Номер 3, страница 6 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 1. Делители и кратные. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 3, страница 6.

Условие.

3. Какое число является наибольшим делителем натурального числа $a$?

Решение.

Решение 2.

Делителем натурального числа $a$ называется такое натуральное число $d$, на которое число $a$ делится без остатка. Это означает, что существует натуральное число $k$ такое, что выполняется равенство:

$a = d \cdot k$

Любое натуральное число $a$ можно представить в виде произведения самого себя на единицу:

$a = a \cdot 1$

Из этого равенства следует, что само число $a$ является своим делителем (здесь $d = a$ и $k = 1$).

Теперь покажем, что никакой делитель числа $a$ не может быть больше, чем $a$. Пусть $d$ — любой натуральный делитель числа $a$. Тогда, по определению, $a = d \cdot k$ для некоторого натурального числа $k$. Так как $k$ — натуральное число, его наименьшее возможное значение равно 1, то есть $k \ge 1$.

Рассмотрим соотношение $d = a/k$. Поскольку $k \ge 1$, то $1/k \le 1$. Следовательно, $d = a/k \le a/1 = a$.

Таким образом, любой делитель $d$ числа $a$ удовлетворяет неравенству $d \le a$. Это означает, что ни один делитель не может быть больше самого числа $a$. Поскольку само число $a$ является своим делителем, оно и будет наибольшим среди всех своих делителей.

Например, для числа 20 делителями являются числа 1, 2, 4, 5, 10, 20. Наибольшим из них является 20.

Ответ: Наибольшим делителем натурального числа $a$ является само число $a$.