Страница 302 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1450. Начертите на координатной плоскости две замкнутые ломаные, последовательными вершинами которых являются точки с координатами: $(-5; 3)$, $(-2; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$, $(6; 4)$, $(-2; 6)$ и $(-3; 3)$, $(-3; 4)$, $(-2; 5)$, $(-2; 3)$, четыре отрезка с концами в точках $(-6; 7)$ и $(-2; 6)$, $(2; 7)$ и $(-2; 6)$, $(5; 3)$ и $(7; 5)$, $(5; 5)$ и $(7; 3)$.

Для выполнения этого задания необходимо начертить систему координат и последовательно отметить на ней точки, соединяя их в указанном порядке.

Две замкнутые ломаные

Сначала построим две замкнутые ломаные линии.

Первая замкнутая ломаная имеет последовательные вершины в точках с координатами $(-5; 3)$, $(-2; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$, $(6; 4)$, $(-2; 6)$. Для ее построения необходимо:

1. Отметить на координатной плоскости все шесть заданных точек.
2. Последовательно соединить отрезками первую точку со второй, вторую с третьей и так далее до шестой точки.
3. Замкнуть ломаную, соединив последнюю точку $(-2; 6)$ с первой точкой $(-5; 3)$.

Вторая замкнутая ломаная имеет последовательные вершины в точках с координатами $(-3; 3)$, $(-3; 4)$, $(-2; 5)$, $(-2; 3)$. Для ее построения необходимо:

1. Отметить на координатной плоскости эти четыре точки.
2. Последовательно соединить их отрезками.
3. Замкнуть ломаную, соединив последнюю точку $(-2; 3)$ с первой точкой $(-3; 3)$.

Первая ломаная образует основной контур рисунка (туловище и голова), а вторая — деталь на голове (глаз).

Ответ: Построены две замкнутые ломаные: шестиугольник с вершинами в точках $(-5; 3)$, $(-2; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$, $(6; 4)$, $(-2; 6)$ и четырехугольник с вершинами в точках $(-3; 3)$, $(-3; 4)$, $(-2; 5)$, $(-2; 3)$.

Четыре отрезка

Далее необходимо начертить четыре отрезка, соединяя заданные пары точек:

• Первый отрезок с концами в точках $(-6; 7)$ и $(-2; 6)$.
• Второй отрезок с концами в точках $(2; 7)$ и $(-2; 6)$.
• Третий отрезок с концами в точках $(5; 3)$ и $(7; 5)$.
• Четвертый отрезок с концами в точках $(5; 5)$ и $(7; 3)$.

Первые два отрезка представляют собой уши животного, а два последних, пересекающихся между собой, — его усы.

Ответ: Построены четыре отрезка, которые соединяют пары точек: $(-6; 7)$ и $(-2; 6)$; $(2; 7)$ и $(-2; 6)$; $(5; 3)$ и $(7; 5)$; $(5; 5)$ и $(7; 3)$.

В результате выполнения всех построений на координатной плоскости получается стилизованное изображение кота.

1451. Изобразите на координатной плоскости все точки $(x, y)$ такие, что:

1) $x=-3$, $y$ — произвольное число;

2) $y=-5$, $x$ — произвольное число.

1) $x = -3$, $y$ — произвольное число;

Это условие описывает множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) всегда равна $-3$. При этом ордината (координата $y$) может быть любым действительным числом. Например, точки $(-3; 0)$, $(-3; 2)$, $(-3; -4,5)$ удовлетворяют этому условию. Если отметить все такие точки, они образуют прямую линию. Поскольку координата $x$ у всех точек одинакова, эта прямая будет вертикальной, то есть параллельной оси ординат ($Oy$). Эта прямая пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке $(-3; 0)$. Уравнение этой прямой: $x = -3$.
Ответ: Множество точек — это вертикальная прямая, заданная уравнением $x = -3$.

2) $y = -5$, $x$ — произвольное число.

