Страница 300 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1432. Отметьте на координатной плоскости точки $M (4; 3)$, $K (-2; 5)$, $E (0; -3)$, $F (-4; -2)$. Постройте точки, симметричные данным относительно:

1) начала координат;

2) оси ординат;

3) оси абсцисс. Определите координаты полученных точек.

Для нахождения координат точек, симметричных данным, воспользуемся следующими правилами. Пусть дана точка с координатами $(x; y)$.

• При симметрии относительно начала координат (точки $O(0;0)$) каждая координата точки меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка $(x; y)$ переходит в точку $(-x; -y)$.
• При симметрии относительно оси ординат (оси Oy) знак меняется только у абсциссы (координаты $x$). Таким образом, точка $(x; y)$ переходит в точку $(-x; y)$.
• При симметрии относительно оси абсцисс (оси Ox) знак меняется только у ординаты (координаты $y$). Таким образом, точка $(x; y)$ переходит в точку $(x; -y)$.

Применим эти правила для каждой из заданных точек: M(4; 3), K(-2; 5), E(0; -3), F(-4; -2).

1) начала координат

Находим точки, симметричные данным относительно начала координат, по правилу $(x; y) \rightarrow (-x; -y)$.

• Для точки $M(4; 3)$ симметричной будет точка $M_1(-4; -3)$.
• Для точки $K(-2; 5)$ симметричной будет точка $K_1(-(-2); -5)$, то есть $K_1(2; -5)$.
• Для точки $E(0; -3)$ симметричной будет точка $E_1(-0; -(-3))$, то есть $E_1(0; 3)$.
• Для точки $F(-4; -2)$ симметричной будет точка $F_1(-(-4); -(-2))$, то есть $F_1(4; 2)$.

Ответ: Координаты точек, симметричных данным относительно начала координат: $M_1(-4; -3)$, $K_1(2; -5)$, $E_1(0; 3)$, $F_1(4; 2)$.

2) оси ординат

Находим точки, симметричные данным относительно оси ординат (оси Oy), по правилу $(x; y) \rightarrow (-x; y)$.

• Для точки $M(4; 3)$ симметричной будет точка $M_2(-4; 3)$.
• Для точки $K(-2; 5)$ симметричной будет точка $K_2(-(-2); 5)$, то есть $K_2(2; 5)$.
• Для точки $E(0; -3)$ симметричной будет точка $E_2(-0; -3)$, то есть $E_2(0; -3)$. Так как точка $E$ лежит на оси ординат, она симметрична самой себе относительно этой оси.
• Для точки $F(-4; -2)$ симметричной будет точка $F_2(-(-4); -2)$, то есть $F_2(4; -2)$.

Ответ: Координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат: $M_2(-4; 3)$, $K_2(2; 5)$, $E_2(0; -3)$, $F_2(4; -2)$.

3) оси абсцисс

Находим точки, симметричные данным относительно оси абсцисс (оси Ox), по правилу $(x; y) \rightarrow (x; -y)$.

• Для точки $M(4; 3)$ симметричной будет точка $M_3(4; -3)$.
• Для точки $K(-2; 5)$ симметричной будет точка $K_3(-2; -5)$.
• Для точки $E(0; -3)$ симметричной будет точка $E_3(0; -(-3))$, то есть $E_3(0; 3)$.
• Для точки $F(-4; -2)$ симметричной будет точка $F_3(-4; -(-2))$, то есть $F_3(-4; 2)$.

Ответ: Координаты точек, симметричных данным относительно оси абсцисс: $M_3(4; -3)$, $K_3(-2; -5)$, $E_3(0; 3)$, $F_3(-4; 2)$.

1433. Отметьте на координатной плоскости точки $Q(-3; 0)$, $S(1; -4)$. Постройте точки, симметричные данным относительно:

1) начала координат;

2) оси ординат;

3) оси абсцисс. Определите координаты полученных точек.

Даны точки $Q(-3; 0)$ и $S(1; -4)$. Чтобы найти симметричные им точки, воспользуемся правилами симметрии на координатной плоскости.

1) начала координат

Точка, симметричная точке $A(x; y)$ относительно начала координат, имеет координаты $A'(-x; -y)$.

Для точки $Q(-3; 0)$ симметричной будет точка $Q_1(-(-3); -0)$, то есть $Q_1(3; 0)$.

