 = 100 \cdot 95 = 9500$.

Ответ: 9500

д) Чтобы найти произведение $125 \cdot 64 \cdot 16$, заметим, что $125 \cdot 8 = 1000$. Представим множитель 64 как произведение $8 \cdot 8$.

$125 \cdot 64 \cdot 16 = 125 \cdot (8 \cdot 8) \cdot 16 = (125 \cdot 8) \cdot 8 \cdot 16 = 1000 \cdot (8 \cdot 16)$.

Теперь вычислим произведение $8 \cdot 16 = 128$.

Тогда $1000 \cdot 128 = 128000$.

Ответ: 128000

е) В выражении $40 \cdot 25 \cdot 8 \cdot 125$ сгруппируем множители попарно. Удобно умножить 40 на 25 и 8 на 125.

$(40 \cdot 25) \cdot (8 \cdot 125) = 1000 \cdot 1000 = 1000000$.

Ответ: 1000000

4.18 Как изменится частное двух чисел, если делимое и делитель увеличить в одно и то же число раз? Приведите примеры.

Если делимое и делитель увеличить в одно и то же число раз, частное не изменится. Например:

Если делимое и делитель увеличить в одно и то же число раз, то частное не изменится. Это утверждение является прямым следствием основного свойства дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, то получится дробь, равная данной.

Рассмотрим это математически. Пусть у нас есть делимое $a$ и делитель $b$. Их частное равно $c$: $c = \frac{a}{b}$

Теперь увеличим и делимое, и делитель в $k$ раз, где $k$ — любое число, не равное нулю. Новое делимое будет равно $a \cdot k$, а новый делитель — $b \cdot k$. Найдем новое частное, обозначив его как $c_{новое}$: $c_{новое} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$

В полученной дроби можно сократить общий множитель $k$ в числителе и знаменателе: $c_{новое} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b}$

Как мы видим, новое частное $c_{новое}$ равно исходному частному $c$.

Примеры

1. Пусть делимое равно 12, а делитель — 4. Частное равно $12 \div 4 = 3$. Увеличим оба числа в 5 раз. Новое делимое: $12 \cdot 5 = 60$. Новый делитель: $4 \cdot 5 = 20$. Новое частное: $60 \div 20 = 3$. Частное осталось прежним.

2. Пусть делимое равно 100, а делитель — 25. Частное равно $100 \div 25 = 4$. Увеличим оба числа в 2 раза. Новое делимое: $100 \cdot 2 = 200$. Новый делитель: $25 \cdot 2 = 50$. Новое частное: $200 \div 50 = 4$. Частное не изменилось.

Ответ: Если делимое и делитель увеличить в одно и то же число раз, частное не изменится.

4.19 Расставьте порядок выполнения действий в выражении:

а) 24 • 7² - 16 • 2² + 1938 : 19;

б) 12³ • 4 - 4 • (84 + 14² • 6).

а) $24 \cdot 7^2 - 16 \cdot 2^2 + 1938 : 19$

Для вычисления значения данного выражения необходимо следовать общепринятому порядку выполнения арифметических действий:

1. Действия первой ступени: возведение в степень.
2. Действия второй ступени: умножение и деление, выполняемые последовательно слева направо.
3. Действия третьей ступени: сложение и вычитание, выполняемые последовательно слева направо.

Применим этот порядок к нашему выражению:

1. Сначала выполняем возведение в степень:
Первое действие: $7^2 = 49$
Второе действие: $2^2 = 4$

2. После возведения в степень выражение принимает вид: $24 \cdot 49 - 16 \cdot 4 + 1938 : 19$. Теперь выполняем умножение и деление в порядке их следования:
Третье действие: $24 \cdot 49 = 1176$
Четвертое действие: $16 \cdot 4 = 64$
Пятое действие: $1938 : 19 = 102$

3. Подставляем вычисленные значения обратно в выражение:
$1176 - 64 + 102$

4. Наконец, выполняем сложение и вычитание слева направо:
Шестое действие: $1176 - 64 = 1112$
Седьмое действие: $1112 + 102 = 1214$

Ответ: $1214$.

б) $12^3 \cdot 4 - 4 \cdot (84 + 14^2 \cdot 6)$

В этом выражении есть скобки, поэтому порядок действий изменяется. В первую очередь выполняются действия в скобках, а затем остальные действия в стандартном порядке.

1. Действия в скобках. Внутри скобок также соблюдается порядок: сначала возведение в степень, затем умножение, и в последнюю очередь сложение.
2. Возведение в степень за пределами скобок.
3. Умножение и деление слева направо.
4. Вычитание.

