Страница 314 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1474. Найдите значение выражения:

1) $(3\frac{1}{4} + 0,25 - 1\frac{5}{24}) \div (2\frac{3}{4} - 4\frac{1}{2} - 0,75) \div (-4\frac{7}{12});$

2) $-24,6 \div (-2,35 + 0,7 \div 2\frac{1}{3}) - 15,36;$

3) $\frac{-0,4 \cdot (-6,3 \div 3,15 + \frac{5}{6} \cdot 0,9)}{-48 - \frac{2}{7} \cdot (-91)};$

4) $(-13,6 + 5,1) \cdot 1\frac{3}{17} + (2\frac{7}{23} - 1\frac{45}{46}) \div 1\frac{7}{23}.$

1) $(3\frac{1}{4} + 0,25 - 1\frac{5}{24}) : (2\frac{3}{4} - 4\frac{1}{2} - 0,75) : (-4\frac{7}{12})$

Решим по действиям. Сначала выполним действия в скобках. Для удобства переведем все числа в обыкновенные дроби.

$0,25 = \frac{1}{4}$; $0,75 = \frac{3}{4}$

1. Первое действие в скобках: $3\frac{1}{4} + 0,25 - 1\frac{5}{24} = 3\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1\frac{5}{24} = 3\frac{2}{4} - 1\frac{5}{24} = 3\frac{1}{2} - 1\frac{5}{24} = \frac{7}{2} - \frac{29}{24} = \frac{7 \cdot 12}{2 \cdot 12} - \frac{29}{24} = \frac{84}{24} - \frac{29}{24} = \frac{55}{24}$.

2. Второе действие в скобках: $2\frac{3}{4} - 4\frac{1}{2} - 0,75 = 2\frac{3}{4} - 4\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = (2\frac{3}{4} - \frac{3}{4}) - 4\frac{1}{2} = 2 - 4\frac{1}{2} = 2 - \frac{9}{2} = \frac{4}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{5}{2}$.

3. Преобразуем третье число: $-4\frac{7}{12} = -\frac{55}{12}$.

4. Теперь выполним деление: $\frac{55}{24} : (-\frac{5}{2}) = \frac{55}{24} \cdot (-\frac{2}{5}) = -\frac{55 \cdot 2}{24 \cdot 5} = -\frac{11 \cdot 5 \cdot 2}{12 \cdot 2 \cdot 5} = -\frac{11}{12}$.

5. И последнее деление: $-\frac{11}{12} : (-\frac{55}{12}) = -\frac{11}{12} \cdot (-\frac{12}{55}) = \frac{11 \cdot 12}{12 \cdot 55} = \frac{11}{55} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: 0,2.

2) $-24,6 : (-2,35 + 0,7 : 2\frac{1}{3}) - 15,36$

Сначала выполним действия в скобках, соблюдая порядок действий (сначала деление, потом сложение).

1. $0,7 : 2\frac{1}{3} = \frac{7}{10} : \frac{7}{3} = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{10} = 0,3$.

2. $-2,35 + 0,3 = -2,05$.

Теперь выполним оставшиеся действия:

3. $-24,6 : (-2,05) = 24,6 : 2,05 = 2460 : 205 = 12$.

4. $12 - 15,36 = -3,36$.

Ответ: -3,36.

3) $\frac{-0,4 \cdot (-6,3 : 3,15 + \frac{5}{6} \cdot 0,9)}{-48 - \frac{2}{7} \cdot (-91)}$

Вычислим значение числителя и знаменателя по отдельности.

Числитель: $-0,4 \cdot (-6,3 : 3,15 + \frac{5}{6} \cdot 0,9)$

1. $-6,3 : 3,15 = -2$.

2. $\frac{5}{6} \cdot 0,9 = \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = 0,75$.

3. $-2 + 0,75 = -1,25$.

4. $-0,4 \cdot (-1,25) = 0,4 \cdot 1,25 = 0,5$.

Знаменатель: $-48 - \frac{2}{7} \cdot (-91)$

5. $\frac{2}{7} \cdot (-91) = -\frac{2 \cdot 91}{7} = -2 \cdot 13 = -26$.

6. $-48 - (-26) = -48 + 26 = -22$.

