Номер 1427, страница 299 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 42. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа - номер 1427, страница 299.

Условие.

1427. Постройте отрезки $AB$ и $CD$ и найдите координаты точки пересечения этих отрезков, если $A (-5; -2)$, $B (1; 4)$, $C (-3; 2)$, $D (2; -3)$.

Решение.

Решение 2.

Построение отрезков AB и CD

Для построения отрезков в прямоугольной системе координат (с осями Ox и Oy) необходимо отметить концы каждого отрезка и соединить их прямой линией.
1. Для отрезка AB отметим точку A(-5; -2), отложив от начала координат 5 единиц влево по оси Ox и 2 единицы вниз по оси Oy. Затем отметим точку B(1; 4), отложив 1 единицу вправо по оси Ox и 4 единицы вверх по оси Oy. Соединим точки A и B.
2. Для отрезка CD отметим точку C(-3; 2), отложив от начала координат 3 единицы влево по оси Ox и 2 единицы вверх по оси Oy. Затем отметим точку D(2; -3), отложив 2 единицы вправо по оси Ox и 3 единицы вниз по оси Oy. Соединим точки C и D.
Построив отрезки, можно увидеть, что они пересекаются.

Ответ: Отрезки AB и CD построены на координатной плоскости в соответствии с заданными координатами их вершин.

Нахождение координат точки пересечения этих отрезков

Чтобы найти точные координаты точки пересечения, необходимо найти уравнения прямых, содержащих эти отрезки, и решить систему этих уравнений.

1. Составление уравнения прямой, содержащей отрезок AB.
Используем каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставим координаты точек A(-5; -2) и B(1; 4):
$\frac{x - (-5)}{1 - (-5)} = \frac{y - (-2)}{4 - (-2)}$
$\frac{x + 5}{6} = \frac{y + 2}{6}$
Умножив обе части на 6, получаем:
$x + 5 = y + 2$
Выразим $y$:
$y = x + 3$

2. Составление уравнения прямой, содержащей отрезок CD.
Подставим координаты точек C(-3; 2) и D(2; -3) в ту же формулу:
$\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 2}{-3 - 2}$
$\frac{x + 3}{5} = \frac{y - 2}{-5}$
Умножим обе части на 5:
$x + 3 = -(y - 2)$
$x + 3 = -y + 2$
Выразим $y$:
$y = -x - 1$

3. Решение системы уравнений.
Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:
$\begin{cases} y = x + 3 \\ y = -x - 1 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений, чтобы найти координату $x$ точки пересечения:
$x + 3 = -x - 1$
$2x = -4$
$x = -2$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти координату $y$:
$y = (-2) + 3$
$y = 1$
Координаты точки пересечения прямых — (-2; 1).

4. Проверка принадлежности точки пересечения отрезкам.
Нужно убедиться, что найденная точка лежит на обоих отрезках, а не только на содержащих их прямых. Для этого ее координаты должны находиться в пределах координат концов отрезков.
Для отрезка AB (A(-5; -2), B(1; 4)):
Проверка по оси X: $-5 \le -2 \le 1$ (верно).
Проверка по оси Y: $-2 \le 1 \le 4$ (верно).
Точка (-2; 1) лежит на отрезке AB.
Для отрезка CD (C(-3; 2), D(2; -3)):
Проверка по оси X: $-3 \le -2 \le 2$ (верно).
Проверка по оси Y: $-3 \le 1 \le 2$ (верно).
Точка (-2; 1) лежит на отрезке CD.
Так как точка принадлежит обоим отрезкам, она является их точкой пересечения.

Ответ: Координаты точки пересечения отрезков AB и CD: (-2; 1).