Выполним вычисления по шагам:

1. Вычисляем значение выражения в скобках $(84 + 14^2 \cdot 6)$:
Первое действие (в скобках): возведение в степень $14^2 = 196$
Второе действие (в скобках): умножение $196 \cdot 6 = 1176$
Третье действие (в скобках): сложение $84 + 1176 = 1260$

2. Теперь, когда значение в скобках найдено, выполняем действия за их пределами. Начнем с возведения в степень:
Четвертое действие: $12^3 = 12 \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12 = 1728$

3. Выражение принимает вид: $1728 \cdot 4 - 4 \cdot 1260$. Выполняем умножение слева направо:
Пятое действие: $1728 \cdot 4 = 6912$
Шестое действие: $4 \cdot 1260 = 5040$

4. Последним шагом выполняем вычитание:
Седьмое действие: $6912 - 5040 = 1872$

Ответ: $1872$.

4.20 Какими цифрами оканчиваются квадраты чисел? кубы чисел?

Чтобы определить, какими цифрами могут оканчиваться квадраты и кубы чисел, достаточно проанализировать, какими цифрами оканчиваются квадраты и кубы цифр от 0 до 9. Последняя цифра результата возведения числа в степень зависит только от последней цифры исходного числа.

квадраты чисел?

Рассмотрим, на какую цифру оканчивается квадрат числа ($n^2$), в зависимости от того, на какую цифру оканчивается само число ($n$):

• Если число оканчивается на 0, его квадрат оканчивается на 0 (т.к. $0^2 = 0$).
• Если число оканчивается на 1 или 9, его квадрат оканчивается на 1 (т.к. $1^2 = 1$, $9^2 = 81$).
• Если число оканчивается на 2 или 8, его квадрат оканчивается на 4 (т.к. $2^2 = 4$, $8^2 = 64$).
• Если число оканчивается на 3 или 7, его квадрат оканчивается на 9 (т.к. $3^2 = 9$, $7^2 = 49$).
• Если число оканчивается на 4 или 6, его квадрат оканчивается на 6 (т.к. $4^2 = 16$, $6^2 = 36$).
• Если число оканчивается на 5, его квадрат оканчивается на 5 (т.к. $5^2 = 25$).

Таким образом, мы видим, что квадраты целых чисел могут оканчиваться только на следующие цифры: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Квадрат числа никогда не может оканчиваться на 2, 3, 7 или 8.

Ответ: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

кубы чисел?

Аналогично рассмотрим, на какую цифру оканчивается куб числа ($n^3$), в зависимости от последней цифры самого числа ($n$):

• Если число оканчивается на 0, его куб оканчивается на 0 (т.к. $0^3 = 0$).
• Если число оканчивается на 1, его куб оканчивается на 1 (т.к. $1^3 = 1$).
• Если число оканчивается на 2, его куб оканчивается на 8 (т.к. $2^3 = 8$).
• Если число оканчивается на 3, его куб оканчивается на 7 (т.к. $3^3 = 27$).
• Если число оканчивается на 4, его куб оканчивается на 4 (т.к. $4^3 = 64$).
• Если число оканчивается на 5, его куб оканчивается на 5 (т.к. $5^3 = 125$).
• Если число оканчивается на 6, его куб оканчивается на 6 (т.к. $6^3 = 216$).
• Если число оканчивается на 7, его куб оканчивается на 3 (т.к. $7^3 = 343$).
• Если число оканчивается на 8, его куб оканчивается на 2 (т.к. $8^3 = 512$).
• Если число оканчивается на 9, его куб оканчивается на 9 (т.к. $9^3 = 729$).

Как видно из расчетов, кубы целых чисел могут оканчиваться на любую цифру от 0 до 9.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (т.е. любой цифрой).

4.21 Лыжник бежал 3 ч со скоростью x км/ч и 2 ч со скоростью y км/ч. Сколько всего километров пробежал лыжник за эти 5 ч? Для решения задачи составьте выражение и найдите его значение при:

а) x = 10, y = 11;

б) x = 10, y = 15;

в) x = 12, y = 14.

Для нахождения расстояния используем формулу $S = vt$

а) x = 10, y = 11

б) x = 10, y = 15

в) x = 12, y = 14

Ответ: $3x + 2y<mtext> км</mtext>$, а) 52 км; б) 60 км; в) 64 км

Чтобы найти общее расстояние, которое пробежал лыжник, нужно сложить расстояния, пройденные на каждом из двух участков пути. Расстояние находится по формуле: расстояние = скорость ? время ($S = v \cdot t$).

1. Расстояние, пройденное за первые 3 часа со скоростью $x$ км/ч, равно $3x$ км.

