Страница 320 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1528. Из одного города в противоположных направлениях вышли два пешехода. Первый пешеход вышел на 2,5 ч раньше второго и шёл со скоростью 8 км/ч. Скорость второго составляла 75 % скорости первого. Через сколько часов после начала движения второго пешехода расстояние между ними составляло 41 км?

Для решения задачи сперва найдём скорость второго пешехода. По условию, она составляет 75% от скорости первого пешехода, которая равна 8 км/ч.

Скорость второго пешехода: $v_2 = 8 \text{ км/ч} \times 75\% = 8 \times 0.75 = 6$ км/ч.

Пусть $t$ – это искомое время в часах, прошедшее с момента начала движения второго пешехода. Поскольку первый пешеход вышел на 2,5 часа раньше, его общее время в пути на тот момент составляет $(t + 2.5)$ часа.

За это время первый пешеход пройдет расстояние $S_1$, равное:

$S_1 = 8 \text{ км/ч} \times (t + 2.5) \text{ ч}$

Второй пешеход за время $t$ пройдет расстояние $S_2$, равное:

$S_2 = 6 \text{ км/ч} \times t \text{ ч}$

Так как пешеходы движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними равно сумме расстояний, пройденных каждым из них от начальной точки. По условию, это расстояние должно быть равно 41 км. Составим уравнение:

$S_1 + S_2 = 41$

$8 \times (t + 2.5) + 6t = 41$

Теперь решим это уравнение относительно $t$:

$8t + 8 \times 2.5 + 6t = 41$

$8t + 20 + 6t = 41$

$14t + 20 = 41$

$14t = 41 - 20$

$14t = 21$

$t = \frac{21}{14} = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, через 1,5 часа после начала движения второго пешехода расстояние между ними составит 41 км.

Ответ: 1,5 часа.

1529.Из города А выехал автомобиль со скоростью 48 км/ч. Через полтора часа в том же направлении выехал второй автомобиль, скорость которого в $1\frac{3}{8}$ раза больше скорости первого. На каком расстоянии от города А второй автомобиль догонит первый?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость второго автомобиля.

Скорость первого автомобиля $v_1 = 48$ км/ч. Скорость второго автомобиля $v_2$ в $1\frac{3}{8}$ раза больше.
Сначала представим смешанную дробь $1\frac{3}{8}$ в виде неправильной дроби:
$1\frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{11}{8}$
Теперь вычислим скорость второго автомобиля:
$v_2 = 48 \cdot \frac{11}{8} = \frac{48 \cdot 11}{8} = 6 \cdot 11 = 66$ км/ч.

2. Найдем расстояние, которое проехал первый автомобиль за 1,5 часа.

Первый автомобиль был в пути 1,5 часа до того, как выехал второй. За это время он создал отрыв (фору):
$S_{форы} = v_1 \cdot t = 48 \cdot 1.5 = 72$ км.

3. Найдем скорость сближения автомобилей.

Поскольку автомобили движутся в одном направлении, скорость, с которой второй автомобиль догоняет первого, равна разности их скоростей:
$v_{сближения} = v_2 - v_1 = 66 - 48 = 18$ км/ч.

4. Найдем время, через которое второй автомобиль догонит первый.

Чтобы найти время, нужно расстояние (отрыв) разделить на скорость сближения:
$t_{встречи} = \frac{S_{форы}}{v_{сближения}} = \frac{72}{18} = 4$ часа.

5. Найдем расстояние от города А, на котором произойдет встреча.

Это расстояние равно пути, который проедет второй автомобиль за время до встречи.
$S = v_2 \cdot t_{встречи} = 66 \cdot 4 = 264$ км.

Можно также посчитать это расстояние через первого водителя. Он будет в пути 1,5 часа + 4 часа = 5,5 часов.
$S = v_1 \cdot (1.5 + 4) = 48 \cdot 5.5 = 264$ км.
Результаты совпадают.

Ответ: второй автомобиль догонит первый на расстоянии 264 км от города А.

