Номер 4.173, страница 153, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

24. Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда. § 4. Площади и объёмы. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 4.173, страница 153.

4.173 Вычислите, чему равен объём прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 4.32), если KN=6дм, KD=7дм, LN=11дм.

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда ($V$) необходимо найти длины трёх его измерений: длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$). Объём вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Из условия задачи и рисунка следует, что $KN$ является ребром параллелепипеда. Примем его длину за измерение $a$:
$a = KN = 6$ дм.

Квадрат пространственной диагонали ($d$) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Квадрат диагонали любой грани равен сумме квадратов двух рёбер, образующих эту грань. Например, для грани со сторонами $a$ и $c$, квадрат её диагонали $d_{ac}^2 = a^2 + c^2$.

В данной задаче отрезки $KD=7$ дм и $LN=11$ дм являются диагоналями. Если предположить их роли так, как это изображено на рисунке ($LN$ — диагональ основания, а $KD$ — пространственная диагональ), то расчёты приводят к математическому противоречию, так как квадрат высоты получается отрицательным числом. Это означает, что рисунок является условным, и роли диагоналей следует определить так, чтобы задача имела решение.

Единственная математически непротиворечивая комбинация — это когда $KD$ является диагональю грани, а $LN$ — пространственной диагональю.

1. Пусть $KD = 7$ дм — диагональ грани, образованной рёбрами $a$ и $c$. Найдём высоту $c$:
$KD^2 = a^2 + c^2$
$7^2 = 6^2 + c^2$
$49 = 36 + c^2$
$c^2 = 49 - 36 = 13$
$c = \sqrt{13}$ дм.

2. Пусть $LN = 11$ дм — пространственная диагональ. Найдём ширину $b$:
$LN^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Мы можем подставить уже известное значение $a^2+c^2 = KD^2 = 49$ в эту формулу:
$LN^2 = (a^2 + c^2) + b^2$
$11^2 = 49 + b^2$
$121 = 49 + b^2$
$b^2 = 121 - 49 = 72$
$b = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ дм.

3. Теперь, зная все три измерения параллелепипеда ($a=6$ дм, $b=6\sqrt{2}$ дм, $c=\sqrt{13}$ дм), мы можем вычислить его объём:
$V = a \cdot b \cdot c = 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{13} = 36 \sqrt{2 \cdot 13} = 36\sqrt{26}$ дм$^3$.

Ответ: $36\sqrt{26}$ дм$^3$.