Номер 4.126, страница 148, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

23. Прямоугольный параллелепипед. § 4. Площади и объёмы. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 4.126, страница 148.

4.126 Из одинаковых блоков длиной 120мм, шириной 90мм и высотой 60мм сложили фигуру, изображённую на рисунке 4.23. Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Для решения задачи необходимо найти площадь полной поверхности фигуры, составленной из трех одинаковых блоков. Размеры каждого блока: длина $a = 120$ мм, ширина $b = 90$ мм и высота $c = 60$ мм.

Будем использовать следующий метод: сначала вычислим суммарную площадь поверхности трех отдельных блоков, а затем вычтем из этого значения удвоенные площади тех граней, по которым блоки соприкасаются друг с другом. Мы вычитаем удвоенную площадь, так как при соединении двух блоков скрываются две поверхности (по одной у каждого блока).

1. Вычисление площади поверхности одного блока

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S_{блок}$) находится по формуле:

$S_{блок} = 2(ab + ac + bc)$

Подставим значения размеров блока:

$S_{блок} = 2 \cdot (120 \cdot 90 + 120 \cdot 60 + 90 \cdot 60) = 2 \cdot (10800 + 7200 + 5400) = 2 \cdot 23400 = 46800 \text{ мм}^2$.

2. Вычисление суммарной площади поверхности трех отдельных блоков

Общая площадь поверхности трех независимых блоков ($S_{общая}$) равна:

$S_{общая} = 3 \cdot S_{блок} = 3 \cdot 46800 = 140400 \text{ мм}^2$.

3. Определение площадей соприкосновения (стыков)

Из рисунка видно, что высокая часть фигуры состоит из двух блоков, поставленных друг на друга, а низкая часть — из одного. Высота низкой части равна высоте одного блока, а высота высокой части — высоте двух. Это означает, что все три блока ориентированы так, что их высота равна $60$ мм. При этом блоки в высокой части (справа) повернуты: их длина (лицевая сторона) равна $90$ мм, а глубина (ширина) — $120$ мм. Блок в низкой части (слева) имеет длину $120$ мм и ширину $90$ мм.

Таким образом, в фигуре существует два вида соприкосновения:

Стык 1: Между двумя блоками в высокой башне (один стоит на другом). Площадь этого стыка равна площади основания этих блоков.

$S_{стык1} = 90 \cdot 120 = 10800 \text{ мм}^2$.

Стык 2: Между нижним блоком башни и левым блоком. Они соприкасаются боковыми гранями. Площадь этого стыка равна площади боковой грани левого блока.

$S_{стык2} = 90 \cdot 60 = 5400 \text{ мм}^2$.

4. Расчет итоговой площади поверхности фигуры

Теперь вычтем удвоенные площади стыков из общей площади трех блоков:

$S_{фигуры} = S_{общая} - 2 \cdot S_{стык1} - 2 \cdot S_{стык2}$

$S_{фигуры} = 140400 - 2 \cdot 10800 - 2 \cdot 5400 = 140400 - 21600 - 10800 = 108000 \text{ мм}^2$.

Ответ: $108000 \text{ мм}^2$.