Для точки $S(1; -4)$ симметричной будет точка $S_1(-1; -(-4))$, то есть $S_1(-1; 4)$.

Ответ: $(3; 0)$ и $(-1; 4)$.

2) оси ординат

Точка, симметричная точке $A(x; y)$ относительно оси ординат (оси $Oy$), имеет координаты $A'(-x; y)$.

Для точки $Q(-3; 0)$ симметричной будет точка $Q_2(-(-3); 0)$, то есть $Q_2(3; 0)$.

Для точки $S(1; -4)$ симметричной будет точка $S_2(-1; -4)$.

Ответ: $(3; 0)$ и $(-1; -4)$.

3) оси абсцисс

Точка, симметричная точке $A(x; y)$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$), имеет координаты $A'(x; -y)$.

Для точки $Q(-3; 0)$ симметричной будет точка $Q_3(-3; -0)$, то есть $Q_3(-3; 0)$. Точка $Q$ лежит на оси абсцисс, поэтому она симметрична самой себе относительно этой оси.

Для точки $S(1; -4)$ симметричной будет точка $S_3(1; -(-4))$, то есть $S_3(1; 4)$.

Ответ: $(-3; 0)$ и $(1; 4)$.

1434. Даны координаты вершин прямоугольника $ABCD$: $A (-3; -1)$, $B (-3; 3)$ и $D (5; -1)$.

1) Начертите этот прямоугольник.

2) Найдите координаты вершины $C$.

3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника.

4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

1) Начертите этот прямоугольник

Для построения прямоугольника $ABCD$ на координатной плоскости выполним следующие шаги:

1. Отметим точку $A$ с координатами $(-3; -1)$.
2. Отметим точку $B$ с координатами $(-3; 3)$.
3. Отметим точку $D$ с координатами $(5; -1)$.
4. Соединим точки отрезками. Отрезок $AB$ будет вертикальным, так как у точек $A$ и $B$ одинаковая абсцисса $x = -3$. Отрезок $AD$ будет горизонтальным, так как у точек $A$ и $D$ одинаковая ордината $y = -1$.
5. Поскольку вертикальный и горизонтальный отрезки перпендикулярны, угол $\angle DAB$ прямой, что соответствует определению прямоугольника.
6. Для завершения построения необходимо найти четвертую вершину $C$ и соединить точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$. Координаты точки $C$ найдены в следующем пункте.

Ответ: Прямоугольник строится путем нанесения на координатную плоскость вершин $A(-3; -1)$, $B(-3; 3)$, $D(5; -1)$, $C(5; 3)$ и их последовательного соединения отрезками.

2) Найдите координаты вершины C

Пусть координаты вершины $C$ равны $(x_C; y_C)$. В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, сторона $BC$ параллельна стороне $AD$, а сторона $DC$ параллельна стороне $AB$.

Сторона $AD$ лежит на горизонтальной прямой $y = -1$. Значит, параллельная ей сторона $BC$ также должна лежать на горизонтальной прямой. Ордината точки $B$ равна 3, следовательно, ордината точки $C$ также будет равна 3. То есть, $y_C = 3$.

Сторона $AB$ лежит на вертикальной прямой $x = -3$. Значит, параллельная ей сторона $DC$ также должна лежать на вертикальной прямой. Абсцисса точки $D$ равна 5, следовательно, абсцисса точки $C$ также будет равна 5. То есть, $x_C = 5$.

Таким образом, координаты вершины $C$ равны $(5; 3)$.

Ответ: $C(5; 3)$.

3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника

Диагонали прямоугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Следовательно, точка пересечения диагоналей является серединой любой из диагоналей, например, диагонали $AC$.

Найдем координаты середины отрезка $AC$, используя формулы для координат середины отрезка. Пусть точка $O(x_O; y_O)$ - точка пересечения диагоналей. Координаты вершин: $A(-3; -1)$ и $C(5; 3)$.

Абсцисса точки $O$: $x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ордината точки $O$: $y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Координаты точки пересечения диагоналей: $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см

Для вычисления площади и периметра найдем длины сторон прямоугольника $AB$ и $AD$.

Длина стороны $AB$ (расстояние между точками $A(-3; -1)$ и $B(-3; 3)$):
$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-3 - (-3))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$ см.