Это условие описывает множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, у которых ордината (координата $y$) всегда равна $-5$. При этом абсцисса (координата $x$) может быть любым действительным числом. Например, точки $(0; -5)$, $(3; -5)$, $(-2; -5)$ удовлетворяют этому условию. Если отметить все такие точки, они образуют прямую линию. Поскольку координата $y$ у всех точек одинакова, эта прямая будет горизонтальной, то есть параллельной оси абсцисс ($Ox$). Эта прямая пересекает ось ординат ($Oy$) в точке $(0; -5)$. Уравнение этой прямой: $y = -5$.
Ответ: Множество точек — это горизонтальная прямая, заданная уравнением $y = -5$.

1452. Изобразите на координатной плоскости все точки $(x, y)$ такие, что:

1) $x=4$, $y$ – произвольное число;

2) $y=2$, $x$ – произвольное число.

1) Условие $x = 4$ означает, что абсцисса (координата по оси $x$) всех искомых точек равна 4. Условие, что $y$ — произвольное число, означает, что ордината (координата по оси $y$) может быть любой.

Например, точки $(4, 0)$, $(4, 1)$, $(4, -2)$, $(4, 5.5)$ и так далее, все удовлетворяют этому условию.

Если изобразить все такие точки на координатной плоскости, они образуют прямую линию, которая проходит через точку $(4, 0)$ на оси абсцисс и параллельна оси ординат (оси $y$). Уравнение этой прямой — $x = 4$.

Ответ: Множество всех таких точек представляет собой вертикальную прямую, параллельную оси $y$ и проходящую через точку с координатами $(4, 0)$.

2) Условие $y = 2$ означает, что ордината (координата по оси $y$) всех искомых точек равна 2. Условие, что $x$ — произвольное число, означает, что абсцисса (координата по оси $x$) может быть любой.

Например, точки $(0, 2)$, $(-3, 2)$, $(1, 2)$, $(7.2, 2)$ и так далее, все удовлетворяют этому условию.

Если изобразить все такие точки на координатной плоскости, они образуют прямую линию, которая проходит через точку $(0, 2)$ на оси ординат и параллельна оси абсцисс (оси $x$). Уравнение этой прямой — $y = 2$.

Ответ: Множество всех таких точек представляет собой горизонтальную прямую, параллельную оси $x$ и проходящую через точку с координатами $(0, 2)$.

1453. Изобразите на координатной плоскости все точки, у которых:

1) абсцисса и ордината равны;

2) абсцисса и ордината – противоположные числа.

В данной задаче требуется найти геометрическое место точек на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют определенным условиям. Координаты точки принято обозначать как $(x, y)$, где $x$ — это абсцисса (координата по горизонтальной оси $Ox$), а $y$ — это ордината (координата по вертикальной оси $Oy$).

1) абсцисса и ордината равны

Условие, что абсцисса и ордината равны, можно записать в виде математического уравнения. Если абсциссу обозначить как $x$, а ординату как $y$, то условие их равенства будет $y = x$.

Это уравнение является уравнением прямой. Чтобы представить эту прямую, можно найти несколько точек, которые ей принадлежат:

• Если $x=0$, то $y=0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x=1$, то $y=1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $x=-2$, то $y=-2$. Точка $(-2, -2)$.

Соединив эти точки, мы получим прямую, которая проходит через начало координат и делит первый и третий координатные углы (квадранты) пополам. Такая прямая называется биссектрисой I и III координатных углов.

Ответ: Множество всех таких точек образует прямую, которая задается уравнением $y = x$. Эта прямая является биссектрисой I и III координатных углов.

2) абсцисса и ордината – противоположные числа

Противоположные числа — это числа, которые отличаются только знаком (например, 5 и -5). Их сумма равна нулю. Условие, что абсцисса $x$ и ордината $y$ являются противоположными числами, можно записать в виде уравнения $y = -x$ или $x + y = 0$.

