Страница 155, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1 Используя таблицу:

а) найдите объём первого прямоугольного параллелепипеда;

б) выразите высоту второго прямоугольного параллелепипеда в дециметрах;

в) найдите площади каждой грани третьего параллелепипеда;

г) выясните, может ли поместиться: первый прямоугольный параллелепипед внутри второго; второй прямоугольный параллелепипед внутри третьего.

а) 5 дм = 50 см

б)$V = abc$

в) 6 м = 60 дм

20 м = 200 дм

50 см = 5 дм

Так как в прямоугольном параллелепипеде противоположные грани равны, то достаточно найти площади трёх различных граней.

Ответ: 36 м², 10 м², 90 дм²

2) Первый прямоугольный параллелепипед может поместиться внутри второго, так как все его измерения меньше соответствующих измерений второго параллелепипеда и$V_1<V_2$

Второй прямоугольный параллелепипед не может поместиться внутри третьего так как$V_2>V_3$

а) Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда используется формула $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ – его длина, ширина и высота. Данные для первого параллелепипеда: длина = 20 см, ширина = 8 см, высота = 5 дм. Чтобы вычислить объём, необходимо привести все измерения к одной единице. Переведём дециметры в сантиметры: $5 \text{ дм} = 5 \cdot 10 \text{ см} = 50 \text{ см}$.
Теперь вычислим объём: $V_1 = 20 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} \cdot 50 \text{ см} = 160 \text{ см}^2 \cdot 50 \text{ см} = 8000 \text{ см}^3$.
Ответ: $8000 \text{ см}^3$.

б) Чтобы найти высоту второго параллелепипеда, нужно его объём разделить на произведение длины и ширины: $c = V / (a \cdot b)$. Данные для второго параллелепипеда: длина = 5 м, ширина = 2 м, объём = 60 м?.
Вычислим высоту в метрах: $c_2 = \frac{60 \text{ м}^3}{5 \text{ м} \cdot 2 \text{ м}} = \frac{60 \text{ м}^3}{10 \text{ м}^2} = 6 \text{ м}$.
Теперь выразим высоту в дециметрах, зная, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$: $6 \text{ м} = 6 \cdot 10 \text{ дм} = 60 \text{ дм}$.
Ответ: 60 дм.

в) Сначала найдём недостающее измерение третьего параллелепипеда — длину. Данные: ширина = 20 м, высота = 50 см, объём = 18 м?. Переведём высоту в метры: $50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$.
Найдём длину: $a_3 = \frac{V_3}{b_3 \cdot c_3} = \frac{18 \text{ м}^3}{20 \text{ м} \cdot 0.5 \text{ м}} = \frac{18 \text{ м}^3}{10 \text{ м}^2} = 1.8 \text{ м}$.
Итак, измерения третьего параллелепипеда: $1.8 \text{ м}$, $20 \text{ м}$ и $0.5 \text{ м}$.
Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней (3 пары одинаковых прямоугольников). Найдём площади этих трёх уникальных граней:
Площадь первой пары граней (основания): $S_1 = 1.8 \text{ м} \cdot 20 \text{ м} = 36 \text{ м}^2$.
Площадь второй пары граней: $S_2 = 1.8 \text{ м} \cdot 0.5 \text{ м} = 0.9 \text{ м}^2$.
Площадь третьей пары граней: $S_3 = 20 \text{ м} \cdot 0.5 \text{ м} = 10 \text{ м}^2$.
Ответ: две грани по $36 \text{ м}^2$, две грани по $0.9 \text{ м}^2$ и две грани по $10 \text{ м}^2$.