2. Расстояние, пройденное за следующие 2 часа со скоростью $y$ км/ч, равно $2y$ км.

3. Общее расстояние, пройденное за 5 часов, равно сумме этих двух расстояний. Таким образом, мы составляем выражение: $3x + 2y$.

Теперь найдем значение этого выражения для каждого из предложенных случаев.

а) При $x = 10$ и $y = 11$ подставляем значения в выражение:

$3 \cdot 10 + 2 \cdot 11 = 30 + 22 = 52$ (км).

Ответ: 52 км.

б) При $x = 10$ и $y = 15$ подставляем значения в выражение:

$3 \cdot 10 + 2 \cdot 15 = 30 + 30 = 60$ (км).

Ответ: 60 км.

в) При $x = 12$ и $y = 14$ подставляем значения в выражение:

$3 \cdot 12 + 2 \cdot 14 = 36 + 28 = 64$ (км).

Ответ: 64 км.

4.22 Вычислите:

а) 3² + 2²;

б) (5² + 1)²;

в) (8² - 3²) : (8 - 3);

г) (7³ + 6³) : (7² - 6²).

а) $3^2 + 2^2$

Чтобы вычислить значение этого выражения, необходимо сначала возвести каждое число в степень, а затем сложить полученные результаты.

1. Возводим 3 в квадрат: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

2. Возводим 2 в квадрат: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$.

3. Складываем результаты: $9 + 4 = 13$.

Таким образом, $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

Ответ: 13.

б) $(5^2 + 1)^2$

Для вычисления значения этого выражения сначала выполним действия в скобках, а затем возведем полученный результат в квадрат.

1. Вычисляем значение в скобках. Сначала возводим 5 в квадрат: $5^2 = 25$.

2. Затем прибавляем 1: $25 + 1 = 26$.

3. Теперь возводим результат в квадрат: $26^2 = 26 \cdot 26 = 676$.

Таким образом, $(5^2 + 1)^2 = (25 + 1)^2 = 26^2 = 676$.

Ответ: 676.

в) $(8^2 - 3^2) : (8 - 3)$

Это выражение можно решить двумя способами: прямым вычислением или с помощью формулы разности квадратов. Использование формулы часто упрощает вычисления.

Способ 1: Использование формулы разности квадратов.

Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. Применим эту формулу к выражению в первых скобках: $8^2 - 3^2 = (8 - 3)(8 + 3)$.

2. Подставим результат в исходное выражение: $((8 - 3)(8 + 3)) : (8 - 3)$.

3. Мы видим, что можно сократить общий множитель $(8 - 3)$. Остается:

$8 + 3 = 11$.

Способ 2: Прямое вычисление.

1. Вычисляем значение в первой скобке: $8^2 - 3^2 = 64 - 9 = 55$.

2. Вычисляем значение во второй скобке: $8 - 3 = 5$.

3. Выполняем деление: $55 : 5 = 11$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 11.

г) $(7^3 + 6^3) : (7^2 - 6^2)$

Для решения этого примера наиболее рационально использовать формулы сокращенного умножения: сумму кубов и разность квадратов.

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. Преобразуем делимое (выражение в первой скобке) по формуле суммы кубов:

$7^3 + 6^3 = (7 + 6)(7^2 - 7 \cdot 6 + 6^2) = 13 \cdot (49 - 42 + 36)$.

2. Преобразуем делитель (выражение во второй скобке) по формуле разности квадратов:

$7^2 - 6^2 = (7 - 6)(7 + 6) = 1 \cdot 13 = 13$.

3. Теперь выполним деление преобразованных выражений:

$\frac{13 \cdot (49 - 42 + 36)}{13}$.

4. Сокращаем на 13 и вычисляем оставшееся значение:

$49 - 42 + 36 = 7 + 36 = 43$.

Проверка прямым вычислением:

1. $7^3 + 6^3 = 343 + 216 = 559$.

2. $7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$.

3. $559 : 13 = 43$.

Результаты совпадают.

Ответ: 43.

4.23 Разбираемся в решении. Оле, Лене, Нике, Ярославу и Кириллу купили синий, красный, жёлтый, зелёный и сиреневый шарики. Сколькими способами они могут выбрать шарики?

Решение. У первого ребёнка (например, Оли) есть 5 вариантов выбора, у следующего (пусть это будет Лена) остаётся 4 варианта выбора, следующий будет выбирать уже из трёх шариков, следующий - из двух, последний же получает оставшийся шарик. Рассмотрим эти способы на схеме.