1530.В три магазина завезли 680 кг апельсинов. Масса апельсинов, завезённых в первый магазин, относится к массе апельсинов, завезённых во второй, как $3 : 5$, а в третий завезли на $12 \%$ больше, чем во второй. Сколько килограммов апельсинов завезли в каждый магазин?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие массу апельсинов в каждом магазине:
Пусть $m_1$ — масса апельсинов, завезенных в первый магазин.
Пусть $m_2$ — масса апельсинов, завезенных во второй магазин.
Пусть $m_3$ — масса апельсинов, завезенных в третий магазин.

Общая масса апельсинов, завезенных в три магазина, составляет 680 кг. Составим уравнение:
$m_1 + m_2 + m_3 = 680$

Из условия известно, что масса апельсинов, завезенных в первый магазин, относится к массе апельсинов, завезенных во второй, как 3 : 5. Это можно записать в виде пропорции:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{5}$
Выразим массу $m_1$ через $m_2$:
$m_1 = \frac{3}{5}m_2 = 0.6m_2$

Также известно, что в третий магазин завезли на 12% больше апельсинов, чем во второй. Это значит, что масса апельсинов в третьем магазине составляет 112% от массы во втором ($100\% + 12\% = 112\%$). Выразим массу $m_3$ через $m_2$:
$m_3 = m_2 + 0.12 \times m_2 = 1.12m_2$

Теперь подставим полученные выражения для $m_1$ и $m_3$ в исходное уравнение с общей массой:
$0.6m_2 + m_2 + 1.12m_2 = 680$

Сложим все коэффициенты при $m_2$:
$(0.6 + 1 + 1.12)m_2 = 680$
$2.72m_2 = 680$

Найдем $m_2$:
$m_2 = \frac{680}{2.72} = \frac{68000}{272} = 250$ кг.
Таким образом, во второй магазин завезли 250 кг апельсинов.

Теперь, зная $m_2$, найдем массы апельсинов для первого и третьего магазинов:
$m_1 = 0.6 \times m_2 = 0.6 \times 250 = 150$ кг.
$m_3 = 1.12 \times m_2 = 1.12 \times 250 = 280$ кг.

Проверим правильность решения, сложив массы:
$150 + 250 + 280 = 400 + 280 = 680$ кг.
Общая масса совпадает с условием задачи.

Ответ: в первый магазин завезли 150 кг апельсинов, во второй — 250 кг, а в третий — 280 кг.

1531. Миша и Виталик должны были решить за лето одинаковое количество задач. Однако 28 августа выяснилось, что они вместе решили 285 задач, причём Миша перевыполнил задание на 8 %, а Виталик ещё не решил 18 % задач. Сколько задач должен был решить каждый из мальчиков?

Пусть $x$ — это количество задач, которое должен был решить каждый мальчик по плану.

Миша перевыполнил задание на 8%. Это означает, что он решил $100\% + 8\% = 108\%$ от запланированного количества. Чтобы найти количество решенных им задач, нужно плановое количество умножить на долю выполненной работы:

$x \cdot \frac{108}{100} = 1,08x$

Виталик ещё не решил 18% задач. Это означает, что он решил $100\% - 18\% = 82\%$ от запланированного количества. Количество решенных им задач составляет:

$x \cdot \frac{82}{100} = 0,82x$

По условию, вместе они решили 285 задач. Мы можем составить уравнение, сложив количество задач, решенных Мишей и Виталиком:

$1,08x + 0,82x = 285$

Теперь решим это уравнение:

$1,9x = 285$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 1,9:

$x = \frac{285}{1,9}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{2850}{19}$

$x = 150$

Таким образом, каждый из мальчиков должен был решить 150 задач.

Выполним проверку:

1. Сколько задач решил Миша: $150 \cdot 1,08 = 162$ задачи.

2. Сколько задач решил Виталик: $150 \cdot 0,82 = 123$ задачи.

3. Сколько задач они решили вместе: $162 + 123 = 285$ задач.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: каждый из мальчиков должен был решить 150 задач.