г) Чтобы один параллелепипед поместился внутри другого, каждое из трёх его измерений (длина, ширина, высота) должно быть меньше или равно соответствующему измерению второго параллелепипеда.
1. Может ли первый параллелепипед поместиться внутри второго?
Измерения первого параллелепипеда: $20 \text{ см}$, $8 \text{ см}$, $5 \text{ дм}$. Переведём в метры: $0.2 \text{ м}$, $0.08 \text{ м}$, $0.5 \text{ м}$.
Измерения второго параллелепипеда (из пункта б): $5 \text{ м}$, $2 \text{ м}$, $6 \text{ м}$.
Сравним измерения. Отсортируем их по возрастанию для удобства:
Первый: $0.08 \text{ м}, 0.2 \text{ м}, 0.5 \text{ м}$.
Второй: $2 \text{ м}, 5 \text{ м}, 6 \text{ м}$.
Поскольку $0.08 < 2$, $0.2 < 5$ и $0.5 < 6$, то первый параллелепипед поместится внутри второго.
2. Может ли второй параллелепипед поместиться внутри третьего?
Измерения второго параллелепипеда: $5 \text{ м}$, $2 \text{ м}$, $6 \text{ м}$.
Измерения третьего параллелепипеда (из пункта в): $20 \text{ м}$, $0.5 \text{ м}$, $1.8 \text{ м}$.
Сравним измерения. Отсортируем их по возрастанию:
Второй: $2 \text{ м}, 5 \text{ м}, 6 \text{ м}$.
Третий: $0.5 \text{ м}, 1.8 \text{ м}, 20 \text{ м}$.
Самое маленькое измерение второго параллелепипеда ($2 \text{ м}$) больше, чем два из трёх измерений третьего ($0.5 \text{ м}$ и $1.8 \text{ м}$). Это означает, что для размещения второго параллелепипеда внутри третьего нет подходящей ориентации. Например, измерение $2 \text{ м}$ не поместится ни в измерение $0.5 \text{ м}$, ни в измерение $1.8 \text{ м}$. Следовательно, второй параллелепипед не поместится внутри третьего.
Ответ: первый параллелепипед поместится внутри второго; второй параллелепипед не поместится внутри третьего.

2 Во сколько раз объём куба с ребром 2 дм меньше объёма куба с ребром 2 м?

$V_{к} = 2^3 = 2 · 2 · 2 = 8\left({\mathrm{дм}}^3\right)$

$V_{к} = 2^3 = 2 · 2 · 2 = 8\left({м}^3\right)$

$8{м}^3 = 8000{\mathrm{дм}}^3$

$8000 : 8 = 1000(р.)$

Ответ: в 1000 раз

Для решения этой задачи необходимо сравнить объёмы двух кубов. Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — это длина его ребра.

У нас есть два куба:

• Первый куб с ребром $a_1 = 2 \text{ дм}$
• Второй куб с ребром $a_2 = 2 \text{ м}$

Чтобы сравнить их объёмы, сначала нужно привести длины рёбер к одной единице измерения. Переведём метры в дециметры. Вспомним, что в одном метре содержится 10 дециметров:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Следовательно, ребро второго куба в дециметрах равно:

$a_2 = 2 \text{ м} = 2 \cdot 10 \text{ дм} = 20 \text{ дм}$

Теперь, когда обе длины выражены в дециметрах, мы можем вычислить объёмы каждого куба.

Объём первого (меньшего) куба:

$V_1 = (2 \text{ дм})^3 = 8 \text{ дм}^3$

Объём второго (большего) куба:

$V_2 = (20 \text{ дм})^3 = 8000 \text{ дм}^3$

Чтобы найти, во сколько раз объём первого куба меньше объёма второго, нужно разделить объём большего куба на объём меньшего куба:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{8000 \text{ дм}^3}{8 \text{ дм}^3} = 1000$

Таким образом, объём куба с ребром 2 дм в 1000 раз меньше, чем объём куба с ребром 2 м.

Ответ: в 1000 раз.

3 Выразите в кубических метрах и дециметрах:

а) 4 265 000 см³;

б) 1 200 дм³.