Каждому выбору шарика Олей соответствует четыре возможных выбора Лены, т. е. всего 5•4 способов. После того как Лена выбрала шарик, у Ники есть три варианта выбора, у Ярослава - два, у Кирилла - один, т. е. всего 3•2•1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5•4•3•2•1. Шарики между детьми можно распределить ста двадцатью способами.

Решение.

Задача состоит в том, чтобы определить, сколькими способами можно раздать 5 различных шариков 5 детям так, чтобы каждому достался ровно один. Это классическая задача на перестановки.

Будем рассуждать последовательно, как это предложено в условии и показано на схеме:

1. Первому ребенку (пусть это будет Оля) можно вручить любой из 5 шариков. Таким образом, для нее существует 5 вариантов выбора.

2. После того, как Оля получила шарик, остается 4 свободных шарика. Второму ребенку (Лене) можно выбрать любой из этих 4 шариков. Для нее есть 4 варианта.

3. Третий ребенок (Ника) выбирает из оставшихся 3 шариков, что дает 3 варианта.

4. Четвертый ребенок (Ярослав) выбирает из 2 оставшихся шариков — у него 2 варианта.

5. Пятому ребенку (Кириллу) достается последний оставшийся шарик, поэтому у него всего 1 вариант.

Согласно комбинаторному правилу произведения, чтобы найти общее число способов, нужно перемножить количество вариантов на каждом шаге:

Число способов = $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Это выражение является факториалом числа 5 и обозначается как $5!$.

Вычислим его значение:

$5! = 120$

Таким образом, существует 120 способов распределить шарики между детьми.

Ответ: 120.

6.301 1) Число запишите в миллиардах:

а) 26 000 000 000;

б) 5 900 000 000;

в) 33 760 000 000;

г) 578 340 000 000.

2) Число запишите в тысячах:

1) Число запишите в миллиардах:

Чтобы представить число в миллиардах, необходимо разделить его на $1\;000\;000\;000$ (один миллиард). Это эквивалентно сдвигу десятичной запятой на 9 знаков влево.

а) $26\;000\;000\;000 \div 1\;000\;000\;000 = 26$.
Ответ: 26 млрд.

б) $5\;900\;000\;000 \div 1\;000\;000\;000 = 5,9$.
Ответ: 5,9 млрд.

в) $33\;760\;000\;000 \div 1\;000\;000\;000 = 33,76$.
Ответ: 33,76 млрд.

г) $578\;340\;000\;000 \div 1\;000\;000\;000 = 578,34$.
Ответ: 578,34 млрд.

2) Число запишите в тысячах:

Чтобы представить число в тысячах, необходимо разделить его на $1\;000$ (одну тысячу). Это эквивалентно сдвигу десятичной запятой на 3 знака влево.

а) $410\;000 \div 1\;000 = 410$.
Ответ: 410 тыс.

б) $34\;000 \div 1\;000 = 34$.
Ответ: 34 тыс.

в) $24\;300 \div 1\;000 = 24,3$.
Ответ: 24,3 тыс.

г) $589\;620 \div 1\;000 = 589,62$.
Ответ: 589,62 тыс.

д) $2\;389\;600 \div 1\;000 = 2\;389,6$.
Ответ: 2 389,6 тыс.

е) Сначала представим 21 миллион в виде числа: $21\;000\;000$.
Теперь разделим на тысячу: $21\;000\;000 \div 1\;000 = 21\;000$.
Ответ: 21 000 тыс.

ж) Сначала представим 7 млрд 389 млн в виде числа: 7 миллиардов это $7\;000\;000\;000$, 389 миллионов это $389\;000\;000$. Вместе получаем $7\;389\;000\;000$.
Теперь разделим на тысячу: $7\;389\;000\;000 \div 1\;000 = 7\;389\;000$.
Ответ: 7 389 000 тыс.

6.302 Выполните действия:

1) (43,9 • 3 - 89,19) : 13;

2) (92,88 : 18 + 8,34) • 14.

1) Выполним действия для выражения $(43,9 \cdot 3 - 89,19) : 13$.

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняем действия в скобках, а затем за их пределами. Внутри скобок сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

1. Выполним умножение в скобках:

$43,9 \cdot 3 = 131,7$

2. Теперь выполним вычитание в скобках:

$131,7 - 89,19 = 42,51$

3. Выполним деление результата на 13:

$42,51 : 13 = 3,27$

Ответ: 3,27

2) Выполним действия для выражения $(92,88 : 18 + 8,34) \cdot 14$.

Сначала выполняются действия в скобках: сперва деление, потом сложение. Затем результат умножается на 14.