Это также уравнение прямой. Найдем несколько точек, принадлежащих этой прямой:

• Если $x=0$, то $y=-0=0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x=2$, то $y=-2$. Точка $(2, -2)$.
• Если $x=-3$, то $y=-(-3)=3$. Точка $(-3, 3)$.

Соединив эти точки, мы получим прямую, которая также проходит через начало координат, но делит второй и четвертый координатные углы (квадранты) пополам. Такая прямая называется биссектрисой II и IV координатных углов.

Ответ: Множество всех таких точек образует прямую, которая задается уравнением $y = -x$. Эта прямая является биссектрисой II и IV координатных углов.

1454. Изобразите на координатной плоскости все точки $(x, y)$ такие, что:

1) $y=0$, $x<3$;

2) $-4 < y < 4$, $x \ge 0$;

3) $|x| \le 1$, $y \ge 1$;

4) $|x| > 2$, $y < -2$.

1) $y=0, x<3$

Условие $y=0$ задает все точки, лежащие на оси абсцисс (оси $Ox$). Условие $x<3$ задает все точки, расположенные левее вертикальной прямой $x=3$. Поскольку неравенство строгое, точки на самой прямой $x=3$ в множество не входят.
Искомое множество точек должно удовлетворять обоим условиям одновременно. Геометрически это луч на оси $Ox$, который начинается от "минус бесконечности" и доходит до точки $(3, 0)$. Сама точка $(3, 0)$ не включается в множество, поэтому на графике она изображается "выколотой" (пустым кружком).
Ответ: Луч, лежащий на оси абсцисс, с началом в точке $(3, 0)$, направленный влево (в сторону уменьшения $x$), не включая точку $(3, 0)$.

2) $-4 < y < 4, x \ge 0$

Неравенство $-4 < y < 4$ задает горизонтальную полосу, заключенную между прямыми $y=-4$ и $y=4$. Так как неравенства строгие, сами прямые в искомое множество не входят и на графике изображаются пунктиром.
Неравенство $x \ge 0$ задает правую полуплоскость, включая ее границу — ось ординат (прямую $x=0$).
Искомое множество точек является пересечением этих двух областей. Это полубесконечная полоса, расположенная справа от оси $Oy$ (и на самой оси), ограниченная сверху и снизу.
Ответ: Полубесконечная полоса, расположенная в правой полуплоскости ($x \ge 0$), между прямыми $y=-4$ и $y=4$. Левая граница полосы (отрезок оси $Oy$ от точки $(0,-4)$ до $(0,4)$) входит в множество, а горизонтальные границы (лучи $y=4, x \ge 0$ и $y=-4, x \ge 0$) — не входят.

3) $|x| \le 1, y \ge 1$

Неравенство с модулем $|x| \le 1$ равносильно двойному неравенству $-1 \le x \le 1$. Оно задает вертикальную полосу, заключенную между прямыми $x=-1$ и $x=1$. Так как неравенство нестрогое, граничные прямые $x=-1$ и $x=1$ включаются в множество.
Неравенство $y \ge 1$ задает полуплоскость, расположенную не ниже горизонтальной прямой $y=1$. Сама прямая $y=1$ также включается в множество.
Искомое множество точек — это пересечение вертикальной полосы и верхней полуплоскости. Это полубесконечная полоса, уходящая вверх.
Ответ: Полубесконечная вертикальная полоса, ограниченная слева прямой $x=-1$, справа прямой $x=1$ и снизу прямой $y=1$. Все границы ($x=-1$, $x=1$, $y=1$ для соответствующих $x$ и $y$) входят в искомое множество.

