Номер 1434, страница 300 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 42. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа - номер 1434, страница 300.

Условие.

1434. Даны координаты вершин прямоугольника $ABCD$: $A (-3; -1)$, $B (-3; 3)$ и $D (5; -1)$.

1) Начертите этот прямоугольник.

2) Найдите координаты вершины $C$.

3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника.

4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение.

Решение 2.

1) Начертите этот прямоугольник

Для построения прямоугольника $ABCD$ на координатной плоскости выполним следующие шаги:

1. Отметим точку $A$ с координатами $(-3; -1)$.
2. Отметим точку $B$ с координатами $(-3; 3)$.
3. Отметим точку $D$ с координатами $(5; -1)$.
4. Соединим точки отрезками. Отрезок $AB$ будет вертикальным, так как у точек $A$ и $B$ одинаковая абсцисса $x = -3$. Отрезок $AD$ будет горизонтальным, так как у точек $A$ и $D$ одинаковая ордината $y = -1$.
5. Поскольку вертикальный и горизонтальный отрезки перпендикулярны, угол $\angle DAB$ прямой, что соответствует определению прямоугольника.
6. Для завершения построения необходимо найти четвертую вершину $C$ и соединить точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$. Координаты точки $C$ найдены в следующем пункте.

Ответ: Прямоугольник строится путем нанесения на координатную плоскость вершин $A(-3; -1)$, $B(-3; 3)$, $D(5; -1)$, $C(5; 3)$ и их последовательного соединения отрезками.

2) Найдите координаты вершины C

Пусть координаты вершины $C$ равны $(x_C; y_C)$. В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, сторона $BC$ параллельна стороне $AD$, а сторона $DC$ параллельна стороне $AB$.

Сторона $AD$ лежит на горизонтальной прямой $y = -1$. Значит, параллельная ей сторона $BC$ также должна лежать на горизонтальной прямой. Ордината точки $B$ равна 3, следовательно, ордината точки $C$ также будет равна 3. То есть, $y_C = 3$.

Сторона $AB$ лежит на вертикальной прямой $x = -3$. Значит, параллельная ей сторона $DC$ также должна лежать на вертикальной прямой. Абсцисса точки $D$ равна 5, следовательно, абсцисса точки $C$ также будет равна 5. То есть, $x_C = 5$.

Таким образом, координаты вершины $C$ равны $(5; 3)$.

Ответ: $C(5; 3)$.

3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника

Диагонали прямоугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Следовательно, точка пересечения диагоналей является серединой любой из диагоналей, например, диагонали $AC$.

Найдем координаты середины отрезка $AC$, используя формулы для координат середины отрезка. Пусть точка $O(x_O; y_O)$ - точка пересечения диагоналей. Координаты вершин: $A(-3; -1)$ и $C(5; 3)$.

Абсцисса точки $O$: $x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ордината точки $O$: $y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Координаты точки пересечения диагоналей: $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см

Для вычисления площади и периметра найдем длины сторон прямоугольника $AB$ и $AD$.

Длина стороны $AB$ (расстояние между точками $A(-3; -1)$ и $B(-3; 3)$):
$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-3 - (-3))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$ см.

Длина стороны $AD$ (расстояние между точками $A(-3; -1)$ и $D(5; -1)$):
$|AD| = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$ см.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(|AB| + |AD|)$:
$P = 2(4 + 8) = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = |AB| \cdot |AD|$:
$S = 4 \cdot 8 = 32$ см$^2$.

Ответ: Площадь прямоугольника равна $32$ см$^2$, а периметр равен $24$ см.