1. Выполним деление в скобках:

$92,88 : 18 = 5,16$

2. Теперь выполним сложение в скобках:

$5,16 + 8,34 = 13,5$

3. Выполним умножение:

$13,5 \cdot 14 = 189$

Ответ: 189

6.303 1) Одно число на 2,3 больше другого. Найдите эти числа, если их сумма равна 27,7.

2) Одно число на 4,8 меньше другого. Найдите эти числа, если их сумма равна 24,6.

1) Пусть одно число (меньшее) равно $x$. Тогда второе число, которое на 2,3 больше, равно $x + 2,3$. По условию задачи, их сумма равна 27,7. Составим уравнение:

$x + (x + 2,3) = 27,7$

Решим это уравнение:

$2x + 2,3 = 27,7$

Перенесем 2,3 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = 27,7 - 2,3$

$2x = 25,4$

Найдем $x$:

$x = \frac{25,4}{2}$

$x = 12,7$

Итак, первое (меньшее) число равно 12,7. Второе число равно:

$12,7 + 2,3 = 15$

Проверим: $12,7 + 15 = 27,7$. Условие выполнено.

Ответ: 12,7 и 15.

2) Пусть одно число (большее) равно $y$. Тогда второе число, которое на 4,8 меньше, равно $y - 4,8$. По условию задачи, их сумма равна 24,6. Составим уравнение:

$y + (y - 4,8) = 24,6$

Решим это уравнение:

$2y - 4,8 = 24,6$

Перенесем -4,8 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2y = 24,6 + 4,8$

$2y = 29,4$

Найдем $y$:

$y = \frac{29,4}{2}$

$y = 14,7$

Итак, первое (большее) число равно 14,7. Второе число равно:

$14,7 - 4,8 = 9,9$

Проверим: $14,7 + 9,9 = 24,6$. Условие выполнено.

Ответ: 9,9 и 14,7.

6.304 Выполните умножение:

а) Чтобы умножить число на 0,1, нужно перенести в этом числе запятую влево на один знак. Это эквивалентно делению на 10.

$31,6 \cdot 0,1 = 3,16$
$94,25 \cdot 0,1 = 9,425$
$6,31 \cdot 0,1 = 0,631$
$48 \cdot 0,1 = 4,8$
$0,1 \cdot 0,1 = 0,01$
Ответ: 3,16; 9,425; 0,631; 4,8; 0,01.

б) Чтобы умножить число на 0,01, нужно перенести в этом числе запятую влево на два знака. Это эквивалентно делению на 100. Если знаков не хватает, слева дописываются нули.

$653,8 \cdot 0,01 = 6,538$
$5,8 \cdot 0,01 = 0,058$
$43,2 \cdot 0,01 = 0,432$
$43 \cdot 0,01 = 0,43$
$0,01 \cdot 0,01 = 0,0001$
Ответ: 6,538; 0,058; 0,432; 0,43; 0,0001.

в) Чтобы умножить число на 0,001, нужно перенести запятую влево на три знака. Чтобы умножить на 0,0001, нужно перенести запятую влево на четыре знака. Это эквивалентно делению на 1000 и 10000 соответственно. Если знаков не хватает, слева дописываются нули.

$97,9 \cdot 0,001 = 0,0979$
$0,4 \cdot 0,001 = 0,0004$
$485 \cdot 0,0001 = 0,0485$
$391,6 \cdot 0,0001 = 0,03916$
Ответ: 0,0979; 0,0004; 0,0485; 0,03916.

6.305 Найдите значение произведения:

а) Чтобы найти произведение десятичных дробей $0,3$ и $0,4$, сначала умножим их как целые числа, игнорируя запятые: $3 \cdot 4 = 12$. Затем посчитаем общее количество знаков после запятой у обоих множителей. У $0,3$ — один знак, у $0,4$ — один знак. Всего $1+1=2$ знака. В результате $12$ отделяем два знака справа, получая $0,12$.
$0,3 \cdot 0,4 = 0,12$.
Ответ: 0,12.

б) Умножим числа $0,25$ и $0,4$. Сначала перемножаем $25$ и $4$: $25 \cdot 4 = 100$. В множителях $0,25$ и $0,4$ всего $2+1=3$ знака после запятой. В числе $100$ отделяем три знака справа, получаем $0,100$. Нули в конце дробной части можно отбросить, поэтому результат равен $0,1$.
$0,25 \cdot 0,4 = 0,1$.
Ответ: 0,1.

в) Вычислим произведение $3,92 \cdot 4,8$. Умножаем целые числа $392$ и $48$:
$392 \cdot 48 = 392 \cdot (40 + 8) = 392 \cdot 40 + 392 \cdot 8 = 15680 + 3136 = 18816$.
В исходных числах $3,92$ и $4,8$ в сумме $2+1=3$ знака после запятой. Отделяем в результате три знака: $18,816$.
$3,92 \cdot 4,8 = 18,816$.
Ответ: 18,816.