а) Для того чтобы выразить $4\ 265\ 003 \text{ см}^3$ в кубических метрах и дециметрах, необходимо знать соотношения между этими единицами объема.
Вспомним основные соотношения:
$1 \text{ м} = 10 \text{ дм} = 100 \text{ см}$
Исходя из этого, получаем соотношения для кубических единиц:
$1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$
$1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$
$1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1\ 000\ 000 \text{ см}^3$

Теперь выполним преобразование. Сначала выделим целое число кубических метров из $4\ 265\ 003 \text{ см}^3$:
$4\ 265\ 003 \text{ см}^3 = 4\ 000\ 000 \text{ см}^3 + 265\ 003 \text{ см}^3$
Так как $1\ 000\ 000 \text{ см}^3 = 1 \text{ м}^3$, то $4\ 000\ 000 \text{ см}^3 = 4 \text{ м}^3$.

Далее, преобразуем остаток $265\ 003 \text{ см}^3$ в кубические дециметры. Выделим целое число кубических дециметров:
$265\ 003 \text{ см}^3 = 265\ 000 \text{ см}^3 + 3 \text{ см}^3$
Так как $1000 \text{ см}^3 = 1 \text{ дм}^3$, то $265\ 000 \text{ см}^3 = 265 \text{ дм}^3$.

В остатке остается $3 \text{ см}^3$.
Собирая все вместе, получаем:
$4\ 265\ 003 \text{ см}^3 = 4 \text{ м}^3 265 \text{ дм}^3 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $4 \text{ м}^3 265 \text{ дм}^3 3 \text{ см}^3$.

б) Для того чтобы выразить $1\ 200 \text{ дм}^3$ в кубических метрах и дециметрах, воспользуемся соотношением:
$1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$.

Выделим из $1\ 200 \text{ дм}^3$ целое число кубических метров. Для этого разделим $1200$ на $1000$:
$1200 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ дм}^3 + 200 \text{ дм}^3$

Поскольку $1000 \text{ дм}^3$ это $1 \text{ м}^3$, мы можем записать:
$1200 \text{ дм}^3 = 1 \text{ м}^3 + 200 \text{ дм}^3 = 1 \text{ м}^3 200 \text{ дм}^3$.

Ответ: $1 \text{ м}^3 200 \text{ дм}^3$.

7.59 Измерьте и запишите градусные меры углов (рис. 7.20).

Угол ABC: Для измерения угла с помощью транспортира необходимо совместить его центр с вершиной угла (точка B), а одну из сторон угла (например, луч BA) — с линией, проходящей через отметку 0 на шкале транспортира. Затем нужно посмотреть, на какую отметку на шкале указывает вторая сторона угла (луч BC). Выполнив измерение, получаем, что градусная мера угла ABC, который является тупым, составляет 115 градусов.
Ответ: $\angle ABC = 115^\circ$

Угол MLN: Используя тот же метод, измеряем тупой угол MLN. Совмещаем центр транспортира с вершиной L и его нулевую отметку со стороной LM. Сторона LN пересекает шкалу транспортира на отметке 130 градусов.
Ответ: $\angle MLN = 130^\circ$

Угол PST: Проводим измерение тупого угла PST. Помещаем центр транспортира в вершину S и совмещаем сторону SP с нулевой отметкой. Сторона ST указывает на значение 140 градусов.
Ответ: $\angle PST = 140^\circ$

Угол DFE: Для измерения острого угла DFE совмещаем центр транспортира с вершиной F, а сторону FD — с нулевой отметкой. Сторона FE проходит через деление 30 градусов на шкале.
Ответ: $\angle DFE = 30^\circ$

Угол ROT: Угол ROT является прямым углом, так как его стороны OR и OT визуально перпендикулярны друг другу. Градусная мера прямого угла составляет 90 градусов, что можно проверить с помощью транспортира или угольника.
Ответ: $\angle ROT = 90^\circ$

7.60 Внутри угла PTS проведён луч TR так, что ∠PTR = 45°, ∠RTS = 27°. Найдите угол PTS.

По условию задачи, луч TR проведён внутри угла PTS. Это означает, что угол PTS состоит из двух углов: ?PTR и ?RTS.

Согласно аксиоме об измерении углов, если луч делит угол на два угла, то градусная мера исходного угла равна сумме градусных мер этих двух углов.

Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

$ \angle PTS = \angle PTR + \angle RTS $

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи:

$ \angle PTR = 45^\circ $
$ \angle RTS = 27^\circ $

Выполним сложение:

$ \angle PTS = 45^\circ + 27^\circ = 72^\circ $

Ответ: $72^\circ$.

7.61 Найдите, какую часть прямого и какую часть развёрнутого углов составляют углы, равные 1°, 10°, 20°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°.

Для решения этой задачи вспомним, что величина прямого угла составляет $90^\circ$, а величина развёрнутого угла — $180^\circ$. Чтобы найти, какую часть один угол составляет от другого, необходимо разделить градусную меру первого угла на градусную меру второго и, если возможно, сократить полученную дробь.

1°

Часть от прямого угла ($90^\circ$): $\frac{1^\circ}{90^\circ} = \frac{1}{90}$.

Часть от развёрнутого угла ($180^\circ$): $\frac{1^\circ}{180^\circ} = \frac{1}{180}$.

Ответ: $\frac{1}{90}$ и $\frac{1}{180}$.

10°

Часть от прямого угла ($90^\circ$): $\frac{10^\circ}{90^\circ} = \frac{1}{9}$.

Часть от развёрнутого угла ($180^\circ$): $\frac{10^\circ}{180^\circ} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{18}$.

20°

Часть от прямого угла ($90^\circ$): $\frac{20^\circ}{90^\circ} = \frac{2}{9}$.

Часть от развёрнутого угла ($180^\circ$): $\frac{20^\circ}{180^\circ} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{9}$.

30°

Часть от прямого угла ($90^\circ$): $\frac{30^\circ}{90^\circ} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Часть от развёрнутого угла ($180^\circ$): $\frac{30^\circ}{180^\circ} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{6}$.

45°

Часть от прямого угла ($90^\circ$): $\frac{45^\circ}{90^\circ} = \frac{1}{2}$.

Часть от развёрнутого угла ($180^\circ$): $\frac{45^\circ}{180^\circ} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$.

60°

Часть от прямого угла ($90^\circ$): $\frac{60^\circ}{90^\circ} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Часть от развёрнутого угла ($180^\circ$): $\frac{60^\circ}{180^\circ} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

75°

Часть от прямого угла ($90^\circ$): $\frac{75^\circ}{90^\circ} = \frac{5 \cdot 15}{6 \cdot 15} = \frac{5}{6}$.

Часть от развёрнутого угла ($180^\circ$): $\frac{75^\circ}{180^\circ} = \frac{5 \cdot 15}{12 \cdot 15} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{12}$.

90°

Часть от прямого угла ($90^\circ$): $\frac{90^\circ}{90^\circ} = 1$.

Часть от развёрнутого угла ($180^\circ$): $\frac{90^\circ}{180^\circ} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1$ и $\frac{1}{2}$.

7.62 Найдите угол, если он равен:

а) 0,5 прямого угла;

б) 13 прямого угла;

в) 79 прямого угла;

г) 45 развёрнутого угла;

д) 0,5 развёрнутого угла;

е) 0,7 развёрнутого угла.

Для решения задачи необходимо знать, что прямой угол равен $90^\circ$, а развёрнутый угол равен $180^\circ$.

Чтобы найти 0,5 прямого угла, нужно умножить $90^\circ$ на 0,5.

$0,5 \times 90^\circ = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$

Чтобы найти $\frac{1}{3}$ прямого угла, нужно умножить $90^\circ$ на $\frac{1}{3}$.

$\frac{1}{3} \times 90^\circ = \frac{90^\circ}{3} = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$

Чтобы найти $\frac{7}{9}$ прямого угла, нужно умножить $90^\circ$ на $\frac{7}{9}$.

$\frac{7}{9} \times 90^\circ = 7 \times \frac{90^\circ}{9} = 7 \times 10^\circ = 70^\circ$

Ответ: $70^\circ$

Чтобы найти $\frac{4}{5}$ развёрнутого угла, нужно умножить $180^\circ$ на $\frac{4}{5}$.

