Номер 1426, страница 299 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 42. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа - номер 1426, страница 299.

Условие.

1426. Постройте отрезки $AB$ и $CD$ и найдите координаты точки пересечения этих отрезков, если $A (-1; -3)$, $B (3; 1)$, $C (0; 4)$, $D (3; -2)$.

Решение.

Решение 2.

Постройте отрезки AB и CD

Для построения отрезков на декартовой координатной плоскости необходимо отметить точки по их заданным координатам, а затем соединить соответствующие пары точек.

1. Отметить точку $A$ с координатами $(-1; -3)$.
2. Отметить точку $B$ с координатами $(3; 1)$.
3. Соединить точки $A$ и $B$ для получения отрезка $AB$.
4. Отметить точку $C$ с координатами $(0; 4)$.
5. Отметить точку $D$ с координатами $(3; -2)$.
6. Соединить точки $C$ и $D$ для получения отрезка $CD$.

После построения на плоскости будут видны два пересекающихся отрезка.

Найдите координаты точки пересечения этих отрезков

Для нахождения координат точки пересечения аналитическим методом необходимо составить уравнения прямых, на которых лежат отрезки $AB$ и $CD$, и найти решение системы этих уравнений.

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(-1; -3)$ и $B(3; 1)$. Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

$\frac{y - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{x - (-1)}{3 - (-1)}$

$\frac{y + 3}{4} = \frac{x + 1}{4}$

Умножим обе части на 4: $y + 3 = x + 1$.

Отсюда получаем первое уравнение: $y = x - 2$.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки $C(0; 4)$ и $D(3; -2)$:

$\frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - 0}{3 - 0}$

$\frac{y - 4}{-6} = \frac{x}{3}$

Умножим обе части на -6: $y - 4 = -2x$.

Отсюда получаем второе уравнение: $y = -2x + 4$.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений, чтобы найти координаты их общей точки:

$\begin{cases} y = x - 2 \\ y = -2x + 4 \end{cases}$

Приравнивая правые части, получаем:

$x - 2 = -2x + 4$

$3x = 6$

$x = 2$

Подставим значение $x=2$ в первое уравнение:

$y = 2 - 2 = 0$

Координаты точки пересечения прямых — $(2; 0)$.

В заключение необходимо проверить, что найденная точка принадлежит обоим отрезкам. Для этого ее координаты должны лежать между координатами концов каждого отрезка.

Для отрезка $AB$ (от $A(-1; -3)$ до $B(3; 1)$):

• $-1 \le 2 \le 3$ (верно для $x$)
• $-3 \le 0 \le 1$ (верно для $y$)

Для отрезка $CD$ (от $C(0; 4)$ до $D(3; -2)$):

• $0 \le 2 \le 3$ (верно для $x$)
• $-2 \le 0 \le 4$ (верно для $y$)

Поскольку точка $(2; 0)$ удовлетворяет всем условиям, она является точкой пересечения отрезков.

Ответ: (2; 0).