Номер 7.77, страница 156, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

51. Измерение углов. Транспортир. § 7. Инструменты для вычислений и измерений. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 7.77, страница 156.

7.77 Начертите четырёхугольники ABCD и MNPQ. Измерьте транспортиром их углы, найдите сумму углов в каждом четырёхугольнике. Сделайте предположение о сумме углов в четырёхугольнике.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательность действий: начертить два произвольных четырёхугольника, измерить их углы, найти сумму этих углов для каждого и на основе полученных результатов сделать общее предположение.

1. Нахождение суммы углов четырёхугольника ABCD

Начертим произвольный выпуклый четырёхугольник ABCD. Поскольку мы не можем использовать физический транспортир, представим, что мы его начертили и измерили углы. Например, у нас могли бы получиться следующие значения:

• Угол A: $\angle A = 80^\circ$
• Угол B: $\angle B = 105^\circ$
• Угол C: $\angle C = 100^\circ$
• Угол D: $\angle D = 75^\circ$

Теперь найдем сумму этих углов:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 80^\circ + 105^\circ + 100^\circ + 75^\circ = 360^\circ$

Ответ: Сумма углов в нашем примере четырёхугольника ABCD равна $360^\circ$.

2. Нахождение суммы углов четырёхугольника MNPQ

Теперь начертим другой четырёхугольник MNPQ, отличающийся по форме от первого, и также измерим его углы. Допустим, мы получили такие результаты:

• Угол M: $\angle M = 65^\circ$
• Угол N: $\angle N = 135^\circ$
• Угол P: $\angle P = 90^\circ$
• Угол Q: $\angle Q = 70^\circ$

Найдем сумму углов этого четырёхугольника:

$\angle M + \angle N + \angle P + \angle Q = 65^\circ + 135^\circ + 90^\circ + 70^\circ = 360^\circ$

Ответ: Сумма углов в нашем примере четырёхугольника MNPQ также равна $360^\circ$.

3. Предположение о сумме углов в четырёхугольнике

В обоих проведённых экспериментах, несмотря на то, что четырёхугольники были разными, сумма их внутренних углов оказалась одинаковой и равной $360^\circ$. Это позволяет сделать следующее предположение (которое в геометрии является теоремой).

Это можно доказать, если провести в любом выпуклом четырёхугольнике диагональ (например, AC в четырёхугольнике ABCD). Эта диагональ разделит четырёхугольник на два треугольника ($\triangle ABC$ и $\triangle ADC$). Сумма углов любого треугольника, как известно, равна $180^\circ$. Так как четырёхугольник состоит из двух треугольников, то сумма его углов равна сумме углов этих двух треугольников:

$180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$

Таким образом, сумма углов $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D$ равна сумме углов $(\angle CAB + \angle B + \angle BCA) + (\angle ACD + \angle D + \angle DAC)$, что и составляет $360^\circ$.

Ответ: Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.