Теперь найдем значение всей дроби:

7. $\frac{0,5}{-22} = \frac{1/2}{-22} = -\frac{1}{2 \cdot 22} = -\frac{1}{44}$.

Ответ: $-\frac{1}{44}$.

4) $(-13,6 + 5,1) \cdot 1\frac{3}{17} + (2\frac{7}{23} - 1\frac{45}{46}) : 1\frac{7}{23}$

Вычислим значение выражения по частям, разделенным знаком сложения.

Первая часть: $(-13,6 + 5,1) \cdot 1\frac{3}{17}$

1. $-13,6 + 5,1 = -8,5$.

2. $1\frac{3}{17} = \frac{17+3}{17} = \frac{20}{17}$.

3. $-8,5 \cdot \frac{20}{17} = -\frac{85}{10} \cdot \frac{20}{17} = -\frac{17 \cdot 5}{10} \cdot \frac{20}{17} = - \frac{5 \cdot 20}{10} = - \frac{100}{10} = -10$.

Вторая часть: $(2\frac{7}{23} - 1\frac{45}{46}) : 1\frac{7}{23}$

4. $2\frac{7}{23} - 1\frac{45}{46} = \frac{2 \cdot 23 + 7}{23} - \frac{1 \cdot 46 + 45}{46} = \frac{53}{23} - \frac{91}{46} = \frac{53 \cdot 2}{46} - \frac{91}{46} = \frac{106 - 91}{46} = \frac{15}{46}$.

5. $1\frac{7}{23} = \frac{1 \cdot 23 + 7}{23} = \frac{30}{23}$.

6. $\frac{15}{46} : \frac{30}{23} = \frac{15}{46} \cdot \frac{23}{30} = \frac{15 \cdot 23}{46 \cdot 30} = \frac{15 \cdot 23}{2 \cdot 23 \cdot 2 \cdot 15} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Сложим результаты:

7. $-10 + 0,25 = -9,75$.

Ответ: -9,75.

1475.1) Найдите 40 % от значения выражения $(3 \frac{1}{3} + 2,5) : (3 \frac{1}{3} - 2,5)$.

2) Найдите 54 % от значения выражения $\frac{3 \frac{1}{3} : 10 + 0,175 : 0,35}{1,75 - 1 \frac{11}{17} \cdot \frac{51}{56}}$.

1) Сначала найдем значение выражения $(3\frac{1}{3} + 2,5) : (3\frac{1}{3} - 2,5)$.
Для удобства вычислений переведем все числа в обыкновенные дроби.
$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
$2,5 = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
Подставим полученные дроби в выражение:
$(\frac{10}{3} + \frac{5}{2}) : (\frac{10}{3} - \frac{5}{2})$
Выполним действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 6.
1. $\frac{10}{3} + \frac{5}{2} = \frac{10 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{6} = \frac{20+15}{6} = \frac{35}{6}$.
2. $\frac{10}{3} - \frac{5}{2} = \frac{10 \cdot 2}{6} - \frac{5 \cdot 3}{6} = \frac{20-15}{6} = \frac{5}{6}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{35}{6} : \frac{5}{6} = \frac{35}{6} \cdot \frac{6}{5} = \frac{35}{5} = 7$.
Значение выражения равно $7$.
Теперь найдем 40% от этого значения. Представим 40% в виде десятичной дроби: $40\% = 0,4$.
$7 \cdot 0,4 = 2,8$.
Ответ: 2,8

2) Найдем значение выражения $\frac{3\frac{1}{3} : 10 + 0,175 : 0,35}{1,75 - 1\frac{11}{17} \cdot \frac{51}{56}}$.
Вычислим по частям.
Сначала числитель: $3\frac{1}{3} : 10 + 0,175 : 0,35$.
1. $3\frac{1}{3} : 10 = \frac{10}{3} : 10 = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{3}$.
2. $0,175 : 0,35 = \frac{175}{1000} : \frac{35}{100} = \frac{175}{1000} \cdot \frac{100}{35} = \frac{175}{35} \cdot \frac{100}{1000} = 5 \cdot \frac{1}{10} = 0,5 = \frac{1}{2}$.
3. $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.
Значение числителя равно $\frac{5}{6}$.
Теперь знаменатель: $1,75 - 1\frac{11}{17} \cdot \frac{51}{56}$.
1. $1\frac{11}{17} \cdot \frac{51}{56} = \frac{17 \cdot 1 + 11}{17} \cdot \frac{51}{56} = \frac{28}{17} \cdot \frac{51}{56} = \frac{28 \cdot 51}{17 \cdot 56} = \frac{28}{56} \cdot \frac{51}{17} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.
2. $1,75 - \frac{3}{2} = 1,75 - 1,5 = 0,25 = \frac{1}{4}$.
Значение знаменателя равно $\frac{1}{4}$.
Найдем значение всей дроби:
$\frac{5/6}{1/4} = \frac{5}{6} : \frac{1}{4} = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{1} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
Значение выражения равно $\frac{10}{3}$.
Теперь найдем 54% от этого значения. Представим 54% в виде дроби: $54\% = \frac{54}{100}$.
$\frac{10}{3} \cdot \frac{54}{100} = \frac{10 \cdot 54}{3 \cdot 100} = \frac{1 \cdot 18}{1 \cdot 10} = \frac{18}{10} = 1,8$.
Ответ: 1,8

1476.1) Найдите число, 28 % которого равны значению выражения

$(3\frac{7}{12} - 2\frac{11}{18} + 2\frac{1}{24}) \cdot 1\frac{5}{31}$

2) Найдите число, 35 % которого равны значению выражения

$\frac{0,5 : 1\frac{1}{4} + 1\frac{2}{5} : 1\frac{4}{7} - \frac{3}{11}}{(1,5 + \frac{1}{4}) : 2\frac{13}{32}}$

1)

Сначала найдем значение выражения $(3\frac{7}{12} - 2\frac{11}{18} + 2\frac{1}{24}) \cdot 1\frac{5}{31}$.

1. Выполним действия в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12, 18 и 24 равен 72.

$3\frac{7}{12} - 2\frac{11}{18} + 2\frac{1}{24} = 3\frac{7 \cdot 6}{12 \cdot 6} - 2\frac{11 \cdot 4}{18 \cdot 4} + 2\frac{1 \cdot 3}{24 \cdot 3} = 3\frac{42}{72} - 2\frac{44}{72} + 2\frac{3}{72}$

2. Удобнее будет преобразовать смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{42}{72} = \frac{3 \cdot 72 + 42}{72} = \frac{216 + 42}{72} = \frac{258}{72}$

$2\frac{44}{72} = \frac{2 \cdot 72 + 44}{72} = \frac{144 + 44}{72} = \frac{188}{72}$

$2\frac{3}{72} = \frac{2 \cdot 72 + 3}{72} = \frac{144 + 3}{72} = \frac{147}{72}$

3. Выполним действия в скобках:

$\frac{258}{72} - \frac{188}{72} + \frac{147}{72} = \frac{258 - 188 + 147}{72} = \frac{70 + 147}{72} = \frac{217}{72}$

4. Теперь выполним умножение. Преобразуем второй множитель в неправильную дробь:

$1\frac{5}{31} = \frac{1 \cdot 31 + 5}{31} = \frac{36}{31}$

$\frac{217}{72} \cdot \frac{36}{31} = \frac{217 \cdot 36}{72 \cdot 31}$

Сократим 36 и 72 на 36. Также заметим, что $217 = 7 \cdot 31$.

$\frac{217 \cdot 1}{2 \cdot 31} = \frac{7 \cdot 31}{2 \cdot 31} = \frac{7}{2}$

5. Значение выражения равно $\frac{7}{2}$ или $3.5$. Теперь найдем число, 28% которого равны этому значению. Пусть искомое число - это $x$.

$0.28 \cdot x = \frac{7}{2}$

$\frac{28}{100} \cdot x = \frac{7}{2}$

$\frac{7}{25} \cdot x = \frac{7}{2}$

$x = \frac{7}{2} : \frac{7}{25} = \frac{7}{2} \cdot \frac{25}{7} = \frac{25}{2} = 12.5$

Ответ: 12,5

2)

Сначала найдем значение выражения $\frac{0.5 : 1\frac{1}{4} + 1\frac{2}{5} : 1\frac{4}{7} - \frac{3}{11}}{(1.5 + \frac{1}{4}) : 2\frac{13}{32}}$.

1. Вычислим значение числителя: $0.5 : 1\frac{1}{4} + 1\frac{2}{5} : 1\frac{4}{7} - \frac{3}{11}$.

Преобразуем все числа в обыкновенные дроби: $0.5 = \frac{1}{2}$, $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$, $1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$, $1\frac{4}{7} = \frac{11}{7}$.

Выполним деление по порядку:

$0.5 : 1\frac{1}{4} = \frac{1}{2} : \frac{5}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$1\frac{2}{5} : 1\frac{4}{7} = \frac{7}{5} : \frac{11}{7} = \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{11} = \frac{49}{55}$

Теперь выполним сложение и вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 55:

$\frac{2}{5} + \frac{49}{55} - \frac{3}{11} = \frac{2 \cdot 11}{55} + \frac{49}{55} - \frac{3 \cdot 5}{55} = \frac{22 + 49 - 15}{55} = \frac{71 - 15}{55} = \frac{56}{55}$

2. Вычислим значение знаменателя: $(1.5 + \frac{1}{4}) : 2\frac{13}{32}$.

Преобразуем числа в дроби: $1.5 = \frac{3}{2}$, $2\frac{13}{32} = \frac{2 \cdot 32 + 13}{32} = \frac{77}{32}$.

Выполним действие в скобках:

$1.5 + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

Теперь деление:

$\frac{7}{4} : \frac{77}{32} = \frac{7}{4} \cdot \frac{32}{77} = \frac{7 \cdot 32}{4 \cdot 77} = \frac{1 \cdot 8}{1 \cdot 11} = \frac{8}{11}$

3. Найдем значение всей дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{56}{55} : \frac{8}{11} = \frac{56}{55} \cdot \frac{11}{8} = \frac{56 \cdot 11}{55 \cdot 8} = \frac{7 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{7}{5}$

4. Значение выражения равно $\frac{7}{5}$ или $1.4$. Теперь найдем число, 35% которого равны этому значению. Пусть искомое число - это $y$.

$0.35 \cdot y = \frac{7}{5}$

$\frac{35}{100} \cdot y = \frac{7}{5}$

$\frac{7}{20} \cdot y = \frac{7}{5}$

$y = \frac{7}{5} : \frac{7}{20} = \frac{7}{5} \cdot \frac{20}{7} = \frac{20}{5} = 4$

Ответ: 4

1477.1) Найдите, сколько процентов значение выражения $(8\frac{7}{12} - 5\frac{19}{36}) \cdot 1\frac{4}{5}$ составляет от значения выражения $(39.375 - 5\frac{5}{8}) : 2\frac{5}{11}$.

2) Найдите, сколько процентов значение выражения $-0.75 : (-1\frac{1}{4} : 3 + \frac{1}{6})$ составляет от значения выражения $\frac{17.5 : 3.5 + 1 : 0.5}{(12.68 - 11.18) \cdot \frac{1}{3}}$.

1) Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе и результат умножить на 100. Сначала найдем значения каждого из выражений.

Найдем значение первого выражения: $A = (8\frac{7}{12} - 5\frac{19}{36}) \cdot 1\frac{4}{5}$.

1. Выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 36.

$8\frac{7}{12} = 8\frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = 8\frac{21}{36}$

$8\frac{21}{36} - 5\frac{19}{36} = (8-5) + (\frac{21-19}{36}) = 3\frac{2}{36} = 3\frac{1}{18}$

2. Теперь выполним умножение. Переведем смешанные числа в неправильные дроби.

$3\frac{1}{18} = \frac{3 \cdot 18 + 1}{18} = \frac{55}{18}$

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

$A = \frac{55}{18} \cdot \frac{9}{5} = \frac{55 \cdot 9}{18 \cdot 5} = \frac{11 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{11}{2} = 5,5$

Найдем значение второго выражения: $B = (39,375 - 5\frac{5}{8}) : 2\frac{5}{11}$.

1. Выполним вычитание в скобках. Удобнее работать с обыкновенными дробями. Переведем $39,375$ в смешанное число: $0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$, следовательно $39,375 = 39\frac{3}{8}$.