4) $|x| > 2, y < -2$

Неравенство с модулем $|x| > 2$ равносильно совокупности двух неравенств: $x < -2$ или $x > 2$. Это множество представляет собой объединение двух открытых полуплоскостей: области левее прямой $x=-2$ и области правее прямой $x=2$. Граничные прямые в множество не входят.
Неравенство $y < -2$ задает открытую полуплоскость ниже прямой $y=-2$. Граничная прямая в множество не входит.
Искомое множество — это точки, которые удовлетворяют одновременно и условию на $x$, и условию на $y$. Это приводит к двум непересекающимся областям (двум "углам" или четвертям плоскости).
Ответ: Объединение двух открытых четвертей плоскости: первая задается системой неравенств $x > 2$ и $y < -2$, а вторая — системой $x < -2$ и $y < -2$. Границы этих областей (лучи $x=2, y<-2$; $y=-2, x>2$ и т.д.) в искомое множество не входят.

1455. Изобразите на координатной плоскости все точки $(x; y)$ такие, что:

1) $x = 0, y \ge -3;$

2) $-2 \le x \le 3, y-$ произвольное число;

3) $|y| \le 2, x-$ произвольное число;

4) $|x| \le 3, |y| \le 1.$

1) Условие $x=0$ означает, что все точки множества лежат на оси ординат (оси $Oy$). Второе условие, $y \ge -3$, означает, что из всех точек на оси $Oy$ нужно выбрать те, у которых ордината больше или равна -3. Геометрически это представляет собой луч, который начинается в точке с координатами $(0; -3)$ и идет вверх вдоль оси $Oy$.

Ответ: Луч, являющийся частью оси $Oy$, с началом в точке $(0; -3)$ и направленный в сторону положительных значений $y$.

2) Неравенство $-2 \le x \le 3$ задает множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых находятся в промежутке от -2 до 3 включительно. Условие, что $y$ — произвольное число, означает, что ордината точки может быть любой. Таким образом, искомое множество точек — это вертикальная полоса, заключенная между прямыми $x = -2$ и $x = 3$. Поскольку неравенства нестрогие, сами прямые (границы полосы) включаются в это множество.

Ответ: Вертикальная полоса, ограниченная прямыми $x = -2$ и $x = 3$, включая сами прямые.

3) Неравенство $|y| \le 2$ равносильно двойному неравенству $-2 \le y \le 2$. Это означает, что ординаты всех искомых точек находятся в промежутке от -2 до 2 включительно. Условие, что $x$ — произвольное число, означает, что абсцисса точки может быть любой. Геометрически это представляет собой горизонтальную полосу, заключенную между прямыми $y = -2$ и $y = 2$. Поскольку неравенство нестрогое, сами прямые (границы полосы) включаются в это множество.

Ответ: Горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y = -2$ и $y = 2$, включая сами прямые.

4) В этом случае заданы два условия, которые должны выполняться одновременно. Неравенство $|x| \le 3$ равносильно $-3 \le x \le 3$. Неравенство $|y| \le 1$ равносильно $-1 \le y \le 1$. Таким образом, мы ищем все точки $(x; y)$, для которых выполняются оба условия: $\begin{cases} -3 \le x \le 3 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases}$. Первое условие задает вертикальную полосу, а второе — горизонтальную. Пересечение этих двух полос образует прямоугольник. Вершины этого прямоугольника находятся в точках $(-3; -1)$, $(3; -1)$, $(3; 1)$ и $(-3; 1)$. Поскольку все неравенства нестрогие, границы прямоугольника также являются частью искомого множества точек.

Ответ: Прямоугольник, ограниченный прямыми $x = -3$, $x = 3$, $y = -1$ и $y = 1$, включая его внутреннюю область и границы.

1456. Перечертите в тетрадь рисунок 303, через каждую из точек B и M проведите прямую, перпендикулярную прямой AD, а через точку K – прямую, перпендикулярную прямой CD.

Рис. 303

а

б

в

а

Для выполнения задания необходимо провести построения для фигуры а.

1. Построение прямых, перпендикулярных прямой AD, через точки B и M.
Прямая AD на рисунке является горизонтальной, так как она параллельна горизонтальным линиям координатной сетки. Прямая, перпендикулярная горизонтальной прямой, всегда является вертикальной. Следовательно, для построения искомых прямых необходимо:

• Через точку B провести вертикальную прямую (параллельно вертикальным линиям сетки).
• Через точку M провести вертикальную прямую.