Длина стороны $AD$ (расстояние между точками $A(-3; -1)$ и $D(5; -1)$):
$|AD| = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$ см.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(|AB| + |AD|)$:
$P = 2(4 + 8) = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = |AB| \cdot |AD|$:
$S = 4 \cdot 8 = 32$ см$^2$.

Ответ: Площадь прямоугольника равна $32$ см$^2$, а периметр равен $24$ см.

1435.На координатной плоскости проведена линия (рис. 300).

1) Найдите ординату точки, принадлежащей этой линии, абсцисса которой равна: 2; -3; -1.

2) Найдите абсциссу точки, принадлежащей этой линии, ордината которой равна: 3; 0; -2.

Рис. 300

$y$

$x$

1) Чтобы найти ординату точки, принадлежащей линии, по известной абсциссе, необходимо найти на оси абсцисс ($x$) заданное значение, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат ($y$). Значение на оси $y$ будет искомой ординатой.

• Для абсциссы $x = 2$: находим на оси $x$ точку 2, поднимаемся до графика. Из этой точки на графике проводим горизонтальную линию к оси $y$ и попадаем в точку 3. Следовательно, ордината равна 3.

• Для абсциссы $x = -3$: находим на оси $x$ точку -3, опускаемся до графика. Из этой точки на графике проводим горизонтальную линию к оси $y$ и попадаем в точку -2. Следовательно, ордината равна -2.

• Для абсциссы $x = -1$: находим на оси $x$ точку -1, поднимаемся до графика. Из этой точки на графике проводим горизонтальную линию к оси $y$ и попадаем в точку 1. Следовательно, ордината равна 1.

Ответ: 3; -2; 1.

2) Чтобы найти абсциссу точки, принадлежащей линии, по известной ординате, необходимо найти на оси ординат ($y$) заданное значение, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести вертикальную линию до оси абсцисс ($x$). Значение на оси $x$ будет искомой абсциссой.

• Для ординаты $y = 3$: находим на оси $y$ точку 3, проводим горизонтальную линию до графика. Из этой точки на графике опускаемся к оси $x$ и попадаем в точку 2. Следовательно, абсцисса равна 2.

• Для ординаты $y = 0$: точка с ординатой 0 находится на оси $x$. График пересекает ось $x$ в точке, где $x = 0$. Следовательно, абсцисса равна 0.

• Для ординаты $y = -2$: находим на оси $y$ точку -2, проводим горизонтальную линию до графика. Из этой точки на графике поднимаемся к оси $x$ и попадаем в точку -3. Следовательно, абсцисса равна -3.

Ответ: 2; 0; -3.

1436.На координатной плоскости проведена окружность (рис. 301).

1) Найдите ординату точки окружности, абсцисса которой равна: 5; -4.

2) Найдите абсциссу точки окружности, ордината которой равна: -5; 3; 0.

Рис. 301

Для решения задачи сначала определим уравнение окружности, изображенной на координатной плоскости.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$.

Из рисунка 301 видно, что центр окружности находится в точке $C(2, -2)$. Следовательно, $h=2$ и $k=-2$.

Радиус $R$ — это расстояние от центра до любой точки на окружности. Например, до самой правой точки $(7, -2)$. Расстояние между $(2, -2)$ и $(7, -2)$ равно $7-2=5$. Значит, радиус $R=5$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$(x-2)^2 + (y-(-2))^2 = 5^2$

$(x-2)^2 + (y+2)^2 = 25$

Это и есть уравнение данной окружности. Теперь мы можем найти координаты точек, лежащих на ней.

1) Найдите ординату точки окружности, абсцисса которой равна: 5; –4.

Для абсциссы, равной 5:
Подставим $x=5$ в уравнение окружности:
$(5-2)^2 + (y+2)^2 = 25$
$3^2 + (y+2)^2 = 25$
$9 + (y+2)^2 = 25$
$(y+2)^2 = 25 - 9$
$(y+2)^2 = 16$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$y+2 = 4$ или $y+2 = -4$
Отсюда находим два значения для ординаты:
$y_1 = 4 - 2 = 2$
$y_2 = -4 - 2 = -6$

Для абсциссы, равной –4:
Подставим $x=-4$ в уравнение окружности:
$(-4-2)^2 + (y+2)^2 = 25$
$(-6)^2 + (y+2)^2 = 25$
$36 + (y+2)^2 = 25$
$(y+2)^2 = 25 - 36$
$(y+2)^2 = -11$
Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений. Следовательно, на окружности нет точек с абсциссой –4.