г) Найдем произведение $1,8 \cdot 3,64$. Умножаем $18$ на $364$:
$18 \cdot 364 = 6552$.
В множителях $1,8$ и $3,64$ всего $1+2=3$ знака после запятой. Отделяем в результате три знака: $6,552$.
$1,8 \cdot 3,64 = 6,552$.
Ответ: 6,552.

д) Вычислим $0,63 \cdot 5,06$. Умножаем $63$ на $506$:
$63 \cdot 506 = 31878$.
В множителях $0,63$ и $5,06$ всего $2+2=4$ знака после запятой. Отделяем в результате четыре знака: $3,1878$.
$0,63 \cdot 5,06 = 3,1878$.
Ответ: 3,1878.

е) Найдем произведение $6,389 \cdot 0,53$. Умножаем $6389$ на $53$:
$6389 \cdot 53 = 338617$.
В множителях $6,389$ и $0,53$ всего $3+2=5$ знаков после запятой. Отделяем в результате пять знаков: $3,38617$.
$6,389 \cdot 0,53 = 3,38617$.
Ответ: 3,38617.

ж) Вычислим $9,5 \cdot 1,06$. Умножаем $95$ на $106$:
$95 \cdot 106 = 10070$.
В множителях $9,5$ и $1,06$ всего $1+2=3$ знака после запятой. Отделяем в результате три знака: $10,070$. Конечный ноль можно отбросить, получаем $10,07$.
$9,5 \cdot 1,06 = 10,07$.
Ответ: 10,07.

з) Найдем произведение $0,25 \cdot 0,0008$. Умножаем $25$ на $8$: $25 \cdot 8 = 200$. В множителях $0,25$ и $0,0008$ всего $2+4=6$ знаков после запятой. Чтобы в числе $200$ отделить 6 знаков, нужно дописать слева нули: $0,000200$. Конечные нули отбрасываем.
$0,25 \cdot 0,0008 = 0,0002$.
Ответ: 0,0002.

и) Вычислим $125 \cdot 0,16$. Умножаем $125$ на $16$:
$125 \cdot 16 = 2000$.
В множителе $0,16$ два знака после запятой, в $125$ — ноль. Всего $0+2=2$ знака. Отделяем в результате два знака: $20,00$, что равно $20$.
$125 \cdot 0,16 = 20$.
Ответ: 20.

к) Найдем произведение $5,28 \cdot 500$. Умножение на $500$ можно представить как умножение на $100$ и затем на $5$.
$5,28 \cdot 100 = 528$.
$528 \cdot 5 = 2640$.
$5,28 \cdot 500 = 2640$.
Ответ: 2640.

л) Вычислим $840 \cdot 0,322$. Удобно представить $840$ как $84 \cdot 10$.
$840 \cdot 0,322 = 84 \cdot 10 \cdot 0,322 = 84 \cdot 3,22$.
Теперь умножим $84$ на $322$: $84 \cdot 322 = 27048$. В числе $3,22$ два знака после запятой, поэтому в результате отделяем два знака: $270,48$.
$840 \cdot 0,322 = 270,48$.
Ответ: 270,48.

м) Найдем произведение $4,17 \cdot 0,018$. Умножаем $417$ на $18$:
$417 \cdot 18 = 7506$.
В множителях $4,17$ и $0,018$ всего $2+3=5$ знаков после запятой. Отделяем в результате пять знаков, добавляя слева недостающий ноль: $0,07506$.
$4,17 \cdot 0,018 = 0,07506$.
Ответ: 0,07506.

6.306 Размеры клумбы прямоугольной формы 40,56 м и 4,92 м. Найдите её периметр и площадь. Ответ округлите до сотых.

1) $(40,56 + 4,92)·2 = 90,96\left(м\right)$ - периметр

$\begin{array}{r}40,56\\ + 4,92\\ \text{————}\\ 45,48\end{array}$$\begin{array}{r}\times 45,48\\ 2\\ \text{————}\\ 90,96\end{array}$

2) $40,56·4,92 = 199,5552\left({м}^2\right)$ - площадь

$\begin{array}{r}\times 40,56\\ 4,92\\ \text{—————}\\ 8112\\ 36504\\ + 16224\\ \text{—————}\\ 199,5552\end{array}$$199,5552 {м}^2\approx 199,56{м}^2$

Ответ: $90,96 м,\approx 199,56{м}^2$

Периметр

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ – его стороны.

Подставим в формулу заданные размеры клумбы: $a = 40,56$ м и $b = 4,92$ м.