Обе построенные прямые будут параллельны друг другу.

2. Построение прямой, перпендикулярной прямой CD, через точку K.
Сначала найдем угловой коэффициент (наклон) прямой CD. Для этого выберем две точки на прямой, например, C и D. Чтобы переместиться из точки D в точку C по сетке, нужно сдвинуться на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Угловой коэффициент прямой CD равен отношению изменения координаты по вертикали к изменению по горизонтали: $k_{CD} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{2}$.
Условие перпендикулярности двух прямых гласит, что произведение их угловых коэффициентов равно -1. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_{\perp}$ будет равен: $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{CD}} = -\frac{1}{3/2} = -\frac{2}{3}$.
Чтобы построить прямую с таким угловым коэффициентом через точку K, нужно от точки K отложить 3 клетки вправо и 2 клетки вниз (или 3 клетки влево и 2 клетки вверх) и провести прямую через начальную точку K и новую полученную точку.

Ответ: Построены две вертикальные прямые, проходящие через точки B и M, и прямая, проходящая через точку K, с угловым коэффициентом $-\frac{2}{3}$.

б

Для выполнения задания необходимо провести построения для фигуры б.

1. Построение прямых, перпендикулярных прямой AD, через точки B и M.
Прямая AD на данном рисунке также горизонтальна. Следовательно, перпендикуляры к ней, проходящие через точки B и M, будут вертикальными прямыми. Проводим вертикальные линии через точки B и M.

2. Построение прямой, перпендикулярной прямой CD, через точку K.
Найдем угловой коэффициент прямой CD. Чтобы переместиться из точки C в точку D по сетке, нужно сдвинуться на 3 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Угловой коэффициент прямой CD: $k_{CD} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-2}{3}$.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_{\perp}$ будет равен: $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{CD}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$.
Для построения перпендикуляра из точки K, нужно провести прямую с угловым коэффициентом $\frac{3}{2}$. Для этого от точки K откладываем 2 клетки вправо и 3 клетки вверх, а затем соединяем полученную точку с точкой K.

Ответ: Построены две вертикальные прямые, проходящие через точки B и M, и прямая, проходящая через точку K, с угловым коэффициентом $\frac{3}{2}$.

в

Для выполнения задания необходимо провести построения для фигуры в.

1. Построение прямых, перпендикулярных прямой AD, через точки B и M.
Найдем угловой коэффициент прямой AD. Чтобы переместиться из точки A в точку D, нужно сдвинуться на 1 клетку вправо и на 2 клетки вниз. Угловой коэффициент прямой AD: $k_{AD} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-2}{1} = -2$.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_{\perp AD}$ будет равен: $k_{\perp AD} = -\frac{1}{k_{AD}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.
Чтобы построить перпендикуляры из точек B и M, нужно провести через них прямые с угловым коэффициентом $\frac{1}{2}$. Для этого от каждой из точек (B и M) откладываем 2 клетки вправо и 1 клетку вверх и проводим прямые через исходные и полученные точки.

2. Построение прямой, перпендикулярной прямой CD, через точку K.
Найдем угловой коэффициент прямой CD. Чтобы переместиться из точки D в точку C, нужно сдвинуться на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Угловой коэффициент прямой CD: $k_{CD} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{2} = 1$.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_{\perp CD}$ будет равен: $k_{\perp CD} = -\frac{1}{k_{CD}} = -\frac{1}{1} = -1$.
Прямая с угловым коэффициентом $-1$ проходит по диагоналям клеток сетки, спускаясь справа налево. Чтобы построить перпендикуляр из точки K, нужно провести через нее прямую, которая проходит через узлы сетки по диагонали (например, смещаясь на 1 клетку вправо и 1 клетку вниз).

Ответ: Построены две параллельные прямые с угловым коэффициентом $\frac{1}{2}$, проходящие через точки B и M, и прямая с угловым коэффициентом $-1$, проходящая через точку K.