$\frac{4}{5} \times 180^\circ = 4 \times \frac{180^\circ}{5} = 4 \times 36^\circ = 144^\circ$

Ответ: $144^\circ$

Чтобы найти 0,5 развёрнутого угла, нужно умножить $180^\circ$ на 0,5.

$0,5 \times 180^\circ = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$

Чтобы найти 0,7 развёрнутого угла, нужно умножить $180^\circ$ на 0,7.

$0,7 \times 180^\circ = 126^\circ$

Ответ: $126^\circ$

7.63 Какой угол между стрелками часов в:

$No\mathrm{.7.63}$

Развёрнутый угол, равный $180°$, составляет половину полного угла. Значит,

$180° · 2 = 360°$ – полный угол на часах.

Циферблат часов разделен на $12$ равных частей ($12$ ч), тогда

$360°÷12 = 30°$ – $1$ часть или $1$ час

а) $30° · 6 = 180°$

б) $30° · 5 = 150°$

в) $30° · 11 = 330°$ или $12 - 11 = 1$ часть ($1$ час) $30° · 1 = 30°$

г) $30° · 16 = 30° · 4 = 120°$, так как

$16 - 12 = 4$ (части) или $4$ часа

д) $3$ ч $30$ мин $= 3$ ч $+ \frac{30}{60}$ ч $= 3$ ч $+ \frac{1}{2}$ ч $= 3$ ч $+ \frac{5}{10}$ ч $= 3$ ч $+ \mathrm{0,5}$ ч $= \mathrm{3,5}$ ч

$30° · \mathrm{3,5} = 105°$

$\begin{array}{ccc}& x& \mathrm{3,5}\\ & & 30\\ \text{\_}\text{\_}\text{\_}& \text{\_}\text{\_}\text{\_}& \text{\_}\text{\_}\text{\_}\\ \mathrm{105,0}& = & 105\end{array}$

е) $14$ ч $30$ мин $= 14$ ч $+ \frac{1}{2}$ ч $= 14$ ч $+ \mathrm{0,5}$ ч $= \mathrm{14,5}$ ч

$\mathrm{14,5}$ ч $- 12$ ч $= \mathrm{2,5}$ ч

$30° · \mathrm{2,5} = 75°$

$\begin{array}{ccc}& x& \mathrm{2,5}\\ & & 30\\ \text{\_}\text{\_}\text{\_}& \text{\_}\text{\_}\text{\_}& \text{\_}\text{\_}\text{\_}\\ \mathrm{75,0}& = & 75\end{array}$

Ответ: а) $180°$; б) $150°$; в) $30°$; г) $120°$;

д) $105°$; е) $75°$

Для решения задачи воспользуемся следующими данными:

• Полный оборот стрелок по циферблату составляет $360^\circ$.
• На циферблате 12 часовых делений. Следовательно, угол между двумя соседними часовыми делениями равен $360^\circ \div 12 = 30^\circ$.
• На циферблате 60 минутных делений. Угол между двумя соседними минутными делениями равен $360^\circ \div 60 = 6^\circ$.

Вычислим скорость движения стрелок:

• Минутная стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 60 минут. Ее угловая скорость: $v_{мин} = 360^\circ / 60 \text{ мин} = 6^\circ \text{ в минуту}$.
• Часовая стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 12 часов (720 минут). Ее угловая скорость: $v_{час} = 360^\circ / 12 \text{ ч} = 30^\circ \text{ в час}$, или $v_{час} = 360^\circ / 720 \text{ мин} = 0.5^\circ \text{ в минуту}$.

За точку отсчета (положение $0^\circ$) примем деление «12» на циферблате.

а) 6 ч

В 6:00 минутная стрелка указывает на 12 (ее угол $0^\circ$), а часовая стрелка указывает ровно на 6. Угол между ними составляет 6 часовых делений. Расчет угла: $6 \times 30^\circ = 180^\circ$. Стрелки образуют развернутый угол.

Ответ: $180^\circ$.

б) 5 ч

В 5:00 минутная стрелка указывает на 12 (угол $0^\circ$), а часовая стрелка указывает ровно на 5. Угол между ними составляет 5 часовых делений. Расчет угла: $5 \times 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.