$P = 2 \cdot (40,56 + 4,92) = 2 \cdot 45,48 = 90,96$ м.

Полученное значение уже имеет два знака после запятой, что соответствует точности до сотых, поэтому дополнительное округление не требуется.

Ответ: $90,96$ м.

Площадь

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Подставим в формулу заданные размеры:

$S = 40,56 \cdot 4,92 = 199,5552$ м$^2$.

Согласно условию, ответ нужно округлить до сотых. Для этого смотрим на третью цифру после запятой. В числе $199,5552$ это цифра 5. Так как она равна 5, мы увеличиваем предыдущую цифру (сотые) на единицу: $5$ становится $6$.

$S \approx 199,56$ м$^2$.

Ответ: $199,56$ м$^2$.

6.307 Скорость обращения вокруг Солнца планеты Нептун (самой отдалённой от Солнца) равна 5,43км/с, а планеты Меркурий (самой близкой к Солнцу) — на 42,44км/с больше. Сколько километров пройдёт каждая планета за 6с, 13,6с, 30,7с?

Для решения задачи сначала необходимо найти скорость обращения планеты Меркурий вокруг Солнца. Затем, зная скорости обеих планет, мы можем вычислить расстояние, которое каждая из них пройдет за заданные промежутки времени по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ – расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

1. Найдем скорость Меркурия ($v_М$).

Скорость Нептуна ($v_Н$) дана и равна $5,43 \text{ км/с}$. Скорость Меркурия на $42,44 \text{ км/с}$ больше.

$v_М = v_Н + 42,44 \text{ км/с} = 5,43 \text{ км/с} + 42,44 \text{ км/с} = 47,87 \text{ км/с}$.

2. Теперь рассчитаем расстояние для каждого временного интервала.

за 6 с

Расстояние, которое пройдет Нептун:

$S_Н = 5,43 \text{ км/с} \cdot 6 \text{ с} = 32,58 \text{ км}$.

Расстояние, которое пройдет Меркурий:

$S_М = 47,87 \text{ км/с} \cdot 6 \text{ с} = 287,22 \text{ км}$.

Ответ: за 6 с Нептун пройдет 32,58 км, а Меркурий — 287,22 км.

за 13,6 с

Расстояние, которое пройдет Нептун:

$S_Н = 5,43 \text{ км/с} \cdot 13,6 \text{ с} = 73,848 \text{ км}$.

Расстояние, которое пройдет Меркурий:

$S_М = 47,87 \text{ км/с} \cdot 13,6 \text{ с} = 651,032 \text{ км}$.

Ответ: за 13,6 с Нептун пройдет 73,848 км, а Меркурий — 651,032 км.

за 30,7 с

Расстояние, которое пройдет Нептун:

$S_Н = 5,43 \text{ км/с} \cdot 30,7 \text{ с} = 166,701 \text{ км}$.

Расстояние, которое пройдет Меркурий:

$S_М = 47,87 \text{ км/с} \cdot 30,7 \text{ с} = 1469,609 \text{ км}$.

Ответ: за 30,7 с Нептун пройдет 166,701 км, а Меркурий — 1469,609 км.

6.308 От станции до турбазы турист сначала ехал 1,2 ч на автобусе со скоростью 64,5 км/ч, а затем 0,6 ч шёл пешком со скоростью 5,2 км/ч. Какое расстояние преодолел турист от станции до турбазы?

Для нахождения общего расстояния, которое преодолел турист от станции до турбазы, необходимо вычислить и сложить расстояния, пройденные на каждом из двух участков пути (на автобусе и пешком). Расстояние ($S$) находится по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.

1. Найдём расстояние, которое турист проехал на автобусе.
Известно, что время движения на автобусе $t_1 = 1,2$ ч, а скорость автобуса $v_1 = 64,5$ км/ч.Вычислим расстояние, пройденное на автобусе ($S_1$):$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 64,5 \text{ км/ч} \cdot 1,2 \text{ ч} = 77,4 \text{ км}$.

2. Найдём расстояние, которое турист прошёл пешком.
Известно, что время движения пешком $t_2 = 0,6$ ч, а скорость пешком $v_2 = 5,2$ км/ч.Вычислим расстояние, пройденное пешком ($S_2$):$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 5,2 \text{ км/ч} \cdot 0,6 \text{ ч} = 3,12 \text{ км}$.

3. Найдём общее расстояние.
Общее расстояние ($S_{общ}$) равно сумме расстояний, пройденных на автобусе и пешком:$S_{общ} = S_1 + S_2 = 77,4 \text{ км} + 3,12 \text{ км} = 80,52 \text{ км}$.