1532. На соревнованиях по стрельбе из лука каждый участник сделал 20 выстрелов. За каждый меткий выстрел засчитывали 15 очков, а за каждый промах снимали 7 очков. Робину Гуду в глаз попала пылинка, поэтому он набрал всего 234 очка. Сколько раз Робин Гуд попал в цель?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество метких выстрелов (попаданий в цель), сделанных Робином Гудом.

Всего участник сделал 20 выстрелов. Значит, количество промахов можно выразить как $20 - x$.

За каждый меткий выстрел начислялось 15 очков, а за каждый промах снималось 7 очков. Общая сумма очков равна 234. Исходя из этих данных, можно составить следующее уравнение:
$15 \cdot x - 7 \cdot (20 - x) = 234$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

1. Раскроем скобки:
$15x - 140 + 7x = 234$

2. Сложим слагаемые, содержащие $x$:
$22x - 140 = 234$

3. Перенесем число -140 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$22x = 234 + 140$
$22x = 374$

4. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 22:
$x = 374 \div 22$
$x = 17$

Таким образом, количество попаданий в цель равно 17.

Проверим полученный результат:
Количество попаданий: 17. Очки за попадания: $17 \cdot 15 = 255$ очков.
Количество промахов: $20 - 17 = 3$. Снятые очки: $3 \cdot 7 = 21$ очко.
Итоговый счет: $255 - 21 = 234$ очка.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 17.

1533. Булочка с повидлом стоит 12 р. и ещё $\frac{1}{3}$ её цены. Сколько стоит булочка?

Обозначим полную стоимость булочки переменной $x$ (в рублях).

Из условия задачи следует, что полная стоимость булочки ($x$) складывается из 12 рублей и одной трети её стоимости ($\frac{1}{3}x$).

Составим уравнение на основе этого условия:

$x = 12 + \frac{1}{3}x$

Чтобы решить это уравнение, сначала перенесём все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть:

$x - \frac{1}{3}x = 12$

Выполним вычитание в левой части. Для этого представим $x$ как $\frac{3}{3}x$:

$\frac{3}{3}x - \frac{1}{3}x = 12$

$\frac{2}{3}x = 12$

Из этого уравнения следует, что две трети от стоимости булочки равны 12 рублям.

Чтобы найти полную стоимость $x$, разделим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ (что то же самое, что умножить на $\frac{3}{2}$):

$x = 12 \cdot \frac{3}{2}$

$x = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2}$

$x = 18$

Следовательно, полная стоимость булочки составляет 18 рублей.

Проверка:

Если булочка стоит 18 рублей, то $\frac{1}{3}$ её цены составляет $18 \div 3 = 6$ рублей. Согласно условию, её цена равна $12$ р. и ещё $\frac{1}{3}$ её цены, то есть $12 + 6 = 18$ рублей. Равенство верное, значит, задача решена правильно.

Ответ: 18 рублей.

1534. Бригада кроликов вырастила урожай капусты, но не смогла его разделить поровну. Если бы каждый кролик взял по шесть кочанов, то пять кочанов осталось бы лишними. А по семь кочанов они взять не могли, так как для этого им не хватало пять кочанов. Сколько кроликов было в бригаде? Сколько кочанов капусты они вырастили?

Пусть $x$ — это количество кроликов в бригаде, а $y$ — общее количество кочанов капусты, которые они вырастили.

Из первого условия задачи следует: если каждый кролик возьмет по 6 кочанов, то 5 кочанов останется. Это можно записать в виде уравнения:

$y = 6x + 5$

Из второго условия следует: чтобы каждый кролик взял по 7 кочанов, не хватает 5 кочанов. Это можно записать в виде второго уравнения:

$y = 7x - 5$

Поскольку левые части обоих уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество кроликов $x$:

$6x + 5 = 7x - 5$

Решим полученное уравнение. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую.

$5 + 5 = 7x - 6x$

$10 = x$

Таким образом, в бригаде было 10 кроликов.

Ответ: 10 кроликов.

Теперь, зная количество кроликов ($x = 10$), мы можем найти общее количество кочанов капусты ($y$), подставив это значение в любое из исходных уравнений.

