Номер 5, страница 156, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Глава 1. Натуральные числа. Параграф 4. Площади и объёмы. Применяем математику - номер 5, страница 156.

Условие.

5. На рисунке 4.36 изображён план квадратного участка, по углам которого растут четыре больших дерева. Владельцы участка хотят увеличить его площадь вдвое так, чтобы деревья остались вне участка и участок остался квадратным. Возможно ли это сделать?

Решение 2.

Да, это возможно сделать. Давайте разберем задачу по шагам.

1. Анализ условий задачи

Пусть у нас есть исходный квадратный участок. Обозначим длину его стороны как $a$. Тогда его площадь $S_1$ равна:

$S_1 = a^2$

По углам этого участка растут четыре дерева. Это означает, что деревья находятся в вершинах квадрата со стороной $a$.

Владельцы хотят получить новый участок, который должен удовлетворять трем условиям:

1. Он должен быть квадратным.
2. Его площадь $S_2$ должна быть вдвое больше площади исходного участка: $S_2 = 2 \cdot S_1$.
3. Все четыре дерева должны оказаться вне нового участка.

2. Вычисление размеров нового участка

Найдем сторону нового квадратного участка. Обозначим ее длину как $b$. Его площадь $S_2$ равна:

$S_2 = b^2$

По условию $S_2 = 2S_1$, следовательно:

$b^2 = 2a^2$

Извлекая квадратный корень, получаем длину стороны нового участка:

$b = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Интересно отметить, что сторона нового квадрата $b=a\sqrt{2}$ в точности равна длине диагонали исходного квадрата со стороной $a$.

3. Построение нового участка

Теперь задача сводится к следующему: как расположить новый квадрат со стороной $a\sqrt{2}$ так, чтобы он не захватывал вершины исходного квадрата со стороной $a$.

Рассмотрим исходный квадрат, в вершинах которого находятся деревья. Мысленно повернем его на 45 градусов вокруг его центра. Теперь построим новый квадрат, стороны которого будут проходить через вершины исходного (теперь повернутого) квадрата.

Для наглядности представим это на координатной плоскости. Пусть центр исходного участка находится в точке $(0,0)$. Тогда деревья (вершины исходного участка) будут находиться в точках с координатами $(a/2, a/2)$, $(-a/2, a/2)$, $(-a/2, -a/2)$ и $(a/2, -a/2)$.

Теперь построим новый квадрат, повернув исходный на 45 градусов. Его вершины окажутся на осях координат. Этот новый квадрат будет ограничен линиями, проходящими через точки-деревья.

Проще это представить так: возьмем исходный квадрат с деревьями по углам. Соединим середины его сторон. Получится внутренний квадрат. Если же мы, наоборот, построим новый квадрат "вокруг" исходного, так, чтобы его вершины лежали на продолжении диагоналей исходного, то это не решит задачу.

Правильное решение заключается в том, чтобы повернуть новый квадрат на 45 градусов относительно исходного. Представьте, что исходный квадрат с деревьями — это квадрат ABCD. Новый участок будет квадратом, стороны которого проходят через точки A, B, C и D, но сами эти точки являются серединами сторон нового квадрата.

Ниже приведена схема такого расположения. Исходный участок с деревьями показан синим цветом, а новый, увеличенный участок — красным.

На этой схеме видно, что вершины исходного участка (места, где растут деревья) оказываются на серединах сторон нового, увеличенного участка. Так как граница участка не является его внутренней частью, то деревья находятся "вне участка". Таким образом, все условия задачи выполнены: новый участок является квадратом, его площадь вдвое больше исходной, а деревья остались за его пределами.

Ответ: Да, это возможно. Для этого нужно расположить новый квадратный участок так, чтобы его стороны проходили через деревья, а сам он был повернут на 45 градусов относительно воображаемого квадрата, соединяющего эти деревья.

Решение 3.

Решение 4.