Ответ: если $x=5$, то $y=2$ или $y=-6$; если $x=-4$, то таких точек на окружности не существует.

2) Найдите абсциссу точки окружности, ордината которой равна: –5; 3; 0.

Для ординаты, равной –5:
Подставим $y=-5$ в уравнение окружности:
$(x-2)^2 + (-5+2)^2 = 25$
$(x-2)^2 + (-3)^2 = 25$
$(x-2)^2 + 9 = 25$
$(x-2)^2 = 25 - 9$
$(x-2)^2 = 16$
$x-2 = 4$ или $x-2 = -4$
$x_1 = 4 + 2 = 6$
$x_2 = -4 + 2 = -2$

Для ординаты, равной 3:
Подставим $y=3$ в уравнение окружности:
$(x-2)^2 + (3+2)^2 = 25$
$(x-2)^2 + 5^2 = 25$
$(x-2)^2 + 25 = 25$
$(x-2)^2 = 0$
$x-2 = 0$
$x = 2$

Для ординаты, равной 0:
Подставим $y=0$ в уравнение окружности:
$(x-2)^2 + (0+2)^2 = 25$
$(x-2)^2 + 4 = 25$
$(x-2)^2 = 21$
$x-2 = \pm\sqrt{21}$
$x_1 = 2 + \sqrt{21}$
$x_2 = 2 - \sqrt{21}$

Ответ: если $y=-5$, то $x=6$ или $x=-2$; если $y=3$, то $x=2$; если $y=0$, то $x=2+\sqrt{21}$ или $x=2-\sqrt{21}$.

1437. На координатной плоскости проведена линия (рис. 302).

1) Найдите ординату точки, принадлежащей этой линии, абсцисса которой равна: -2; 3; 1.

2) Найдите абсциссу точки, принадлежащей этой линии, ордината которой равна: -4; -3; 0.

Рис. 302

Для решения этой задачи необходимо определить координаты точек на графике, изображенном на рисунке 302. Абсцисса — это координата точки по горизонтальной оси ($x$), а ордината — координата по вертикальной оси ($y$).

1) Найдите ординату точки, принадлежащей этой линии, абсцисса которой равна: -2; 3; 1.

Чтобы найти ординату ($y$) по известной абсциссе ($x$), нужно найти заданное значение на оси $x$, мысленно провести вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси $y$ и определить её значение.

• Для абсциссы $x = -2$: находим на оси $x$ значение -2. Точка на графике, соответствующая этой абсциссе, имеет координаты $(-2, 0)$. Таким образом, ордината равна 0.
• Для абсциссы $x = 3$: находим на оси $x$ значение 3. Точка на графике, соответствующая этой абсциссе, имеет координаты $(3, 5)$. Таким образом, ордината равна 5.
• Для абсциссы $x = 1$: находим на оси $x$ значение 1. Точка на графике, соответствующая этой абсциссе, имеет координаты $(1, -3)$. Таким образом, ордината равна -3.

Ответ: при $x = -2$ ордината равна 0; при $x = 3$ ордината равна 5; при $x = 1$ ордината равна -3.

2) Найдите абсциссу точки, принадлежащей этой линии, ордината которой равна: -4; -3; 0.

Чтобы найти абсциссу ($x$) по известной ординате ($y$), нужно найти заданное значение на оси $y$, мысленно провести горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точек пересечения провести вертикальные линии до оси $x$ и определить их значения. Обратите внимание, что одной ординате может соответствовать несколько абсцисс.

• Для ординаты $y = -4$: находим на оси $y$ значение -4. Горизонтальная линия $y=-4$ пересекает график в одной точке с координатами $(0, -4)$. Таким образом, абсцисса равна 0.
• Для ординаты $y = -3$: находим на оси $y$ значение -3. Горизонтальная линия $y=-3$ пересекает график в двух точках с координатами $(-1, -3)$ и $(1, -3)$. Таким образом, абсциссы равны -1 и 1.
• Для ординаты $y = 0$ (это ось абсцисс): находим точки, в которых график пересекает ось $x$. Это точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Таким образом, абсциссы равны -2 и 2.

Ответ: при $y = -4$ абсцисса равна 0; при $y = -3$ абсциссы равны -1 и 1; при $y = 0$ абсциссы равны -2 и 2.