Используем первое уравнение:

$y = 6 \cdot 10 + 5 = 60 + 5 = 65$

Для проверки можно подставить значение $x$ во второе уравнение:

$y = 7 \cdot 10 - 5 = 70 - 5 = 65$

Оба расчета дают одинаковый результат. Следовательно, кролики вырастили 65 кочанов капусты.

Ответ: 65 кочанов капусты.

1535. Фермер привёз на рынок бидон молока и за первый час продал $\frac{5}{9}$ молока. Если бы он продал ещё 20 л, то оказалось бы, что продано $\frac{5}{6}$ всего молока. Сколько литров молока было в бидоне?

Пусть $x$ — это общее количество молока в бидоне в литрах.
Согласно условию, за первый час фермер продал $\frac{5}{9}$ всего молока, то есть $\frac{5}{9}x$ литров.
Если бы он продал ещё 20 литров, то общее количество проданного молока составило бы $(\frac{5}{9}x + 20)$ литров. Это количество, по условию задачи, равно $\frac{5}{6}$ всего молока, то есть $\frac{5}{6}x$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{5}{9}x + 20 = \frac{5}{6}x$

Чтобы решить это уравнение, найдём, какую долю от общего количества молока составляют 20 литров. Эта доля равна разнице между $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{9}$:
$\frac{5}{6} - \frac{5}{9}$
Приведём дроби к общему знаменателю, который равен 18:
$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{15}{18} - \frac{10}{18} = \frac{5}{18}$

Таким образом, 20 литров молока составляют $\frac{5}{18}$ от общего количества молока в бидоне. Теперь мы можем найти общее количество молока $x$, зная его часть:
$\frac{5}{18}x = 20$
Чтобы найти $x$, нужно 20 разделить на дробь $\frac{5}{18}$:
$x = 20 \div \frac{5}{18} = 20 \cdot \frac{18}{5}$
$x = \frac{20 \cdot 18}{5} = 4 \cdot 18 = 72$

Следовательно, в бидоне изначально было 72 литра молока.

Ответ: 72 литра.

1536. Двенадцать мальчиков обменялись своими адресами. Сколько адресов было роздано?

По условию, 12 мальчиков обменялись своими адресами. Это значит, что каждый мальчик дал свой адрес каждому из остальных мальчиков.

Всего мальчиков 12. Каждый мальчик отдает свой адрес всем, кроме себя. Следовательно, каждый мальчик отдает свой адрес $12 - 1 = 11$ другим мальчикам.

Чтобы найти общее количество розданных адресов, нужно общее количество мальчиков умножить на количество адресов, которое раздал каждый из них.

Выполним вычисление:

$12 \times 11 = 132$

Таким образом, всего было роздано 132 адреса.

Ответ: 132

1537. В шахматном турнире принимали участие 12 игроков. Турнир проходил по круговой системе, т. е. каждый участник турнира играл с другими по одному разу. Сколько всего было сыграно шахматных партий?

Поскольку турнир проходил по круговой системе, каждый из 12 игроков сыграл с каждым другим игроком ровно один раз. Таким образом, чтобы найти общее количество сыгранных партий, нам нужно посчитать количество всех возможных уникальных пар игроков из 12 участников.

Это можно сделать несколькими способами.

1. Логический метод:
Каждый из 12 игроков должен сыграть с $12 - 1 = 11$ соперниками. Если мы умножим количество игроков на число игр для каждого, то получим $12 \times 11 = 132$. Однако в этом случае каждая партия будет посчитана дважды (например, партия между игроком А и игроком Б будет учтена и для игрока А, и для игрока Б). Чтобы исключить дублирование, полученный результат необходимо разделить на 2.
Количество партий = $\frac{12 \times (12 - 1)}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = \frac{132}{2} = 66$.

2. Комбинаторный метод:
Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 12 элементов по 2, так как порядок игроков в партии не имеет значения. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае общее число игроков $n = 12$, а в каждой партии участвует $k = 2$ игрока.
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{10! \cdot 11 \cdot 12}{2 \cdot 1 \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 66