Номер 3, страница 156, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

Применяем математику. § 4. Площади и объёмы. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3, страница 156.

3. Из листа бумаги размером 20 х 20 см вырезали прямоугольник со сторонами 12 см и 18 см.

а) Можно ли из остатка вырезать квадрат со стороной 9 см?

б) Какой квадрат наибольшей площади можно вырезать из остатка?

а) Можно ли из остатка вырезать квадрат со стороной 9 см?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо определить, можно ли на исходном листе бумаги размером $20 \times 20$ см разместить одновременно и вырезаемый прямоугольник $12 \times 18$ см, и искомый квадрат $9 \times 9$ см так, чтобы они не перекрывались. Предположим, что стороны всех фигур параллельны сторонам исходного листа.

Чтобы разместить две фигуры рядом вдоль одной из сторон листа, сумма их размеров вдоль этой стороны не должна превышать размер листа, то есть $20$ см. Проверим это условие для наших фигур:

1. Если расположить квадрат (сторона $9$ см) и прямоугольник по его стороне $12$ см, их общая длина составит: $9 \text{ см} + 12 \text{ см} = 21 \text{ см}$.
$21 \text{ см} > 20 \text{ см}$, следовательно, так разместить их невозможно.

2. Если расположить квадрат (сторона $9$ см) и прямоугольник по его стороне $18$ см, их общая длина составит: $9 \text{ см} + 18 \text{ см} = 27 \text{ см}$.
$27 \text{ см} > 20 \text{ см}$, что также делает такое размещение невозможным.

Поскольку в обоих случаях сумма длин превышает $20$ см, невозможно разместить на листе бумаги $20 \times 20$ см прямоугольник $12 \times 18$ см и квадрат $9 \times 9$ см без их взаимного наложения. Это означает, что после вырезания прямоугольника в оставшейся части листа не будет цельного куска, достаточного для вырезания квадрата со стороной $9$ см.

Ответ: Нет, нельзя.

б) Какой квадрат наибольшей площади можно вырезать из остатка?

Задача сводится к поиску максимальной длины стороны квадрата, $s$, который можно разместить на листе $20 \times 20$ см вместе с прямоугольником $12 \times 18$ см без их пересечения. Как и в предыдущем пункте, мы можем представить это как размещение двух фигур на одном листе.

Чтобы найти максимальный размер квадрата, нужно разместить его рядом с прямоугольником вдоль одной из сторон листа $20 \times 20$ см. Чтобы сторона квадрата $s$ была как можно больше, его следует размещать рядом с наименьшей стороной прямоугольника. Наименьшая сторона прямоугольника равна $12$ см.

Расположим квадрат $s \times s$ и прямоугольник (его стороной $12$ см) вдоль стороны листа $20$ см. Сумма их длин не должна превышать $20$ см:

$s + 12 \text{ см} \le 20 \text{ см}$

Из этого неравенства находим максимально возможную длину стороны квадрата:

$s \le 20 \text{ см} - 12 \text{ см}$

$s \le 8 \text{ см}$

Таким образом, наибольший квадрат, который можно вырезать из остатка, имеет сторону $8$ см. Такой раскрой возможен: например, если вырезать из листа $20 \times 20$ см прямоугольник $12 \times 18$ см, прижав его к одной из сторон. Тогда оставшаяся часть будет представлять собой L-образную фигуру. Эта фигура будет состоять из двух прямоугольных участков, один из которых будет иметь размеры $8 \times 20$ см (поскольку $20 - 12 = 8$). Из этого участка можно вырезать квадрат $8 \times 8$ см.

Площадь такого квадрата составляет $S = 8 \times 8 = 64$ см$^2$.

Ответ: Можно вырезать квадрат со стороной 8 см.