в) 11 ч

В 11:00 минутная стрелка указывает на 12 (угол $0^\circ$), а часовая стрелка указывает ровно на 11. Расстояние между ними составляет 1 часовое деление (от 11 до 12). Расчет меньшего угла: $1 \times 30^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

г) 16 ч

Время 16:00 на 24-часовом циферблате соответствует 4:00 на 12-часовом. В 4:00 минутная стрелка указывает на 12 (угол $0^\circ$), а часовая стрелка указывает ровно на 4. Угол между ними составляет 4 часовых деления. Расчет угла: $4 \times 30^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

д) 3 ч 30 мин

В 3:30 минутная стрелка указывает на 6. Ее положение относительно 12 часов составляет: $30 \text{ мин} \times 6^\circ\text{/мин} = 180^\circ$. Часовая стрелка в это время находится между 3 и 4. В 3:00 она указывала на 3 (угол $3 \times 30^\circ = 90^\circ$). За прошедшие 30 минут она сместилась еще на: $30 \text{ мин} \times 0.5^\circ\text{/мин} = 15^\circ$. Итоговое положение часовой стрелки: $90^\circ + 15^\circ = 105^\circ$. Угол между стрелками равен модулю разности их положений: $|180^\circ - 105^\circ| = 75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$.

е) 14 ч 30 мин

Время 14:30 на 24-часовом циферблате соответствует 2:30 на 12-часовом. Положение минутной стрелки, как и в предыдущем пункте, $180^\circ$. Часовая стрелка находится между 2 и 3. В 2:00 она указывала на 2 (угол $2 \times 30^\circ = 60^\circ$). За 30 минут она сместилась на: $30 \text{ мин} \times 0.5^\circ\text{/мин} = 15^\circ$. Итоговое положение часовой стрелки: $60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$. Угол между стрелками: $|180^\circ - 75^\circ| = 105^\circ$.

Ответ: $105^\circ$.

7.64 Используя транспортир, постройте угол АВС, равный 50°, и луч BD, делящий этот угол пополам.

Для решения этой задачи выполним построение в два этапа.

1. Построение угла ABC, равного 50°

1. Начертим на плоскости луч с началом в точке B. Отметим на этом луче произвольную точку C. Мы получили луч BC, который будет одной из сторон нашего угла.
2. Возьмем транспортир и приложим его так, чтобы его центр совпал с точкой B (вершиной будущего угла), а его основание (нулевая линия) прошло точно по лучу BC.
3. На шкале транспортира найдем отметку, соответствующую $50°$. Рядом с этой отметкой поставим точку и назовем ее A.
4. Уберем транспортир и с помощью линейки соединим точку B с точкой A, проведя луч BA.
5. В результате мы получили угол ABC ($?ABC$), градусная мера которого равна $50°$.

Ответ: Угол ABC, равный $50°$, построен.

2. Построение луча BD, делящего этот угол пополам

Луч, который делит угол пополам, называется его биссектрисой. Чтобы построить биссектрису BD, нам нужно разделить угол $?ABC$ на два равных угла.

1. Найдем величину половины угла: $50° \div 2 = 25°$. Это означает, что луч BD должен образовывать с каждой из сторон угла $?ABC$ угол в $25°$. То есть $?ABD = ?DBC = 25°$.
2. Снова приложим транспортир к вершине B так, чтобы его центр был в этой точке, а нулевая линия совпадала с лучом BC.
3. На шкале транспортира найдем отметку, соответствующую $25°$. Поставим рядом с ней точку и назовем ее D.
4. С помощью линейки проведем луч BD, начинающийся в точке B и проходящий через точку D.
5. Полученный луч BD является биссектрисой угла $?ABC$, так как он делит его на два равных угла: $?ABD = 25°$ и $?DBC = 25°$.

Ответ: Луч BD, делящий угол ABC пополам, построен.

7.65 Постройте биссектрису:

а) прямого угла;

б) развёрнутого угла.

а) Построение биссектрисы прямого угла.