Ответ: 80,52 км.

6.309 Велосипедист движется по дороге со скоростью 13,6 км/ч. Впереди он заметил гужевую повозку, едущую со скоростью 8,8 км/ч. На каком расстоянии велосипедист заметил гужевую повозку, если через 15 мин он её догнал?

Чтобы найти расстояние, на котором велосипедист заметил гужевую повозку, нужно определить, на сколько сократилось расстояние между ними за 15 минут. Это расстояние равно произведению их относительной скорости (скорости сближения) на время.

1. Сначала вычислим скорость сближения. Так как велосипедист догоняет повозку, их скорости направлены в одну сторону. Скорость сближения будет равна разности их скоростей.

Скорость велосипедиста $v_{вел} = 13,6$ км/ч.
Скорость повозки $v_{пов} = 8,8$ км/ч.
Скорость сближения $v_{сбл}$ вычисляется по формуле:$v_{сбл} = v_{вел} - v_{пов}$$v_{сбл} = 13,6 \text{ км/ч} - 8,8 \text{ км/ч} = 4,8 \text{ км/ч}$.

Таким образом, за каждый час расстояние между велосипедистом и повозкой уменьшается на 4,8 км.

2. Теперь необходимо перевести время из минут в часы, чтобы единицы измерения соответствовали единицам измерения скорости (км/ч).

Время, за которое велосипедист догнал повозку, $t = 15$ мин.
Поскольку в одном часе 60 минут, то:$t = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0,25 \text{ ч}$.

3. Наконец, найдем искомое начальное расстояние $S$. Это расстояние, которое велосипедист "преодолел" относительно повозки. Оно равно произведению скорости сближения на время.

$S = v_{сбл} \times t$$S = 4,8 \text{ км/ч} \times 0,25 \text{ ч} = 1,2 \text{ км}$.

Ответ: 1,2 км.

6.310 Одновременно из лагеря в посёлок выехали два велосипедиста. Каким будет расстояние между ними через 1,5 ч, если скорость первого равна 15 км/ч, а скорость второго — в 1,2 раза больше?

Λ

$15\left(\mathrm{км}/ч\right)$

$(15·1,2)\left(\mathrm{км}/ч\right)$

? через $t = 1,5ч$

1) $15·1,2 = 18\left(\mathrm{км}/ч\right)$ - скорость второго велосипедиста$\begin{array}{rr}\text{x}& 15\\ & 1,2\\ \text{———}\hfill \\ & 30\\ + & 15\\ \text{———}\hfill \\ & 18,0\end{array}$

2) $18-15 = 3\left(\mathrm{км}/ч\right)$ - скорость удаления

3) $3·1,5 = 4,5\left(\mathrm{км}\right)$$\begin{array}{rr}\text{x}& 1,5\\ & 3\\ \text{———}\hfill \\ & 4,5\end{array}$

Ответ: $4,5\mathrm{км}$

Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Найдем скорость второго велосипедиста.

По условию задачи, скорость второго велосипедиста ($v_2$) в 1,2 раза больше скорости первого ($v_1$). Скорость первого велосипедиста равна $15$ км/ч. Следовательно, скорость второго равна:

$v_2 = 15 \text{ км/ч} \times 1,2 = 18 \text{ км/ч}$

2. Найдем расстояние, которое проехал каждый велосипедист за 1,5 часа.

Расстояние ($S$) находится по формуле $S = v \times t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время. Время в пути составляет $t = 1,5$ ч.

Расстояние, которое проехал первый велосипедист:

$S_1 = v_1 \times t = 15 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 22,5 \text{ км}$

Расстояние, которое проехал второй велосипедист:

$S_2 = v_2 \times t = 18 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 27 \text{ км}$

3. Найдем расстояние между велосипедистами через 1,5 часа.

Поскольку велосипедисты стартовали одновременно из одной точки и двигались в одном направлении, расстояние между ними будет равно разности расстояний, которые они проехали. Так как второй велосипедист двигался быстрее, он уехал дальше.

$\Delta S = S_2 - S_1 = 27 \text{ км} - 22,5 \text{ км} = 4,5 \text{ км}$

Также можно было найти скорость удаления (разность скоростей) и умножить ее на время:

Скорость удаления: $v_{уд} = v_2 - v_1 = 18 - 15 = 3$ км/ч.

Расстояние между ними: $\Delta S = v_{уд} \times t = 3 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 4,5$ км.

Ответ: через 1,5 ч расстояние между велосипедистами будет 4,5 км.

6.311 Запишите буквенное выражение для вычисления и вычислите объём, площадь поверхности и сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда (рис. 6.25) при: