Страница 307 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Вычислите значение выражения:

1) $ (-4,2 + 10) : (-0,2) $;

2) $ -3,15 : (-1,72 - 1,28) $;

3) $ -20,4 : 4 + 0,2 $.

1) $(-4,2 + 10) : (-0,2)$

Решение данного выражения выполняется в два действия согласно порядку операций (сначала действия в скобках, затем деление).

Первое действие — сложение чисел в скобках:
$-4,2 + 10 = 10 - 4,2 = 5,8$

Второе действие — деление результата первого действия на $-0,2$:
$5,8 : (-0,2)$
При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Для удобства вычисления можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от дроби в делителе:
$58 : (-2) = -29$

Ответ: $-29$

2) $-3,15 : (-1,72 - 1,28)$

Сначала выполним действие в скобках.

Первое действие — вычитание в скобках:
$-1,72 - 1,28$
Так как оба числа отрицательные, мы складываем их модули и ставим перед результатом знак минус:
$-(1,72 + 1,28) = -3$

Второе действие — деление:
$-3,15 : (-3)$
При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным:
$3,15 : 3 = 1,05$

Ответ: $1,05$

3) $-20,4 : 4 + 0,2$

В соответствии с порядком выполнения арифметических действий, сначала выполняется деление, а затем сложение.

Первое действие — деление:
$-20,4 : 4$
При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным:
$20,4 : 4 = 5,1$, следовательно, $-20,4 : 4 = -5,1$

Второе действие — сложение:
$-5,1 + 0,2 = -(5,1 - 0,2) = -4,9$

Ответ: $-4,9$

2. Какую цифру надо поставить вместо звёздочки, чтобы число $792*$ делилось нацело на 6, но не делилось нацело на 10?

Чтобы число $792*$ делилось нацело на 6, оно должно удовлетворять признакам делимости на 2 и на 3 одновременно.

1. Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Значит, вместо звёздочки (*) может стоять одна из следующих цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

2. Признак делимости на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдём сумму известных цифр числа $792*$: $7 + 9 + 2 = 18$. Общая сумма цифр числа равна $18 + *$. Поскольку 18 уже делится на 3, то для того, чтобы вся сумма делилась на 3, цифра * также должна быть кратна трём.

Выберем из возможных чётных цифр (0, 2, 4, 6, 8) те, которые делятся на 3. Это цифры 0 и 6. Таким образом, чтобы число делилось на 6, вместо звёздочки может стоять либо 0, либо 6.

Теперь рассмотрим второе условие задачи: число не должно делиться нацело на 10. Число делится на 10, если оно оканчивается на 0. Следовательно, цифра на месте звёздочки не может быть равна 0.

Из двух возможных вариантов (0 и 6) мы должны исключить 0. Остаётся единственный вариант.

Проверка: если подставить цифру 6, получится число 7926.
- Оно делится на 2, так как оканчивается на чётную цифру 6.
- Сумма его цифр $7+9+2+6 = 24$, 24 делится на 3, значит, число делится на 3.
- Поскольку число делится на 2 и на 3, оно делится на 6. ($7926 / 6 = 1321$)
- Число не делится на 10, так как не оканчивается на 0.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: 6

3. Какую цифру надо поставить вместо звёздочки, чтобы число $1845*$ делилось нацело на 9, но не делилось нацело на 6?

Для решения задачи необходимо применить признаки делимости чисел на 9 и на 6.

1. Условие делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.Пусть неизвестная цифра, стоящая на месте звёздочки, равна $x$. Тогда мы имеем число $1845x$.Найдём сумму известных цифр этого числа:$1 + 8 + 4 + 5 = 18$.Сумма всех цифр числа равна $18 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9.Поскольку $x$ – это цифра, то $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.Рассмотрим возможные значения $x$:

• Если $x=0$, то сумма цифр равна $18 + 0 = 18$. Число 18 делится на 9. Этот вариант подходит.
• Если $x=9$, то сумма цифр равна $18 + 9 = 27$. Число 27 делится на 9. Этот вариант тоже подходит.

При других значениях $x$ от 1 до 8 сумма $18+x$ не будет делиться на 9.Таким образом, чтобы число $1845*$ делилось на 9, вместо звёздочки можно поставить либо 0, либо 9.

2. Условие "не делится на 6"

Число делится на 6, если оно делится одновременно и на 2, и на 3.Чтобы число *не* делилось на 6, оно должно *не* делиться хотя бы на одно из этих чисел (на 2 или на 3).Из первого пункта мы знаем, что искомое число должно делиться на 9. Если число делится на 9, оно автоматически делится и на 3, так как $9 = 3 \cdot 3$.Следовательно, условие делимости на 3 всегда будет выполняться для найденных нами вариантов.Значит, чтобы число не делилось на 6, оно не должно делиться на 2.Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8). Соответственно, чтобы число не делилось на 2, его последняя цифра ($x$) должна быть нечётной.

3. Вывод

Сопоставим выводы из обоих пунктов:

• Из условия делимости на 9 мы получили два возможных варианта для последней цифры: 0 и 9.
• Из условия, что число не делится на 6, мы получили, что последняя цифра должна быть нечётной.

• Цифра 0 – чётная. Если мы её подставим, получится число 18450. Оно делится на 9 и на 2, значит, делится на 6. Этот вариант не подходит.
• Цифра 9 – нечётная. Если мы её подставим, получится число 18459. Оно делится на 9, но не делится на 2, так как оканчивается на нечётную цифру. Следовательно, оно не делится на 6. Этот вариант полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 9

1460.На рисунке 310 изображён график изменения температуры воздуха на протяжении суток. Пользуясь этим графиком, установите:

1) какой была температура воздуха в 4 ч; в 6 ч; в 10 ч; в 18 ч; в 22 ч;

2) в котором часу температура воздуха была $5 \;^\circ\text{C}$; $-2 \;^\circ\text{C}$;

3) в котором часу температура воздуха была нулевой;

4) какой была самая низкая температура и в котором часу;

5) какой была самая высокая температура и в котором часу;

6) на протяжении каких промежутков времени температура воздуха была ниже $0 \;^\circ\text{C}$; выше $0 \;^\circ\text{C}$;

7) на протяжении каких промежутков времени температура воздуха повышалась; понижалась.

Рис. 310

1) какой была температура воздуха в 4 ч; в 6 ч; в 10 ч; в 18 ч; в 22 ч;
Чтобы найти температуру в определенное время, нужно найти это время на горизонтальной оси (оси времени), подняться или опуститься до точки на графике, а затем провести горизонтальную линию до вертикальной оси (оси температуры) и определить значение.

• В 4 ч: находим на оси времени отметку 4, движемся вертикально вниз до графика, затем горизонтально влево до оси температуры. Температура составляет $-4\ ^\circ\text{C}$.
• В 6 ч: находим на оси времени отметку 6, движемся вертикально вниз до графика, затем горизонтально влево до оси температуры. Температура составляет $-5\ ^\circ\text{C}$.
• В 10 ч: находим на оси времени отметку 10, движемся вертикально вверх до графика, затем горизонтально влево до оси температуры. Температура составляет $-1\ ^\circ\text{C}$.
• В 18 ч: находим на оси времени отметку 18, движемся вертикально вверх до графика, затем горизонтально влево до оси температуры. Температура составляет $5\ ^\circ\text{C}$.
• В 22 ч: находим на оси времени отметку 22. Точка графика находится на самой оси времени, что соответствует температуре $0\ ^\circ\text{C}$.

Ответ: в 4 ч температура была $-4\ ^\circ\text{C}$; в 6 ч — $-5\ ^\circ\text{C}$; в 10 ч — $-1\ ^\circ\text{C}$; в 18 ч — $5\ ^\circ\text{C}$; в 22 ч — $0\ ^\circ\text{C}$.

2) в котором часу температура воздуха была 5 °C; -2 °C;
Чтобы найти время по известной температуре, нужно найти это значение на вертикальной оси, провести горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем опуститься или подняться вертикально до оси времени.

• Температура $5\ ^\circ\text{C}$: находим на оси температуры отметку 5, проводим горизонтальную линию и видим, что она пересекает график в двух точках. Опускаясь от этих точек на ось времени, получаем 14 ч и 18 ч.
• Температура $-2\ ^\circ\text{C}$: находим на оси температуры отметку -2, проводим горизонтальную линию и видим, что она пересекает график в двух точках. Поднимаясь от этих точек на ось времени, получаем 3 ч и 9 ч.

Ответ: температура была $5\ ^\circ\text{C}$ в 14 ч и 18 ч; температура была $-2\ ^\circ\text{C}$ в 3 ч и 9 ч.

3) в котором часу температура воздуха была нулевой;
Нулевая температура ($0\ ^\circ\text{C}$) соответствует точкам пересечения графика с горизонтальной осью времени. Из графика видно, что это происходит трижды.
Ответ: температура была нулевой в 2 ч, 11 ч и 22 ч.

4) какой была самая низкая температура и в котором часу;
Самая низкая температура соответствует самой низкой точке (локальному минимуму) на графике. Находим эту точку и определяем её координаты. По оси температуры это $-5\ ^\circ\text{C}$, а по оси времени — 6 ч.
Ответ: самая низкая температура $-5\ ^\circ\text{C}$ была в 6 ч.

5) какой была самая высокая температура и в котором часу;
Самая высокая температура соответствует самой высокой точке (локальному максимуму) на графике. Находим эту точку и определяем её координаты. По оси температуры это $7\ ^\circ\text{C}$, а по оси времени — 16 ч.
Ответ: самая высокая температура $7\ ^\circ\text{C}$ была в 16 ч.

6) на протяжении каких промежутков времени температура воздуха была ниже 0 °C; выше 0 °C;

• Температура ниже $0\ ^\circ\text{C}$ там, где график находится под осью времени. Это происходит на интервале от 2 ч до 11 ч, а также на интервале от 22 ч до 24 ч.
• Температура выше $0\ ^\circ\text{C}$ там, где график находится над осью времени. Это происходит на интервале от 0 ч до 2 ч, а также на интервале от 11 ч до 22 ч.

Ответ: температура была ниже $0\ ^\circ\text{C}$ в промежутках времени с 2 ч до 11 ч и с 22 ч до 24 ч; температура была выше $0\ ^\circ\text{C}$ в промежутках времени с 0 ч до 2 ч и с 11 ч до 22 ч.

7) на протяжении каких промежутков времени температура воздуха повышалась; понижалась.

• Температура повышалась, когда график идет вверх (функция возрастает). Это происходит от самой низкой точки (в 6 ч) до самой высокой точки (в 16 ч).
• Температура понижалась, когда график идет вниз (функция убывает). Это происходит с начала суток (0 ч) до самой низкой точки (в 6 ч), а также от самой высокой точки (в 16 ч) до конца суток (24 ч).

Ответ: температура повышалась в промежутке времени с 6 ч до 16 ч; температура понижалась в промежутках времени с 0 ч до 6 ч и с 16 ч до 24 ч.