Прямой угол имеет градусную меру $90^\circ$. Биссектриса — это луч, который делит угол на две равные части. Следовательно, биссектриса прямого угла разделит его на два угла, каждый из которых будет равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки:

1. Пусть нам дан прямой угол с вершиной в точке $O$ и сторонами $OA$ и $OB$.
2. Из вершины угла $O$ проводим дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла обе стороны угла. Обозначим точки пересечения как $C$ и $D$.
3. Из точек $C$ и $D$ как из центров проводим две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния между $C$ и $D$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Точку их пересечения обозначим $E$.
4. Проводим луч из вершины $O$ через точку $E$.

Полученный луч $OE$ и есть биссектриса прямого угла $\angle AOB$. Он делит его на два равных угла $\angle AOE$ и $\angle EOB$, каждый по $45^\circ$.

Ответ: Биссектриса прямого угла делит его на два угла по $45^\circ$. Построение заключается в нахождении точки, равноудаленной от сторон угла, и проведении луча из вершины угла через эту точку.

б) Построение биссектрисы развёрнутого угла.

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого являются двумя лучами, лежащими на одной прямой и выходящими из одной точки (вершины) в противоположных направлениях. Градусная мера развёрнутого угла равна $180^\circ$.

Биссектриса развёрнутого угла делит его на два равных угла, каждый из которых равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Таким образом, биссектриса развёрнутого угла является лучом, перпендикулярным прямой, на которой лежит этот угол.

Алгоритм построения, который по сути является построением перпендикуляра к прямой в данной точке:

1. Пусть нам дан развёрнутый угол с вершиной в точке $O$ на прямой $a$.
2. Из центра в точке $O$ проводим циркулем дугу (или окружность) произвольного радиуса, которая пересечёт прямую $a$ в двух точках. Обозначим их $C$ и $D$.
3. Из точек $C$ и $D$ как из центров проводим две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой дуги) так, чтобы они пересеклись. Обозначим точку пересечения как $E$.
4. Проводим луч из вершины $O$ через точку $E$.

Полученный луч $OE$ является биссектрисой развёрнутого угла, а также перпендикуляром к прямой $a$. Он делит развёрнутый угол на два прямых угла.

Ответ: Биссектриса развёрнутого угла является перпендикуляром к прямой, образующей угол, восстановленным из его вершины. Она делит развёрнутый угол на два прямых угла по $90^\circ$.

7.66 Разделите угол АВС, равный 150°, на три равных угла.

Для того чтобы разделить угол $\angle ABC$, равный $150^\circ$, на три равных угла, необходимо прежде всего найти величину каждого из этих трех углов. Это делается путем деления исходной величины угла на 3:

Таким образом, нам необходимо построить два луча, исходящих из вершины угла $B$, которые разделят угол $\angle ABC$ на три смежных угла, каждый по $50^\circ$. Обозначим эти лучи как $BD$ и $BE$.

Следует отметить, что задача о трисекции угла (делении его на три равные части) в общем случае не может быть решена с помощью только циркуля и линейки. Построение угла в $50^\circ$ является невыполнимой задачей при использовании только этих инструментов. Поэтому для решения данной задачи необходимо использовать транспортир.

Порядок действий для разделения угла с помощью транспортира:

1. Начертите исходный угол $\angle ABC$ величиной $150^\circ$. Для этого проведите луч $BC$. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $B$, а отметка $0^\circ$ на шкале — с лучом $BC$. Найдите отметку $150^\circ$ на шкале, поставьте точку $A$ и проведите луч $BA$.
2. Приложив транспортир к вершине $B$ и лучу $BC$ (как в шаге 1), найдите на шкале отметку $50^\circ$. Поставьте в этом месте точку $D$ и проведите луч $BD$. Вы получите угол $\angle CBD = 50^\circ$.
3. Тем же способом от луча $BC$ отложите угол в $100^\circ$. Для этого найдите на шкале транспортира отметку $100^\circ$, поставьте точку $E$ и проведите луч $BE$.

