Номер 1537, страница 320 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 6 класса - номер 1537, страница 320.

Условие.

1537. В шахматном турнире принимали участие 12 игроков. Турнир проходил по круговой системе, т. е. каждый участник турнира играл с другими по одному разу. Сколько всего было сыграно шахматных партий?

Решение.

Решение 2.

Поскольку турнир проходил по круговой системе, каждый из 12 игроков сыграл с каждым другим игроком ровно один раз. Таким образом, чтобы найти общее количество сыгранных партий, нам нужно посчитать количество всех возможных уникальных пар игроков из 12 участников.

Это можно сделать несколькими способами.

1. Логический метод:
Каждый из 12 игроков должен сыграть с $12 - 1 = 11$ соперниками. Если мы умножим количество игроков на число игр для каждого, то получим $12 \times 11 = 132$. Однако в этом случае каждая партия будет посчитана дважды (например, партия между игроком А и игроком Б будет учтена и для игрока А, и для игрока Б). Чтобы исключить дублирование, полученный результат необходимо разделить на 2.
Количество партий = $\frac{12 \times (12 - 1)}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = \frac{132}{2} = 66$.

2. Комбинаторный метод:
Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 12 элементов по 2, так как порядок игроков в партии не имеет значения. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае общее число игроков $n = 12$, а в каждой партии участвует $k = 2$ игрока.
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{10! \cdot 11 \cdot 12}{2 \cdot 1 \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 66