$39\frac{3}{8} - 5\frac{5}{8} = 38 + 1 + \frac{3}{8} - 5\frac{5}{8} = 38\frac{8+3}{8} - 5\frac{5}{8} = 38\frac{11}{8} - 5\frac{5}{8} = 33\frac{6}{8} = 33\frac{3}{4}$

2. Теперь выполним деление. Переведем смешанные числа в неправильные дроби.

$33\frac{3}{4} = \frac{33 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{135}{4}$

$2\frac{5}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 5}{11} = \frac{27}{11}$

$B = \frac{135}{4} : \frac{27}{11} = \frac{135}{4} \cdot \frac{11}{27} = \frac{5 \cdot 11}{4 \cdot 1} = \frac{55}{4} = 13,75$

Найдем процентное отношение значения первого выражения ко второму:

$\frac{A}{B} \cdot 100\% = \frac{5,5}{13,75} \cdot 100\% = \frac{550}{1375} \cdot 100\% = \frac{2}{5} \cdot 100\% = 40\%$

Ответ: 40%.

2) Аналогично первому пункту, найдем значения каждого из выражений.

Найдем значение первого выражения: $C = -0,75 : (-1\frac{1}{4} : 3 + \frac{1}{6})$.

1. Выполним действия в скобках, предварительно переведя все числа в обыкновенные дроби: $-0,75 = -\frac{3}{4}$; $-1\frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$.

Сначала деление: $-\frac{5}{4} : 3 = -\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{5}{12}$.

Затем сложение: $-\frac{5}{12} + \frac{1}{6} = -\frac{5}{12} + \frac{2}{12} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$.

2. Выполним основное деление:

$C = -0,75 : (-\frac{1}{4}) = -\frac{3}{4} : (-\frac{1}{4}) = -\frac{3}{4} \cdot (-4) = 3$.

Найдем значение второго выражения: $D = \frac{17,5 : 3,5 + 1 : 0,5}{(12,68 - 11,18) \cdot \frac{1}{3}}$.

1. Вычислим значение числителя:

$17,5 : 3,5 = 175 : 35 = 5$.

$1 : 0,5 = 1 : \frac{1}{2} = 2$.

Значение числителя: $5 + 2 = 7$.

2. Вычислим значение знаменателя:

$12,68 - 11,18 = 1,5$.

$1,5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Значение знаменателя: $0,5$.

3. Найдем значение всего выражения D:

$D = \frac{7}{0,5} = 14$.

Найдем процентное отношение значения первого выражения ко второму:

$\frac{C}{D} \cdot 100\% = \frac{3}{14} \cdot 100\% = \frac{300}{14}\% = \frac{150}{7}\% = 21\frac{3}{7}\%$.

Ответ: $21\frac{3}{7}\%$.

1478. Даны числа $a$ и $b$. При каком условии:

1) $a + b > a$;

2) $a + b < a$;

3) $a + b = a$;

4) $a + b = 0$?

1) a + b > a;
Чтобы найти условие, при котором данное неравенство будет верным, преобразуем его. Вычтем из обеих частей неравенства число $a$:
$a + b - a > a - a$
$b > 0$
Таким образом, сумма $a + b$ будет больше $a$ только в том случае, если число $b$ положительно.
Ответ: $b > 0$.

2) a + b < a;
Для нахождения условия, при котором это неравенство будет верным, также вычтем из обеих его частей число $a$:
$a + b - a < a - a$
$b < 0$
Следовательно, сумма $a + b$ будет меньше $a$ только в том случае, если число $b$ отрицательно.
Ответ: $b < 0$.

3) a + b = a;
Рассмотрим равенство. Чтобы определить, при каком условии оно выполняется, вычтем из обеих частей равенства число $a$:
$a + b - a = a - a$
$b = 0$
Следовательно, сумма $a + b$ будет равна $a$ только в том случае, если $b$ равно нулю.
Ответ: $b = 0$.

4) a + b = 0?
Данное равенство показывает, что сумма двух чисел $a$ и $b$ равна нулю. Это определение противоположных чисел. Чтобы выразить одно число через другое, вычтем $a$ из обеих частей равенства:
$a + b - a = 0 - a$
$b = -a$
Это означает, что числа $a$ и $b$ должны быть противоположными друг другу (например, 5 и -5).
Ответ: $a$ и $b$ — противоположные числа ($b = -a$).