В результате этих построений угол $\angle ABC$ будет разделен на три равных угла:

• $\angle CBD = 50^\circ$ (по построению).
• $\angle DBE$, который равен разности углов $\angle CBE$ и $\angle CBD$: $100^\circ - 50^\circ = 50^\circ$.
• $\angle ABE$, который равен разности углов $\angle ABC$ и $\angle CBE$: $150^\circ - 100^\circ = 50^\circ$.

Таким образом, мы получили три равных угла $\angle CBD$, $\angle DBE$ и $\angle ABE$, каждый по $50^\circ$, что и требовалось в задаче.

Ответ: Чтобы разделить угол в $150^\circ$ на три равных угла, необходимо из его вершины провести два луча, которые образуют три смежных угла по $50^\circ$. Это можно выполнить с помощью транспортира, последовательно отложив от одной из сторон исходного угла углы в $50^\circ$ и $100^\circ$.

7.67 Назовите острые, тупые и прямые углы, если ∠F = 86°; ∠D = 177°; ∠К = 90°; ∠Е = 94°; ∠О = 4°.

Острый угол меньше $90°$

  $\angle F = 86°$ и $\angle D = 4°$ - острые, так как

  $86°<90°$ и $4°<90°$

Тупой угол больше $90°$, но меньше $180°$

  $\angle D = 177°$ и $\angle E = 94°$ - тупые, так как

  $90°<177°<180°$ и $90°<94°<180°$

Прямой угол равен $90°$

  $\angle K = 90°$ - прямой

Чтобы классифицировать углы как острые, тупые или прямые, необходимо сравнить их градусные меры с $90°$. Вспомним определения:

• Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90°$.
• Прямой угол — это угол, который равен ровно $90°$.
• Тупой угол — это угол, который больше $90°$, но меньше $180°$.

Теперь проанализируем каждый из данных углов: $\angle F = 86°$; $\angle D = 177°$; $\angle K = 90°$; $\angle E = 94°$; $\angle O = 4°$.

Острые углы

Острым является угол, величина которого меньше $90°$. В данном списке этому условию удовлетворяют:

• $\angle F = 86°$, так как $86° < 90°$.
• $\angle O = 4°$, так как $4° < 90°$.

Ответ: $\angle F$, $\angle O$.

Тупые углы

Тупым является угол, величина которого больше $90°$, но меньше $180°$. В данном списке этому условию удовлетворяют:

• $\angle D = 177°$, так как $90° < 177° < 180°$.
• $\angle E = 94°$, так как $90° < 94° < 180°$.

Ответ: $\angle D$, $\angle E$.

Прямые углы

Прямым является угол, величина которого равна $90°$. В данном списке этому условию удовлетворяет:

• $\angle K = 90°$.

Ответ: $\angle K$.

7.68 Углы КОМ и MOL в сумме составляют развёрнутый угол. Найдите градусную меру каждого угла, если известно, что угол КОМ составляет 56 прямого угла.

По условию задачи, углы KOM и MOL в сумме составляют развёрнутый угол. Градусная мера развёрнутого угла равна $180^\circ$. Это означает, что данные углы являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$:
$ \angle KOM + \angle MOL = 180^\circ $

Найдём градусную меру угла KOM
Известно, что угол KOM составляет $ \frac{5}{6} $ от прямого угла. Прямой угол равен $90^\circ$.
Чтобы найти градусную меру угла KOM, необходимо умножить $90^\circ$ на дробь $ \frac{5}{6} $:
$ \angle KOM = \frac{5}{6} \times 90^\circ = \frac{5 \times 90}{6}^\circ = 5 \times 15^\circ = 75^\circ $.
Ответ: градусная мера угла KOM равна $75^\circ$.

Найдём градусную меру угла MOL
Теперь, зная градусную меру угла KOM, мы можем найти градусную меру угла MOL. Для этого вычтем из градусной меры развёрнутого угла ($180^\circ$) градусную меру угла KOM:
$ \angle MOL = 180^\circ - \angle KOM $
$ \angle MOL = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $.
Ответ: градусная мера угла MOL равна $105^\circ$.